基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳
1．基本不等式2
b
a a
b +≤
(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？
提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2
ab b
a b a =+?= ②仅当b a =时，
ab b a ≥+2取等号，即.2
b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式
).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b
a
a b R b a ab b a
),(2
)2();,()2(2
222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤
3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2
b
a +，几何平均数为a
b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则
(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．
(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4
2
p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x
x y 1
+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2
5min =
y
[自测·牛刀小试]
1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81
D ．243
解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数)2(2
1
)(>-+
=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( )
A ．1＋ 2
B ．1＋ 3
C ．3
D ．4 3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则
2y
xz
的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为1
8
4．函数x
x y 1
+
=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x
x f 2
)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知,0,0>>b a ,1=+b a 求证：.9)11)(11(≥++b
a
保持例题条件不变，证明：
a ＋12
＋
b ＋12
≤2.
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利用基本不等式证明不等式的方法技巧
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
1．已知,0,0,0>>>c b a 求证：
.c b a c
ab b ca a bc ++≥++
[例2] (1)(2012·浙江高考)若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( ) A.
245 B.28
5
C ．5
D ．6
(2)已知,0,0>>b a ,12
2
2
=+b a 则21b a +的最大值为________．
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应用基本不等式求最值的条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
(1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；
(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
1．(1)函数)1,0(1≠>=-a a a
y x
的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求
n
m 1
1+的最小值； (2)若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围．
[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用)0(≥t t 万元满足1
24+-
=t k
x (k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．
(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
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解实际应用题时应注意的问题
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值； 3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求. 4
有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变
成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.
3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入
)600(6
12
x 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 51万元作为
浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
1个技巧——公式的逆用
运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如ab b a 22
2
≥+逆用就是
),0,0(222>>+≤b a b a ab 逆用就是)0,()2
(2
>+≤b a b a ab 等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条
件等．
2个变形——基本不等式的变形
(1)).,,(2
)2(2
22”时取“当且仅当==∈≥+≤+b a R b a ab b a b a (2)
,0,0(112
2222>>+≥≥+≥+b a b
a a
b b a b a ).”时取“当且仅当==b a 3个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用
1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．
2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件． [典例] (2012·湖南高考)已知两条直线m y l =:1和),0(1
28
:2>+=
m m y l 1l 与函数x y 2log =的图象从左至右
相交于点A 、B ，2l 与函数x y 2log =的图象从左至右相交于点C 、D ,记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为.,b a 当m 变化时，
a
b
的最小值为( ) A ．16 2 B ．8 2 C ．348 D ．344 [名师点评]
1．本题具有以下创新点
(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题．
(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力． 2．解决本题的关键有以下几点
(1)正确求出A 、B 、C 、D 四点的坐标；
(2)正确理解b a ,的几何意义，并能正确用A 、B 、C 、D 的坐标表示； (3)能用拼凑法将)0(1
28
>++m m m 化成利用基本不等式求最值的形式．
[变式训练]
1．已知,0,0>>y x y b a x ,,,成等差数列y d c x ,,,成等比数列，则cd
b a 2
)(+的最小值是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
2．若直线),0,0(02>>=+-b a by ax 被圆01422
2
=+-++y x y x 截得的弦长为4，则b
a 1
1+的最小值为( ) A.14 B. 2 C.32＋ 2 D.3
2＋2 2 3．若,0,0>>y x 且y x a y x +≤+
恒成立，则a 的最小值是________．
练习
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) A ．)0(lg )41lg(2
>>+x x x B ．),(2sin 1
sin Z k k x x
x ∈≠≥+π C ．)(212
R x x x ∈≥+ D.
)(11
1
2
R x x ∈>+ 2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （b a <），其全程的平均时速为,v 则( ) A ．ab v a << B ．ab v =
C.2b
a v a
b +<
< D ．2
b
a v +=
3．若,0,0>>b a 且,0)ln(=+b a 则
b
a 1
1+的最小值是( )
A.1
4
B ．1
C ．4
D ．8 4．(2013·淮北模拟)函数)1(1
2
2>-+=
x x x y 的最小值是( ) A ．23＋2 B ．23－2 C ．2 3 D ．2
5．设,0,0>>b a 且不等式
011≥+++b
a k
b a 恒成立，则实数k 的最小值等于( ) A ．0 B ．4 C ．－4 D ．－2
6．(2013·温州模拟)已知M 是ABC ?内的一点，且AB u u u r ·AC u u u r ＝23，
,300=∠BAC 若MCA MBC ??,和MAB ?的面积分别为
,,,2
1
y x 则y x 41+的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．16
D ．19 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y 与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
8．若,2,0,0=+>>b a b a 则下列不等式对一切满足条件的b a ,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①1≤ab ②2≤
+b a ③222≥+b a ④322≥+b a ⑤
.21
1≥+b
a 9．(2013·泰州模拟)已知,822,0,0=++>>xy y x y x 则y x 2+的最小值是________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知.0,0,0,0>>>>d c b a 求证：.4≥+++ac
ad
bc bd bc ad
11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
(1)当0≤x ≤200时，求函数)(x v 的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时))()(x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
1．已知,1log log 22≥+b a 则b
a
93+的最小值为________． 2．设b a ,均为正实数，求证：.22112
2≥++ab b a
3．已知,45<
x 求5
41
24)(-+
-=x x x f 的最大值．
4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)． (1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝),1(>x x 求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数)(x S 的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？
[归纳·知识整合]
1．合情推理
(1)归纳推理：
①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．
②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？
提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．
2．演绎推理
(1)模式：三段论
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？
提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．
[自测·牛刀小试]
1．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.
A．①②B．①③
C．①②④D．②④
2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
3．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( ) A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．非以上错误
归纳推理
[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：,,11,7,4.3,15
5
4
4
3
3
2
2
Λ=+=+=+=+=+b a b a b a b a b a 则
=+1010b a ( )
A ．28
B ．76
C ．123
D ．199 (2)设,3
31
)(+=x
x f 先分别求),3()2(),2()1(),1()0(f f f f f f +-+-+然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
利用本例(2)的结论计算)2015()1()0()1()2013()2014(f f f f f f ++++-++-+-ΛΛ的值．
归纳推理的分类
常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
1．观察下列等式：
1＝11＋2＝3
1＋2＋3＝6
1＋2＋3＋4＝10
1＋2＋3＋4＋5＝15…
13
＝113
＋23
＝913
＋23
＋33
＝3613
＋23
＋33
＋43
＝100
13
＋23
＋33
＋43
＋53
＝225
…
可以推测：13
＋23
＋33
＋…＋3
n ＝________(n ∈N *
，用含n 的代数式表示)．
[例2] (2013·广州模拟)已知数列}{n a 为等差数列，若b a a a n m ==,),,,1(+
∈≥-N n m m n 则,m
n ma
nb a m n --=
+类比等差数列}{n a 的上述结论，对于等比数列}{n b ),,0(+∈>N n b n 若d a c a n m ==,),,,2(+
∈≥-N n m m n 则可
以得到=+m n b ________.
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类比推理的分类
类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
2．在ABC ?中，,AC AB ⊥BC AD ⊥于D ,求证：.1
112
22AC AB AD +=
[例3] 已知函数).10()(≠>+-=
a a a
a a
x f x
且 (1)证明：函数)(x f y =的图象关于点)2
1,2
1(-对称； (2)求)3()2()1()0()1()2(f f f f f f ++++-+-的值．
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演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．
(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，
一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
3．已知函数,)(bx x
a
x f +=其中),,0(,0,0+∞∈>>x b a 试确定)(x f 的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．
2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：
①通过观察个别情况发现某些相同性质；
②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；
③检验猜想．
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的一般步骤：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)； ③检验猜想．
观察、比较→联想、类推→猜想新结论 1个区别——合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理； (2)类比是由特殊到特殊的推理； (3)演绎推理是由一般到特殊的推理；
(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.
创新交汇——合情推理与证明的交汇创新
1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．
2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，)1sin()(2
+=x x f 是正弦函数，因此)1sin()(2
+=x x f 是奇函数，以上推理( )
A ．结论正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确
2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式,3)2
(224,2122≥++=+≥+
x
x x x x x x 由此可以推广为,1+≥+
n x p
x n
取值p 等于( ) A ．n
n B ．2n
C ．n
D ．1+n
3．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(y x ,)的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(y x ,)的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(y x ,)的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(y x ,)的个数为( )
A ．76
B ．80
C ．86
D ．92
5．设ABC ?的三边长分别为a 、b 、c ，ABC ?的面积为S ，内切圆半径为r ，则;2c
b a S
r ++=
类比这个结论可
知：四面体ABCD S -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为R ，四面体ABC S -的体积为
V ，则R ＝( )
A.
4321S S S S V
+++
B.
43212S S S S V
+++
C.4
3213S S S S V
+++
D.
4
3214S S S S V
+++
6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )
A ．(7,5)
B ．(5,7)
C ．(2,10)
D ．(10,1) 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式
1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …
照此规律，第五个不等式为________．
8．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则 (1)4位回文数有________个；
(2)2n ＋1(n ∈N *
)位回文数有________个．
1.正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各虫从A 点
边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小
出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )
A.1 023
2 048
2
a B.1 023
768
2
a
C.
511
1 024
2
a D.2 047
4 096
2
a
基本不等式知识点归纳.
基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？ 提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.
高中不等式知识点总结
1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解； （2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解； （3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)|
基本不等式知识点和基本题型
基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+（2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥(当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤-(当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则2 2111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥b a 112 + 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2 2 2 3、已知1a b c ++=，求证：2221 3 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ?????? ---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲
高中数学必修5基本不等式知识点总结
高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。
Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值
不等式知识点汇总
不等式知识点汇总 1、不等式的基本性质 ②（传递性）,a b b c a c >>?> ①（对称性）a b b a >?> ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>?∈>且 ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性） 0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ②（基本不等式） 2 a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ⑤3 3 3 3(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式： 22 .2 a b ab +≤
④()2 2 2 a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 ()a b c R + ∈、、（当且仅当 a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 2 2 .x a x a a x a >>>，，规律：小于1同加则变大， 大于1同加则变小. ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式： 112a b a b --+≤≤ +()a b R + ∈， （当且仅当a b =时取 ""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：2 22 ;22a b a b ab ++??≤≤ ??? 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③≥1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式2 2 2 2 2 ()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222 123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式：222222 1212(...)(...) n n a a a b b b ++++++
必修五-不等式知识点总结
不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2112a b a b +≥+（当 a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： ①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? ②无理不等式：转化为有理不等式求解 ()0()0()()f x g x f x g x ?≥????≥?? ?>? 定义域 ???<≥?????>≥≥?>0 )(0)()] ([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ??? ??<≥≥?<2 )] ([)(0 )(0 )()()(x g x f x g x f x g x f
基本不等式知识点归纳.doc
基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、 同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R + ∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0).
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
基本不等式知识点归纳
向量不等式： 【注意】：同向或有； 反向或有； 不共线.(这些和实数集中类似) 代数不等式： 同号或有； 异号或有. 绝对值不等式： 双向不等式： （左边当时取得等号，右边当时取得等号.） 放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞； 单调递减区间：(0, ，[0). 基本不等式知识点总结 重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ， 2、均值不等式： 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” *.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）; 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） *.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： （，）； *不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时， ab b a 222≥+同时除以ab 得 2≥+b a a b 或b a a b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b a -≥22 八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2 )2(b a ab +≤； ③2)2( 222b a b a +≤+ ④)(22 2 b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b a b a +≥+4 11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11( 2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则2 22)11(2111b a b a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“ b a =”。 最值定理 （积定和最小）
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽
视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。
最新高中数学不等式知识点归纳汇总
最新高中数学不等式知识点归纳汇总 知识点一：绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|， 当且仅当ab ≥０时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c|≤ |a －b|+ |b －c|，当且仅当(a-b)(b-c) ≥０时，等号成立．知识点二：绝对值不等式的解法 1．不等式|x|a 的解集： 不等式 a>0a ＝0a<0|x|a {x|x>a ，或x<－a}{x|x ≠0}R 2．|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： (1)|ax ＋b|≤ｃ?-c ≤ax ＋b ≤ｃ； (2)|ax ＋b|≥ｃ?ax ＋b ≤-c 或ax ＋b ≥c. (3)|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法： 巩固专区：典例 [例1].函数y=|x+1|+ |x+3|的最小值为___________. 解析：由|x+1|+ |x+3|≥｜（x+1）-（x+3）|=2，故y 的最小值2。 [例2].不等式|2x-1| 1 1．不等式的解法 （1）同解不等式（(1)与同解； （2）与同解，与同解； （3）与同解）； 2．一元一次不等式 情况分别解之。 3．一元二次不等式 或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式 分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。 一般地有： |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地，当0C ≠时，通常把原点作为此特殊点。 （2）有关概念 引例：设2z x y =+，式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最 小值。 由题意，变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知，原点(0,0)不在公共区域内，当 0,0x y ==时，20z x y =+=，即点(0,0)在直线0l ：20x y +=上， 作一组平行于0l 的直线l ：2x y t +=，t R ∈，可知：当l 在0l 的右上方时，直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>，即0t >，而且，直线l 往右平移时，t 随之增大。 由图象可知，当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小，所以， max 25212z =?+=，min 2113z =?+=。 在上述引例中，不等式组是一组对变量,x y 的约束条件，这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式，所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 一元一次不等式知识点汇总 【知识点一】不等式的有关概念 1、不等式定义：用符号“<”、“≤”、“>”、“≥”、“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式。这5个用来连接的符号统称不等号。 2、列不等式：步骤如下 （1）根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式； （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义； （3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 3、用数轴表示不等式 （1）x a <表示小于a 的全体实数，在数轴上表示a 左边的所有点，不包括a 在内。 （2）x a ≥表示大于或等于a 的全体实数，在数轴上表示a 右边的所有点，包括a 在内。 （3）()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。 1、不等式的基本性质 （1）基本性质1：若a b <，b c <，则a c <。（不等式的传递性） （2）基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 ①若a b >，则a c b c +>+，a c b c ->-；②若a b <，则a c b c +<+，a c b c -<-。 （3）基本性质3：①不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立； 若a b >，且0c >，则ac bc >， a b c c >。 ②不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立。 若a b >，且0c <，则ac bc <，a b c c <。 2、比较等式与不等式的基本性质 1、一元一次不等式的概念：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次。 2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解。 3、一元一次不等式的解法：步骤如下 （1）去分母：在不等式两边同乘分母的最小公倍数；（根据基本性质3） （2）去括号：把所有因式展开；（根据单项式乘多项式法则） （3）移项：把含未知数的项移到不等式的左边，不含有未知数的项移到不等式的右边；（根据基本性质2） （4）合并同类项：将所有的同类项合并，得ax b >或ax b <（0a ≠）的形式； （5）系数化为1：不等式两边同除以未知数的系数，或乘未知数系数的倒数。（根据基本性质3） 4、一元一次不等式的应用：解有关应用题步骤如下 （1）审题：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，抓住题设中的关键字眼，如“大于”、“不小于”等； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出不等关系； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列不等式的解集； （6）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 四、列一元一次方程解应用题的步骤有： 1、审清题意：应认真审题，分析题中的数量关系，找出问题所在。 2、设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系：可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程：根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。 5、解方程：求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性：不但要检查方程的解是否为原方程的解，还要检查是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。 7、作答：正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题： 1、和差倍分问题: （1）增长量＝原有量×增长率； （2）现在量＝原有量＋增长量 2、等积变形问题： 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但面积不变。 （1）圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S ·h ＝ r 2h （2）长方开的面积 周长＝2×（长+宽） S=长×宽 3、数字问题： 一般可设个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a ， 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题：（ 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ） （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝商品利润商品成本价 ×100% （3）售价=成本价×(1+利润率) （4）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （5）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （6）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折： 折后价（售价）=标价×10 x 计算。 5、行程问题：路程＝速度×时间； 时间＝路程÷速度； 速度＝路程÷时间。 （1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 （2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距 （3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系． 6、工程问题： （1）工作总量＝工作效率×工作时间； 工作效率＝工作总量÷工作时间 （2）完成某项任务的各工作总量的和＝总工作量＝1 （3）各组合作工作效率＝各组工作效率之和 （4）全部工作总量之和＝各组工作总量之和 基本不等式知识点归 纳 基本不等式知识点总结 向量不等式： ||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤ 【注意】： a b r r 、同向或有0r ?||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ?||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u r u r u r ； a b r r 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似) 代数不等式： ,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ?-=+-=+≥. 绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤ (0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等 双向不等式：a b a b a b -±+≤≤ （左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得 等号.） 放缩不等式： ①00a b a m >>>>，，则b m b b m a m a a m -+<<-+. 【说明】： b b m a a m +<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b a n b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b c R +∈， b d a c <，则b b d d a a c c +<<+； ③n N +∈ < < ④,1n N n +∈>，211111 11n n n n n - <<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈. 函数()(0)b f x ax a b x =+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； 授课教案 ③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1 -= n n S S 偶 奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()2 1+n n ②()()6 1213212222++=+++n n n n Λ ③()2 2 13213333?? ??? ?+=++n n n Λ [注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=?n n a ； 5，55，555，…()1109 5-=?n n a . 2 等比数列 （1）性质 当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2 =a p a q ，数列{ka n }，{ ∑=k 1 i i a }成等比数列。 3 等差、等比数列的应用 （1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等； （2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）； 若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。 典型例题 例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。 例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{ n S n }的前n 项和，求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1） 数列{a n }的通项公式； （2） 设1n n n a a 1b += ，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2 1 <. 例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33， 且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。 例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=8 1 ，求等差数列的通项a n 。 4 练习 1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，则它的前n 项和 S n =______。 2 设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，则该等差数列的中间n 项的和等于________。 3 若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。 4 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。 5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1（q ≠1），设数列{b n }的通项高中不等式知识点总结(2020年九月整理).doc
一元一次不等式知识点汇总
一元一次不等式知识点总结
基本不等式知识点归纳教学内容
不等式知识点归纳与总结