高中数学2015年全国课标卷理科第17题解析

高中数学2015年全国课标卷理科第17题解析

数列既是高中数学的重要内容，又是高等数学的基础，不仅涉及的基础知识、数学思想与方法量多、面广，而且和函数、方程、不等式、几何等知识联系紧密，以复杂多变、综合性强、解法灵活等特点成为高考的中高档题。纵观近几年高考数学试题, 每年都有涉及数列求和综合题,我们应立足教材和大纲要求,深刻理解数列定义、通项公式、前n 项和公式,熟悉数列求和的基本方法,借助化归转化、分类讨论等数学思想和方法,适应高考数列综合应用的要求。下面就以2015年全国课标卷理科第17题进行讲评。

高考题：

（2015年全国课标卷理科第17题)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2

n n a a +=

错误！未找到引用源。.

（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设错误！未找到引用源。 ,求数列错误！未找到引用源。}{n b 的前n 项和. 1.审题分析

本题考查的知识：等差数列通项公式的求法和裂项相消法求和。能力：第（1）问中求等差数列的通项公式主要考查推理论证能力，第（2）问中求和考查了求解能力和转化与化归思想方法的应用。首先利用n a 与n S 的关系

n a =n S 1--n S )2(≥n 推导出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，

利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；然后根据（Ⅰ）得到数列{n b }的通项公式，利用裂项相消法求数列}{n b 的前n 项和即可。 2.解题过程

试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3， 当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，

因为0n a >，所以1n n a a --=2，

所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =

1111

()(21)(23)22123

n n n n =-++++，

设数列{n b }前n 项和为n T ，则

=n T 12n b b b ++

+=1111111[()()(

)]235

57

2123n n -+-+

+-++ =11

646

n -

+. 评析：求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后从微观上明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性。数列问题对能力的要求比较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力。 3.总结提升：

新课程和高考命题强调能力立意，通过学生作答的过程来推测其运用学科知识发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的思维过程和思维品质，强调对知识的应用和知识迁移的考查。全国卷理科经常出现含n S 与n a 的关系式求数列通项，考查学生转化与化归、分类与整合的思想，对逻辑推理、运算求解能力有较高的要求，近几年高考加强了对数列推理能力的考查，应引起重视。如： 1.（2011年全国课标卷理科第17题）等比数列{}n a 的各项均为正数，且

212326231,9.

a a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??????

的前n 项和.

2.（2014年全国大纲卷理科18题）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，

2a 为整数，且4n S S ≤.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1

1

n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T . 4.数列求和类型归纳：

数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需一定的技巧。数列求和问题中要侧重对数列通项公式的分析、变形、处理、最后转化为我们所熟悉的求和类型，常见有以下四个类型： 类型1:可用分项重组法的数列模型，如若干个可求和特殊数列对应项相加，间隔交叉规律出现的数列.

类型2:可用裂项相消法的数列模型，如通项为分式结构，通项为根式结构，通项为阶乘结构.

类型3:可用倒序相加法的数列模型，如通项为对称结构，通项为组合结构，通项为三角结构.

类型4:可用错位相减法的数列模型，如整体为等差与等比对应项相乘，局部为等差与等比对应项相乘.

其中，特别要注意“裂项相消法”与“错位相减法”这两个全国卷较为常考的类型，复习时应加强训练.