三角形内外角角平分线习题

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学张昌林

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．

命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．

证明：如图１：

命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．

命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．

例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度．

例３（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．

例2 如图2，在△ABC 中，∠B<∠C ，AQ 平分∠BAC ，AQ 交BC 于点Q ，点T 是AQ 延长线上的一点，TH ⊥BC 于点H ，试说明∠HTA=2

1（∠C －∠B ）。

图2

11、如图，D 是△ABC 的BC 边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，

∠BAC=63°，求∠DAC 的度数。

3．已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的

度数为( )

A ．90°

B ．110°

C ．100°

D ．120°

【精品】三角形角平分线专题讲解

【关键字】精品 二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是笔直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

三角形外角定理.doc

北师大版八上第七章第五节 《三角形内角和定理2》 教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉

《三角形内角和定理2》教学设计 郑州市第七十五中学郑红莉 一课标要求 掌握三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，证明三角形任意两边之和大于第三边。 二基于对教材的理解 本节课是北师大版八年级上册第七章第五节《三角形内角和定理》第2 课时的内容，学生在前一节课中已经学习了三角形内角和定理的证明和应用，因此本节课是对三角形知识学习的延伸，主要涉及三角形的外角定义，三角形两个外角定理及应用，同时进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。 三基于对考试要求的分析 能利用三角形内角和定理推论进行角度计算和角度数量关系证明。 四基于对学情的分析 1、学生已有知识基础。 学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力。 2、已有的活动经验 具备一定的学习能力，包括自学和交流，具备有条理的思考分析和表达能力，思维正逐步由具体走向抽象，当然依然倾向于通过形象

的材料来理解相关知识和概念。 3、学习本节可能出现的难点 学生仅具备初步的利用定理推理证明的能力，但如何证明几何中的不等关系可能存在困难，另外证明的方法、技巧有待提高。 4、学生座次表 A C A C A B B D B D B D A C A C A C B D B D B D A C A C A C 前后四人为一组，A 为组长，每一组课堂表现有积分累计 B D B D B D AB 层通过预习能描述判断三角形外角，并能推理证明三角形外角有关定理及进行有关应用， CD层通过自学及与同桌交流能说出三角形 外角定义，并能结合图形会描述三角形外角的两个定理及简单的应用。五学习目标 1.通过视频引入活动一，会判断和作出三角形的外角； 2.通过猜想、同桌交流，能描述有关三角形外角的两个定理及推理验证过程； 3.通过小组合作，会运用三角形内角和定理的两个推论解决相关问题 【学习重点】三角形有关外角的两个定理的应用 【学习难点】会用三角形的内角和定理的两个推论解决几何证明和几

(完整版)解析三角形中两条角平分线组成的角

解析三角形中两条角平分线组成的角 当同学们学完三角形的角平分线后，利用角平分线来解决相关几何题就应运而生。这儿作者只是给大家归纳了几种利用三角形两条角平分线组成的角的解析方法，以便大家在平时的作业时可简便计算。 一、三角形两内角角平分线组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACB 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o 又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o －n o ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=21∠ABC+2 1∠ACB =2 1(∠ABC+∠ACB) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o －n o ) =90o －21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o － 21 n o ) =180o －90o + 21 n o =90o +2 1 n o 即：∠BOC=90o +2 1 ∠A 通过上述解题过程不难发现，其实三角形的两内角平分线组成的角应为90o 与第三角的一半的和。 二、三角形两外角角平分线组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠CBD 与∠BCE 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：在△ABC 中 ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o C

又 ∵∠A=n o ∴∠ABC+∠ACB=180o －n o ∵∠ABC+∠CBD=180o ∠ACB+∠BCE=180o ∴∠CBD+∠BCE=360o －(∠ABC+∠ACB) =360o －180o +n o =180o +n o ∵BO,CO 是∠DBC 与∠ECB 的角平分线 ∴∠OBC= 2 1∠CBD ∠OCB =2 1∠BCE ∴∠OBC+∠OCB=21∠CBD+2 1∠BCE =2 1(∠CBD+∠BCE) ∴∠OBC+∠OCB=2 1(180o +n o ) =90o +21 n o 在△BOC 中 ∠OBC+∠OCB+∠BOC= 180o ∴∠BOC=180o －(∠OBC+∠OCB) =180o －(90o + 2 1 n o ) =180o －90o －2 1 n o =90o －2 1 n o 即：∠BOC=90o －21 ∠A 由此我们可发现三角形的两个外角角平分线所组成的角等于90o 与第三角的一半的差。 三、三角形一内角角平分线与一外角角平分组成的角： 如图，△ABC 中 ∠A=n o ∠ABC 与∠ACD 的角平分线BO,CO 相交与点O ，求∠BOC 的度数？ 解：∵∠ACD 为△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠ABC ∵BO,CO 是∠ABC 与∠ACD 的角平分线 ∴∠OBC=2 1∠ABC ∠OCB =2 1∠ACD =21(∠A+∠ABC) A E

三角形角平分线专题讲解(精选.)

二由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这 种尝试与猜想是在一定的规律基本之图1-1 B

上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠∠，如取，并连接、，则有△≌△，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图 1-2，，平分∠，平分∠， 点E 在上，求证：。 分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图 1-3，2，∠∠，，求证⊥ 图1-2 D B C

第03讲 三角形与角平分线

第3讲三角形与角平分线 知识导航 1.三角形内外角平分线夹角模型； 2.其它常见角平分线夹角模型. 【板块一】三角形内外角平分线的夹角的三个基本模型 方法技巧角平分线性质＋三角形内角和定理＋三角形外角性质＋整体思想、化归思想＋设参数计算模型 模型一三角形两内角平分线夹角 【例1】如图，点P 是△ABC 两条内角平分线的交点，求证:∠P ＝90°＋ 1 2 ∠A. P C B A 【例2】已知在△ABC 中，∠A ＝60°. (1)如图1，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，求∠BOC 的度数； (2)如图2，∠ABC ，∠ACB 的三等分线交于点O 1，O 2，则∠BO 1C ＝__，∠BO 2C ＝_____； (3)如图3，∠ABC ，∠ACB 的n 等分线交于点O 1，O 2，……O n －1. 则∠BO 1C ＝_______，∠BO n －1C ＝__________.(用含n 的代数式) 图1 图2 图3 O 2 O 1A C A B C O 模型二三角形两外角平分线夹角 【例3】如图，点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，求证:∠P ＝90°－ 1 2 ∠A. A B C D E

模型三三角形一内角平分线与一外角平分线的夹角 【例4】如图，点D是BC延长线上一点，PB平分∠ABC，PC平分∠AC D.求证:∠P＝1 2 ∠A. A B C D E 针对练习1 1.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BP，BE把∠ABC三等分，线段CP，CE把∠ACB三等分，求∠BPE的度数. P A C E 2.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AC平分∠BAx，BC平分∠ABy，求∠C的度数 . 3.如图，在平面直角坐标系中，点A为x轴上的一点，点B为y轴上的一点，AD平分∠BAx，BP平分∠OBA，BP与DA的延长线交于点P，求∠P的度数.

三角形的角平分线中线高以及三角形稳定性知识点练习与作业

三角形的高，中线，角平分线知识点及练习 知识点一：认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三边上的高： 2、上面第1图中，AD 是△ABC 的边BC 上的高，则∠ADC= ∠ = ° 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于 点；（2）锐角三角形的三条高相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条高相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的垂心。 练习一：如图所示，画△ABC 的一边上的高，下列画法正确的是（ ）． 知识点二：认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题 1、 作出下列三角形三边上的中线 2、AD 是△ABC 的边BC 上的中线，则有BD = = 2 1 ， 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条中线相交于 点；（2）锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（3）钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（4）直角三角形的三条中线相交于三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的重心。 练习二：如图，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，BD 是三角形 中 边上的中线，BE 是三角形 中________上的中线； 知识点三：认识并会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题 1、作出下列三角形三角的角平分线： 2、AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，则∠BAD=∠ = 3、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条角平分线相交于 点；（2）锐角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（3）钝角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（4）直角三角形的三条角平分线相交三角形的 ；（5）交点我们叫做三角形的内心。 练习三：如图，已知∠1= 2 1 ∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线为 . 总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条线段。 三、综合练习 A C B A C B A C B A C B A C B A C B

三角形内外角平分线定理上课讲义

三角形内外角平分线 定理

三角形内角与外交平分线定理 一、内角平分线定理 已知：如图所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C 作角平分线AD 的平行线。 证明1：过C 作CE ∥DA 与BA 的延长线交于E 。 则： BA/AE=BD/DC; ∵ ∠BAD=∠AEC ；（两线平行，同位角相等） ∠CAD=∠ACE ；（两线平行，内错角相等） ∠BAD=∠CAD ；（已知） ∴ ∠AEC=∠ACE ；（等量代换） ∴ AE=AC ； ∴ BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。 思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-4乙所示，AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分 线。 ABC AD BAC AB BD AC CD ∠=在中，若为的平分线，则：

求证： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； ∵∠BAD=∠CAD；（已知） ∴ DE=DF； ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴ BA/AC=BD/DC 结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。 二、外角平分线定理 已知：如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的平行线。 证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC ∵∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等） ∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等） ∠DAF=∠DAC；（已知） ∴∠CEA=∠ECA；（等量代换） ∴ AE=AC； ∴ BA/AC=BD/DC 。

三角形的高、中线与角平分线(全国优质课一等奖)

2008年全国第六届初中数学优质课比赛教案 课题：§7.1.2三角形的高、中线与角平分线 教材：人教版义务教育课程标准实验教科书七年级数学下册第65～66页 授课教师：临川一中陈良琴 [教材分析] 1、本节教材的地位与作用： 学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形，为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔．本节内容着重介绍了三角形的三种特殊线段，已学过的过直线外一点作已知直线的垂线、线段的中点、角的平分线等知识是学习本节新知识的基础，其中三角形的高学生从小学起已开始接触，教材从学生已有认知出发，从高入手，利用图形，给高作了具体定义，使学生了解三角形的高为线段，进而引出三角形的另外几种特殊线段——中线、角平分线． 通过本节内容学习，可使学生掌握三角形的高、中线、角平分线与垂线、角平分线的联系与区别．另外，本节内容也是日后学习等腰三角形等特殊三角形的基础．故学好本节内容是十分必要的． 2、教学重点： 能够正确地画出三角形的“高”、“角平分线”和“中线”，并理解它们概念的含义、联系和区别．3、教学难点： 在钝角三角形中作高． 4、教学关键： 运用好数形结合的思想，特别是研究三角形的角平分线、中线、高时，从折叠、度量入手，获得三种线段的直观形象，以便准确理解上述基本知识。 [教学目标] 基于上述对教材地位与作用的分析，结合学生已有的认知水平的年龄特征，制定本节如下的教学目标： （1）知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线；会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点． （2）过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神．学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力．（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心． [学情分析] 七年级的孩子思维活跃，模仿能力强，对新知事物满怀探求的欲望.同时他们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结.但是受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，推理能力还需进一步培养． [教学过程] 本节课按照“创设情境，引入新课”——“合作交流，探求新知”——“拓展创新，挑战自我”——“课堂小结，感悟反思”——“走出课堂，应用数学”的流程展开．

三角形角平分线地结论及应用

浅议三角形角平分线的结论及应用 摘要： 一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。 关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。 关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习 一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D， 1∠Ａ。 试探究：∠D=９０°＋ 2 解：∵BD、CD为角平分线 1∠ＡＢＣ，（图1） ∴∠ＣＢＤ＝ 2

1∠ＡＣＢ。 ∠ＢＣＤ＝ 2 在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ） 1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ） ＝１８０°－ 2 1（１８０°－∠Ａ） ＝１８０°－ 2 1∠Ａ ＝９０°＋ 2 变式练习的题目有 （1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。 1∠Ａ。则∠Ａ=2∠D―180°， 解:由结论1得知，∠D=９０°＋ 2 容易得出∠Ａ=20°（图2） （2）如图3:在四边形ABCD中，∠D=120°，∠A=100° ∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点E，试求∠BEC的度数。 解：∵∠A+∠ＡＢＣ+∠ＡＣＢ+∠D=360° 又∵∠D=120°，∠A=100° ∴∠ＡＢＣ+∠ＡＣＢ=140° ∵BE、CE分别是ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线 ∴∠EBC+∠ECB=70°. （图3） ∴∠BEC=110°. 结论二、如图4，△ABC中，Ｄ为△ＡＢＣ的两条外角平分线的交点，试探究： 1∠A ∠D＝９０°－ 2 解：∵ＢＤ、ＣＤ为角平分线 1∠ＣＢＥ ∴∠CBD= 2 1∠ＢＣＦ（图4） ∠ＢＣＤ＝ 2

初中数学三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线 一.命题的证明及应用 在中考常有及三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下． 命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90° +∠A． 证明：如图１： ∵∠1＝∠，∠２＝∠， ∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°① ∠1＋∠2＋∠D=180°② ①－②得： ∠1＋∠2＋∠A＝∠D③ 由②得： ∠1＋∠2=180°－∠D④ 把③代入④得： ∴180°－∠D＋∠A＝∠D

∠D=90°+∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明. 命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A． 证明：如图２： ∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线， ∴∠D=180°－∠1－∠2 =180°－（∠DBE+∠DCF） =180°－（∠A+∠4+∠A+∠3） =180°－（∠A+180°） =180°－∠A－90°

=90°－∠A； 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明. 命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线及一个外角平分线的交点，则∠E=∠A． 证明：如图3： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∠A+2∠1=2∠4① ∠1+∠E=∠4② ①×代入②得： ∠E=∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于及它不相邻两外角的和，很容易证明.

命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE及一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线. 证明：如图3： ∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF ∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等. 即EF=EG=EH ∵EG=EH ∴AE是△ABC的外角平分线． 点评利用角平分线的性质和判定能够证明． 应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看． 例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线． ①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数. ②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？ 解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60°

三角形角平分线部分经典题型

1．如图1所示，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，则点D到BC的距离为________cm． 图1图2 2．如图2所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（） A ．mn 3 1 B． mn 2 1 C．mn D．2mn 3．如图，在△ABC中，∠C＝900，BC＝40，AD是∠BAC的平分线交BC于D，且DC∶ DB＝3∶5，则点D到AB的距离是。 4．如图，已知BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是。 5．如图，已知AB∥CD，O为∠A、∠C的角平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2， 则两平行线间AB、CD的距离等于。 6.AD是△BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是( ) A、DE=DF B、AE=AF C、BD=CD D、∠ADE=∠ADF 7．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点 Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点 8.已知△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的角平分线交于O点，则∠BOC= 。 9.如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF。如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是，这样的点至少有个，最多有个。 3题图 D C B A z .. ..

z .. .. D C B A 10.如图所示，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且AB =6 cm,则△DEB 的周长为( )。 A.9 cm B.5 cm C.6 cm D.不能确定 11.如图，AB //CD ,CE 平分∠ACD ，若∠1=250 ，那么∠2的度数是 . 12．如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠ C ．OA OB = D ．AB 垂直平分OP 13．如图，已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠ABD ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD?相等吗？说明理由． 14、如图所示，已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90° 求证：AB ＝AC ＋CD ． 15、如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC,BD 平分∠ABC,求证：∠A+∠C=180° 16、如图，∠ACB=90°,AC=BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE. 求证：△ACD ≌△CBE. O B A P A B C D E D C A B E

初一几何——三角形内外角平分线模型

初一几何——双角平分线模型 1．在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠1+∠2＝50°，则∠A的度数为（）A．80度B．50度C．100度D．110度 2．如图，△ABC中，∠A＝50°，D是BC延长线上一点，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，则∠E的度数为（）A．40°B．20°C．25°D．30° 第1题图第2题图第3题图第4题图 3．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE 于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（） A．①②③B．①③④C．①④D．①②④ 4．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30° 5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2017BC与∠A2017CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018．如果∠A＝80°，则∠A2018的度数 是（）A．80 B．802018 C．40 D． 6．已知△ABC，下列说法正确的是（只填序号）． ①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°∠A； ②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°∠A； ③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P∠A． 7．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A＝46°，求∠BOC＝． 第7题图第8题图第9题图 8．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝．9．如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝．

三角形角平分线性质资料讲解

三角形内角平分线定理 三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则 BD/DC=AB/AC 应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例. 三角形外角平分线的性质定理： 三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明. 角平分线性质定理 角平分线的性质： 1.角平分线可以得到两个相等的角。 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 证明 ●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条

邻边成比例． 即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC. 证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF. S△ABD：S△ACD=BD：CD 又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC ×DF]=AB：AC 所以BD/CD=AB/AC. 1.角平分线可以得到两个相等的角。 角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。 如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD 等于角BAD。 2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。 如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：

CD=BD ∵∠DCA=∠DBA ∠CAD=∠BAD AD=AD ∴△ACD≌△ABD ∴CD=BD 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS 平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD： 作BE=BD交射线AS于E，如图1： ∵BE=BD， ∴∠BED=∠BDE， ∴∠AEB=∠ADC 又∵∠BAE=∠CAD,

全等三角形与角平分线经典题型

全等三角形与角平分线 一、知识概述 1、角的平分线的作法 （1）在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OD、OE，使OD=OE. （2）分别以D、E为圆心，以大于1/2DE长为半径画弧，两弧交于∠AOB 内一点C. （3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线（如图） 指出：（1）作角的平分线的依据是三角形全等的条件——“SSS”. （2）角的平分线是一条射线，不能简单地叙述为连接. 2、角平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 指出：（1）这里的距离是指点到角两边垂线段的长. （2）该结论的证明是通过三角形全等得到的，它可以独立作为证明两条线段相等的依据.即不需再用老方法——全等三角形. （3）使用该结论的前提条件是有角的平分线，关键是图中有“垂直”. 3、角平分线的判定 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 指出：（1）此结论是角平分线的判定，它与角平分线的性质是互逆的. （2）此结论的条件是指在角的内部有点满足到角的两边的距离相等，那么

过角的顶点和该点的射线必平分这个角. 4、三角形的角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等. 指出：（1）该结论的证明揭示了证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点在第三线上. （2）该结论多应用于几何作图，特别是涉及到实际问题的作图题. 二、典型例题剖析 例1、如图所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD.求证：△ABE≌△ADF. 例2、如图所示，BE、CF是△ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分∠BAC.求证：OB=OC. 例3、如图，D为BC的中点，DE⊥DF，E、F分别在AB、AC边上，则BE＋CF （）

等腰三角形+角平分线

第一部分：知识点回顾 角平分线的性质及判定： 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号： 例：如图 角的平分线的性质定理的几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， ∴PD=PE 角的平分线的判定定理的几何语言： ∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 等腰三角形的性质及判定： 1.等腰三角形 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 2.等腰三角形的性质和判定 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”） 判定 (1)有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”） 3.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 4.等边三角形的性质 （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. （2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴. （3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合. 5.等边三角形有关判定 (1 )三条边都相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 6.由对等边三角形推出的一个关于直角三角形的一个性质 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的直角边等于斜边的一半. 第二部分：典型例题

巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题

巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题 新北实验中学严云霞 【基本模型】 三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）；模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）；模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）； A A D B D C CBC 如图3 2 如图1 如图D

【分析】三个结论的证明A 例1、如图1，△ABC中，BD、CD为两个内角平分线， 1D。+∠A试说明：∠D=90°2为角平分线BD、CD（方法一）解：∵CB11。∠BCD＝∠ACBCBD∴∠＝∠ABC，22）°－（∠CBD＋∠BCDBCD在△中：∠D＝1801 ABC＋∠ACB）＝180°－（∠21°－∠A）＝180°－（180 211A ∠°－＝180×180°＋221A ＝90°＋∠2E 并延长交BC于点（方法二）解：连接AD CD为角平分线、解：∵BD11∠BCD＝ACB。＝∴∠CBD∠ABC，∠22A的外角是△ ∵∠BDEABD ABD ∴∠BDE＝∠BAD+∠1D ABC ∠=BAD+∠2CBE． 1同理可得∠CDE＝∠CAD+∠ACB 2又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE 11∴∠BDC＝∠BAD+∠ABC+∠CAD+∠ACB 221＝∠BAC+（∠ABC+∠ACB）21＝∠BAC+（180°－∠BAC）21＝90°＋∠BAC 2例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，

1试说明：∠D=90°－∠A。2 解：∵BD、CD为角平分线 1∴∠CBD=∠CBE 21∠BCD＝∠BCF 2又∵∠CBE、∠BCD为△ABC的外角 ∴∠CBE＝∠A＋∠ACB ∠BCF＝∠A＋∠ABC ∴∠CBE＋∠BCF＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180° 在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD） 11＝180°－（∠CBE＋∠BCF）221＝180°－（∠CBE＋∠BCF）21＝180°－（∠A＋180°）21＝90°－∠A 2【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。 例３：如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，CD为∠ＡＣＥ的平分线， 1试说明：∠D＝∠A；2

三角形中线与角平分线专题(二)

三角形中线与角平分线专题（二） 1、三角形外角平分线的四个经典结论： 结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系 已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系. 01902P A ∠=+∠ 结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系． 已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 01902P A ∠=-∠ 结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系 如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系. 12 P A ∠=∠ 结论四：结论三延伸 如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线 21A E F B C 2 1P B A C

应用举例： 例1：在四边形ABCD 中，?=∠120D ，?=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交与点E ，试求BEC ∠的度数. 例2：在ABC ?中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ?，试判断DEF ?的形状. 例3：如图3，在ABC ?中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若?=∠96A ，则=∠5A ，=∠n A . 图三 图四 例4：点M 是ABC ?两个角的平分线的交点，点N 是ABC ?两个外角的平分线的交点， 如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB 例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．

三角形——角平分线专题训练

1 垂直平分线和角平分线专项练习 1、如图，Rt △ABC 的斜边AB 中点为E ，ED ⊥AB 交BC 于D ，且∠CA D ︰∠BAD ＝1︰7,求∠BAC 的度数。 2、如图,在△ABC 中,DE 垂直平分AB 于E,交AC 于D,若AB ＝AC ＝32，BC ＝21，求△BCD 的周长。 3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。 4、已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。AB=15cm ，AC=13cm,试求△ADE 的周长。 5、如图，AF 平分∠BAC ，P 是AF 上任一点，过P 向AB 、AC 作垂线PD 、PE ，D 、E 分别为垂足，连结DE ，求证：AF 垂直平分DE 。 6、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠B A B C D E C A B D E A B C P Q M N A B C E P D F A B C D E F 3 2 1 I E D A B C

2 7、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，BD 的垂直平分线交AB 于P ，PD 交AC 于E ，求证：点P 也在AE 的垂直平分线上。 9、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ， 求证：ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ。 10、如图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ １1、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，F 在AC 上，在BA 的延长线上取AE ＝AF ，求证EF ⊥BC （用多种方法） １5、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC １6、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于D ，求证：AC ＋CD ＝AB A B C P D E F A C B D A C B D A B C D E A E B C D A B C D Q E P

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

解三角形题目的思考 文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 常规解法及题根： （15年新课标2理科）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。 (Ⅰ)求C B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D C = 22求BD 和AC 的长. （15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC . （I ）求sin sin B C ∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 重点结论：角平分线性质： （1）平分角 （2）到角两边距离相等 （3）线段成比率 中点性质与结论： （1）平分线段； （2）向量结论； （3）两个小三角形面积相等。 题目解法搜集： 解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解； 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠g g ，则7 因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC = ，所以BD=37，DC=7； 在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222 2AB AD BD AB AD +-g 即2 22373323x x +-??=?，解得x= 933344。 若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。

第二节角平分线定理

第二节角平分线定理 【知识点拨】 1、三角形内角平分线的性质定理： 三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明） 2、三角形外角平分线性质定理： 三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。 3、常见问题 对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。 【赛题精选】 例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。 求CD的长。 例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。 求A D·DC的值。（2001年全国竞赛题）

【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。 对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。 例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。 求证：BC AC AB ID AI +=。 例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分 ∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。 试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀 请赛题） 【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2 211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。 本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。 例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。求证：AC ∥DF 。