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五年级奥数-第十讲.数论之余数问题.教师版

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第十讲:数论之余数问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了!”

余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨:

一、带余除法的定义及性质:

一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,

0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里:

(1)当0

r=时:我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商

(2)当0

r≠时:我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:

如图,这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,

现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后

共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是

余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理:

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等

于4,即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。

例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。

同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:

若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除

用式子表示为:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)

三、弃九法原理:

在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:

例如:检验算式1234189818922678967178902889923

++++=

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意:弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。

例如:检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的

但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往

往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理:

1.中国古代趣题:

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?”答曰:“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题:假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法:

对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:

今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?

题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。

先由5735

?=,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270

?=是否可以,很显然70除以3余1

类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算:

?+?+?±=-,其中k是从1开始的自然数。

270321245[3,5,7]233[3,5,7]

k k

也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,

那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23

?+?+?-?=得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128。

例题精讲:

【模块一:带余除法的定义和性质】

【例 1】 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a 去除1992,得到商是46,余数是r ,求a 和r .

【解析】 因为1992是a 的46倍还多r ,得到19924643......14÷=,得1992464314

=?+,所以43a =,14r =.

【巩固】 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数.

【解析】 (法1)因为 甲=乙1132?+,所以 甲+乙=乙1132?++乙=乙12321088?+=;

则乙(108832)1288 =-÷=,甲1088=-乙1000=.

(法2)将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做:从1088中减掉32以后,1056就应当是乙数的(111)+倍,所以得到乙数10561288=÷=,甲数1088881000=-=.

【巩固】 一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。

【解析】 本题为余数问题的基础题型,需要学生明白一个重要知识点,就是把余数问题---即“不整除问

题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数;或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273,说明273是所求余数的倍数,而273=3×7×13,所求的两位数约数还要满足比37大,符合条件的有39,91.

【例 2】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、

除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少?

【解析】 被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113,所以被除数+除数=2083,由于被除数是

除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得:除数=(2083-13)÷(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968.

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求

这2个自然数各是多少?

【解析】 本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y ,可以得到

40164016933x y x y =+??+++=?,解方程组得85621x y =??=?

,即这两个自然数分别是856,21.

【例 3】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以

19,23,31所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是_______,_______,_______。

【解析】 设所得的商为a ,除数为b .(19)(23)(31)2001a b a b a b +++++=,7332001a b +=,由19b <,

可求得27a =,10b =.所以,这三个数分别是19523a b +=,23631a b +=,31847a b +=。

【巩固】 (2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等

的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________.

【解析】 设这个自然数除以11余a (011)a ≤<,除以9余b (09)b ≤<,则有1193a a b b +=?+,即37a b =,

只有7a =,3b =,所以这个自然数为84712=?。

【例 4】 (1997年我爱数学少年数学夏令营试题)有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5

人.如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余;每人5本,书不够.如果把书全分给

第二组,那么每人3本,有剩余;每人4本,书不够.问:第二组有多少人?

【解析】 由48412÷=,4859.6÷=知,一组是10或11人.同理可知48316÷=,48412÷=知,二组是

13、14或15人,因为二组比一组多5人,所以二组只能是15人,一组10人.

【巩固】 一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数.

【解析】 因为一个两位数除以13的商是6,所以这个两位数一定大于13678?=,并且小于13(61)91?+=;

又因为这个两位数除以11余6,而78除以11余1,这个两位数为78583+=.

【模块二:三大余数定理的应用】

【例 5】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.

【解析】 这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据

同余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.1014556-=,594514-=,(56,14)14=,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14。

【巩固】 有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.

【解析】 (法1) 39336-=,1473144-=,(36,144)12=,12的约数是1,2,3,4,6,12,因为余数为3要小

于除数,这个数是4,6,12;

(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.513912-=,14739108-=,(12,108)12=,所以这个数是4,6,12.

【巩固】 在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

【解析】 我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次.

1~198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,

而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数.

【巩固】 (2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于

它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?

【解析】 设这个三位数为s ,它除以17和19的商分别为a 和b ,余数分别为m 和n ,则1719s a m b n =+=+.

根据题意可知a m b n +=+,所以()()s a m s b n -+=-+,即1618a b =,得89a b =.所以a 是9的倍数,b 是8的倍数.此时,由a m b n +=+知8

1

99n m a b a a a -=-=-=.

由于s 为三位数,最小为100,最大为999,所以10017999a m ≤+≤,而116m ≤≤,

所以17117999a a m +≤+≤,100171716a m a ≤+≤+,得到558a ≤≤,而a 是9的倍数,所以a 最小为9,最大为54.

当54a =时,169n m a -=

=,而18n ≤,所以12m ≤,故此时s 最大为175412930?+=; 当9a =时,1

19n m a -==,由于1m ≥,所以此时s 最小为1791154

?+=. 所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154.

【例 6】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1,并且a b >,求ab ba ?.

【解析】 ab ba -能被7整除,即(10)10)9a b b a a b +-+=?-(()

能被7整除.所以只能有7a b -=,那么ab 可能为92和81,验算可得当92ab =时,29 ba =满足题目要求,92292668ab ba ?=?=

【巩固】 学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,

那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?

【解析】 所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为1186751-=和673334-=

的公约数,所求答案为17.

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数

是_________.

【解析】 因为3921351113903=-, 6861390314589=-,

由于13511,13903,14589要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除.98)686,392(=,所以所求的最大整数是98.

【例 7】 (2003年南京市少年数学智力冬令营试题) 20032与22003的和除以7的余数是________.

【解析】 找规律.用7除2,22,32,42,52,62,…的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2

的个数是3的倍数时,用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2;2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4.因为20033667222?+=,所以20032除以7余4.又两个数的积除以7的余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以22003除以7余1.故20032与22003的和除以7的余数是415+=.

【巩固】 (2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数

的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有______组.

【解析】 1995,1998,2000,2001,2003除以9的余数依次是6,0,2,3,5.

因为252507+=++=,25360253679+++=++++=+,

所以这样的数组共有下面4个:()2003,2000,()2003,2000,1998 ,

()1995,2001,2003,2000 ,()1995,2001,2003,2000,1998.

【例 8】 (2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数

之和是50,那么这个整数是______.

【解析】 (70110160)50290++-=,50316......2÷=,除数应当是290的大于17小于70的约数,只可能

是29和58,11058 1......52÷=,5052>,所以除数不是58.

7029 2......12÷=,11029 3......23÷=,16029 5......15÷=,50152312=++,所以除数是29

【巩固】 (2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除63,91,129得到的三个余数之和为

25,那么n=________

【解析】 n 能整除258251299163=-++.因为2538...1÷=,所以n 是258大于8的约数.显然,n

能大于63.符合条件的只有43.

【巩固】 号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码

的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】 本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101,126,173,193除以3的余数分别为2,0,2,

1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。

【例 9】 (2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、

26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够,

但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这

种《成语大词典》的定价是________元.

【解析】 六名小学生共带钱133元.133除以3余1,因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本,所以

他们五人带的钱数是3的倍数,另一人带的钱除以3余1.易知,这个钱数只能是37元,所以每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332++++÷= (元) .

【巩固】 (2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,

两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克.

【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数.

(151618192031)(12)119339...2+++++÷+=÷=,

剩下的一箱货物重量除以3应当余2,只能是20 千克.

【例 10】 求2461135604711??÷的余数.

【解析】 因为246111223...8÷=,1351112...3÷=,604711549...8÷=,根据同余定理(三),

2461135604711??÷的余数等于83811??÷的余数,而838192??=,

1921117...5÷=,所以2461135604711??÷的余数为5.

【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351??除以17的余数.

【解析】 先求出乘积再求余数,计算量较大.可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除

以17的余数.478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2711)179......1??÷=.

【巩固】 求19973的最后两位数.

【解析】 即考虑19973除以100的余数.由于100425=?,由于3327=除以25余2,所以93除以25余8,

103除以25余24,那么203除以25余1;又因为23除以4余1,则203除以4余1;即2031-能被4 和25整除,而4与25互质,所以2031-能被100整除,即203除以100余1,由于

1997209917=?+,所以19973除以100的余数即等于173除以100的余数,而63729=除以100余29,53243=除以100余43,176253(3)3=?,所以173除以100的余数等于292943??除以100的余数,而29294336163??=除以100余63,所以19973除以100余63,即19973的最后两位数为63.

【巩固】

"

2"20002222个除以13所得余数是_____. 【解析】 我们发现222222整除13,2000÷6余2,所以答案为22÷13余9。

【巩固】 求89143除以7的余数.

【解析】 法一:

由于()1433mod 7≡ (143被7除余3),

所以()89891433m od 7≡ (89143被7除所得余数与893被7除所得余数相等)

而63729=,()7291mod 7≡(729除以7的余数为1),

所以()8966655143333335mod 7≡????≡≡

. 故89143除以7的余数为5.

法二:

计算893被7除所得的余数可以用找规律的方法,规律如下表:

于是余数以6为周期变化.所以()895335m od 7≡≡.

【巩固】 (2007年实验中学考题)222212320012002+++++ 除以7的余数是多少?

【解析】 由于22222200220034005

123200120021001200313356??+++++==?? ,

而1001是7的倍数,所以这个乘积也是7的倍数,故2222212320012002+++++ 除以7的余数是0;

【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少?

【解析】 31被13除所得的余数为5,当n 取1,2,3, 时5n 被13除所得余数分别是5,12,8,1,5,

12,8,1 以4为周期循环出现,所以305被13除的余数与25被13除的余数相同,余12,则3031除以13的余数为12;

30被13除所得的余数是4,当n 取1,2,3, 时,4n 被13除所得的余数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10, 以6为周期循环出现,所以314被13除所得的余数等于14被13除所得的余数,即4,故3130除以13的余数为4;

所以()30313130+被13除所得的余数是124133+-=.

【巩固】 (2008年奥数网杯)已知20082008

200820082008a = 个,问:a 除以13所得的余数是多少?

【解析】 2008除以13余6,10000除以13余3,注意到200820082008100002008=?+;

20082008200820082008100002008=?+;

2008200820082008200820082008100002008=?+;

根据这样的递推规律求出余数的变化规律:

20082008除以13余6361311?+-=,200820082008除以13余1136390?+-=,即200820082008是13的倍数.

而2008除以3余1,所以20082008

200820082008a = 个除以13的余数与2008除以13的余数相同,为6.

【巩固】 19967

77777???

个除以41的余数是多少? 【解析】 找规律:7417÷=???□,774136÷=???□,7774139÷=???□,77774128÷=???□,

77777410÷=???□,……,所以77777是41的倍数,而199653991÷= ,所以19967

77777???

个可以分成399段77777和1个7组成,那么它除以41的余数为7.

【巩固】 1234200512342005

+++++ 除以10所得的余数为多少? 【解析】 求结果除以10的余数即求其个位数字.从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,

而对一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组,则不同组中对应的个位数字应该是一样的.

首先计算123420123420+++++ 的个位数字,

为1476563690163656749094+++++++++++++++++++=的个位数字,为4,

由于2005个加数共可分成100组另5个数,100组的个位数字和是4100400?=的个位数即0,另外5个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005,它们和的个位数字是1476523++++=的个位数 3,所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3.

【例 11】 求所有的质数P ,使得241p +与261p +也是质数.

【解析】 如果5p =,则241101p +=,261151p +=都是质数,所以5符合题意.如果P 不等于5,那么P

除以5的余数为1、2、3或者4,2p 除以5的余数即等于21、22、23或者24除以5的余数,即1、4、9或者16除以5的余数,只有1和4两种情况.如果2p 除以5的余数为1,那么241p +除

以5的余数等于4115?+=除以5的余数,为0,即此时241p +被5整除,而241p +大于5,所以此时241p +不是质数;如果2p 除以5的余数为4,同理可知261p +不是质数,所以P 不等于5,241p +与2

61p +至少有一个不是质数,所以只有5p =满足条件.

【巩固】 在图表的第二行中,恰好填上8998~这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所

得的余数都是3.

【解析】 因为两个数的乘积除以11的余数,等于两个数分别除以11的余数之积.因此原题中的8998~

可以改换为110~,这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了.我们得到下面的结果:

进而得到本题的答案是:

【巩固】 (2000年“华杯赛”试题)3个三位数乘积的算式234235286abc bca cab ??= (其中a b c >>), 在

校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的abc 是多少? 【解析】 由于2342352862342352868(mod 9)≡++++++++≡,3()(m od 9)abc bca cab a b c ??≡++,

于是3()8(mod 9)a b c ++≡,从而(用0,1,2,...,8(mod 9)a b c ++≡代入上式检验)

2,5,8(mod 9)a b c ++≡…(1),对a 进行讨论:

如果9a =,那么2,5,8(mod 9)b c +≡…(2),又c a b ??的个位数字是6,所以b c ?的个位数字为4,b c ?可能为41?、72?、83?、64?,其中只有(,)(4,1),(8,3)b c =符合(2),经检验只有983839398328245326??= 符合题意. 如果8a =,那么3,6,0(mod 9)b c +≡…(3),又b c ?的个位数字为2或7,则b c ?可能为21?、

43?、62?、76?、71?,其中只有(,)(2,1)b c =符合(3),经检验,821abc =不合题意.

如果7a =,那么4,7,1(mod 9)b c +≡…(4),则b c ?可能为42?、63?,其中没有符合(4)的(,)b c . 如果6a ≤,那么5b ≤,4c ≤,700600500210000000222334586abc bca cab ??

<,因此这时abc 不可能符合题意.综上所述,983abc =是本题唯一的解.

【例 12】 一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为a ,2a +,5a +,则这个自然数是多少?

【解析】 根据题意可知,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数(都为a ).

既然余数相同,我们可以利用余数定理,可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0.那么这个自然数是29023357-=的约数,又是23319538-=的约数,因此就是57和38的公约数,因为57和38的公约数只有19和1,而这个数大于1,所以这个自然数是19.

【巩固】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余

数,则这个自然数是多少?

【解析】 这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254+=后所得的余

数,所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同,因此这个自然数是25422034-=的约数,又大于10,这个自然数只能是17或者是34.如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件;如果这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件,所以这个自然数是17.

【例 13】 甲、乙、丙三数分别为603,939,393.某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍,A

除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍.求A 等于多少?

【解析】 根据题意,这三个数除以A 都有余数,则可以用带余除法的形式将它们表示出来:

11603A K r ÷= 22939A K r ÷= 33393A K r ÷=

由于122r r =,232r r =,要消去余数1r , 2r , 3r ,我们只能先把余数处理成相同的,再两数相减.

这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍,同理,第三个式子乘以4.

于是我们可以得到下面的式子:11603A K r ÷= ()22939222A K r ?÷=

()33393424A K r ?÷= 这样余数就处理成相同的.

最后两两相减消去余数,意味着能被A 整除. 93926031275?-=,3934603969?-=,()1275,96951317==?.

51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足,检验17和51可知17满足,所以A 等于17.

【巩固】 一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a +、2a 、a ,求这个自然数和a 的值.

【解析】 将这些数转化成被该自然数除后余数为2a 的数:()42952848-?=,791、50021000?=,这样

这些数被这个自然数除所得的余数都是2a ,故同余.

将这三个数相减,得到84879157-=、1000848152-=,所求的自然数一定是57和152的公约数,而()57,15219=,所以这个自然数是19的约数,显然1是不符合条件的,那么只能是19.经过验证,当这个自然数是19时,除429、791、500所得的余数分别为11、12、6,6a =时成立,所

以这个自然数是19,6a =.

【模块三:余数综合应用】

【例 14】 著名的裴波那契数列是这样的:1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以

3所得的余数为多少?

【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和,由此可以根据余数

定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列:

1、1、

2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……

第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续,所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现,由于2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数,为0.

【巩固】 (2009年走美初赛六年级)有一串数:1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是

前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数?

【解析】 由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数.

所以这串数除以5的余数分别为:1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……可以发现这串余数中,每20个数为一个循环,且一个循环中,每5个数中第五个数是5的倍数.由于200954014÷= ,所以前2009个数中,有401个是5的倍数.

【例 15】 (圣彼得堡数学奥林匹克试题)托玛想了一个正整数,并且求出了它分别除以3、6和9的余数.现

知这三余数的和是15.试求该数除以18的余数.

【解析】 除以3、6和9的余数分别不超过2,5,8,所以这三个余数的和永远不超过15852=++,

既然它们的和等于15,所以这三个余数分别就是2,5,8.所以该数加1后能被3,6,9整除,而[3,6,9]18=,设该数为a ,则181a m =-,即18(1)17a m =-+(m 为非零自然数),所以它除以18的余数只能为17.

【巩固】 (2005年香港圣公会小学数学奥林匹克试题)一个家庭,有父、母、兄、妹四人,他们任意三人

的岁数之和都是3的整数倍,每人的岁数都是一个质数,四人岁数之和是100,父亲岁数最大,问:母亲是多少岁?

【解析】 从任意三人岁数之和是3的倍数,100除以3余1,就知四个岁数都是31k +型的数,又是质数.只

有7,13,19,31,37,43,就容易看出:父43岁,母37岁,兄13岁,妹7岁.

那样,从A 孔出发沿着逆时针方向,每隔几孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A 孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B 孔.他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B 孔.最后他每隔6孔跳一步,正好跳回到A 孔,你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?

【解析】 设想圆圈上的孔已按下面方式编了号:A 孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号

为2,3,4,…,B 孔的编号就是圆圈上的孔数.

我们先看每隔2孔跳一步时,小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1,4,7,10,…上,也就是说,

小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1.按题意,小明最后跳到B 孔,因此总孔数是3的倍数加1.

同样道理,每隔4孔跳一步最后跳到B 孔,就意味着总孔数是5的倍数加1;而每隔6孔跳一步最后跳回到A 孔,就意味着总孔数是7的倍数.

如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数,因而是15的倍数.这个15的倍数加上1 就等于孔数,设孔数为a ,则151a m =+(m 为非零自然数)而且a 能被7整除.注意15被7除余1,所以156?被7除余6,15的6倍加1正好被7整除.我们还可以看出,15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除,而157105?=已经大于100.7以上的倍数都不必考虑,因此,总孔数只能是156191?+=.

【巩固】 (1997年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111213......依次写到第1997个数字,组成一

个1997位数,那么此数除以9的余数是 ________.

【解析】 本题第一步是要求出第1997个数字是什么,再对数字求和.

19~共有9个数字,1099~共有90个两位数,共有数字:902180?= (个), 100999~共900个三位数,共有数字:90032700?= (个),所以数连续写,不会写到999,从100开始是3位数,每三个数字表示一个数,(19979180)3602......2--÷=,即有602个三位数,第603个三位数只写了它的百位和十位.从100开始的第602个三位数是701,第603个三位数是9,其中2未写出来.因为连续9个自然数之和能被9整除,所以排列起来的9个自然数也能被9整除,702个数能分成的组数是:702978÷= (组),依次排列后,它仍然能被9整除,但702中2未写出来,所以余数为9-27 =.

【例 17】 设21n +是质数,证明:21,22,…,2n 被21n +除所得的余数各不相同.

【解析】 假设有两个数a 、b ,(1b a n ≤<≤),它们的平方2a ,2b 被21n +除余数相同.那么,由

同余定理得220(mod(21))a b n -≡+,即()()0(mod(21))a b a b n -+≡+,由于21n +是质数,所以

0(mod(21))a b n +≡+或0(mod(21))a b n -≡+,

由于a b +,a b -均小于21n +且大于0,可知,a b +与21n +互质,a b -也与21n +互质,即a b +,a b -都不能被21n +整除,产生矛盾,所以假设不成立,原题得证.

【巩固】 试求不大于100,且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和.

【解析】 通过逐次计算,可以求出3n 被11除的余数,

依次为:13为3,23为9,33为5,43为4,53为1,…,

因而3n 被11除的余数5个构成一个周期:3,9,5,4,1,3,9,5,4,1,……;类似地,

可以求出7n 被11除的余数10个构成一个周期:7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,……;

于是374n n ++被11除的余数也是10个构成一个周期:3,7,0,0,4,0,8,7,5,6,……; 这就表明,每一个周期中,只有第3、4、6个这三个数满足题意,

即3,4,6,13,14,16,......,93,94,96n =时374n n ++能被11整除,所以,

所有满足条件的自然数n 的和为:

346131416...9394961343...2831480+++++++++=+++=.

【巩固】 若a 为自然数,证明2005194910()a a -.

【解析】 1025=?,由于2005a 与1949a 的奇偶性相同,所以200519492()a a -.

20051949194956(1)a a a a -=-,如果a 能被5整除,那么1949565(1)a a -;如果a 不能被5整除,那么a 被5除的余数为1、2、3或者4,4a 被5除的余数为41、42、43、44被5除的余数,即为1、16、81、256被5除的余数,而这四个数除以5均余1,所以不管a 为多少,4a 被5除的余数为1,而56414()a a =,即14个4a 相乘,所以56a 除以5均余1,则561a -能被5整除,有1949565(1)a a -.所以200519495()a a -.

由于2与5互质,所以2005194910()a a -.

【例 18】 设n 为正整数,2004n k =,k 被7除余数为2,k 被11除余数为3,求n 的最小值.

【解析】 2004被7除余数为2,被11除余数也为2,所以2n 被7除余数为2,被11除余数为3.

由于122=被7除余2,而328=被7除余1,所以n 除以3的余数为1;

由于82256=被11除余3,1021024=被11除余1,所以n 除以10的余数为8.

可见2n +是3和10的公倍数,最小为[]3,1030=,所以n 的最小值为28.

【巩固】 有三个连续自然数,其中最小的能被15整除,中间的能被17整除,最大的能被19整除,请写

出一组这样的三个连续自然数.

【解析】 设三个连续自然数中最小的一个为n ,则其余两个自然数分别为1n +,2n +.

依题意可知:15|n ,()17|1n +,()19|2n +,根据整除的性质对这三个算式进行变换:

()()()()()()()()15|15|215|21517|117|2217|215[15,17,19]|21519|219|2419|215n n

n n n n n n n n →→-?

?+→+→-?-??+→+→-?

从上面可以发现215n -应为15、17、19的公倍数.

由于[15,17,19]4845=,所以()215484521n k -=- (因为215n -是奇数),可得48452415n k =-. 当1k =时2430n =,12431n +=,22432n +=,所以其中的一组自然数为2430、2431、2432.

【例 19】 (2008年西城实验考题)从1,2,3,……,n 中,任取57个数,使这57个数必有两个数的差

为13,则n 的最大值为多少?

【解析】 被13除的同余序列当中,如余1的同余序列,1、14、27、40、53、66……,其中只要取到两个

相邻的,这两个数的差为13;如果没有两个相邻的数,则没有两个数的差为13,不同的同余序列当中不可能有两个数的差为13,对于任意一条长度为x 的序列,都最多能取2x x ??-????

个数,使

得取出的数中没有两个数的差为13,即从第1个数起隔1个取1个.

基于以上,n 个数分成13个序列,每条序列的长度为13n ??????或113n ??+????,两个长度差为1的序列,

要使取出的数中没有两个数的差为13,能够被取得的数的个数之差也不会超过1,所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13,则这57个数被分配在13条序列中,在每条序列被分配的数的个数差不会超过1,那么13个序列有8个序列分配了4个数,5个序列分配了5个数,则这13个序列中8个长度为8,5个长度为9,那么当n 最小为8895109?+?=时,可以取出57个数,其中任两个数的差不为13,所以要使任取57个数必有两个数的差为13,那么n 的最大值为108.

【巩固】 从1,2,3,4,…,2007中取N 个不同的数,取出的数中任意三个的和能被15整除.N 最大为

多少?

【解析】 取出的N 个不同的数中,任意三个的和能被15整除,则其中任意两个数除以15的余数相同,且

这个余数的3倍能被15整除,所以这个余数只能是0,5或者10.在12007 中,除以15的余

数为0的有151?,152?,…,15133?,共有133个;除以15的余数为5的有1505?+,1515?+,…,

151335?+,共有134个;除以15的余数为10的有15010?+,15110?+,…,1513310?+,共有134个.所以N 最大为134.

【例 20】 将自然数1,2,3,4……依次写下去,若最终写到2000,成为12319992000 ,那么这个自然

数除以99余几?

【解析】由于99911

=?,可以分别求这个数除以9和11的余数,进而求出它除以99的余数.实际上求得这个数除以9和11的余数均为3,所以这个数减去3后是9和11的倍数,那么也是99的倍数,所以这个数除以99的余数为3.

下面介绍另一种解法.

由于10099

=+,所以100a除以99的余数等于a除以99的余数.同样,10000a,1000000a……

a a a

等数除以99的余数等于a除以99的余数.可知,一个自然数a,如果在它后面加上偶数个0,那么这个数除以99的余数等于a除以99的余数.

根据这一点,可以把12319992000

分成若干个后面带有偶数个0的数之和.

由于12319992000

的一位数1,2,3, (9)

的位数是奇数,那么对于组成12319992000

可以分成10000

,890000

,230000

,670000

,450000

对于其中的两位数10,11,12,……,98,99,可以分成100000

,……,

,110000

,120000

980000

,990000

对于其中的三位数100,101,102,103,……,998,999,两两一组,可以分成1001010000

,……,9989990000

,1041050000

1021030000

对于其中的四位数1000,1001,……,1999,2000,可以分成10000000

,10010000 ,……,19990000,2000.

10020000

那么上面分成的所有数中,虽然每个数后面的0的个数互不相同,但都是偶数个,且它们的和恰好为12319992000

除以99的余数就等于分成的这些数除以99的余数的和. ,那么12319992000

由于这些数除以99的余数分别为1,23,45,67,89;10,11,12,……,98,99;100101,102103,104105,……,998999;1000,1001,……,1999,2000,而其中100101,102103,104105,……,998999是公差为2002的等差数列,共450项,可知所有这些余数的和为:

()()()

+++++++++++++

12345678910111299100101102103998999

()

100010012000

++++

()()()

=++?÷++?÷++?÷

225109990210010199899945021000200010012

=+++

22549052472975001501500

=,

248804130

而248804130除以99的余数等于248804130201

++++=除以99的余数,为3.所以12319992000

除以99的余数为3.

【巩固】将1至2008这2008个自然数,按从小到大的次序依次写出,得一个多位数:

12345678910111213 20072008,试求这个多位数除以9的余数.

【解析】 以19992000这个八位数为例,它被9除的余数等于()19992000+++++++被9除的余数,但

是由于1999与()1999+++被9除的余数相同,2000与()2000+++被9除的余数相同,所以19992000就与()19992000+被9除的余数相同.

由此可得,从1开始的自然数12345678910111213 20072008被9除的余数与前2008个自然数之和除以9的余数相同.

根据等差数列求和公式,这个和为:()120082008

20170362+?=,它被9除的余数为1.

另外还可以利用连续9个自然数之和必能被9整除这个性质,将原多位数分成123456789,101112131415161718,……,199920002001200220032004200520062007,2008等数,可见它被9除的余数与2008被9除的余数相同.

因此,此数被9除的余数为1.

【例 21】 (2008年清华附中考题)已知n 是正整数,规定!12n n =??? ,

令1!12!23!32007!2007m =?+?+?++? ,则整数m 除以2008的余数为多少?

【解析】

1!12!23!32007!2007m =?+?+?++? 1!212!313!412007!20081=?-+?-+?-++?- ()()()()

2!1!3!2!4!3!2008!2007!=-+-+-++-

2008!1=-

2008能够整除2008!,所以2008!1-的余数是2007.

【巩固】

1351991???? 的末三位数是多少? 【解析】 首先,仅考虑后三位数字,所求的数目相当于135991???? 的平方再乘以993995997999

???的末三位.

而993995997999993999995997???=???

()()()()99300099399500099539930009939950002985=-?-?=-?-,

其末三位为715105?=;

然后来看前者.它是一个奇数的平方,设其为()25k (k 为奇数),

由于()()22252525251k k k ==+-,而奇数的平方除以8余1,所以21k -是8的倍数,则()2251k -是200的倍数,设()2251200k m -=,则()()2

252525125200k k m =+-=+,所以它与105的乘积()()2510525200105210002625k m m ?=+?=+,

所以不论m 的值是多少,所求的末三位都是625.

【例 22】 有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,

第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和。

【解析】 本题条件仅给出了两个乘数的数字之和,同时发现乘积的一部分已经给出,即乘积的一部分数字

之和已经给出,我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数。因为这是一个一定正确的算式,所以一定可以满足弃九法的条件,两个三位数除以9的余数分别为1和8,所以等式一边除以9的余数为8,那么□1031除以9的余数也必须为8,□只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积,

即31031311001143217=?=?

所以两个三位数是143和217,那么两个三位数的和是360

【例 23】 设20092009的各位数字之和为A ,A 的各位数字之和为B ,B 的各位数字之和为C ,C 的各位

数字之和为D ,那么D =?

【解析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同,所以20092009与A 、B 、C 、D

除以9都同余,而2009除以9的余数为2,则20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同,而6264=除以9的余数为1,所以()

334200963345652222?+==?除以9的余数为52除以9的余数,

即为5.

另一方面,由于20092009803620091000010<=,所以20092009的位数不超过8036位,那么它的各位数字之和不超过9803672324?=,即72324A ≤;那么A 的各位数字之和9545B

课后练习:

练习1. (2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除,商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和

于415,则被除数是_______.

【解析】 因为被除数减去8后是除数的4倍,所以根据和倍问题可知,除数为

7914884415=+÷---)()(,所以,被除数为3248479=+?。

练习2. 已知2008被一些自然数去除,所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个?

【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目。由题意所求的自然数一定是2008-10即1998的约数,同时还要满足大于10这个条件。这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数,

3

19982337

=??,共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数,其中1,2,3,6,9是比10小的约数,所以符合题目条件的自然数共有11个。

练习3.(全国小学数学奥林匹克试题)六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,

甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍,则丙手中卡片上的数是________.(第五届小数报数学竞赛初赛)

【解析】根据“甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的2倍”可知,甲、乙手中五张卡片上的数之和应是3的倍数.

计算这六个数的总和是11931258184218661912249410565

+++++=,10565除以3余2;因为甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是3的倍数,那么丙手中的卡片上的数除以3余2.六个数中只有1193除以3余2,故丙手中卡片上的数为1193.

练习4.求12

644319

÷的余数

【解析】本题为余数乘法定理的拓展模式,即数字的乘方与一个数相除的余数情况。由6443÷19余2,求原式的余数只要求12

219

÷的余数即可。但是如果用2÷19发现会进入一个死循环,因为这时被除数比除数小了,所以可以进行适当的调整,1266

=?=?,

2226464

64÷19余数为7,那么求12

?÷的余数,即49÷19的余数。

÷的余数就转化为求646419

219

49÷19余数为11,所以原式12

÷的余数为11.

644319

练习5.已知60,154,200被某自然数除所得的余数分别是1

a-,求该自然数的值.

a-,2a,31

【解析】根据题意可知,自然数61,154,201被该数除所得余数分别是a,2a,3a.

由于2a a a

=?,所以611549394

a a a

=?,所以自然数2

613721

=与154同余;由于32

?=与201同余,所以除数是37211543567

-=的公约数,运用辗转相除法可得到

-=和93942019193

=,该除数为29.经检验成立.

(3567,9193)29

练习6.(香港圣公会小学数学奥林匹克试题)有三所学校,高中A校比B校多10人,B校比C校多10人.三校共有高中生2196人.有一所学校初中人数是高中人数的2倍;有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍;还有一所学校高中、初中人数相等.三所学校总人数是5480人,那么A 校总人数是________人.

【解析】三所学校的高中生分别是:A校742人,B校732人,C校722人.如果A校或C校初中人数是高中人数的1.5倍,该校总人数是奇数,而按照给出条件得出其他两校总人数都是偶数,与三校总人数5480是偶数矛盾,因此只能是B校的初中人数是高中人数的1.5倍.三校初中的总人数是548021963284

-=,被3除余2;732被3整除,722被3除余2,742被3除余1.从余数来

五年级下册数学讲义-奥数思维训练:5余数问题(无答案)全国通用

5、余数问题 知识讲解 一、消去余数 1、出示例1:把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。 蛋糕230块面包345个 蛋糕分到最后余2块,面包分到最后还多3个,这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人? 这是一道求除数的问题,设除数a。 已知:230÷a=() (2) 345÷a=() (3) 如果消去余数,就转化为整除问题。 230-2=228,345-3=342。228,342分别能被a整除,a最大是几呢? (228,342)==114,最多可以分给114位老人。 如果这个敬老院的老人在50~60人之间,你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗? 2、写出除数和余数相同,被除数不同的出发算式。 ()÷5=4...2 ()÷8=() (5) ()÷5=7...2 ()÷8=() (5) ()÷5=12...2 ()÷8=() (5) ()÷12=()...7 ()÷23=() (12) ()÷12=()...7 ()÷23=() (12) (1)说说你的发现。 22÷5=4…2 22-2=5×4 37÷5=7…2 37-2=5×7 62÷5=12…2 62-2=5×12

219÷23=9…12 357-12=23×9 357÷23=15…12 357-12=23×15 被除数和余数的差是除数的倍数。 37-22=5×3 357-219=138 62-22=5×8 138÷23=6 62-37=5×5 如果两个等式除数和余数相同,被除数之间的差是除数的倍数。 (2)你能再举一些这样的例子吗? A:被除数分别是43和75,余数都是3,除数是多少? B:被除数分别是75、51和111,余数相同,除数是多少? 问题A:因为被除数与余数的差是除数的倍数,因此除数必定是(43-3)和(75-3)的公因数。(40,72)=8,其他的因数还有1,2,4。1,2比余数3小,不可能是除数,因此除数是4或8。 问题B:因为被除数之间的差是除数的倍数,因此除数必定是(75-51),(111-51)的公因数。(24,36,60)=12,其他公因数还有2,3,4,6。 75÷2=37…1,51÷2=25…1,111÷2=55…1。如果除数都是2,那么余数是1。 75÷3=25,51÷3=17,111÷3=37。如果都是3,那么余数是0。 75÷4=18…3,51÷4=12…3,111÷4=27…3, 75÷6=12…3,51÷6=8…3,111÷6=18…3。 如果除数都是4或6,那么余数是3。 3、巩固练习: (1)、用一个数去除47,61,75,结果都余5。这个数是几? (2)、用一个数去除193余4,除1087则余7。这个数是几? (3)、69,90,125被一个数n除时,余数相同,试求n的最大值。

小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题,起因于除法算式:被除数÷除数=商……余数 1.能整除:整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等; 2.不能整除:余数,余数的性质与计算(余数),同余问题(除数),物不知数问题(被除数)。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 (1)定义: 定义1:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。 定义2:如果非零自然数a、b、c之间存在a×b=c,或者c÷a=b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。 注意:倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。(a、b是因数,c是倍数) 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 (2)一个数的因数的特点: ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数; ②最大的因数是它本身,第二大的因数是:原数÷第二小的因数 (3)完全平方数的因数特征: ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次; ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完 全平方数的个数是54个。(312=961,442=1936,542=2916) 2、数的整除(数的倍数) (1)定义: 定义1:一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b=c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。 定义2:如果一个整数a,除以一个整数b(b≠0),得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。(a≥b) (2)整除的性质: 如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 (3)一些常见数的整除特征(倍数特征): ①末位判别法 2、5的倍数特征:末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征:末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征:末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法(从右开始截) 9(及其因数3)的倍数特征:一位截断求和 99(及其因数3、9、11、33)的倍数特征:两位截断求和 999(及其因数3、9、27、37、111、333)的倍数特征:三位截断求和 ③截断求差法(从右开始截) 11的倍数特征:一位截断求差 101的倍数特征:两位截断求差 1001(及其因数7、11、13、77、91、143)的倍数特征:三位截断求差

高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

第二十一讲余数的性质与计算 37』桂除的 余数足多少?我知沽玳,余数昂7! ^ 1 这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中,只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时,就会产生余数. 一般地,如果a是整数,b是整数(b丰0),若有a+ b=q r (也就是a b q r ), 0

当r 0 时,我们称a 能被b 整除; 当r 0 时,我们称a 不能被b 整除,r 为a 除以b 的余数,q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的,因为只要我们去掉余数,就能和整除问题联系在一起了.余数有如下一些重要性质.基本性质:被除数=除数X商(当余数大于0时也可称为不完全商)+余数除数=(被除数-余数)* 商;商=(被除数-余数)十除数. 余数小于除数. 理解这条性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了.在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了. 例题1.用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16,被除数、除数的和是877,求被 除数和除数各是多少? 「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么? 练习1. 甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数. 我们之前学过一些特殊数(如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125)的整除 特性.这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法: 1)一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数; 一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数; 一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数; 2)一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数; 一个数除以99(包括11、33)的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数;此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法. (3)一个数除以11 的余数,等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数,如 果奇位数字和比偶位数字和小,则先加上若干个11 再减即可.

五年级奥数带余数除法

带余数的除法 月日,宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦 古代数学书《孙子算经》里,最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称,如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等,人们还编了许多美妙动人的故事。实质上,这些算法正是带余除法的表现形式。 两个整数相除时,不一定都能整除,当不能整除时,就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系: 被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数)。 例题集合 例1 两个数相除的商是15,余数是11,被除数、除数、商与余数的和是309,那么除数是多少? 练习1 两个数相除的商是12,余数是26,被除数、除数、商与余数的和等于454,那么除数是多少? 例2 自然数a除以7余3,自然数b除以7余3,已知a大于b,那么a减b的差除以7,余数是多少?

练习2 已知自然数a除以13余6,自然数b除以13余12。求a加b的和除以13,余数是多少? 例3 一个三位数被37除余1,被36除余19,那么这个三位数是多少? 练习3 一个四位数,它被131除时余112,被132除时余98,求这个四位数。 例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个,最后剩1个;如果每次取5个或7个,最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个? 练习4 用卡车运货,每次运9袋余1袋,每次运8袋余3袋,每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋?

例5 某班同学买了310个本子,如果分给每个同学的数量相同,结果还剩下37本,且不能继续平分,问这个班有多少同学? 练习5 有一篮苹果不足60个,平均分给5名小朋友,多出一个;若平均分给6名小朋友,最后多出3个;若平均分给7名小朋友,最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多 少个? 课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同? 2、474除以一个两位数的余数是6,求适合这个条件的所有两位数。

小学奥数数论专题

名校真题测试卷10 (数论篇一) 1、(05年人大附中考题)有_____个四位数满足下列条件:它的各位数字都是奇数;它的各位数字互不相同;它的每个数字都能整除它本身。 2、(05年101中学考题) 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零,那么所得的三位数是原来的数的9倍,问这个两位数 是_____。 3 (05年首师附中考题) 1 21+ 202 2121 + 50513131313 21212121212121 =________。 4 (04年人大附中考题) 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数,并且满足:甲×甲=乙+乙=丙×135.那么甲最小是____。 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】:6 2 【解】:设原来数为ab,这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得:100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】:周期性数字,每个数约分后为1 21 + 2 21 + 5 21 + 13 21 =1 4 【解】:题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数(乙+乙),这样我们分解135=5×3×3×3,所以丙最小应该是2×2×5×3,所以甲最小是:2×3×3×5=90。 5 【解】:八进制数是由除以8的余数得来的,不可能出现8,所以答案是D。 第十讲小升初专项训练数论篇(一) 一、小升初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点,各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多,题型多样,变化众多,所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括:整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题,数论在各种杯赛中都会占不小的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 二、考点预测 的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论,命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点,大题

(完整版)小学奥数中的数论问题

小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题,这一部分的题目具有抽象,思维难度大,综合运用知识点多的特点,基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类: 整除问题:(1)整除的性质;(2)数的整除特征(小升初常考内容) 余数问题:(1)带余除式的运用被除数=除数×商+余数.(余数总比除数小) (2)同余的性质和运用 奇偶问题:(1)奇偶与加减运算;(2)奇偶与乘除运算质数合数:重点是质因数的分解(也称唯一分解定理)约数倍数:(1)最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 (2)约数个数决定法则(小升初常考内容) 整数及分数的分解与分拆:这一部分在难度较高竞赛中常

出现,属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域,数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书,数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中,系统研究发现,直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右,而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中,这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据,这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题 数学课本上的数论简单,竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单,因为他们习惯了数学课本上的简单数论题,比如:例1:求36有多少个约数? 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是:例2:求3600有多少个约数? 很多孩子就懵了,因为“平时考试里没有出过这么大的数!”(孩子语)于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求,白白浪费了大把的时间,即使最后求出结果也并不划

五年级奥数第讲尾数和余数

五年级奥数第讲尾数和 余数 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

第2讲尾数和余数 一、知识要点 自然数的末位数字称为自然数的尾数;除法中,被除数减去商与除数的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】(1)9×9×9×……×9(51个9相乘)积的个位数是几? (2)0.3×0.3×0.3×……0.3(204个0.3相乘)×25×25×25×……×25(1001个25)的个位数字是几? 练习1: (1)61×61×61×……×61(2001个61相乘)积的尾数是几? (2)(31×36)×(31×36)×……×(31×36)(共50个)积的尾数是几? (3)0.7×0.7×0.7×……×0.7(2002个0.7)×0.6×0.6×0.6×……×0.6(2002个0.6)积的尾数是多少? 【例题2】3×3×3×……3(2006个3相乘)+4×4×4×……4(2007个4相乘)的尾数是几? 练习2: (1)5×5×5×......5(2000个5相乘)+6×6×6×......6(2001个6相乘)+7×7×7× (7) (2002个7相乘)的尾数是几? (2)52×52×52×……52(33个52相乘)-32×32×32×……32(29个32相乘)的尾数是几? 【例题3】444……4(100个4)÷6,当商是整数时,余数是几? 练习3:当商是整数时,余数各是几? (1)666……6(50个6)÷4(2)888……8(80个8)÷7 (3)444……4(1000个4)÷74(4)111……1(1000个1)÷5 【例题4】有一列数,前两个数是3与4,从第3个数开始,每一个数都是前面两个数的和。这一列数中第2001个数除以4,余数是多少? 练习4: (1)有一串数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10.从第三个数七,每个数恰好是前面两个数的和。在这一串数种,第1991个数被3除,所得的余数是几? (2)一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1;第三个数比第二个数多2;第四个数比第三个数多3,依次类推。这列数左起第1996个数被5除余

小学奥数数论知识点总结

小学奥数数论知识点总结 1.奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如:abc=100a+10b+c 3.数的整除特征: 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数 8和125末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b,那么c|(ab)。 ②如果bc|a,那么b|a,c|a。 ③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r 当r=0时,我们称a能被b整除。 当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么:n的约数个数: d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和:(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b 对于模m同余,用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差:A-B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。

小学五年级奥数:数的整除知识点汇总+例题解析

小学五年级奥数:数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题,内容丰富,思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题,也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如:15÷3=5,63÷7=9 一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|a.否则,称为a不能被b整除,(或b不能整除a),记作ba。 如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a 的约数。 例如:在上面算式中,15是3的倍数,3是15的约数;63是7的倍数,7是63的约数。

2.数的整除性质 性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。 即:如果c|a,c|b,那么c|(a±b)。 例如:如果2|10,2|6,那么2|(10+6), 并且2|(10—6)。 性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a,c|a。 性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c 的积能整除a。 即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。 例如:如果2|28,7|28,且(2,7)=1, 那么(2×7)|28。 性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。 即:如果c|b,b|a,那么c|a。 例如:如果3|9,9|27,那么3|27。

3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被2整除;另一方面,能被2整除的数,其个位数字只能是偶数(包括0).下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征:个位是0或5。 ③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。 ④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。 例如:1864=1800+64,因为100是4与25的倍数,所以1800是4与25的倍数.又因为4|64,所以1864能被4整除.但因为2564,所以1864不能被25整除. ⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除。 例如:29375=29000+375,因为1000是8与125的倍数,所以29000是8与125的倍数.又因为125|375,所以29375能被125整除.但因为8375,所以829375。

五年级奥数__尾数和余数上课讲义

五年级奥数__尾数和 余数

第6讲尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中,被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210+3.把210分解质因数:210=2×3×5×7,所以,符号题目要求的两位数有2×5=10,2×7=14,3×5=15,3×7=21.5×7=35,2×3×5=30,2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1: 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些? 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】(1)125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几? (2)(21×26)×(21×26)×……×(21×26)[100个(21×26)]积的尾数是几? 【思路导航】(1)因为个位5乘5,积的个位仍然是5,所以不管多少个125相乘,个位还是5; (2)每个括号里21乘26积的个位是6,我们只要分析100个6相乘,积的尾数是几就行了。因为个位6乘6,积的个位仍然是6,所以不管多少个(21×26)连乘,积的个位还是6。 练习2: 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几? 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几? 3.(12×63)×(12×63)×(12×63)×……×(12×63)[1000个(12×63)]积的尾数是几? 【例题3】(1)4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几? (2)9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几? 【思路导航】(1)我们先列举前几个4的积,看看个位数在怎样变化,1个4个位就是4;4×4的个位是6;4×4×4的个位是4;4×4×4×4的个位是6……由此可见,积的尾数以“4,6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数,说明50个4相乘,积的个位是6。 (2)用上面的方法可以发现,51个9相乘时,积的个位是以“9,1”两个数字不断重复,51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。 练习3: 1.24×24×24×…×24[2001个24],积的尾数是多少? 2.1×2×3×…×98×99,积的尾数是多少?

五年级奥数__尾数和余数

第6讲尾数和余数 令狐采学 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中,被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210+3.把210分解质因数: 210=2×3×5×7,所以,符号题目要求的两位数有2×5=10,2×7=14,3×5=15,3×7=21.5×7=35,2×3×5=30, 2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1: 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些? 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】(1)125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几? (2)(21×26)×(21×26)×……×(21×26)[100个(21×26)]积的尾数是几? 【思路导航】(1)因为个位5乘5,积的个位仍然是5,所以不管多少个125相乘,个位还是5; (2)每个括号里21乘26积的个位是6,我们只要分析100个6相乘,积的尾数是几就行了。因为个位6乘6,积的个位仍然是6,所以不管多少个(21×26)连乘,积的个位还是6。 练习2: 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几? 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几? 3.(12×63)×(12×63)×(12×63)×……× (12×63)[1000个(12×63)]积的尾数是几? 【例题3】(1)4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几? (2)9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几? 【思路导航】(1)我们先列举前几个4的积,看看个位数在怎样变化,1个4个位就是4;4×4的个位是6;4×4×4

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】

小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b 的余数都是3,求a和b的值. 分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 3.除以99,余数是______. 分析:所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19. 4.求下列各式的余数: (1)2461×135×6047÷11 (2)19992000÷7 分析:(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是 4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 . 【第二篇】

(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果 分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) . 【第三篇】 有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 【第四篇】 1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值. 分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27. 2.除以99的余数是______.

小学奥数知识点大全 数论

小学奥数知识点大全:数论问题 1.奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如:abc=100a+10b+c 3.数的整除特征: 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数 4和25末两位数是4(或25)的倍数 8和125末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b,那么c|(ab)。 ②如果bc|a,那么b|a,c|a。 ③如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0?r<b,使得a=b×q+r 当r=0时,我们称a能被b整除。 当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0?r<ba=b×q+r 6.唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即 n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么: n的约数个数:d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和:(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)…(1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义:若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差:A-B=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。 ②约数:约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分解:把数字分解,使他满足积是平方数。 ④平方和。 10.孙子定理(中国剩余定理) 11.辗转相除法 12.数论解题的常用方法: 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

小学奥数-数论专题知识总结

数论基础知识 小学数论问题,起因于除法算式:被除数÷除数=商……余数 1.能整除:整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等; 2.不能整除:余数,余数的性质与计算(余数),同余问题(除数),物不知数问题(被除数)。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 (1)定义: 定义1:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。 定义2:如果非零自然数a、b、c之间存在a×b=c,或者c÷a=b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。 注意:倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。(a、b是因数,c是倍数) 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 (2)一个数的因数的特点: ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数; ②最大的因数是它本身,第二大的因数是:原数÷第二小的因数 (3)完全平方数的因数特征: ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次; ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完 全平方数的个数是54个。(312=961,442=1936,542=2916) 2、数的整除(数的倍数) (1)定义: 定义1:一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b=c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。 定义2:如果一个整数a,除以一个整数b(b≠0),得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。(a≥b) (2)整除的性质: 如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 (3)一些常见数的整除特征(倍数特征): ①末位判别法 2、5的倍数特征:末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征:末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征:末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法(从右开始截) 9(及其因数3)的倍数特征:一位截断求和 99(及其因数3、9、11、33)的倍数特征:两位截断求和 999(及其因数3、9、27、37、111、333)的倍数特征:三位截断求和 ③截断求差法(从右开始截) 11的倍数特征:一位截断求差 101的倍数特征:两位截断求差

小学奥数讲解 关于数论的问题

奥数题讲解数论问题 所用知识不超过小学5年级,题目难度5颗星。 a,b,c,d都是个位数,由它们组成的四位数abcd和两位数ab、cd满.足(ab+cd) *(ab+cd)=abcd。请问满.足条件的四位数abcd共有多少个? 答案: 3个。 辅导办法:将题目写给小朋友,让他自行思考解答,若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。 讲解思路:这种类型的题目,关键是要寻找ab和cd的关系,再根据关系寻找满足条件的数。 步骤1:先思考第一个问题,ab+cd的范围是什么?这个问题很简单, 由于ab+cd的平方是四位数,而32*32=1024 ,99*99=9801, 因此ab+cd在32到99之间。 步骤2:再思考第二个问题,db和cd满足什么关系? 由题意,(ab+cd) *(ab+cd) =100*ab+cd,化简有(ab+cd)*(ab+cd-l)=99*ab 因此,(ab+cd) *(ab+cd-1)是99的倍数。 步骤3:再思考第二个问题,ab+cd可能的取值是多少? 由于99=3*3*11,而(ab+cd)和(ab+cd-1)不可能同时是9的倍数, 因此只可能有3种情况, 结合步骤1中ab+cd的范围讨论。 情况一:ab+cd是9的倍数,ab+cd-1是11的倍数,此时只有ab+cd 是45才满足条件;

情况二:ab+cd是11的倍数,ab+cd-1是9的倍数,此时只有ab+cd是55才满足条件; 情况三:ab+cd或ab+cd-1是99的倍数,此时只有xb+cd是99才满足条件。 步骤4:综合上述几个问题,代入验证, 45*45=2025=(20+25)*(20+25) 55*55=3025= (30+25)*(30+25) 99*99=9801= (98+1) *(98+1),都满足条件, 所以满足条件的数是3个。

五年级奥数讲义余数问题

第四讲 余数问题 知识点: 1、在有余数的除法里,如果被除数和除数都能被同一自然数整除,那么余数也能被这个自然数整除。例如:60÷25=2……10,255,605,,那么一定有105 2、在有余数的除法里,如果除数和余数能被同一自然数整除,那么被除数也能被这个自然数整除。例如: 3、一个自然数被另一个自然数n 除时,余数只能是0,1,2,……(n-1)。例如: 4、如果两个整数被另一自然数n 除时(n 为整数),余数相同,则它们的差必定能被n 整除。例如: 5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ,所得的余数相同,c 和d 除以同一自然数m ,余数也相同,那么a+c ,b+d 除以m 所得的余数也相同。 例如: 一、例题讲解 例1、被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和余数。 例2、一个自然数除以3余1,除以5余3,加上2就能被7整除,这个自然数最小是多少? 例3、自然数a 除以7余3,自然数b 除以7余4,(a+b )除以7余几? 例4、整数1111…111除以6的余数是几? 2012个1

例5、2012个7组成一个2012位数,被13除后余数是多少?商的各位数字之和是多少?例6、1~400的整数中,被3、5、7除都余2的数共有多少个? 二、拓展训练 1、有一个自然数,用它去除63、91、129得到3个余数的和是25,这个自然数是多少? 2、在1~200这200个自然数中,被3或7除都余2的数有多少个? 3、自然数a除以7余3,自然数b除以7余3,已知a大于b,那么a减去b的差除以7,余数是多少? 4、有一个整数,除300、262、205得到相同的余数。这个数多少?

小学五年级奥数尾数与余数练习题(举一反三)

尾数与余数 练习一 1、317除以一个两位数后余数是2,符和条件的两位数有哪些? 2、写出除349后余4的全部两位数。 3、写出除1095后余3的全部三位数。 练习二 1、61×61×61×…×61(2011个61)积的尾数是几? 2、(31×36)×(31×36)×…×(31×36)(50个31×36)积的尾数是几? 3、9×9×9×…×9(91个9)积的个位数是几?

练习三 1、555…555(2001个5)÷13,当商是整数时,余数是几? 2、下列各小题中,当商是整数时,余数各是多少? (1)、666…6(50个6)÷4 (2)、888…8(80个8)÷7 (3)、444…4(1000个4)÷74 (4)、111…1(1000个1)÷5 3、把化成小数,那么小数点后面第100位上的数字是多少? 练习四 1、有一串数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数起,每个数恰好是 前两个数的和。在这一串数中,第1991个数被3除,所得的余数是多少?

2、一列数1,2,4,7,11,16,22,29,…。这一列数的规律是第二个数比第一个数多1;第 三个数比第二个数多2;第四个数比第三个数多3,以次类推,这列数左起第1996个数被5除余数是几? 3.有一串数:5,8,13,21,34,55,89,…。其中,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和。在这串数中,第1000个数被3除后所得的余数是多少? 练习五 1、甲数除以5余3,乙数除以5余2,甲数比乙数大,那么甲、乙两数的和除以5余数是 几?甲、乙两数的差除以5余数是几?甲、乙两数的积除以5余数是几? 2、甲数除以9余7,乙数除以9余6,丙数除以9余5,那么(甲+乙+丙)÷9还有余数 吗? 3、

五年级奥数教程 第四讲 尾数和余数

第四讲尾数和余数 专题简析: 自然数末位的数字称为自然数的尾数;除法中,被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的,利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 例题1 写出除213后余3的全部两位数。 分析因为213=210+3,把210分解质因数:210=2×3×5×7,所以,符合题目要求的两位数有2×5=10,2×7=14,3×5=15,3×7=21,5×7=35,2×3×5=30,2×3×7=42,一共有7个两位数。 练习一 1,写出除109后余4的全部两位数。 2,178除以一个两位数后余数是3,适合条件的两位数有哪些? 3,写出除1290后余3的全部三位数。 例题2 (1)125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几? (2)(21×26)×(21×26)×……×(21×26)[100个(21×26)]积的尾数是几? 分析(1)因为个位5乘5,积的个位仍然是5,所以不管多少个125相乘,个位还是5; (2)每个括号里21乘26积的个位是6,我们只要分析100个6相乘,积的尾数是几就行了。因为个位6乘6,积的个位仍然是6,所以不管多少个(21×26)连乘,积的个位还是6。 练习二 1,21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几? 2,1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几?

3,(12×63)×(12×63)×(12×63)×……×(12×63)[1000个(12×63)]积的尾数是几? 例题3 (1)4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几? (2)9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几? 分析(1)我们先列举前几个4的积,看看个位数在怎样变化,1个4个位就是4;4×4的个位是6;4×4×4的个位是4;4×4×4×4的个位是6……由此可见,积的尾数以“4,6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数,说明50个4相乘,积的个位是6。 (2)用上面的方法可以发现,51个9相乘时,积的个位是以“9,1”两个数字不断重复,51÷2=25……1,余数是1,说明51个9本乘积的个位是9。 练习三 1,24×24×24×…×24[2001个24],积的尾数是多少? 2,1×2×3×…×98×99,积的尾数是多少? 3,94×94×94×…×94[102个94]-49×49×…×49[101个49],差的个位是多少? 例题4 把1/7化成小数,那么小数点后面第100位上的数字是多少? 分析因为1/7≈0.142857142857……,化成的小数是一个无限循环小数,循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4,所以,小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字,是8。 练习四 1,把1/11化成小数,求小数点后面第2001位上的数字。 2,5/7写成循环小数后,小数点后第50个数字是几? 3,有一串数:5、8、13、21、34、55、89……,其中,从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和。在这串数中,第1000个数被3除后所得的余数是多少?

六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版

一、整除的定义: 当两个整数a 和b (b≠0),a 被b 除的余数为零时(商为整数),则称a 被b 整除或b 整除a ,也把a 叫做b 的倍数,b 叫a 的约数,记作b|a ,如果a 被b 除所得的余数不为零,则称a 不能被b 整除,或b 不整除a ,记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除,这个数就能被2或5整除; 一个数的末两位能被4或25整除,这个数就能被4或25整除; 一个数的末三位能被8或125整除,这个数就能被8或125整除; 2. 一个位数数字和能被3整除,这个数就能被3整除; 一个数各位数数字和能被9整除,这个数就能被9整除; 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除,那么这个数能被11整 除; 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除,那么这个数能被7、 11或13整除; 5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数,那么这个数能被9整除; 6. 如果一个数能被99整除,这个数从后两位开始两位一截所得的所有数(如果有偶数位则拆出的数都有 两个数字,如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数)的和是99的倍数,这个数一定是99的倍数。 7. 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3×2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595 , 59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。 8. 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被 13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」知识框架 数的整除

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