高考立体几何解题方法与技巧

第三篇：立体几何题型与方法(向量法)

空间两个向量的夹角公式23

22

21

23

22

21

3

32211|

|||,cos b

b b a a a b a b a b a b a b

a b a ++?++++=??>=<

（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）。

②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.

b.法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.

c.向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②.异面直线间的距离

d =

12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分

别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).

③.利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.

二面角l αβ--的平面角cos

||||m n arc m n θ?=或cos ||||

m n

arc m n π?-（m ，

n 为平面α，β的法向量）

.

A

B

注意：夹角的范围及向量平行和垂直的条件！！

经典例题剖析

（2009）（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1

（Ⅰ）证明：AB=AC

（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

（2009）(19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD

，AD =，

2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=

（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点；

（Ⅱ）求二面角S AM B --的大小。（同理18）

（2010全国1）（20）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

A

C

B

A 1

B 1

C 1

D

E

（2011）（20）如图,四棱锥S-ABCD 中，AB //CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边

三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1

（1） 证明：SD ⊥平面SAB

（2） 求AB 与平面SBC 所成角的大小．

（2012）（19）（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，D 是棱AA 1的中点。

(Ｉ) 证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。

19．(2013课标全国Ⅰ，文19)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝

CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；

(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C

，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．

B 1

C B

A

D

C 1

A 1

（2013全国2）（18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，

D ，

E 分别是AB ，1BB 的

中点，

12

AA AC CB AB ===

。 （Ⅰ）证明：1//BC 平面11ACD ； （Ⅱ）求二面角1D AC E --的正弦值。

（2014文科，理科）18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设AP=1，AD=3,三棱锥P-ABD 的体积V=4

3

，求A 到平面PBD 的距离。

19．(2013山东，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB

⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．

(1)求证：CE ∥平面PAD ；

(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .