薛定谔方程

薛定谔方程(Schr?dinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。

薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。

薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。

薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。

目录

[隐藏]

? 1 含时薛定谔方程

? 2 不含时薛定谔方程

? 3 历史背景与发展

? 4 含时薛定谔方程导引

o 4.1 启发式导引

? 4.1.1 假设

? 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数

o 4.2 薛定谔的导引

? 5 特性

o 5.1 线性方程

? 5.1.1 证明

o 5.2 实值的本征态

o 5.3 幺正性

? 5.3.1 证明

o 5.4 完备基底

? 6 相对论性薛定谔方程

?7 解析方法

?8 实例

o8.1 自由粒子

o8.2 一维谐振子

o8.3 球对称位势

?8.3.1 角部分解答

?8.3.2 径向部分解答

?9 参阅

?10 参考文献

?11 外部链接

[编辑] 含时薛定谔方程

虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。在一维空间里，一个单独粒子运动于位势

中的含时薛定谔方程为

；(1)

其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为

。(2)

假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达，

。

其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。所以，第个粒子的位置是。

[编辑] 不含时薛定谔方程

不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想的函数形式为

；

其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．

代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：

。

类似地，方程 (2) 变为

。

[编辑] 历史背景与发展

爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。

1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，探测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。

薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。

但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势内的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。

薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。可是，

薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。

[编辑] 含时薛定谔方程导引

[编辑] 启发式导引

含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：

[编辑] 假设

(1) 一个粒子的总能量可以经典地表达为动能与势能的和：

；

其中，是动量，是质量。

特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。

(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率成正比：

其中，是普朗克常数，是角频率。

(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数来表达。粒子的动量与伴随的波函数的波长有关：

；

其中，是波数。

用矢量表达，。

[编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数

1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：

。

他想到

，

因此

。

并且相同地由于

，

故

。

因此得到

。

再由经典力学的公式，一个粒子的总能为，质量为，在势能处移动：

。

薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有势能之处移动时的方程：

。

[编辑] 薛定谔的导引

思考一个粒子，运动于一个保守的位势。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程

；

其中，是哈密顿主函数。

由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：

；

其中，不相依于时间的函数是哈密顿特征函数，是能量。

将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到

；

哈密顿主函数随时间的全导数是

。

思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。这常数的等值曲面在空间移动的方程为

。

所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是

。

这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：

。

我们可以想像为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与成比例的波函数：

；

其中，是常数，是相依于位置的系数函数。

将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为

。

注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论

；其中，是约化普朗克常数，是角频率。设定，粒子的波函数变为

；

其中，。

的波动方程为

。

将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到

。

注意到。稍加编排，可以导引出薛定谔方程：

。

[编辑] 特性

[编辑] 线性方程

主条目：态叠加原理

薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若与是某薛定谔方程的解。设定

，

其中，与是任何常数。

则也是一个解。

[编辑] 证明

根据不含时薛定谔方程 (1) ，

，

。

线性组合这两个方程的解，

。

所以，也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。

[编辑] 实值的本征态

不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。假若两个波函数与都是某不含时薛定谔方程的，能量为

的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为的解答。

。对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数是某薛定谔方程的解答，

则其共轭函数也是这薛定谔方程的解答。所以，的实值部分或虚值部分，

都分别是解答。我们只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。

转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的解答。其替代波函数是另外一个解答：

。

这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。

[编辑] 幺正性

在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为幺正性。薛定谔方程能够自动地维持幺正性。用波函数表达，

。(3)

为了满足这特性，必须将波函数归一化。假若，某一个薛定谔方程的波函数尚未归一化。由于薛定谔方程为线性方程，与任何常数的乘积

还是这个薛定谔方程的波函数。设定；其中，是归一常数，使得

。

这样，新波函数还是这个薛定谔方程的解答，而且，已经被归一化了。在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数相

依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足幺正性。所以，薛定谔方程能够自动地维持幺正性。

[编辑] 证明

总概率随时间的微分表达为

。(4) 思考含时薛定谔方程，

。

其复共轭是

。

所以，

代入方程 (4) ，

在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。所以，

。

薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。

[编辑] 完备基底

能量本征函数形成了一个完备基底。任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。这就是数学的谱定理(spectral theorem) 。在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。

[编辑] 相对论性薛定谔方程

主条目：相对论量子力学

薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。试想能量质量关系式，

；

其中，是光速，是静止质量。

直接地用这关系式来推广薛定谔方程：

。

或者，稍加编排，

；

其中，，是达朗贝尔算符。

这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。但是，它是一个时间的二阶方程。所以，不能成为波函数的方程。并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。一个平面波函数解答遵守

；

其中，是角频率，可以是正值或负值。

对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。

保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-?粒子量子态的波函数方程：

，

其中，是自旋-?粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。

狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。因为，相对论与单粒子图案互不相容。一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。

假若，一个粒子被局限于一个长度为的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性。假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为。当盒子的长度等于康普顿波长

时，能量的不确定性等于粒子的质能。当盒子的长度小于康普顿波

长时，我们无法确定盒子内只有一个粒子。因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。

[编辑] 解析方法

一般来说，解析薛定谔方程会用到下述这些方法：

?量子微扰理论 (perturbation theory (quantum mechanics)) 。

?变分原理 (variational principle) 。

?量子蒙特·卡罗方法 (Quantum Monte Carlo methods) 。

?密度泛函理论。

?WKB 近似 (WKB approximation) 与半经典扩展。

对于某些特殊的状况，可以使用特别方法：

?有解析解量子系统列表 (List of quantum mechanical systems with analytical solutions) 。

?哈特里-福克方法与越哈特里-福克方法。

?离散 delta 位势方法 (Discrete delta-potential method) 。

[编辑] 实例

[编辑] 自由粒子

主条目：自由粒子

当位势为 0 时，薛定谔方程为

。

解答是一个平面波：

，

其中，是波矢量，是角频率。

代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系：

。

由于粒子存在的概率必须等于 1 ，波函数必须先归一化，然后才能够

表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。

在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。：

；

其中，积分的区域是所有的-空间。

为了简化计算，只思考一维空间，

；

其中，因子是由傅里叶转换的常规而设定，振幅是线性叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数可以表达为

；

其中，是波函数在时间的函数形式。

所以，知道波函数在时间的形式，借由傅里叶转换，我们可以推演出波函数在任何时间的形式。

[编辑] 一维谐振子

主条目：量子谐振子

能量最低的八个束缚本征态的波函数表征 (）。横轴表示位置。此图未经归一化。

在一维谐振子问题中，一个质量为的粒子，受到一位势。此粒子的哈密顿算符为

；

其中，为位置。

为了要找到能阶以相对应的能量本征态，我们必须找到本征能量薛定谔方程：

。

我们可以在座标基底下解这个微分方程，用到幂级数方法。可以见到有一族的解：

。

最先八个解（n = 0到5）展示在右图。函数为厄米多项式 (Hermite polynomials) ：

。

相应的能阶为

。

值得注意的是能谱，理由有三。首先，能量被“量子化”(quantized)，而只能有离散的值，即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。这是许多量子力学系统的特

征。再者，可有的最低能量（当n= 0）不为零，而是，被称为“基态能

量”或零点能量。在基态中，根据量子力学，一振子执行所谓的“零振动”，且其平均动能是正值。这样的现象意义重大但并不那么显而易见，因为通常能量的零点并非一个有意义的物理量，因为可以任意选择；有意义的是能量差。虽然如此，基态能量有许多的意涵，特别是在量子引力。最后一个理由式能阶值是等距的，不像玻尔模型或盒中粒子问题那样。

[编辑] 球对称位势

主条目：球对称位势

一个单粒子运动于球对称位势的量子系统，可以用薛定谔方程表达为

；

其中，是普朗克常数，是粒子的质量，是粒子的波函数，是位势，是径向距离，是能量。

采用球坐标，将拉普拉斯算子展开：

。

满足薛定谔方程的本征函数的形式为：

，

其中，，，，都是函数。与时常会合并为一个函数，称为球谐函数，。这样，本征函数的形式变为：

。

[编辑] 角部分解答

相依于天顶角和方位角的球谐函数，满足角部分方程

；

其中，非负整数是角动量的角量子数。（满足）是角动量对于 z-轴的（量子化的）投影。不同的与给予不同的球谐函数解答：

；

其中，是虚数单位，是伴随勒让德多项式，用方程定义为

；

而是阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为

。

[编辑] 径向部分解答

将角部分解答代入薛定谔方程，则可得到一个一维的二阶微分方程：

。设定函数。代入方程。经过一番繁杂的运算，可以得到

。

径向方程变为

；

其中，有效位势。

这正是函数为，有效位势为的薛定谔方程。径向距离的定义域是从

到。新加入有效位势的项目，称为离心位势。为了要更进一步解析，我们必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。

电子科技大学-量子力学论文 【建立薛定谔方程有哪些方法】

建立薛定谔方程有哪些方法 姓名:*** 学号:********** 班级:（二班） 联系电话:************** 中文摘要: 薛定谔方程是量子力学的重要基本方程,是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程,它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律,在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样,是量子力学的奠基理论之一.由对薛定谔方程式的解答,能清楚地描述量子系统里,量子尺寸粒子的统计性量子行为.本文将讨论以微分和类比的方法建立薛定谔方程. 关键词:量子力学波函数薛定谔方程 1 引言 薛定谔提出的量子力学基本方程建立于1926 年, 它是一个非相对论的波动方程.反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律, 地位与经典物理中的牛顿运动方程相当,是打开物质微观世界大门的金钥匙.设描述微观粒子状态的波函数为()t r, U,中运动的薛定谔方程为在给定初ψ,质量为m 的微观粒子在势场()t r

始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下, 可解出波函数()t r, U与时间无关而只是坐ψ,由此可计算粒子的能量、分布概率等.当势能()r 标的函数情况下为定态问题.定态时的波函数可写成式中()r ψ称为定态波函数, 满足定态薛定谔方程, 这一方程在数学上称为本征方程,式中E为本征值,是定态能量()r ψ又称为属于本征值E的本征函数,波函数本身及其一阶导数必须是单值、连续和有限的,这称为波函数的标准条件.薛定谔方程是线性、齐次的微分方程,满足叠加原理.定态薛定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态.纵观物理学发展的历史,人们对于微观世界的认识是极其曲折复杂的,经历了许多伟大科学家的艰辛努力与激烈争论.其间,他们各有自己的高见,也都有各自的不足, 每人只认识其中的一个侧面,将他们各自正确的部分集中起来,才建立起反映微观世界的正确理论——量子力学.其重要组成部分之一是薛定谔创立的波动力学.在波动力学中薛定谔从几何光学向波动光学的过渡关系,而推断出由经典力学向波动力学如何过渡,再受德布罗意波的启发而建立了薛定谔方程. 由于在实践中只有少数几个特殊的粒子运动体系的薛定谔方程可以精确求解, 而对于复杂的多电子原子和分子体系的薛定谔方程则无法精确求解,即使是利用近似模型处理后,其求解过程仍然非常复杂烦琐.随着计算机技术的飞速发展, 经过适当的近似处理后,通过求解薛定谔方程来揭示物质的微观性质和状态已经得到了非常成功的应用,尤其是在量子化学计算领域.因此,薛定谔方程已经成为了人们打开物质微观世界大门的金钥匙.薛定谔方程在量子力学的研究中有着极其重要的作用, 它是量子力学重要的基本方程.这方程既不是推导,也不是证明出来的,它是假设而建立起来的.建立方程的依据是:(1)应当是波函数对时间的一阶微分方程;(2)方程要包含外界的因素;(3)方程中的系数不含有状态参量;(4)

定态薛定谔方程讲义

定态薛定谔方程 一、定态Schr?dinger 方程 2 2(,)[()](,)2i r t V r r t t m ψψ?=-?+? (1) 在一般情况下，从初始状态ψ(r,0)求 ψ(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V 不显含时间 t （在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。 ()V r 与t 无关时，可以分离变量 令(,)()()r t r f t ψψ= 代入(1)式 2 2()1[()]()()()2i df t V r r f t dt r m ψψ=-?+ E = 其中E 是即不依赖于t ，也不依赖于r 的常量，这样 ()()df t i Ef t dt = (2) 2 2[()]()()2V r r E r ψψμ -?+= (3) ——定态薛定谔方程 由(2)解得 Et i ce t f -=)( 其中c 为任意常数。把常数c 放到()E r ψ 里面去，则 (,)()i Et E r t r e ψψ-= (4) 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/?按照德布罗意关系E=h ν=?ω，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E ，所以这种状态称为定态，波函数ψ(r,t)称为定态波函数。 定态有两个含义：1、(,)()i Et E r t r e ψψ-= ；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的依 据） 空间波函数()E r ψ 可由方程 2 2[()]()()2E E V r r E r m ψψ-?+= 和具体问题()E r ψ 应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger 方程，()E r ψ 也可

最新薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程 一．定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提 出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定， 其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合 建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都 有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式 以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基 本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二．表达式 三．定态方程 ()() 2 2 2 V r E r m η ψψ + ?? -?= ?? ?? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E是粒子本身的能量；v(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2 2 22222 z y x ??????++=? 可化为 d 0)(222 =-+ψψv E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ). ()()((3) ) ,(),()( ,,(2) )(),( 311212 2111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==?????=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββα βα

量子力学课程论文由薛定谔方程引发的深思

量子力学课程论文题目：《由薛定谔方程引发的深思》 学院：数理信息工程学院 专业：物理112班 学生姓名：徐盈盈王黎明 学号：11260124 11180216 完成时间： 2013年12月20日

由薛定谔方程引发的深思 【摘要】 薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。 【引言】 随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种量子行为。于是，基于众多前人研究成果，薛定谔于1926年提出薛定谔方程，完美的解释了波函数的行为。正是因为薛定谔方程在量子力学进程中起着举足轻重的作用，所以我们必须深入学习其推导过程和应用。并且由薛定谔方程出发，深刻思考我们在物理学习过程中所必须具备的思维方式和学习态度。 【关键词】 薛定谔方程玻尔理论波函数深思 【正文】 一、薛定谔方程的提出与推导 1、薛定谔方程的历史背景 爱因斯坦认为普朗克的量子为光子，并且提出了奇妙的“波粒二象性”。1924年，路易·德布罗意提出“物质波”的概念，认为任何粒子都具有波粒二象性，并且这个假说于1927年成功被戴维森-革末实验所证实。薛定谔由此认为一定会有一个波动方程能够恰当的描述粒子的这种性质。最后他借助于经典力学的哈密顿原理以及光学的费马原理，将牛顿力学与光学类比，并且以哈密顿-雅克比方程为工具，成功建立了薛定谔方程，并且准确的计算了氢原子的谱线。 2、薛定谔方程的推导思路 ①首先自由粒子可用平面波来表示，可当粒子收到随时间或位置变化的力场的作用时，应该用波函数来表示。波函数描写体系的量子状态。波函数是指在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成比例[2]。 ②当讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律时，必须建立波函数随时间变化的方程。 ③用平面波描写自由粒子的波函数ψ(r,t)=Ae i(p.r-Et)/h,并且对时间求偏微商，对位置求二次偏微商，再利用能量和动量的关系式E=p2/2m+V(r),最终可得到薛定谔方程： ④从一维薛定谔方程出发，可以得出三维薛定谔方程和定态薛定谔方程：

薛定谔方程与提出背景

薛定谔方程 在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为 ；(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为 。(2) 假若，系统有个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达， 。 其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。所以，第个粒子的位置是。 不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法，猜想的函数形式为 ； 其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量． 代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程： 。 类似地，方程 (2) 变为

。 历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信，薛定谔清楚地表明了这看法。 含时薛定谔方程导引

薛定谔方程

第一章 薛定谔方程 §1.1.波函数及其物理意义 1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。 例：一维自由粒子的波函数 推广 ：三维自由粒子波函数 2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释 用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。 t 时刻，出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。 t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度 4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 标准条件：一般情况下， 有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。 对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾 §1.2. 薛定谔方程 是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。 1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般） 一维自由粒子的振幅方程 非相对论考虑 2. 一维定态薛定谔方程 2 |),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===?=ψ???N N N N V V N N V V V . 是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x 0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x

3. 三维定态薛定谔方程 4. 一般形式薛定谔方程 5. 多粒子体系的薛定谔方程 讨论： 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。 5、薛定谔方程是非相对论的方程。 量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。 求解问题的思路： 1. 写出具体问题中势函数U (r )的形式代入方程 2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 4. 讨论解的物理意义， 薛定谔的另一伟大科学贡献 《What is life ？》 薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖 定态薛定谔方程 一．定态薛定谔方程条件：V （r,t ）=V(r)， 与t 无关。用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程： 此称定态薛定谔方程 整个定态波函数形式： ),,,(),,,()],,,(2[),,,(2121212221t r r t r r V t r r m t r r t i i i i ψ+ψ?-=ψ??∑)t (Ef t )t (f i =?? Et i ce )t (f -=)r (E )r ()r (V )r (m ?=?+??-222Et i e )r ( -?=ψ

第二章 薛定谔方程

第二章 薛定谔方程 本章介绍：本章将系统介绍波动力学。波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。薛定谔方程是波动力学的核心。在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。 §2.1 波函数的统计解释 §2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析按照德布罗意的观点，和每个粒子相联系的都有一个波。怎样理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先遇到的根本问题。 2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成？ 粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒子强度，让粒子近似的一个一个从粒子源射出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍然会出现衍射条纹。如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。这和上述实验结果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性的。 能否认为粒子是由波组成？ 比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来的物质波包很小，但经过一段时间后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相矛盾 经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系： ◆一类是实物粒子 ◆另一类是相互作用场（波）经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态，粒子的运动遵从经典力学规律，在运动过程中具有确定严格的轨道。粒子的能量，动量在粒子限度的空间小区域集中；当其与其它物理体系作用时，只与粒子所在处附近的粒子相互作用，并遵从能量、动量的单个交换传递过程，其经典物理过程是粒子的碰撞；“定域”是粒子运动的特征。经典波动则是以场量（振幅、相位等）来描述其运动状态，遵从经典波动方程，波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点，即波的能量、动量是空间广延的。波与其他物质体系相互作用时，可同时与波所在广延空间内的所有物理体系相互作用，其能量可连续变化，波满足叠加原理，“非定域”是波动性运动的特性。◆◆在经典物理中，粒子和波各为一类宏观体系的呈现，反映着两类对象，两种物质形态，其运动特点是不相容的，即具有粒子性运动的物质不会具有波动性；反之具有波动性运动的物质不会具有粒子性。综上所述，微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波，或者说它既是量子概念的粒子又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。◆现在被物理学家们普遍接受的波函数解释是玻恩提出的统计解释。他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在多次相同实验中显示的统计结果。 ◆玻恩的统计解释：波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波 §2.1.2 波函数统计解释 波函数的的特点：1.由于 2 |),(|t r ψ给出在 t 时刻，粒子在 r 处出现的几率密度，因此原 则上可由统计平均公式：? ?>= <)(r f 。在这种意义下，波函数),(t r ψ描述了微观粒子的运

实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法

实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法 一．实验目的 1．掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。 2．掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理，会调用相应的子程序求解具体问题。 二．实验内容 1．问题描述 以/2ω/()m ω为长度单位，一维谐振子的哈密顿量为 2 202d H x dx =-+, 其本征值为21n E n =+，本证波函数为 2 /2)()n n x H x ?=-， 其中()n H x 为厄米多项式，满足递推关系 11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。 用矩阵方法求 2 22d H x x dx =-++ 的本证能量和相应的波函数。 2．问题分析 H E ψψ= 0()|j j j t c ψ?∞ ==>∑ 0||i i j i j i j c E c x Ec ??∞ =+<>=∑ 11|j j j x ???-+>=>>

11||||j j j j x x ????-+<>= <>= 0010010 112111,211,11,1 n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------?????????????????????????=??????????????????????? ? 3．程序编写 子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集（第二版）》第三章 徐士良，P97 4．实验要求 ◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。 ◆取n=8，给出H 的全部特征值和相应的特征向量。 5．实验步骤 ● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。 ● 创建新工作区shiyan03。 ● 创建新项目xm3。 ● 创建源程序文件xm3.f90，编辑输入源程序文本。 ● 编译、构建、运行、调试程序。 6．实验结果 程序设计：

非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真

[键入作者姓名] [键入文档标题] ——利用分步快速傅里叶变换对光纤中光信号的传输方程进行数值求解

1、非线性薛定谔方程 非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。 一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。 非线性薛定谔方程的基本形式为: 22||t xx iu u u u =+ 其中u 是未知的复值函数. 目前，采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的，这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(Fast Fourier Transform Algorithm)。基于MATLAB 科学计算软件以及MATLAB 强大的符号计算功能，完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。 一般情况下，光脉冲沿光纤传播时受到色散和非线性效应的共同作用，假设当传输距离 很小的时候，两者相互独立作用，那么，根据这种思想可建立如下分步傅立叶数值算法的数 学模型： 把待求解的非线性薛定谔方程写成以下形式: ??()U D N U z ?=+? （I ） （II ）

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解 摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。 薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。 随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。 1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是： 其中为常数。因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。 1 分步傅里叶法计算演化过程 对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。上述方程中做 2 β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。可以得到 2 k k k k k dA i A i a a dz βγ =?+F. 其中2 2 2 k i β β ?=Ω 令() exp k k A B i z β =?可以得到 () 2exp k k k k dB i a a i z dz γβ =-? F 以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。 ()() ()()() 2 exp k k k k k B z z B z i a z a z i z z γβ +?- =-? ? F 再利用() exp k k A B i z β =?可以得到 ()()()() ()()() 2 2 exp exp exp k k k k k k k k A z z A i a z a z z i z a z i a z z i z γβ γβ ?? +?=+??? ?? ?? ?? ≈????? ?? F F 然后做傅里叶反变换就可以得到最终的结果 ()()()() 2 1exp exp - k k k k a z z a z i a z z i z γβ ?? +?=????? ?? F F

大学物理-一维定态薛定谔方程的应用

一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院

势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U

() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱

建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=

利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，

原子物理学——薛定谔方程

§3.4 薛定谔方程 一、薛定谔方程的建立 1．自由粒子的薛定谔方程 自由粒子的波函数:)(0)(0Et zp yp xp i Et p r i z y x e e -++-?== ψψψ (1) 对x 、y 、z 分别求二次偏导： ψψx p i x =?? ψψψ2222 x x p x p i x -=??=?? ψψy p i y =?? ψψψ22 22 y y p y p i y -=??=?? ψψz p i z =?? ψψψ22 22 z z p x p i z -=??=?? 三者相加： ψψψψψ222 222222222)(1 p p p p z y x z y x -=++-=??+??+?? 拉普拉斯算符：2 22 22 22 z y x ??+ ??+ ??= ? ψψ22 2 p -=? (2) 对t 求一次偏导：ψψE i t -=?? ψψ E t i =?? (3) 自由粒子，m p m E 22122 ==υ ψψm p E 22= (4) 由(3)(4)式: ψψm p t i 22 =?? (5) (2)式代入(5)得: ψψ2 22?-=??m t i ――自由粒子的薛定谔方程。 (6) 2．一般粒子的薛定谔方程

一般粒子常受到力场的约束，用),(t r V 表示力场，则粒子在力场中受到的力为：),(t r V F -?=，假设处于这种力场中的微观粒子的波函数为),t r （ψ，假设 ),t r （ψ仍满足方程： ψψE t i =?? ψψ222 p -=? 但此时 V m p E +=22 (7) 即一个质量为m 动量为p ,在势场V 中运动的非相对论粒子的能量:动能 (m p 22)+势能(V ). 则有：ψψψV m t i +?-=??2 22 (8) ――处在以势能V 表征的力场中的微观粒子所满足的运动方程，称之为薛定谔方程。 如果已知V 和微观粒子的初始条件0ψ，原则上，可以求出粒子在任何时刻t 的状态ψ。可见，薛定谔方程在量子力学中的地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。 二、定态薛定谔方程 能量不随时间变化的状态称为定态。设作用在粒子上的力场不随时间改变，即势能V 中不显含时间t ，将其代入方程： ψψψV m t i +?-=??2 22 (9) 则(9)式的解可以表达为坐标的函数和时间的函数的乘积,即波函数可分离变量：)()(),(t f r u t r =ψ E Vu u m u dt t df t f i =+?-=]2[1)()(2 2 E 为一常数(要相等必等于常数) Eu u V m =+?-]2[22 定态薛定谔方程 (10)

薛定谔方程的建立和探讨

编号 学士学位论文 薛定谔方程的建立和探讨 学生姓名：麦麦提阿布都拉.艾沙 学号：20070105034 系部：物理系 专业：物理学 年级：07-1班 指导教师：艾沙江.赛来 完成日期：2012 年 5 月 5 日

中文摘要 薛定谔方程是量子力学的重要基本方程其地位与经典物理中的牛顿运动方程相当，打开物质微观世界大门的金钥匙。薛定谔方程是关于微观粒子运动状态的描述和微观粒子力学量的表达等方面谈量子力学，量子力学的基本规律是统计规律，介绍了薛定谔方程的表述形式, 分析了不同体系的薛定谔方程的建立方法, 并介绍了求解复杂体系的薛定谔方程的近似模型和方法分析了薛定谔方程在揭示物质微观世界的实际应用价值,从而有助于更好地认识薛定谔方程的重要意义，首先分析薛定谔方程在一维势场中的应用然后建立波函数最后建立薛定谔方程，还要说薛定愕方程的实验基础。 关键词:创造性思维; 特性;薛定谔方程。

目录 中文摘要 (1) 引言 (3) 1. 薛定谔方程的建立和创造性的思维 (4) 1.1问题提出 (4) 1.2发散思维 (4) 2. 薛定谔方程的建立 (4) 2.1．薛定谔方程的建立 (4) 2.2再造想象 (8) 3.一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 (8) 3.1一维运动自由粒子的薛定谔方程 (8) 3.2一维运动自由粒子的定态薛定谔方程 (9) 4.薛定谔方程的实验基础： (10) 5. 量子力学与经典物理的区别: (12) 5.1.关于运动状态的描述 (12) 5.2.关于状态量的解释 (12) 5.3.关于力学量的表达 (13) 结论 (14) 参考文献. (15) 致谢 (16)

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 （一）一维运动自由粒子的薛定谔方程 波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程． 将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程： ψ-=?ψ?)/iE (t 即ψ=?ψ?E t i （16.3.1） ψ=?ψ ?22)/ip (x 2 ψ=ψ ?-2222p ????? ?????<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v 方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程． 请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式?． 这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明． （二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程?? 上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即 〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4） 将此式代入（16.3.3）式得： 22 2dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -= 两边除以ψ=uf 得： 22 2dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -= 此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即 ? 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版. ? 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版. ? 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.

薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程 一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理 学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2 2 22222z y x ?? ????++=? 可化为d 0)(222=-+ψψ v E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ).()()((3) ) ,() ,() ( ,,(2) )() ,( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==????? =≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法 的值及确定常数ββα βα

薛定谔方程的建立

薛定谔方程的建立 1925年，薛定谔在苏黎世大学任教,并兼任大物理学家德拜的助手。薛定谔过去一直在致力于分子运动的统计力学方面的研究，所以很快注意到爱因斯坦于1925年2月德布罗意发表的关于理想气体量子理论的论文，并从中受到影响.薛定谔本人在1926年4月给爱因斯坦的一封信中曾谈起过：“如果不是您的第二篇关于气体简并的论文提示了我注意到德布罗意思想之重要性的话，恐怕我的整个事情都还未能开始呢。”德拜的回忆说,当初在慕尼黑大学时，曾由德拜、薛定谔等人一块儿组织过一些讨论，德布罗意的博士论文发表后，他们曾进行过讨论。由于难于理解，德拜就让薛定谔仔细钻研一下，然后给大家讲解。“正是这个准备过程使他进步了。作了报告后不过数月之久，他的正式论文就发表出来了.” 薛定谔建立的波动力学是从光学和力学的类比入手的;他发现,微观粒子的运动，用哈密顿动力学方程描述和用德布罗意波波阵面方程描述具有同样的形式,从而看出物质波的“几何光学"等同于经典力学。他把光学与力学进行类比：几何光学是波动光学的近似和简化，若经典力学等同于几何光学，则应该有一门波动力学等同于波动光学，它将如波动光学可以解释干涉衍射一样，用来解释原子领域的过程。他于是引进波函数，把粒子在力场中的运动，描绘成波动的过程，建立了有名的薛定谔方程。 薛定谔的论文正式发表于1926年3月，题目为“作为本征值问题的量子化”，这是他四篇系列论文中的第一篇。薛定谔利用哈密顿—雅可比（Hamilton －Jacobi ）微分方程，针对氢原子的具体情形，最后导出了一个一函数的本征值方程： 0)(2222=++?ψψr e E K m 这就是定态下的薛定谔方程.玻尔的氢原子能级作为方程中函数的本 征值自然而然地出现了。薛定谔方程的引入方式并不是唯一的，其正 确性只能由它所得出的结果是否正确来加以保证.事实证明，薛定谔 方程在低速微观领域是十分正确的。波动方程的建立标志了波动力学 的诞生。孤独的研究者，通过曲折的道路，终于达到了一个光辉的顶 点。 当波动力学出现的时候，玻恩正致力于自由粒子与原子间碰撞问 题的研究，他看出波动力学的描述方法更为便利，就采用了这种理论. 运用的结果使他认识到,波动力学并没有回答碰撞之后各粒子的状态 问题，而只是给出了碰撞后各种状态的可能性.这就促使他提出了波 函数的统计解释：“粒子的运动遵循着统计规律，而统计性则按因果 律在坐标中传播.”并把波函数的绝对值二次方解释为与粒子在单位 体积内出现的几率成比例，被称为玻恩对波函数的统计诠释。波函数所表示的波也常被称为几率波。 由于粒子肯定存在于空间中，因此，将波函数对整个空间积分，就得出粒子在空间各点出现几率之和，结果应等于1，即: ??==1),(),(2τ?τd t r c d t r p 可以用),(t r c ?代替),(t r ?作为波函数，那么波函数),(),(t r c t r ??≡'就满足条件： 图10-11为中年时的薛定谔

非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真

admin [非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真]——利用分步快速傅里叶变换对光纤中光信号的传输方程进行数值求解

1、非线性薛定谔方程 非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。 一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。 非线性薛定谔方程的基本形式为: 22||t xx iu u u u =+ 其中u 是未知的复值函数. 目前，采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的，这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(FastFourier Transform Algorithm)。基于MATLAB 科学计算软件以及MATLAB 强大的符号计算功能，完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。 一般情况下，光脉冲沿光纤传播时受到色散和非线性效应的共同作用，假设当传输距离 很小的时候，两者相互独立作用，那么，根据这种思想可建立如下分步傅立叶数值算法的数 学模型： 把待求解的非线性薛定谔方程写成以下形式: ??()U D N U z ?=+? （I ） （II ）

薛定谔方程及其解法

一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。 可化为 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法

二．边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 有限元方法 有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。 有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。