2017年高考(全国1卷)模拟数学(理)试题带答案

2017届高三年级全真模拟考试（一）

数学（理科）试题

★ 祝考试顺利 ★

时间：120分钟 分值150分

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合{}0,1,2A =，{}1,B m =，若A B B = ，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．0或2 C ．2 D ．0或1或2 2．已知命题p ：“存在[)01,x ∈+∞，使得0

2(log 3)

1x ≥”，则下列说法正确的是（ ）

A ．p 是假命题；:p ?“任意[)1,x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”

B ．p 是真命题；:p ?“不存在[)01,x ∈+∞，使得1)

3(log 0

2

C ．p 是真命题；:p ?“任意[)1,x ∈+∞，都有2(log 3)1x <”

D ．p 是假命题；:p ?“任意()1,∞-∈x ，都有2(log 3)1x <”

3．已知直线,a b ，平面,αβ，且a α⊥，b β?，则“a b ⊥”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．已知一元二次方程01)1(2

=+++++b a x a x 的两个实根为21,x x ，且

1,1021><

b

的取值范围是（ ）

A .)21,2(-- B.]21,2(-- C.)21,1(-- D.]2

1

,1(--

5．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的n m ,分别是（ ）

A ．12,38==n m

B ．26,12m n ==

C ．12,12m n ==

D ．24,10m n ==

6．某射击手射击一次击中目标的概率是0．7，连续两次均击中目标的的概率是0．4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ） A ．

710 B ．6

7

C ．47

D ．25 7．函数()sin 6f x x πω?

?

=A + ??

?

（0ω>）的图象与x 轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为

2

π

的

等差数列，若要得到函数()sin g x x ω=A 的图象，只要将()f x 的图象（ ）个单位 A ．向左平移6

π

B ．向右平移6

π

C ．向左平移

12π D ．向右平移

12

π

8．若非零向量,a b

满足a b a b +=- ,则a 与b 的夹角为（ ）

A.0

B.45

C.90

D.180

9．已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，)(')(x xf x f + 0<成立， 若

)2(ln )2(ln ),2()2(1.01.0f b f a ?=?=，c b a f c ,,),8

1(log )81

(log 22则?=的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >>

10．已知数列{}n a 是等差数列，1tan 225a = ，5113a a =，设n S 为数列{(1)}n n a -的前n 项和，则2015S =（ ）

A ．2015

B ．2015-

C ．3024

D ．3022-

11．如图，焦点在x 轴上的椭圆22

213

x y a +=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是

椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，1APF ?的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4F Q =，则该椭圆的离心率为（ ）

A ．

14 B ．1

2

C D

12． N 为圆

22

1x y +=上的一个动点，平面内动点M ),(00y x 满足10≥y 且030=∠OMN (O 为坐标原点)，则动点M 运动的区域面积为（ ）

A.3238-π

B.334-π

C.332+π

D.3

3

4+π

第II 卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）

13

．已知2,

a b == ，且0a b c ++= ，则a b b c a c ?+?+?=

14．已知?-20

d )sin(π

?x =?2sin ． 15．已知等差数列{}n a 满足：11

10

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则当n S 取到最小正值时，n = ．

16．已知数列{}n a 的通项公式为n a n p =-+，数列{}n b 的通项公式为4

3n n b -=，设

,

n

n n n n

n n

a a

b C b a b ≥?=?

{}

n c 中，4

n

c c >()

n N *

∈,则实数p 的取值范围

是 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共70分. 17．（本题12分）已知函数()sin(4)cos(4)44

f x x x π

π

=++-. （1）求函数()f x 的最大值；

（2）若直线x m =是函数()f x 的对称轴，求实数m 的值.

18．（本题12分）甲、乙两名篮球运动员，各自的投篮命中率分别为0.5与0.8，如果每人投篮两次．

（Ⅰ）求甲比乙少投进一次的概率；

（Ⅱ）若投进一个球得2分，未投进得0

分，求两人得分之和ξ的分布列及数学期望ξE ． 19．（本题12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，SD ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，1==AD AB ，2==SD DC ，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC ．

（Ⅰ）证明：EB SE 2=；

（Ⅱ）求二面角C DE A --的大小．

20．（本题12分）已知m>1，直线l ：202m x my --=，椭圆C ：2

221x y m

+=，F 1、F 2分别为

椭圆C 的左、右焦点．

（Ⅰ）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ． 若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．

21．（本题12分）已知函数()e 1x f x ax =--（e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）当0a >时，若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； （Ⅲ）求证：22222232323ln 1ln 1ln 12(31)(31)(31)n n ????

?????++++++

. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．

22．（本题10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O 和⊙O′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E ，已知3==BD AC ．

（Ⅰ）求AD AB ?的值； （Ⅱ）求线段AE 的长． 23．（本题10分）选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆1C ：2

2

x y +＝经过伸缩变换'3'2x x y y =??=?

后得到曲线2C ．

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度， 建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ

θθ10

sin 2cos =

+·

（1）求曲线2C 的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；

（2）在2C 上求一点M ，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离． 24．（本题10分）选修4-5：不等式选讲

已知0>a ，0>b ，函数||||)(b x a x x f ++-=的最小值为2． （Ⅰ）求b a +的值；

（Ⅱ）证明：22>+a a 与22>+b b 不可能同时成立．

参考答案

1．B 2．C 3．B

4．A 5．B 6．C 7．D 8．D 9．B 10．D 11．D. 12．A 13．-12 【解析】

试题分析：由

a b c ++= 得

a b c

+=- ，从而有

2

()12b c a c b a c c c c ?+?=+?=-?=-=- ，

同理有2()8a b b c b a c b ?+?=?+=-=- ，2

4a b a c a ?+?=-=- ，三式相加得到：

12a b b c a c ?+?+?=-

；故答案为：-12．

考点：向量的数量积． 14．

16

9 【解析】 试

题

分析：因为

2

0sin()d x x π

φ-=?20(sin cos cos sin )d x x x π

φφ=-?()20cos cos sin sin |x x π

φφ=+

sin cos φφ=-=

71sin 216φ-=，9sin 216

φ=，故答案为169.

考点：1、定积分的应用；2、同角三角函数之间的关系.

15．19 【解析】

试题分析：因为等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，所以公差为负，因此由11

101

a a <-得1110111011100,0,0

a a a a a a <><-?+<

119120101119102010()10()10()100,0,222a a a a a a S a S +++?=

=>==<

因此当19n =时，

n S 取到最小正值

考点：等差数列性质

【名师点睛】

求等差数列前n 项和的最值常用的方法

(1)先求a n ，再利用??? a n ≥0a n ＋1≤0或???

a n ≤0

a n ＋1

≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．

(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n 项和的最值．②利用等差数列的前n 项和

S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 16．)7,4( 【解析】 试题分析：因为

4n c c ≥所以4c 是最小项，所以1,2,3,4n =时{}n c 递减，4,5,6,7...n =时

{}n c 递增，而数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列，当44c a =时，有

4454

a b b a ≥??

>?即

0143,5734p p p ?-+≥?≤-+??，当44c b =时，必有4434a b a b ?，即0

43

,4533p p p ?-+??，所以

实数p 的取值范围是47p <<故答案为)7,4(.

考点：1、函数的单调性；2、数列的增减性及最值.

【方法点睛】本题主要考查函数的单调性以及数列的增减性及最值，属于难题.解答本题的关键有两个，一是注意函数的单调性和数列增减性不完全一致，因为函数是连续的而数列不

连续，所以数列的最值点根函数的极值点会有偏差；二是要根据

,

n

n n n n

n n

a a

b C b a b ≥?=?

44c a =或44c b =两种情况分别列不等式组，求出解集后再找并集即可.

17．（1）最大值是2；（2）416

k m ππ

=

+()k ∈Z . 【解析】 试题分析：本题考查三角函数式的化简、三角函数的最值以及三角函数图像的对称轴等基础知识，考查运用三角公式进行恒等变换的能力和计算能力，考查数形结合思想.第一问，通过观察，44

x π

+

与

44x π

-是互余关系，所以利用诱导公式将cos(4)4

x π

-变成sin(4)4x π

+

，从而化简了函数解析式，利用sin(4)4

x π

+的有界性，求出函数()f x 的最大

值；第二问，通过数形结合，利用sin y x =的对称轴，列出关系式，解出x ，即m 的值. 试题解析：（1）

()sin(4)cos(4)

44sin(4)sin(4)44

f x x x x x ππ

ππ

=++-=+++

2sin(4)4

x π

=+， 3分 所以

()f x 的最大值是2. 5分

（2）令44

2

x k π

π

π+

=+

()k ∈Z ， 7分

则416

k x ππ=

+()k z ∈， 9分 而直线x m =是函()y f x =的对称轴，所以416

k m ππ=

+()k ∈Z 10分 考点：1.诱导公式；2.三角函数最值；3.三角函数图像的对称轴. 18．（Ⅰ）0.40；（Ⅱ）见解析． 【解析】 试题分析：（1）“每人投篮两次，甲比乙少投进一次”可分为“甲投中0次，乙投中1次”和“甲投中1次，乙投中2次”两个事件，而每个事件都可能独立重复试验的概率公式求得概率；（2）甲乙两共投4球，一球2分，因此ξ的可能值分别为0，2，4，6，8五种可能．分别求得概率可得分布列． 试题解析：（Ⅰ）设“甲比乙少投进一次”为事件A ，依题意可知它包含以下两个基本事件： 甲投进0次，乙投进1次，记为事件B ，则有：

212()0.50.8(10.8)0.08P B C =???-=；

甲投进1次，乙投进2次，记为事件C ，则有：

1222()0.50.80.32P C C =??=；

()()()0.080.320.40P A P B P C ∴=+=+=．

（Ⅱ）甲乙两人得分的分布列为： 概率分开写步骤

00.0120.1040.3360.4080.16 5.2E ξ∴=?+?+?+?+?=）

考点：独立重复试验恰好发生k 次的概率公式，随机变量的分布列与数学期望． 19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）120 . 【解析】

试题分析：（Ⅰ）以D 坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D xyz -，设SE EB λ= ，求

出平面SBC 的法向量，平面EDC 的法向量用λ表示，两法向量数量积为零可解2λ=，

可证EB SE 2=；（Ⅱ）先证EC DE ⊥，FA DE ⊥可得向量FA 与EC 的夹角等于二面角

A DE C --的平面角，最后用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）以D 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系D-xyz ，则A(1，0，0)，B(1,1，0)，

C(0，2，0)，S(0，0，2)，∴C S ＝(0，2，－2)，C B ＝(－1，1，0)，DC

＝(0，2，0)．

设平面SBC 的法向量为m ＝(a ，b ，c)，由m ⊥C S ，m ⊥C B ，得C 0

C 0

m S m ??=???B =??

∴2200

b c a b -=??

-+=? 取m

＝(1，1，1)．

又设S E ＝λEB （λ＞0），则E(1λλ+，1λλ+，21λ

+)，

∴D E ＝(1λλ+，1λλ+，21λ

+)．

设平面EDC 的法向量n

＝(x ，y ，z)，

由n ⊥D E ，n ⊥DC ，得D 0DC 0n n ??E =???=??

∴2011120

x y z y λλλλλ?++=?

+++??=? n ＝(2，0，－λ)．

由平面EDC ⊥平面SBC ，得m ⊥n ，∴m ·n

＝0，∴2－λ＝0，即λ＝2．SE ＝2EB ．6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知E(23，23，23)，∴D E ＝(23，23，23)，C E ＝(－23，43，－2

3

)，

∴C E ·D E ＝0，∴EC ⊥DE ．取DE 的中点F ，则F(13，13，13)，∴F A ＝(23，－1

3

，－

13

)， ∴F A ·D E ＝0，∴FA ⊥DE ．∴向量F A 与C E

的夹角等于二面角A-DE-C 的平面角．

而cos ＜F A ，C E ＞＝F C F C

A ?E A E ＝－1

2，故二面角A-DE-C 的大小为120°．

考点：1、面面垂直的性质；2、用空间向量夹角余弦公式.

20．

（Ⅰ）10x --=；（Ⅱ）()1,2．

【解析】 试题分析：（Ⅰ）由椭圆方程可得椭圆的右焦点坐标将其代入直线方程即可求得m 的值． （Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消去x 可得关于y 的一元二次方程，从而可得两根之积两根之和．根据重心坐标公式分别求得点,G H 的坐标，由题意可知90GOH ∠> ，

即0OG OH ?<

．根据数量积公式可求得m 范围． 试题解析：解：（Ⅰ）∵直线：2

02m x my --=

经过)

2

F ，

2

2

m =，得22m =． 又1m >

，m ∴=．

故直线的方程为10x -=． （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，

由222221

m x my x y m ?=+????+=??消去x 得22

2104m y my ++-=， ∴212121

,282

m m y y y y +=-=

-． 由22

281804m m m ??

?=--=-+> ???

，得28m <， 由于()()12,0,,0F c F c -，故O 为12F F 的中点．

由,G H 分别为1212,AF F BF F ??的重心，可知1122,,,3333x y x y G H ????

? ?????

， 设M 是GH 的中点，则1212,66x x y y M ++??

???

， ∵原点O 在以线段GH 为直径的圆内，12120x x y y ∴+<．

而()2222

12121212112282m m m x x y y my my y y m ??????+=+++=+- ???

???????， ∴21

082

m -<，即24m <．

又1m > 且0?>，12m ∴<<． m ∴的取值范围是()1,2． 考点：直线与椭圆的位置关系问题．

21．（Ⅰ）0≤a 时，()f x 单调递增区间为R ；0a >时，()f x 单调递减区间为(,ln )-∞a ， 单调递增区间为(ln ,)+∞a ；（Ⅱ）1a =； （Ⅲ）证明见解析

【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用导数分析函数的单调性，根据0>a 和0≤a 分类讨论得出函数的单调区间；（Ⅱ）先由（Ⅰ）中0a >时的单调性可知min ()(ln )f x f a =，即ln 10a a a --≥，构造函数()ln 1g a a a a =--，由导函数分析可得()g a 在(0,1)上增，在(1,)+∞上递减，则()(1)0≤=g a g ，由()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，故()0g a =，得1a =；（Ⅲ）先由

（Ⅱ）1x

e x ≥+，即ln(1)x x +≤(1)x >-，从而问题等价转化为证2

1232(31)

k

n

k

k =?<-∑. 试题解析：（Ⅰ）'()x

f x e a =- 1分

0a ∴≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增。 2分 0a >时，(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，

(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增. 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），0a >时，min ()(ln )f x f a =

(ln )0f a ∴≥ 5分

即ln 10a a a --≥，记()ln 1g a a a a =-- (0)a >

'()1(ln 1)ln g a a a =-+=-

()g a ∴在(0,1)上增，在(1,)+∞上递减 ()(1)0g a g ∴≤=

故()0g a =，得1a = 8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）1x e x ≥+，即ln(1)x x +≤(1)x >-，则0x >时，ln(1)x x +<

要证原不等式成立，只需证：21232(31)k n

k

k =?<-∑，即证：2

1

31(31)k

n

k k =<-∑ 下证21

322

(31)3131k k k k +≤---- ① 9分 22343323133431

k k

k k k k

??≤-?+?-?+ 224(3231)33431k k k k ?-?+≥?-?+

234330k k ?-?+≥(31)(33)0k k ?--≥

①中令1,2,,k n = ，各式相加，得

21

3(31)k n

k k =-∑1222()3131<---2322()3131+---1

22

()3131n n +++--- 11

22

3131

n +=

---1<成立， 故原不等式成立. 14分

方法二：1n =时，2233

(31)2

n n ?=-

2n ≥时，22323(31)(31)(33)n n n

n n ??<---1

1

23(31)(31)

n n n --?=-- 11

1

3131

n n -=

-

--

2n ≥时，21

3(31)k n

k k =-∑311

2231n

<+--2<

考点：1.利用导数数求函数的单调性；2.利用导数处理不等式的恒成立问题；3.等价转化的数学思想方法 22．（Ⅰ）9（Ⅱ）3. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由AC 与设圆⊙'O 相交于A ，得ADB CAB ∠=∠，同理DAB ACB ∠=∠，

所以ACB ?∽DAB ?，从而

BD

AB

AD AC =

，即AB AD BD AC ?=?9=；（Ⅱ）由AD 与设圆⊙O 相交于A ，得BAD AED ∠=∠，又BDA ADE ∠=∠，得EAD ?∽ABD ?，从而BD AD

AB AE =

，即AB AD BD AE ?=?，结合（Ⅰ）的结论，AE AC =3=. 试题解析：（Ⅰ）∵AC 切⊙'O 于A ，∴ADB CAB ∠=∠，

同理DAB ACB ∠=∠，∴ACB ?∽DAB ?，∴BD

AB

AD AC =

，即AC BD AB AD ?=?． ∵C D 3A =B =，∴D 9AB?A =． （Ⅱ）∵AD 切⊙O 于A ，∴BAD AED ∠=∠，又BDA ADE ∠=∠，∴EAD ?∽ABD ?，

∴BD AD AB AE =，即AE BD AB AD ?=?．由（Ⅰ）可知，AC BD AB AD ?=?，∴AE AC =3=．

考点：1、弦切角定理；2、相识三角形.

23．（1）22

2:=194x y C +，:2100l x y +-=（2）98,55M ?? ???

，min d =【解析】

试题分析：（1）由题意可得2C 的方程为22

=132x y ''????

+ ? ?????

，化简可得所要求的结果；将极

坐标方程两边同乘ρ，进而根据x cos y sin ρθρθ==，，可求出直线的直角坐标方程；（2）根据椭圆的参数方程为32x cos y sin θθ

?

?

?＝＝，可设点

()3,2M cos sin θθ．求得点M

到直线的距离为

d =

=

d 的最小值．

试题解析：1）由22

x y +＝，'3'2x x y y

=??=?，可得曲线2C 的方程为：2

2

=132x y ''????+ ? ?????即

22

=194

x y + 将极坐标方程两边同乘ρ可的直线的直角坐标方程2100x y +-=

（2）因为椭圆的参数方程为

32x cos y sin θθ

??

?＝＝（θ为参数）， 所以可设点()3,2M cos sin θθ， 由点到直线的距离公式，点M 到直线的距离

为

d =

=

0034

,sin 55cos θθ==由三角函数性质知，当

θα-=时，

d

取最小值

为

min d = ．此时

0098

33,2255

cos cos sin sin θθθθ====

即点98,55M ?? ?

??

考点：参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的互化与应用 24．（Ⅰ）2a b +=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由基本不等式得()min f x a b =+，由题设条件知()min 2f x =，∴2a b +=；（Ⅱ）假设22a a +>与22b b +>同时成立，则1a >且1b >，与2a b +=相矛盾即证得结论.

试题解析：（Ⅰ）∵a ＞0，b ＞0，

∴f(x)＝|x －a|＋|x ＋b|≥|(x －a)－(x ＋b)|＝|－a －b|＝|a ＋b|＝a ＋b ， ∴f(x)min ＝a ＋b ．由题设条件知f(x)min ＝2，∴a ＋b ＝2． （Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得

≤a ＋b ＝2，∴ab ≤1．

假设a 2

＋a ＞2与b 2

＋b ＞2同时成立，则由a 2

＋a ＞2及a ＞0，得a ＞1．同理b ＞1，∴ab ＞1，

这与ab ≤1矛盾．故a 2＋a ＞2与b 2

＋b ＞2不可能同时成立．10分 考点：1、基本不等式求最值；2、一元二次不等式的解法及反证法.