2018年-2018年考研数学三试题及解析 精品
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为
(A)1. (B)2.
(C)3.
(D)无穷多个.
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则
(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，1
6b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，1
6b =.
（3）使不等式1sin ln x t
dt x t
>?成立的x 的范围是 (A)(0,1).
(B)(1,
)2π. (C)(,)2
π
π. (D)(,)π+∞.
（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
则函数()()0
x
F x f t dt =
?的图形为
(A) (B)
()
f x O 2
3
x
1
-2
-1
1
()
f x O 2 3
x
1 -
2 -1
1 1
()
f x -2
O 2 3
x
-1
1
(C)
(D)
（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分
块矩阵O A B O ?? ???
的伴随矩阵为
(A)**32O B A O ?? ???.
(B)**
23O
B A
O ??
???. (C)**32O A B
O ??
???.
(D)**
23O
A B
O ??
???
. （6）设,A P 均为3阶矩阵，T
P 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ?? ?= ? ???
，
若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则T
Q AQ 为
(A)210110002??
? ? ???.
(B)110120002??
?
? ???.
(C)200010002?? ? ? ???
.
(D)100020002?? ?
? ???
.
（7）设事件A 与事件B 互不相容，则 (A)()0P AB =.
(B)()()()P AB P A P B =.
(C)()1()P A P B =-.
(D)()1P A B ?=.
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为
1
{0}{1}2
P Y P Y ====
，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断()
f x O
2 3
x
1 -2
-1
1
()
f x O
2
3
x
1
-1
1
点个数为
(A) 0.
(B)1. (C)2. (D)3.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 3
2
0lim
11
x x e e x →-=+- .
（10）设()y x z x e =+，则
(1,0)
z
x ?=? . （11）幂级数2
1
(1)n n n
n e x n ∞
=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.
（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)T k β=，若矩阵T αβ相似于300000000??
?
? ???
，则k = .
(14) 设1X ，2X ,…,m X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2
S 分别
为样本均值和样本方差，记统计量2
T X S =-，则ET = .
三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）
求二元函数()
22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分） 计算不定积分1ln(1)x
dx x
++
?
(0)x >. （17）（本题满分10 分） 计算二重积分
()D
x y dxdy -??，其中2
2{(,)(1)
(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥.
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则
(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.
（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,
,(0)σσ>内可导，且
'0
lim ()x f x A +
→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=. （19）（本题满分10 分）
设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线
0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯
形面积值的t π倍，求该曲线的方程.
（20）（本题满分11 分） 设
111A=111042--?? ?- ? ?--??,1112ξ-??
?= ? ?-??
.
（Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分） 设二次型
2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.
（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值. （22）（本题满分11 分）
设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
0(,)0
x e y x f x y -?<<=?
?其他
（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ； （Ⅱ）求条件概率{}
11P X Y ≤≤. （23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求
以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（Ⅰ）求{}
10P X Z ==；
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题和解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）函数3
()sin x x f x x
π-=的可去间断点的个数为：（ ）
()A .
1
()B . 2 ()C .
3
()D .无穷多个
【答案】C 【解析】
()3
s i n x x f x x
π-=
则当x 取任何整数时，()f x 均无意义
故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是3
0x x -=的解
1,2,30,1x =±
320032113211131
lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ
ππππ
→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±
（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2
()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）
()A .1a =，16b =- ()B . 1a =，1
6b = ()C .1a =-，1
6b =-
()D .1a =-，16
b =
【答案】 A