最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(2)

第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2

1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于

2

1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数

jm m m j 2112

1

解：8.2节式（21a ）（21b ）:

()21),0( 21+=≠-=m m

l l j j

j

ljm φ???? ??-+++=

+11121

lm lm Y m l Y m l l ()

?????

?

?-++

---+=+=21,212

1,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ）

()21-=

j l

j

ljm φ????

??++---=

+11121

lm lm Y m l Y m l l ()

?

????

?

?+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）

()21++j l

此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2

12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。

因此，（21a ）式可重写为

jm ∑=2

22112

211m jm m j m j

m j m j

2

1

212121212121211111111

1--+=m j jm m j m j jm m j ?????

??

?

??-???? ??++-???? ??++++=+=2121122121211221112111112

111

21

121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m

时 ，

21

1111122121

21???

? ??++=＋j m j jm m j 而2

12-=m 时，

21

1111122121

21???

? ??+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有

21

111111221,21

2121???? ??+--=-＋j m j m j m j

2

1111111221,21

2121???

? ??++=--＋j m j m j m j

9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，

JM

j

2

ψ()()21212

121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=

（1）

利用CG 系数的对称性，证明

()

JM

j

J

j JM j p 2

2212ψψ--=

由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数

证：由式（1），

JM j p 212ψ()()12212

121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=

把21m m ?, ()()12122

112jm jm m m JM jm jm ψψ∑

=

利用CG 系数的对称性 ()

()()21212

112212jm jm m m J

j JM m j m j ψψ∑--=

()

JM

j

J

j 2

2ψ--= (2)

对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()

12-=--J

j ，所以J 必须为偶数。

12max -=j J ，（j J 2max =情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此

()()0,2,32,12Λ--=j j J

可验证：态JM

j 2ψ

的总数为()12+j j 。 [()()12121

20

+=+∑-=j j J j J ]。

对于Bose 子，=j 整数，=j 2偶数，但要求ψψ=12p 即()

12=--J

j ，故J 也必须为偶数

0,2,22,2Λ-=j j J

9－3）设原子中有两个价电子，处于nl E 能级上，按LS 耦合方案，L L L =+21，s s s =+21，J s L =+（总

角动量）

证明： （a ）s L +必为偶数；

（b ）s L s L J -+=,,Λ。当0=s 时，L J =（偶）； 1=s 时，1,,1-+=L L L J ，J 可以为奇，

也可以为偶。

证： 自旋的耦合：2121==s s ，?

??=)

.(0).(1反对称，单态对称，三重态s

轨迹角动量的耦合：l l l ==21，.0,1,,12,2Λ-=l l L

其中=L 偶是对称态，=L 奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以

0=s 时，.0,,22,2Λ-=l l L 1=s 时，.1,,12,2Λ-=l l L

在两种情况下，s L +都为偶数，但

s L s L J -+=,,Λ

对于0=s ，==L J 偶；

1=s ，1,,1-+=L L L J 。 J 可以为奇，也可以为偶

［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按jj 耦合方案，似乎J 必为偶数）。提示：在本题中，若用jj 耦合来分析，=j ？是否只有一个j 值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］

9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为0的态00jj ψ，

证明z z j j 21-=j j j --=,,1,Λ的几率却相等，

即()121+j 。

提示：利用

()

1200+-=--j m jmj m

j （P235，式（23）

） 证：Dirac 符号表示，有 00

jj ψ

JM j j 21=00jj =，

JM JM j j =21∑=1

22112

211m JM m j m j m j m j （1）

在本题的情况下，j j j ==21，0==M J ，m m m 令

21-=。 则（1）成为 00jj ∑

--=

m

m jmj m jmj 00 （2）

其中00m jmj -即为耦合表象中的态00jj 用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数，其模即表示体系处于00jj 态时，测得z j 1取值m （同时z J 2取值m -，m 取j j j --,,1,Λ各可能值）的几率。 由提示，()

1200+-=--j m jmj m

j （3）

1

21

00

2

+=

-∴j m jmj （4） 即，对于给定的j j j ==21所合成的态00jj ψ，z z

j j 21-=j j j --=,,1,Λ的几率与m 的具体取值无关，皆为

)121+j 。

9－5）设J J =+21，在jm j j 21态下，证明（取1=η）

02211====y x y x j j j j ，

()()()

()1211122111++-+++=j j j j j j j j m

j z

()()()

()

1211111222++-+++=j j j j j j j j m

j z z j m 1-=

证：（参剖析，8.68等）

9－6）在(

)

z L L ,2

表象(以为lm 基矢)中，1=l 的子空间的维数为3，求x L 在此三维空间中的矩阵表示，再利用矩阵方法求出x L 的本征值和本征态

解：在()

z L L ,2

表象中，1=l 的子空间中的基矢为lm m 1=，1,0,1-=m 。由于

()()

11±+±=

±m j m j m j jm J μ

()()

m j m j jm J m j x -++=

+1211

()()

m j m j jm J m j x ++-=

-12

11

()121

-++=

J J J x 。

对于本题，以上方式中l j →，x x L J →，±±→L J ，()z z L J →

不难求得

()()()()()()01111110011'

======----x x x x x mm

x L L L L L L

()()()()2

210

011010=

===--x x x x L L L L 。

∴ x L 在此三维空间中的矩阵表示为［()

z L L ,2表象］

?????

??=010********x L （1）

设x L 的本征值为λ()1=η，本征矢为???

?

?

??=c b a φ，则本征方程为

02

102121021=?????

??? ??????????? ?

?---c b a λλλ （2）

此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值：(

)

,012

=-λλ

1,0,1-=λ. （3）

将1=λ代入（2），可得

02

=+-b

a ， 02

2

=+-c

b a

， 02

=-c b

。

由此得 2b c a ==，????? ??=?

???? ??∴1212 b c b a

归一化

()11212

2

=++b ，取 21=b 。 ???

?

?

??=∴12121 1φ 1~+=λ （4）

同理，将1,0-=λ分别代入（2），可求得

????? ??-=∴12121 2φ 0~=λ ；????

?

??-=121213φ 1~-=λ 。

曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...

曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录 第三版序言 我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。 这里涉及到科学上的继承和创新的关系。“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。 讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。 要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。 量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观 从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18； 人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18； 康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21； 在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21； 微观粒子波粒二象性的准确含义：P29； 电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31 在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32； 经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32； 波函数归一化不影响概率分布：P32 多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。例如，两个粒子的体系，波函数刻画的是六维位形空间中的概率波。这个六维空间，只不过是标志一个具有6个自由度体系的坐标的抽象空间而已。 动量分布概率： 1 波包的频谱分析 具有一定波长的平面波可表示为： ()e x p ()k x i k x ψ= （A1.1） 波长2/k λπ=,其特点是是波幅(或强度)为常数.严格的平面波是不存在的,实际问题中碰到的都是波包,它们的强度只在空间有限区域不为0.例如,高斯波包 221()exp()2x a x ψ=- (A1.2) 其强度分布222()exp()x a x ψ=-,如图A.1所示.可以看出,波包主要集中在1 x a < 区域中. 所以波包宽度可近似估计为:

量子力学曾谨言习题解答第五章

第五章： 对称性及守恒定律 ［１］证明力学量A ?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2 22 H H A A dt d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ? 不显含t ，有 ]?,?[1H A i dt A d = （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]?,?[1H A i 的平均值，则有： ]?],?,?[[1]?],?,?[1 [ 1222 H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2 即得待证式。 ［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。 （证明）设A ?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有： ???= τ τψψ d A A ?* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1） ???-≡= τ τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*1]?,?[1 （１） 今ψ代表H ?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =? （E 为本征值） （２） 又因为H ?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ??????=)? (*)?()~ (?* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：

τψψτψψd A H i d H A i dt A d )? (*)?(1)?(?*1?????? -= ??? ???-= τψψ τψψd A i E d A i E ?**?* 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2 。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r d t d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21,??????[2 22z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21],??????[2 2 2z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式 可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[2122 2 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x ++++ + = μ μ μ （３）

量子力学曾谨言习题解答第二章

目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer V erlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.sodocs.net/doc/896314907.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ?? -- = 1 1 )0(>n (2) )cos sin (sin 2 2 bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+= ? (3) = ?axdx e ax cos )sin cos (2 2 bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 -=? (5) = ?axdx x sin 2 ax a x a ax a x cos )2( sin 22 2 2 - + (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 +=? (7ax a a x ax a x axdx x sin )2( cos 2cos 3 2 2 2 - += ?)

量子力学-曾谨言-第五版-第1章序言-知识点汇总(良心出品必属精品)

第一章 量子力学的历史渊源 §1.1 Planck 的能量子假说 经典物理学的成就 到19世纪末，已经建立了完整的经典物理学理论： (1)、以牛顿三大定律和万有引力定律为基础的经典力学(从天空到地上的各种尺度力学物体的机械运动)， (2)、以麦克斯韦方程组和洛仑兹力公式表述的电磁场理论(光的波动理论、电磁现象的规律)； (3)、热学以热力学三大定律为基础的宏观理论和统计物理所描述的微观理论（大量微观粒子的热现象等）。 这些理论能令人满意地解释当时所常见的物理现象，让当时绝大多数的物理学家相信物理学基本理论已经完成，剩下的工作在需要在细节上作一些补充和修正。 经典物理学所遇到的问题 (1)、黑体辐射现象，(2)、光电效应；(3)、原子的光谱线系；(4)、原子的稳定性；(5)、固体的低温比热。 一、黑体辐射的微粒性 1、黑体辐射的几个物理量 黑体：所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。 辐射本领：单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量的频率分布，用(,)E T ν表示。 所以在t ?时间，从面积S ?上发射出频率在ννν-+?范围内的能量表示为： (,)E T t S νν???

因此，(,)E T ν的量纲为： 2 2 =1×? 能量焦耳米 秒米 秒。 可以证明： （(,)v T ρ的单位为 3 ?焦耳秒米 ）。 吸收率：照到物体上的辐射能量分布被吸收的份额， 用(,)A T ν表示。 G. Kirchhoff （基尔霍夫）证明： 对任何一个物体，辐射本领(,)E v T 与吸收率(,)A T ν之比是一个普适的函数，即 （f 与组成物体的物质无关）。 对于黑体的吸收率(,)1A v T =， 故其辐射本领(,)(,)E T f T νν=（等于普适函数与物质无关）。所以只要黑体辐射本领研究清楚了，就把普适函数（对物质而言）弄清楚了。 辐射本领也可以用(,)E T λ描述, 由于单位时间内从辐射体表面的单位面积上发射出的辐射能量可写为： (,)(,)E v T dv E T d λλ∞ ∞ =?? 由于c νλ=知2 c d d νλλ =- 代入上式得：0 2 (,) (,)c E v T d E T d λλλλ ∞ ∞ -=?? 32 2 (,)(,) (,)(,) ( )E v T E T E T E v T c c λνλλ??= = 焦耳米秒或 2、黑体的辐射本领 黑体辐射的空间能量密度按波长（或频率）的分布只与温度有关。实验测得的辐射曲线满足下列定律： (i)、斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Boltzmann Law ） 黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度4T 成正比， 即

量子力学第四版卷一[曾谨言著]习题答案解析

第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2, ,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a 22 == （3） 代入（2），解出 ,3,2,1, ==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==? ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量

量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著)习题答案第5章-1

第五章： 对称性及守恒定律 P248设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： )],,(,[21 ],??????[222z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[21222 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３） 前式是轮换对称式，其中对易算符可展开如下： 2 22?2??x x x p i p i p i =+= （４） x V x i ??=?? （５） 将（４）（５）代入（３），得： 代入（１），证得题给公式： V r p p r dt d ??-=? μ 2?)( （６） （２）在定态ψ之下求不显含时间t 的力学量A ?的平均值，按前述习题２的结论，其 结果是零，令p r A ??? ?= 则0)??(*2=??-= ?=????V r p d p r p r dt d τμτψψ （７） 但动能平均值 μτψμψτ 22?*22p d p T =≡??? 由前式 V r T ??= 2 1 P249 设粒子的势场),,(z y x V 是z y x ,,的n 次齐次式证明维里定理（Ｖirial theorem ）

量子力学第四版卷一(曾谨言著)习题答案

第一章 量子力学的诞生 设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===??Λ )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = （3） 代入（2），解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量

量子力学 曾谨言版

Unit 1 1 The state of a microscopic particle is described by(A) (A) wave function (B) Schrodinger Equation (C) Born’s statistical interpretation (D) operator 2 Suppose you do measure the position of a particle, and you find it to be at the point M, then, before you made the measurement (B) (A) the particle was at M (B) the particle was not really anywhere (C) refuse to answer (D) all above answers was wrong 3 A measurement on the given state wave functionΨ(x,t), the physical process is (C) (A)“Measurements” in which Ψ does not evolve in a leisurely fashion under the Schrodinger Equation (B)Measurements” in which the particle is not really anywhere (C)Measurements” in which Ψ suddenly and discontinuously collapses (D) Measurements” in which the more precisely determined a particle’s position is, the more precisely its momentum is determined 4 According to the uncertainly principle (A) (A)The more precise a particle’s position is, the less precise is its wavelength (B)The more precise a particle’s position is, the more precise is its momentum