线性方程组的求解方法与应用
湖北民族学院理学院2016届
本科毕业论文(设计) 线性方程组的求解方法及应用
学生姓名：付世辉学号： 0
专业：数学与应用数学指导老师：刘先平
答辩时间：装订时间：
A Graduation Thesis (Project)
Submitted to School of Science, Hubei University for
Nationalities
In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree
In the Year of 2016
The calculation method and application of the system of linear equations
Student Name: Fu Shihui Student No.: 0 Specialty:Mathematics And Applied Mathematics Supervisor: Liu Xianping
Date of Thesis Defense:Date of Bookbinding:
摘要
线性方程组在数学领域中的应用非常广泛，是线性代数的主要内容之一. 矩阵及其基本理论是学习线性代数的一种基本工具，矩阵的初等变换则是线性方程组求解的工具. 线性方程组常用的求解方法有一般消元法、克拉默法则、LU分解法等一系列方法，根据问题的不同，我们在求解的过程中选择的方法也就多种多样. 这些方法可以很好地解决线性方程组的求解问题，在求解过程中，向量和矩阵起着一个不可或缺的作用. 在线性方程组的应用方面，除了跟数学理论知识有着密不可分的联系，还和我们的实际生活联系的极其紧密.
关键词：线性方程组，矩阵，初等变换，克拉默法则，LU分解法
Abstract
Linear equations are widely used in the field of mathematics and they are the main contents of linear algebra. The Matrix and its basic theory are basic tool for learning linear algebra, the elementary transformation of the matrix is the tool of the solution of the linear equations, the commonly used methods of solving linear equations have the general elimination method, Gramer, the LU decomposition method and so on, is according to the problem, we choose one from a variety of method in the process of solving. These methods can solve the problem solving linear equations, vectors and matrices play integral roles in the process of solving. In the application of linear equations, it has not only a close link to the knowledge of mathematical theory, but also very close to our real life.
Keywords: linear equations, matrix, elementary transformation, Gramer, the LU decomposition method
目录
摘要 ................................................................. Abstract ............................................................... I 1 绪言 .. (1)
课题背景 (1)
课题研究的目的和意义 (1)
国内外概况 (1)
2 预备知识 (2)
线性方程组 (2)
线性方程组的定义 .............................. 错误!未定义书签。
线性方程组有解判别定理 (2)
线性方程组解的结构 (3)
齐次线性方程组的性质 (3)
基础解系及其存在性 (4)
一般线性方程组的解的结构 (5)
3 线性方程组的求解方法 (5)
一般消元法 (5)
克拉默法则 (5)
克拉默法则求解具备的条件 (5)
克拉默法则 (6)
LU分解法 (9)
4 线性方程组的应用 (13)
线性方程组在几何学中的应用 (13)
线性方程组在高次方程理论中的应用 (14)
线性方程组在化学中的应用 (15)
5 总结与展望....................................................................... .. (16)
致谢 (17)
参考文献 (18)
1 绪言
本课题阐述与线性方程组有关的求解方法及其广泛应用，线性方程组是贯穿大学
线性代数的一个重要工具,它是贯穿向量、矩阵的桥梁. 国内外许多著名的数学学家
对线性方程组也做了不少的研究，并且取得了显著的科研成果.
课题背景
线性代数是大学数学代数学科的一个重要分支，早在中世纪就开始了对线性代数
的研究. 而方程组理论则是代数学发展的一个重要方向，也是代数学的核心内容之一. 关于线性方程组的求解，在中国历史上很早以前就进行了研究.对线性方程组的研究，
最早记录在公元初《九章算术》中，远远早于欧洲.大学所学高等代数中求解线性方
程组是用一些比较基本的方法，在解决一些比较复杂的问题上有一定的局限性. 本文
主要运用了一般消元法、克拉默法则、LU分解法等解法.针对不同的问题，我们解
决这些问题所选择的方法也不尽相同，这些相关的问题都需要我们去解决. 在现代科
学计算中的许多问题，例如生活中的营养搭配问题、电路问题均与线性方程组的求解
有关.
课题研究的目的和意义
课题研究的意义：
(1) 给出线性方程组的一些求解方法，使读者对线性方程组有更深层次的了解；
(2) 线性方程组的应用与我们的生活息息相关，特别是与我们的饮食健康、经济
平衡联系的比较紧密，我们可用它解决生活中的一些基本问题。
国内外概况
对于线性方程组求解方法的研究，国内外许多著名的数学学家对此作出了不少的
贡献.随着科学技术的进步，数学已经渗入到各学科之中，甚至渗入到我们的日常生
活中. 而我们所学线性方程组的理论知识，则是源自许多著名的国内外学家的著作.
在实际生活中，我们需要确定所需目标，并对此目标作出一系列的决策，这些决策中
的关键要素就是我们重点研究的对象.。
2 预备知识
线性方程组的定义
形如
???????=+++=+++=+++.q y p y p y p
,q y p y p y p ,q y p y p y p s n sn 22s 11s 2
n n 22221211n n 1212111ΛM ΛΛ （）
的方程组的叫做线性方程组.
其中，n y y y ΛΛ21,代表n 个未知量，s 是方程的个数，()n j s i p ij ΛΛ2,1,2,1==称为方程组的系数，()s j q j Λ2,1=称为常数项；系数ij p 的第一个指标i 表示它在第i 个方程，第二个指标j 表示它是j x 的系数. 常记为
Q Py =.
其中
???
??
?
?
??=sn s s n n p p p
p p p
p p p P Λ
M O M M ΛΛ2
122221
11211，????
???
??=s q q q Q M 21
当线性方程组的右端全为零时，该线性方程组就称为齐次线性方程组； 当线性方程组的右端不全为零时，该线性方程组就称为非齐次线性方程组.
线性方程组有解判别定理
定理 线性方程组
??????
?=+++=+++=+++.
q y p y p y p ,q y p y p y p ,
q y p y p y p s n sn 22s 11s 2
n n 22221211n n 1212111ΛΛM ΛΛΛΛ 有解的充分必要条件是它的系数矩阵
????
??
?
??=sn s s n n p p p
p p p
p p p P Λ
M O M M ΛΛ2
122221
112
11 与它的增广矩阵
???
?
??
?
??=-
s sn s s n n q q q p p p
p p p p p p P M Λ
M O M M ΛΛ212
12222111211
有相同的秩.
证明：不妨先引入向量
????
???
??=??????? ??=??????? ??=???????
??=s sn n n n s s q q q Q p p p P p p p P p p p P M M ΛM M 2121222122121111,,,, （） 于是定理中的线性方程组就可以写成
Q y P y P y P n n =++Λ2211 （） 很明显，该线性方程组有解得充要条件是向量Q 可以由向量组n P P P ,,,21Λ线性表出，定理证明过程如下：
必要性 假设该线性方程组有解，那么就是说向量Q 是向量组n P P P ,,,21Λ的线性组合，从而可以得到n P P P ,,,21Λ与向量组Q P P P n ,,,,21Λ等价，又已知等价的向量组有相同的秩，故这两个向量组有相同的秩. 并且这两个向量组分别是系数矩阵P 与增广矩阵-
P 的列向量组. 所以，系数矩阵P 和增广矩阵P 有相同的秩.
充分性 假设系数矩阵P 与增广矩阵-
P 有相同的秩，那么它们的列向量组n P P P ,,,21Λ与Q P P P n ,,,,21Λ有相同的秩，不妨让它们的秩都等于r .n P P P ,,,21Λ中的极大线性无关组是由r 个向量组成的，可以假设r P P P ,,,21Λ是它的一个极大线性无关组，故向量Q 可以由Pr ,,,21ΛP P 线性表出，再加上n r r P P P ,,,21Λ++等r n -个线性无关的向量，可以知道向量Q 可以经n P P P ,,,21Λ线性表出. 所以，该线性方程组有解.
证毕
线性方程组解的结构
在上一节，我们解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们这一节还需要探讨一下线性方程组解的结构. 齐次线性方程组的性质
对于齐次线性方程组
??????
?=+++=+++=+++.
0y p y p y p
,0y p y p y p ,0y p y p y p n sn 22s 11s n
n 2222121n n 1212111ΛΛM ΛΛΛΛ （） 它的解所构成的集合有以下两个重要性质：
性质1:两个解的和还是方程组的解.
假设()n 21a ,,a ,a Λ与()n 21b ,,b ,b Λ是该线性方程组的两个解. 即将这两个解代入到方程组中，每个方程都变成了恒等式.
01=∑=n
j j ij a p , ),,2,1(s i Λ=
01
=∑=n
j j ij b p , ),,2,1(s i Λ=
将这两个解的和
()n n b a b a b a +++,,,2211Λ
代入到该线性方程组中，可以得到
()=+∑=n
1
j j j ij b a p +∑=n
1
j j ij a p 000b p n
1
j j ij =+=∑= )s ,,2,1i (Λ=. （）
这就说明了两个解的和还是方程组的解.
证毕
性质2：一个解的倍数还是方程组的解.
设()n 21a ,,a ,a Λ是该线性方程组的一个解，则有
0a
p n
1
j j
ij =∑= )s ,,2,1i (Λ=. （）
将这个解的c 倍代入到方程组中，就可以得到
()00c a
p c ca p n
1
j j
ij
n
1
j j
ij
=?==∑∑== )s ,,2,1i (Λ=. （）
这就说明了一个解的倍数还是方程组的解.
证毕 基础解系及其存在性 （1）如果满足
a.方程组的任意一个解可以表示成n P P P ,,,21Λ的线性组合；
b.n P P P ,,,21Λ线性无关.
那么这组解n 21P ,,P ,P Λ就称为齐次线性方程组的一个基础解系.
（2）在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含 有的解的个数等于r n -，这里r 表示的是系数矩阵的秩. 一般线性方程组的解的结构
（1）线性方程组的两个解的差是它的导出组的解；
（2）线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和还是这个线性方程组的一个解； （3）在方程组有解的情况下，解是唯一的充要条件是它的导出组只有零解.
3 线性方程组的求解方法
一般消元法
例 求消元法求解线性方程组???
??=++=++=+-.
10y 4y 2y 4,8y 10y 4y 8,2y 6y 2y 4321
321321
解：下面对这三个方程进行加减运算从而达到消元的目的.
第二个方程减去第一个方程的2倍，得
4y 2y 832=-,
第三个方程减去第一个方程得
8y 2y 432=-,
将第一个方程、第四个方程、第五个方程综合起来就得到一个新的方程组
??
?
??.8y 2y 4,4y 2y 8,2y 6y 2y 43232321=-=-=+-
再分别对这个方程组中的第二个和第三个方程进行加减运算，即第二个方程减去第三个方程的2倍就可以得到
??
?
??-==-=+-.122,824,2624332321y y y y y y 可以解出
???
??-=-==.6y ,1y ,
9y 3
21 从而原方程组的解为（9，-1，-6）.
一般消元法用来计算一些比较简单的线性方程组，是最简单最直接最有效的方法，它的基本思想就是将方程进行加减和代入运算，要转换成矩阵的行初等变换来求解.
克拉默法则
克拉默法则求解具备的条件
利用克拉默法则求解线性方程组时需要具备两个条件： （1）线性方程组的方程个数必须与未知量的个数相等； （2）线性方程组的系数行列式不等于零.
克拉默法则
设含有n 个未知数的线性方程组的系数行列式
Q =
nn
n n n n
p p p p p p p p p Λ
M O M M ΛΛ
21
22221112
11
≠ （） 则该线性方程组有解，且只有唯一解，其解可以表示为
Q
Q y ,,Q Q y ,Q Q y n n 2211===
Λ （）
其中),,2,1(n j Q j Λ=是把系数行列式Q 中第j 列的元素用常数项n b b b Λ,,21代替后所得到的n 阶行列式，即
nn
j n n j n n n j j n j j j p p b p p p p b p p p p b p p Q Λ
ΛM O M M M M M ΛΛΛΛ
1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-=
n j Λ,2,1= （）
定理中包含着三个结论：
)1(方程组有解；
)2(解是唯一的； )3(解由公式给出.
下面来证明一下克拉默法则： 证明：1.该线性方程组简写成
n i b y p
n
j i j ij
Λ2,1,1==∑=. （）
首先需要证明（）是（）的解. 将（）代入到第i 个方程，那么左端就为
∑∑===n
j j ij n
j j
ij Q p Q Q Q p 111.
（）
由于 ∑==++=n
s sj s nj n j j j A b P b P b P b Q 1
2211Λ.
故有 ∑∑∑====n
1j n
1
s sj s ij n 1j j ij P b p Q 1Q p Q 1
=∑∑==n 1s s n
1j sj ij b )P p (Q 1
=
i i b Qb Q
1
=. 这就与第i 个方程的右边是一致的，故（）是该线性方程组的解. 2.假设)c c ,c (n 21Λ是该线性方程组的一个解，那么就有那个恒等式
n ,,2,1i ,b c p n
1
j i j ij Λ==∑=. （）
下面证明Q
Q c k
k =
，不妨取矩阵中第k 列元素的代数余子式nk k 2k 1P ,,P ,P Λ，再用他们乘上面这n 个恒等式，就可以得到 ∑===n
1
j ik i j ij ik n ,,2,1i ,P b c p P Λ.
将它们加起来，就可得
∑∑∑====n
1
i n
1
j n
1
i ik i j ij ik P b c p P . （）
再来看（）的左边，
∑∑∑∑=====n 1
i n 1
j n 1i n
1
j j
ik
ij j
ij ik
c
P p c p P
=∑∑==n 1
j j n
1
i ik ij c )P p (.
已知
∑=?
??≠==n
1j ik ij .k j ,0,
k j ,Q P p 当当
故有 .Qc c P p k j n
1j n 1i ik ij =???
??∑∑==
就可得 .n ,,2,1k ,Q
Q c k
k Λ==
即方程组的一个解为)c ,,c ,c (n 21Λ，它必为
???
??Q Q ,,Q Q ,Q Q n 21Λ
故方程组最多有一组解.
证毕
例 用克拉默法则解线性方程组：
??????
?=-+-=+--=++-=++-.
4y y 3y y 3,3y 2y y y 3,5y 2y 3y 3y 3,6y 2y 3y y 2432143214
3214321 解：该线性方程组的系数行列式为
0701********
3332
312Q ≠-=------=
， 070131
4
21132
3352
3
1
6Q 1≠-=------=
， 0701********
3532
3
6
2Q 2≠-=--=
， 0701
41323
132
5332
6
12
Q 3≠-=-----=
， 0704
3
1
3
31135
3336
3
1
2Q 4≠-=-----=
，
从而该线性方程组的唯一解为
1,1,1,144332211========
Q
Q
y Q Q y Q Q y Q Q y . （） 克拉默法则只适用于系数行列式不等于0的线性方程组，那么对于系数行列式为0的情况就不能用克拉默法则解题了，克拉默法则主要在于理论上的应用.
定理 如果齐次线性方程组
???????=+++=+++=+++.
0y p y p y p ,0y p y p y p ,0y p y p y p n nn n 2n n 1n n
n 2222221n n 1212111ΛΛΛΛΛ （）
的系数矩阵的行列式，那么它只有零解. 即，如果该齐次线性方程组有非零解，那么必然有0Q =. 下面来证明一下定理：
证：对该齐次线性方程组应用克拉默法则，因为行列式j Q 中有一列全为零，则有
.0Q Q Q n 21====Λ （）
故它的唯一解为()0,0,0Λ. 从而定理得证.
例 求λ在什么条件下，方程组
()()?
?
?=+λ+=λ++.0x x 1,
0x 1x 2121 有非零解.
解:根据定理，若该齐次线性方程组有非零解，那么系数矩阵的行列式 ()
,01
1112=λ+λ-=λ
+λ+
故1,021-=λ=λ.
可以验证当1021=λ=λ或时，该齐次线性方程组确有非零解.
克拉默法则在计算一些基本的线性方程组是可行的，但是对于n 个未知量n
个方程的线性方程组就必须得计算1+n 个n 级行列式，相对而言计算量非常大.
LU 分解法
LU 分解法，又称三角形分解法，是求解线性方程组的重要方法之一. 当方程组
左边的系数矩阵不变，仅仅是方程组右边列向量发生改变，能够很好地求解方程组.
设n 阶线性方程组为
.Q Py =
若可以将方程组左边的系数矩阵P 分解成两个三角阵的乘积，即可以写成LU P =，其中，L 为主对角线以上的元素均为零并且主对角线元素均为1的下三角矩阵，U 为主对角线以下的元素均为零的上三角矩阵。
????
??
?
?????????
??=???????
??nn n n n n nn n n n n U U U U U U L L L P P P P P P P P P M O ΛΛ
Λ
O M M Λ
M O M M ΛΛ22211211212121222
21
112
1111
1 故有
Q LUy =，
令
x Uy =，
则有
Q Lx =.
由LU P =，由矩阵的乘法公式：
,n ,,2,1j ,U P j 1j 1Λ==
,n ,,2,1i ,U L P 111i 1i Λ==
推出
,n ,2,1j ,P U j 1j 1Λ== ,n ,,2,1i ,U P L 11
1
i 1i Λ==
这样就可以确定出U 的第一行元素和L 的第一列元素. 以此类推，设已经确定了U 的第1-k 行元素和L 的第1-k 列元素，由矩阵乘法：
∑==n
1
r rj k r k j U L P .
当k r >时，有1,0==rr kr L L ，因为
∑=+=n
r rj kr kj kj U L U P 1
.
所以
∑=-=n
r rj kr kj kj U L P U 1
n ,,1k ,k j Λ+=,
同理可以求出L 的第k 列的公式：
kk
n
r rj
kr ik ik U U L P L ∑=-=
1 n k k i ,,1,Λ+=,
所以可以得到如下算法——杜利特（Doolittle ）算法： （1）将矩阵分解为n ,2,1k ,LU P Λ==对
∑=-=n
r rj kr kj kj U L P U 1 ,n ,,1k ,k j Λ+=
kk
n
r rj
kr ik ik U U L P L ∑=-=
1
,n ,,1k ,k i Λ+=
1L k k =. （2）解Q Lx =
n ,,2,1k ,x L Q x 1
k 1r r k r k k Λ=-=∑-=.
（3）解x Uy =
1,,1n ,n k ,U x U
x y k k
n
1
k r r
k r
k k Λ-=-
=
∑+=.
LU 分解法的证明过程如下： 证明:
对n n P ?，当1=n 时上述结论显然成立.
假设当1-=k n 上述结论成立，现证明k n =时结论成立.
对A 进行分块得???? ??=-nn 1n p C Q P P ，令????
??=---1CP E L 11n 1n 1，易得.Q CP p 0Q P L P 11n nn 1n 1???? ??-=---
其中Q Q CP P 1
1n nn =---.已知对1k P -成立1k P -22U L =,其中2L 为单位下三角矩阵2U 为非奇
异上三角矩阵，于是
.q L U 100L L q 0
Q U L L P 1
2
2
212
21???
? ?????? ??=???? ?
?=-
令L =???? ?
?10
021L L ,=U ???
?
?
?-q L U 122
，显然易见L 为单位下三角矩阵，U 为非奇异上三角矩阵.
例 求解方程组
.4722239y y y y 40115618962569262
424321???
?
??? ??=??????? ?????????
??
解：由上面的分解法第一步的公式可得出
??????? ??=1233121121L ， ???
??
?
?
??=1633216242U 于是可以化为两个方程组
???????
??=??????? ????????? ??472223912331211214321x x x x ， ?????
?
? ??=??????? ?????????
??432143
211633216242x x x x y y y y . 利用第二步和第三步的公式可得出该线性方程组的解为
()()T
T
y x 1,3,2,5,1,3,5,9-=-=.
4 线性方程组的应用
线性方程组的应用包括理论和实际方面的应用，下面我们来介绍一下它的具体应用. 线性方程组在数学理论的应用还是很广泛的，特别在解析几何、代数上有重要的应用. 我们可以用齐次线性方程组来解决初等数学的一些基本问题，应用起来可以适当避免一些繁琐的过程.
线性方程组在几何学中的应用
定理
任意三点不在同一直线上的不同四点
i Q ()i i b a , ()4,3,2,1=i
共圆的充分必要条件是
01
11
144
24
24332
32
322
2
2
22112
121=++++b a b a b a b a b a b a b a b a . 证明：先证必要性：
我们假设()i i i b a Q ,()4,3,2,1=i 在圆()022=++++F Eb Da b a A ()0≠A 上，那么我们就可以将这四个点带入到圆方程中去,就可以得到
()()()()???
????=++++=++++=++++=++++.
0F Eb Da b a A ,0F Eb Da b a A ,
0F Eb Da b a A ,0F Eb Da b a A 442424332
323222
222112
121 我们已知0≠A ，故此方程组是关于F E D A ,,,的齐次线性方程组，它必有非零解，从而可以知道它的系数行列式等于零，即
01
11144
24
243323232222
22112
121=++++b a b
a b a b a b a b a b a b a .
从而必要性得证. 再证充分性： 如果
01
11144
24
243323232222
22112
121=++++b a b
a b a b a b a b a b a b a ，
那么关于F E D A ,,,的齐次线性方程组
()()()()???
????=++++=++++=++++=++++.
0F Eb Da b a A ,0F Eb Da b a A ,
0F Eb Da b a A ,0F Eb Da b a A 442424332
323222
222112
121 就会存在非零解. 我们可以假设()1111,,,F E D A 是该齐次线性方程组的一组非零解. 又已知四点中任意三点都不共线，那么可以假设01≠A ，否则的话111,,F E D 不同时为零,从而导致三点共线. 即可得出这四个点都在圆()0111221=++++F b E a D b a A ()01≠A 上，充分性得证。从而该定理得证。
线性方程组在高次方程理论中的应用
定理
若d c b a ,,,为互不相等的四个实数，则四个方程
???
????=+++=+++=+++=+++.0c bx ax dx ,0b ax dx cx ,
0a dx cx bx ,0d cx bx ax 232
32
323 没有公共实根。
证明：我们可以用反证法进行证明.
假设这四个方程有公共实根0x ，那么关于d c b a ,,,的齐次线性方程组就会有一组非零解，即
01
11130
20
2030
020
30
2030
=x
x x x x
x x x x x x x .
可以得到10-=x ，将10-=x 带入到原方程组中，就可以得到c b =，这与已知d c b a ,,,互不相等矛盾，从而可以得出这四个方程没有公共实根.
线性方程组在化学中的应用
线性方程组在化学中的应用也比较广泛，特别是配平化学方程式，根据守恒规律，可得出相应的方程，从而求解出方程组的解，就可以配出化学方程组的系数了. 例 在高温条件下，一氧化碳可以还原四氧化三铁生成单质铁和二氧化碳，请配平该化学方程式
243CO Fe O Fe CO +→+
解：为了配平该化学方程式，我们不妨假设反应物和生成物的量分别为4321,,,x x x x ，根据守恒定律，各原子的数目在发生化学反应前后保持不变，则
根据铁原子守恒，有
233x x =,
根据碳原子守恒，有
41x x =,
为了平衡氧原子，有
42124x x x =+,
将这三个式子综合起来并进行移项，就可以得到
???
??=-+=-=-.
0x 2x 4x ,
0x x ,0x 3x 421
4123 由于方程的个数少于未知量的个数，我们可以知道该线性方程组必定有非零解，且每一个分量必须为正数解，简化其增广矩阵就有
????
?
??---→????? ??--=010400013000041020410100100130B .
我们将2x 取作自由未知量，就有
???
??===.
x 4x ,x 3x ,
x 4x 24
2321 特别地，取
,1x 2=
此时可求出
.4x ,3x ,4x 431===
此时化学方程式有以下形式：
243434CO Fe O Fe CO +→+
线性方程组的求解与应用开题报告
设计题目线性方程组理论及其应用 学生姓名陈彦语学号1111124123 专 业 数学与应用数 学（师范类） 一、课题的目的意义： 高等代数教材中只给出了运用克拉默法则（Cramer's Rule）和利用增广矩阵进行初等行变换求解线性方程组的方法，本文将更加系统的阐述求解线性方程组的几类方法，并进一步讨论线性方程组在许多领域中的应用。 线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支，其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。线性方程组的求解是数值计算领域十分活跃的研究课题之一，大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因为计算机只能“线性”地求解问题，所以所有问题在计算机处理前都要线性化。可以说，线性方程组的求解在现代科学领域占有重要地位。 二、近几年来研究现状： 目前关于线性方程组的数值解法一般有两大类，一类是直接方法，另一类是迭代方法。直接方法最基本的是高斯消元法及其变形，这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，近十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。迭代法就是用某种迭代过程去逐步逼近线性方程组的精确解，迭代法具有的优点是：需要计算机的存储单位较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变，但存在收敛性和收敛速度的问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法，当前对迭代算法的研究已经较为成熟，但如何使之适合新体系模型，以获得更好的性能加速还有待进一步研究。 。三、设计方案的可行性分析和预期目标： 可行性分析：本文主要以查找资料，在现有知识水平上，对求解线性方程组的一般方法进行总结归纳，并根据对数学软件的学习，在借鉴前人对计算机编程科学性研究的基础上，给出利用matlab软件求解几类常见线性方程组的方法。通过广泛收集线性方程组应用方向的文献和书籍，并多次向导师请教，最终以具体实例来说明线性方程组在许多领域的应用，并实现线性方程组的求解过程。 预期目标：通过撰写论文，能让我从一个更高的角度来审视高等代数，对其中的线性方程组部分有一个更加深刻的理解和认识，锻炼自己的发散性思维和缜密的思考能力，培养自己利用所学知识解决实际问题的能力，从而达到对所学知识的融会贯通。
浅析线性方程组的解法及应用
目录 摘要 ........................................................................ I Abstract.................................................................... II 第一章绪论 (1) 1.1 引言 (1) 第二章行列式与线性方程组求解 (1) 2.1 标准形式的二元线性方程组 (1) 2.2 标准形式的三元线性方程组 (2) 2.3 克莱姆法则 (3) 2.3.1逆序数 (3) 2.3.2 克莱姆法则 (4) 第三章线性方程组的理论求解 (6) 3.1 高斯消元法 (6) 3.2 线性方程组解的情况 (7) 3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (8) 第四章求解线性方程组的新方法 (9) 第五章线性方程组的应用 (11) 5.1 投入产出数学模型 (11) 5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (14) 第六章结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
浅析线性方程组的解法及应用 学生：陈晓莉指导教师：余跃玉 摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。 关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式
线性方程组的应用
线性方程组在现实中的应用 线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。 为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题. 一、 线性方程组的表示 1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示 11112211 2112222211 22............n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=?? +++=?? ? ?+++=? 2）向量形式： 1122...n n x x x αααβ +++= 3）矩阵形式的表示 ： ,AX β=()12,,...,n A ααα=() 12,,...,T n X x x x = 特别地，当0β =时，AX β=称为齐次线性方程组，而当0 β≠时， AX β =称为非齐次线性方程组
2.按照次数分类又可分为两类 1）齐次线性方程组 2）非齐次线性方程组 二、线性方程组的应用 1.在经济平衡中的应用 假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成，每个行业的产出在各个行业中的分配见表1-1，每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以第二列为例，能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业，10%分配到机械行业，余下的供本行业使用。因为考虑了所有的产出，所以每一列的小数加起来必须等于1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用1 23,,p p p 表示。 试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。 表1-2 经济系统的平衡 产出分配 购买者 五金化工 能源 机械 0.2 0.8 0.4 五金化工 0.3 0.1 0.4 能源 0.5 0.1 0.2 机械 解：从表1-2可以看出，沿列表示每个行业的产出分配到何处，沿行表示每个行业所需的投入。例如，第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产
线性方程组的解法
线性方程组的解法 1 引言 在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些问题往往需要求数值解。在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解形如Ax= b的大型线性方程组。而如插值公式，拟合公式等的建立，微分方程差分格式的构造等，均可归结为求解线性方程组的问题．在工程技术的科学计算中，线性方程组的求解也是最基本的工作之一．因此，线性方程组的解法一直是科学和工程计算中研究最为普遍的问题，它在数值分析中占有极其重要的地位。20世纪50年代至70年代，由于电子计算机的发展，人们开始考虑和研究在计算机上用迭代法求线性方程组Ax =b的近似解，用某种极限过程去逐渐逼近精确解，并发展了许多非常有效的迭代方法，迭代法具有需要计算机存储单元少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点。例如Jacobi方法、Gauss—Seidel 方法、SOR方法、SSOR 方法，这几种迭代方法是最常用的一阶线性定常迭代法。 2 主要算法 20世纪50年代至70年代，人们开始考虑和研究用迭代法求解线性方程组。 Ax = b (1) 的近似解，发展了许多有效的方法，其中有Jacobi方法、Gauss—Seidel方法，SOR方法、SSOR方法，这几种迭代方法均属一阶线性定常迭代法，即若系数矩阵A的一个分裂：A =M-N ；M 为可逆矩阵，线性方程组(1)化为： (M－N)X =b； →M X = NX + b； →X= M -1NX+ M-1b 得到迭代方法的一般公式： X（k+1）=HX（k）+d （2） 其中：H =MN-1，d=M-1b，对任意初始向量X（0） 一阶定常迭代法收敛的充分必要条件是: 迭代矩H的谱半径小于1，即ρ(H) < 1；又因为对于任何矩阵范数恒有ρ(H)≤‖H‖，故又可得到收敛的一个充分条件为：‖H‖< 1。 2.1 Jacobi迭代法 若D为A的对角素构成的对角矩阵，且对角线元素全不为零。系数矩阵A的一个分解：A =
Matlab线性方程组求解(Gauss消去法)
Matlab线性方程组求解 1. Gauss消元法： function x=DelGauss(a,b) % Gauss消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n if a(k,k)==0 return end m=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j); end b(i)=b(i)-m*b(k); end det=det*a(k,k); %计算行列式 end det=det*a(n,n); for k=n:-1:1 %回代求解 for j=k+1:n b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j); end x(k)=b(k)/a(k,k);
end Example: >> A=[1.0170 -0.0092 0.0095;-0.0092 0.9903 0.0136;0.0095 0.0136 0.9898]; >> b=[1 0 1]'; >> x=DelGauss(A,b) x = 0.9739 -0.0047 1.0010 2. 列主元Gauss消去法： function x=detGauss(a,b) % Gauss列主元消去法 [n,m]=size(a); nb=length(b); det=1; %存储行列式值 x=zeros(n,1); for k=1:n-1 amax=0; %选主元 for i=k:n if abs(a(i,k))>amax amax=abs(a(i,k));r=i; end end if amax<1e-10 return; end if r>k %交换两行 for j=k:n
线性方程组在中学数学中的应用
线性方程组在中学数学中的应用 摘要 基于中学数学中的有些问题可以转化为线性方程组来解决，使得复杂的问题变得简单。线性方程组是由几个变量之间组成的相互关系，在中学数学中大多都是两个未知量或三个未知量组成的齐次线性方程组，而求解线性方程组大多进行变形，用消元法进行，一般解都具有唯一性，只有少数部分的解不唯一。本文对线性方程组在中学数学代数和几何中的应用进行了研究。 关键词：线性方程组中学数学消元法线性方程组的解
ABSTRACT Based on some mathematic problems of middle school, those problems can be transformed into linear system of equations to solve and made complex problems become more and more simple .The linear system of equations consists of several variables .In middle school mathematics .most of them are homogenous linear equations with two unknown quantities or three unknown quantities. While the solution of linear system equations is mostly used to the method of elimination .Generally. It has the only solution, only a small number of solutions are not unique. In this paper, we study the application of linear equations in algebra and geometry. Key words: system of linear questions；middle school mathematics；The elimination solution of system of linear equations
线性方程组的解法及其应用
线性方程组的解法及其应用 The solution of linear equation and its application 专业：测控技术与仪器 班级： 2010-1班 作者：刘颖 学号： 20100310110105
摘要 线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生产生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要的作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据进行处理是很方便简捷的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。 关键词： 齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。
Abstract Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice. This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations. Keywords: Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear equation,Clem’s law,Elimination method,Matrix,Rank of matrix,Special solution,General solution.
线性方程组解决实际问题项目
线性方程组解决实际问题项 目 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
项目名称应用线性方程组解决实际问题项目 【项目内容】营养食谱问题 高考前期一个饮食专家给即将踏入高考大门的学子准备了一份膳食计划，以此来帮助同学们提高和调节身体所摄入的大量营养，提供一定量的维生素C、钙和镁。其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出 【相关知识点】 1.线性方程组间的代数运算； 2.线性相关性之间的关系； 3.矩阵与增广矩阵之间的行最简化法； 4.其次线性方程组与非齐次线性方程组的解法； 5.向量组的线性组合以及线性相关性； 【模型假设与分析】
【解】设X1、X2、X3分别表示这三种食物的量。对每一种食物考虑一个向量，其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C、钙和镁的含量： 食物1：1= 食物2：2= 食物3：3=食物4：4= 需求： 【模型建立】 则X11、X22、X33、X44分别表示三种食物提供的营养成分，所以，需要的向量方程为 X11+X22+X33+X4 4 = 则有= 【模型求解】 利用矩阵与增广矩阵之间的行最简化法； = ~
则线性相关 R（A）=4=R（A，b）该线性方程组有唯一解。 【结论及分析】 解此方程组 得到： X1= X2= X3= X4=-5 因此食谱中应该包含个单位的食物1，个单位的食物2，个单位的食物3。个单位的食物4。 由此可得合理的膳食与线性方程组息息相关，由方程可知合理膳食的特解，即在一定的条件下，食物的摄入量是相对稳定的，过多或过少都不利于生理所需，唯有达到一个特解时，营养与体能的搭配才是最完美的。 【心得与体会】 通过生活中的这个小例子，我们小组总结以下发现，线性方程组在生活中的运用是普遍而广泛的，通过学习和查阅资料，让我们更真切的理解和体会到线性方程在身边的实用性，如果合理的运用，不仅对我们身体健康有所帮助，而且有益于我们全面的理解数学世界观，对我们人生有重大的指导和参考意义，线性方程组在科学研究等诸多方面有更广泛深入的应用。希望通过这次的实践和应用，努力将其联系到实际中，真正的做到领会到数学的真谛。【参考文献】 【1】刘振兴，浅谈线性代数在生活中的应用 【2】Loveyuehappy，浅析线性方程组的解法及应用 【3】
浅析线性方程组的解法
目录 摘要................................................................................... I Abstract. ............................................................................. II 第一章绪论............................................................................ I 1.1引言 (1) 1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1) 1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1) 第二章线性方程组理论基础 (2) 2.1 线性方程组概念 (2) 2.2 线性方程组的解的情况分析 (2) 2.3 齐次线性方程组解的结构 (4) 2.4非齐次线性方程组解的结构 (4) 第三章线性方程组的数值解 (5) 3.1 迭代法 (5) 3.1.1 Jacobi方法 (6) 3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8) 第四章全文总结和展望 (10) 4.1 全文总结 (10) 4.2 未来展望 (10) 参考文献 (11) 致谢................................................................. 错误！未定义书签。
线性方程组的求解方法 学生：指导教师： 摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。得到线性方程组的数值解的一般方法。最后，对全文进行了总结和展望。 关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法
解线性方程组的直接解法
解线性方程组的直接解法 一、实验目的及要求 关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。 二、相关理论知识 求解线性方程组的直接方法有以下几种： 1、利用左除运算符直接求解 线性方程组为b x\ =即可。 A Ax=，则输入b 2、列主元的高斯消元法 程序流程图： 输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。 根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行； 对于1 p :1- =n 选择第p列中最大元，并且交换行； 消元计算； 回代求解。（此部分可以参看课本第150页相关算法） 3、利用矩阵的分解求解线性方程组 （1）LU分解 调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下： [L,U]=lu（A） 注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。 （2）平方根法
调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下： R=chol （A ） 输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。 三、研究、解答以下问题 问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)： ??????? ??--------=19631699723723312312A ，?????? ? ??-=71636b 解答： 程序： A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19]; R=chol(A) b=[6 3 -16 7]'; y=inv(R')*b %y=R'\b x=inv(R)*y %x=R\y 结果： R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.2887 0 4.7170 -1.3780 -0.5830 0 0 9.8371 -0.7085 0 0 0 4.2514 y =1.7321 0.9540 -1.5945 1.3940 x =0.5463 0.2023 -0.1385 0.3279 问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）： ?????????? ??----=8162517623158765211331056897031354376231A ，????????? ? ??-=715513252b
线性代数在生活中的应用
线性代数在生活中的运用 线性代数的研究对象就是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换与有限维的线性方程组。随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,既求解有限维的线性方程组,使各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,解线性方程组正就是解决这些问题的有力工具。本文由用初等数学解线性方程组的例子,引用线性代数中的一些基本概念,论述了线性代数与线性方程组的内在联系。 线性方程组就是各个方程关于未知量均为一次的方程组 x ｊ表示未知量,ai ｊ为系数,bi 为常数项。则有 ???????=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L 22112222212111212111 若x1=c1,x2＝ｃ2,…,xn ＝cn 代入所给方程各式均成立,则称(ｃ1,c ２,…,cn)为一个解。若c1,c2,…,ｃｎ不全为0,则称(c1,c2,…,cn)为非零解。若常数项均为0,则称为齐次线性方程组,它总有零解(0,0,…,0)。两个方程组,若它们的未知量个数相同且解集相等,则称为同解方程组。 线性方程组主要讨论的问题就是:①一个方程组何时有解。②有解方程组解的个数。③对有解方程组求解,并决定解的结构。 当非齐次线性方程组有解时,解唯一的充要条件就是对应的齐次线性方程组只有零解;解无穷多的充要条件就是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解与有非零解时,不一定原方程组有唯一解或无穷解,事实上,此时方程组不一定有解。 克莱姆法则给出了一类特殊线性方程组解的公式。n 个未知量的任一齐次方程组的解集均构成ｎ维空间的一个子空间。 线性方程组有广泛应用,熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。请瞧下面一个例子。
线性方程组的直接解法
第2章线性方程组的直接解法 2.1实验目的 理解线性方程组计算机解法中的直接解法的求解过程和特点，学习科学计算的方法和简单的编程技术。 2.2概念与结论 1. n阶线性方程组 如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量x1,x2, …,x n的幂次都是一次的(线性的)那末, n 个方程 a11x1+a12x2+ … +a1n x n=b1 ┆┆┆ (1) a n1x1+a n2x2+ … +a nn x n= b n 构成一个含n个未知量的线性方程组,称为n阶线性方程组。其中,系数a11,…,a1n,a21, …,a2n, …,a n1, …,a nn 和b1, …,b n都是给定的常数。 方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为 Ax=b 其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,b称为方程组的右端向量。 2. n阶线性方程组的解 使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,x n*称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量. 3.一些特殊的线性方程组 1) 上三角方程组 2) 三对角方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - n n nn n n n n n n n n b b b x x x a a a a a a a a a a a a 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 23 22 1 1 1 13 12 11
4.矩阵的Doolittle 分解 5.Doolittle 分解的紧凑格式 6．矩阵的Crout 分解 ????????? ? ??=?????????? ???????????? ? ?--n n n n n n d d d x x x b a c b c b a c b a c b 21 2111333 22211???? ?? ? ? ???????? ??=??????? ??nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a 222 11211 2 1 21 2 1 2222111211111 ???? ?? ? ? ???????? ??=??????? ??11 1 21122 1 2221 11 2 1 2222111211 n n nn n n nn n n n n u u u l l l l l l a a a a a a a a a ????? ?? ? ??nn n n n n n n u l l l u u l l u u u l u u u u 3 2 1 333323122322211131211
矩阵在线性方程组中的应用
矩阵在线性方程组中的应用 摘要 矩阵和线性方程组都是高等数学的重要教学内容。在高等数学教学中利用矩阵解线性方程组的方法基本上是所知的固定几种：利用矩阵初等变换、克拉默法则、高斯—若尔当消去法。但是解一个线性方程组有时需要几种方法配合使用，有时则需要选择其中的最简单的方法。而对于一些特殊的线性方程组的解法很少有进行归类、讲解。我们希望可以通过对本课题的研究，总结和归纳用特殊矩阵解几类特殊线性方程组的解法。 关键词矩阵；线性方程组；齐次线性方程组；非齐次线性方程组
MATRICES IN THE APPLICATIONS OF THE SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS ABSTRACT Matrices and system of linear equations are important content of advanced mathematics. We often use several fixed methods to solve system of linear equations in advanced mathematics，such as Matrix transformations;Cramer's Ruleand Gauss-Jordan elimination method. But sometimes, we need to choose one of the most simple ways,or we need to use several methods to solve system of linear equations. For some special solution method of system of linear equations, there are few classification and explanation in detail. We hope that we can research, summarizes and induces solution method of some special system of linear equations with special matrices. KEY WORDS matrices; system of linear equations; homogeneous system of linear equations; nonhomogeneoussystem of linear equations
线性方程组的数值解法及其应用
线性方程组的数值解法及其应用 一、问题描述 现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动。这些现象大多是用若干个微分方程描述。用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，因为未知数的维数是有限的）。因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常广泛。 经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。 二、基本要求 1）掌握用MATLAB软件求线性方程初值问题数值解的方法； 2）通过实例学习用线性方程组模型解决简化的实际问题； 3）了解用高斯赛德尔列主元消去法和雅可比迭代法解线性方程组。 三、测试数据 1） 直接法：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290]; b=[52.90;38.44]; 2） 迭代法：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5]; b=[7.2;8.3;4.2]; 四、算法程序及结果 1） function[RA,RB,n,x]=liezy1(A,b) B=[A b];n=length(b);RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('因为RA~=RB,所以此方程组无解.') return
if RA==RB if RA==n disp('因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.') x=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1); for p=1:n-1 [Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:); B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:n m=B(k,p)/B(p,p); B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);x(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 x(q)=(b(q)- sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('因为RA=RB
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法 线性方程组形式如下： 常记为矩阵形式 其中 一、高斯消元法 高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x 向量。现举例说明如下： （一）消元过程 第一步：将(1)/3使x 1的系数化为1 得 再将(2)、(3)式中x 1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1) 得 )1(32)2( (03) 4 32=+x x )1(321)1(......23132=++ x x x
由(3)-4×(1)(1) 得 第二步：将(2)(1) 除以2/3，使x 2系数化为1，得 再将(3)(1) 式中x 2系数化为零，即 由(3)(1) -(-14/3)*(2)(2) ，得 第三步：将(3)(2) 除以18/3，使x 3系数化为1，得 经消元后，得到如下三角代数方程组： （二）回代过程 由(3)(3) 得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2) 得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1) 得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T （三）、用矩阵演示进行消元过程 第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式 第二步：然后对矩阵进行初等行变换 初等行变换包含如下操作 （1） 将某行同乘或同除一个非零实数 ) 3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63) 18-=x ) 2(32) 2(......02=+x x ) 1(32)3( (63) 10 314-=-- x x
（2）将某行加入到另一行 （3）将任意两行互换 第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形式如下： 示例： （四）高斯消元的公式 综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为 1．消元 （1）令 a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n） b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n） （2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行 l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n） a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n） b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n） 2．回代 若a nn(n) ≠0 x n = b n(n) / a nn(n) x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n ) （五）高斯消元法的条件 消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。 注意A的顺序主子式D i（i=1,2,…,n）,在消元的过程中不变，这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”。若高斯消元法的过程进行了k-1步(a ii(i) ≠0,i 解线性方程组的消元法及其应用 （朱立平 曲小刚） ● 教学目标与要求 通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵. ● 教学重点与难点 教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. 教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. ● 教学方法与建议 先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。 ● 教学过程设计 1.问题的提出 由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的. 引例 解线性方程组 ??? ??=+-=+=++132724524321 21321x x x x x x x x )3()2()1( 解 （1）???→??)2()1(?????=+-=++=+13245247 232132121x x x x x x x x )3()2()1(????→?+-?+-?) 3()2()1()2()4()1(?????-=+-=+=+133524567232 3221x x x x x x )3()2()1( ????→?+-?)3()65 ()2(??????? =--=+=+76 724567233221x x x x x )3()2()1( 用回代的方法求出解即可. 问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法. 2.矩阵的初等变换 定义1 阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵. 定义2 下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换： i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作j i r r ?）， ii. 用数0≠k 乘矩阵的某行的所有元素（例如第i 行乘k ，记作i kr ）， iii. 把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作j i kr r +）. 同理可以定义矩阵的初等列变换. 定义 3 如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作 A ~ B . 注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵. 3. 高斯消元法 对于一般的n 阶线性方程组 ?????? ?=++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112 22221211 1212111 )()2()1(n （3.1） 若系数行列式0det ≠A ，即方程组有唯一解，则其消元过程如下： 第一步，设方程（1）中1x 的系数01≠l a 将方程)(l 与（1）对调，使对调后的第一个方程1x 的系数不为零.作)1(11 1 a a i i - ),3,2(n i Λ=，得到同解方程组 ?? ? ????=++=++=+++)1()1(2)1(2) 1(2 )1(22)1(22)0(1)0(12)0(121)0(11n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2） 第二步，设0) 1(22≠a ，保留第二个方程，消去它以下方程中的含2x 的项，得 线性方程组及其应用 3 2 1 余韶堃顾子兵魏鹏 摘要：本文主要将高等代数中所学线性方程组的部分重要理论应用于初等数学 中，来解决初等数学中的一些问题，例如判断平面上两条直线的位置关系和空间上三个平面的位置关系等，同时说明高等数学与初等数学之间的密切联系. 关键词：线性方程组；齐次线性方程组；系数行列式；初等数学；应用 一.内容提要 1.线性方程组的内容 ①.线性相关性 ②.向量组的基本性质 ③.矩阵的秩 ④.线性方程组的解 2.线性方程组在数学中的应用 ①.判断平面上两条直线之间的位置关系 ②.判断空间上三个平面之间的位置关系 ③.运用线性方程组的相关理论来证明几个初等数学中的结论 ④.运用线性方程组的相关理论来判断三点共线、四点共面、四点共圆和五点共 球 二.线性方程组的内容 1.线性相关性 ①.线性组合：向量α称为向量组n βββ,,,21 的一个线性组合。如果有数域P 中的数n k k k ,,,21 ，使n n k k k βββα+++= 2211。 ②．线性表出：当向量α是向量组n βββ,,,21 的一个线性组合时，我们也可以说α可已经向量组n βββ,,,21 线性表出。 ③.等价：如果向量组t ααα,,,21 中每一个向量),,2,1(t i i =α都可以经向量组 n βββ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 就称为可以经向量组n βββ,,,21 线性表出。如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为 等价。 ④.线性相关：如果向量组)2(,,,21≥s s ααα 中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组s ααα,,,21 就称为线性相关的。如果有数域P 中不全为零的数S k k k ,,,21 ，使02211=+++S S k k k βββ ，向量组)1(,,,21≥s s ααα 称为线性相关。 ⑤.相性无关：向量)1(,,,21≥s s ααα 不线性相关，既没有不全为零的数 S k k k ,,,21 使02211=+++S S k k k βββ ，就称为线性无关；或者说，一向量组 s ααα,,,21 称为线性无关，如果由02211=+++S S k k k βββ 可以推出 021====s k k k 。 2.向量组的基本性质 ①.设r ααα,,,21 与s βββ,,,21 是两个向量组，如果向量组r ααα,,,21 可以经 s βββ,,,21 线性变出，s r 那么向量组r ααα,,,21 必线性相关。 ②.如果向量组r ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，且r ααα,,,21 线性无关，那么s r ≤。 ③.任意1+n 个n 维向量必线性相关。 ④.两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量。 ⑤.如果s ααα,,,21 的秩为r ，则s ααα,,,21 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。 ⑥.如果向量组（I ）可以由向量组（II ）线性表出那么（I ）的秩不超过（II ）的秩。 ⑦.若in ir ir i i ir i i i B A ααααααααα,,,,,()(),,()(12121 +===，若)(A 线性无关，则)(B 线性无关；若)(A 线性相关，则)(B 线性相关。(完整版)解线性方程组的消元法及其应用
线性方程组及其应用