代数式恒等变形及答案.doc
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代数式恒等变形
A 卷
2
b
，a 、b 是常数，则（）
1、若 2 x
1 M a x
5x 6 x 2
x 3
A 、M 是一个二次多项式
B 、M 是一个一次多项式
C 、 M a b 6
D 、 a b M 10
答案： C
解答： 由已知等式得：
x 2 1 Mx 2
5M a b x
6M 2 2b
x 2
5x 6 x 2 5 x
6
∴ x 2
Mx 2 5M a b x 6M
2 2b
M
1
M
1
∴ 5M a b 0 ，解得： a 3 6M
3a 2b
1
b
8
提示： 利用待定系数法解决问题。
2、（2002 年重庆市初中竞赛题）若 x 2
19 4
1
（）
2
x 1 0 ，则 x
4
x
A 、 11
B 、 121
C 、 89
D 、
27
4 16 16
4
答案： C 解答： ∵ x 0
∴ x
1 19
， x 2
x 2
∴ x 4
1 x 21
x 4
x 2
1 11 2
x
4
2
89
2
16
1
1 2
提示： 本题的关键是利用 x 2
x
2 进行化简。
x 2
x
3、（2001 年全国初中数学竞赛）若
3
4
3
2
的值是（）
4x
x 1 ，则 8x
12x
2 x 5 x 5
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8
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答案： D
解答：∵4 x 3x 1
∴ 8x 412x3 2 x25x 5 2 x 4x 3x 3 4 x 3x 2 x 5 2x 3 2x 58
提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。
4、（全国竞赛题）如果 a b 2 a 1 4 b 2 3 c c ，则 a b c 的值是（）
35
2
A、6
B、8
C、20
D、24
答案： C
解答：∵ a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 c 5
2
∴ a 1 2 a 1 1 b 2 4 b 2 4 1 c 3 6 c 3 9 2 3 5 0
2
2 2
1
c 2
∴ a 1 1 b 2 2
2
3 3
∴ a 1 1 0 ， b 2 2 0 ， c 3 3 0
∴a 2 ， b 6 ， c 12
∴a b c 20
提示：本题利用添项构造完全平方式解决问题。
5 、（第1
6 届“希望杯”初二年级竞赛题）已知 a 是整数， x、 y 是方程x 2 xy ax ay 1 0 的整数解，则x y __________或.
答案： 1
解答：原方程可以变形为：x x y a x y 1
即 x y x a 1
∵a、x、y 都是整数
∴ x y 1 或x y 1
x a 1 x a 1
故 x
y 1
提示： 本题利用方程的解的特殊解决问题。
6、（2001 年全国初中竞赛“创新杯”广西赛区题）已知 x
3 2 ， y 3
2 ，
3
2
3
2
那么 x y
y 2
x 2 ____________ .
答案： 970
解答： 由题意得： xy
1 ， x
y
10
x 3 y 3
x y x 2
3xy
故原式
y
970
xy 2
xy 2
提示： 类似已知 x 、y 的值求关于 x 、y 代数式的问题，通常将 x 、y 的问题转化
为 x
y ， x y ， xy 来解决。
7、（2001 年河北省初中竞赛试题）已知
1 2
，那么
x
x 的
x
x 2
3x 1
x 2
9 x 1
x
值为 .
答案：
5
11
5
11
解答： ∵ x
1
2
x
∴
x
x
1
1 5 11
3 x 1
x
2
9 x 1
1
1 5 11
x
2
x
3
x
x
9
x
提示： 本题利用方程变形，然后整体代入解答。
8、（2000 年“五羊杯”竞赛题）已知 a
b b 2
c 3c a ，求 5a 6b
7c
的值。
2 3
4
8a 9b 解：令
a
b
b 2
c 3c a k ，则
2
3 4
a b 2k
， b
2c 3k ， 3c a 4k
解得： a
11
k ， b 21 k ， c 3 k
5 5
5
∴ 5a 6b 7c 10k 50
8a 9b 101 101
k
5
提示：本题关键是引入参数，将多个字母的问题转化为同参数有关，进而化简。
B 卷
9、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）x、y、m 均为正整数，且满足
3x 7 y 29，那么
m __________.
2 x 5 y m
答案： 20
解答：由已知3x 7 y 29 2 x 5 y
①
m
由①得： x 1 29 7y ③
3
将③代入②得： 2 29 7 y 5 y m ，即 m 58 14y 5y
3 3 3
∴ y 3m 58 0 ，即m 58
3
又由①得： y 1 29 3 x
7
代入②得： 2 x 5 29 3x m ，即 2 x 145 15 x m
7 7 7
∴ x 145 7m 145
0 ，即m
7
1 58 145
20 5
∴ 19 m
7 7
3 3
∵ m 是整数
∴m 20
提示：本题利用 m 是参数，解关于x、y 的方程，然后利用x 0 ，y0 建立关系m的不等式组求解。
10、设n为正整数，求证： 1 1 1 1
3 3 5 2n 1 2 n 1 2
1
证明： 1
3 3 1
2n
1
2n 1
1 5 1
提示：本题利用了 1 1 1 1 拆项化简求证。
2n 1 2n 1 2 2 n 1 2 n 1
11、已知 x
1 ，试求代数式
x
2 4 x x 2
的值。 a
2
a x 2
4 x x
解：∵ x
a
1 a 1
a
a
∴ a 1 0
把 x
a
1 两边同时平方得： x a 1
2
a a
∴ x 2
a 1
a
∴ x 2
4 x 4
a 2
1 2
2
a
1
2 ∴ x 2
4 x a 2
2
a
1
a 2
a
2
∴ x
2 4 x
a
1
a
1
a a
1 1 aa
原式
a
a
2a
a 2
a
1
1
2
a
a
a
a
1
1 2
提示： 本题利用 x 2
2 化简求值。
x 2
x
x
12、（2001 年全国初中联赛题）设 x
t
1 t
， y
t 1 t
， t 取何值时，代数
t
1
t
t
1
t
式 20x 2
41xy
20y 2 的值为 2001.
解：由题设知：
xy 1
t 1 t 1
2
又∵ x
1
t
t2t 1 2 t t 1
t
t
∴ x y 4t 2
∴ 20x 2
41 x y
20 y 2 20 x
y 2
xy 20 4t 2 2
1
由题意得： 20x 2 41 x y
20 y 2 2001 ，即 20 4t
2
21
解得： 1 2
， t 2
3 （舍去）
t
故当 t 2 时，代数式20x241xy 20 y2的值为2001.
提示：类似已知 x、y 的值求关于 x、y 代数式的问题，通常将 x、y 的问题转化为x y ， x y ， xy 来解决。
C 卷
3x 4 y 5
13、（2004年第九届华罗庚金杯赛）关于x、y 的方程组5x 6 y 9 有解，
n 8m x 8 y 10
5x 10m 2n y 9
求 m2 n 2的值。
解：把从上到下四个方程依次记做（1）、（2）、（3）、（4）
（1）× 2+（3）得：n 8m 6 x 0 ；（2）-（4）得： 6 10m 2n y 0
如果把 x 0 ， y 0 代入方程组，则（1）（2）不可能成立，故x、y均不为0.则只能有
n 8m 6 0 ，解得 m 9，
n 6
6 10m 2n 0 13 13
故 m
2 n 2 117 9
169 13
14、某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设别投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应
付的养护与维修费用为 1 元。
x 1 500
4
（1）如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费
用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数 x（天）的关系式；
解：设该设备投入使用x 天，每天的平均损耗为：
（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，
就应当报废。问该设备投入使用多少天应当报废？
500000
x 7 500000 x 7 7
解： y
8
499
2
8
499
999
x
8
x
8
8
当且仅当 500000
x
时，即 x 2000天时取等号
x
8
故这台这设备投入使用 2000 天应当报废。
注：在解本题时，可能要用到以下两个数学知识点（如果需要可以直接引用一
下结论：
①对于任意正整数 n ，下列等式一定成立：
1 2 3 4
n
n n 1 ；
2
②对于确定的正整数 a 、b 以及在正实数范围内取值的 x ，一定有
a
x 2 ax
2 a
x
b bx
b
成立；可以看出， 2 a
是一个常数，也就是说
y a
x
有最小值 2 a ，而且当
a x
时，
b
x
b b
x b
y 取得最小值。