珠海市2020-2021学年度第一学期高三
摸底测试 数学 2020.9
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合{}2|4A x x =>,{}
2|30B x x x =-<,则A B =
A .(5,2)(2,6)--
B .(2,2)-
C .(,5)
(6,)-∞-+∞ D .(,2)
(2,)-∞-+∞
2.27
(1)i i
-= A .1
B .2
C .?i
D .?2i
3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测,甲、乙两个单位各需三名医生,丙需两名医生,其中医生a 不能去甲医院,则不同的选派方式共有 A .280种
B .350种
C .70种
D .80种
4.一球O 内接一圆锥,圆锥的轴截面为正三角形ABC ,过C 作与球O 相切的平面α,则直线AC 与平面α所成的角为 A .30°
B .45°
C .15°
D .60°
5.现有8位同学参加音乐节演出,每位同学会拉小提琴或会吹长笛,已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A .
1
4
B .
12
C .38
D .
5
8
6.若定义在R 上的奇函数f (x )在(0,)+∞单调递增,且(5)0f -=,则满足0)(xf x <的解集是
A .(,5)(5,)-∞-+∞
B .(,5)(0,5)-∞-
C .(5,0)
(5,)-+∞ D .(5,0)(0,5)-
7.已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点,则AP BP ?的最大值是 A .14
B .2
C .1
D .
12
8.直线:l y kx b =+是曲线()ln(1)f x x =+和曲线2
()ln()g x e x =的公切线,则b = A .2
B .
12 C .ln 2
e
D .ln(2)e 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.已知双曲线E 的中心在原点,对称轴为坐标轴,渐近线方程为2y x =±,则双曲线E 的
离心率为 A .
5 B .5 C .53 D .35
10.如图是函数()sin()f x A x ω?=+(0)ω>的部分图象,则
(第10题图)
A .1()2sin()24f x x π=+
B .1()2sin()22f x x π
=+ C .1()2sin()22f x x π=-- D .1
()2cos()2
f x x =
11.已知0ab <,则
A .222a b ab +≥
B .222a b ab +<
C .()0a a b ->
D .
2b a
a b
+≥ 12.已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *
∈的非负整数,它的概率分布列为
X 0
1 2 3
… n
p
0p 1p 2p 3p …
n p
其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈,且0121n p p p p +++
+=.定义由X 生成的
函数23
0123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =++++++
+,()g x 为函数()f x 的导函数,
()E X 为随机变量X 的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子,四个面分别标有1,2,
3,4个点数,这枚骰子连续抛掷两次,向下点数之和为X ,此时由X 生成的函数为1()f x ,
则
A .()(2)E X g =
B .115(2)2f =
C .()(1)E X g =
D .1225(2)4
f = 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.椭圆22
:143
x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过原点的直线l 与E 交于A ,B 两点,1AF 、2BF 都与x 轴垂直,则||AB =________.
14.将数列{}
2n 与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前10项和为________(用数字作答).
15.已知α、β为锐角三角形的两个内角
,sin 7α=
,sin()14
αβ+=,则cos 2β= .
16.一半径为R 的球的表面积为64π,球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形,则
该长方体体积的最大值为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 在①1cos 2B =
, ②1cos 2C =,
③cos C =
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在非直角ABC △,它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,1b =,________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(12分)
已知数列{}n a 是正项等比数列,满足3452a a a +=,121a a +=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设2log (3)n n t a =,求数列121n n t t ++?
?
?
???
的前n 项和n T .
19.(12分)如图,三棱锥P ABC -中,2AC BC PC PB ====,120ACB ∠=,平面PBC ⊥底面ABC ,D ,E 分别是BC ,AB 的中点.
(1)证明:PD ⊥平面ABC ;
(2)求二面角P CE B --的正切值.
(第19题图)
20.(12分)某药企对加工设备进行升级,现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品,每件售价240元;质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品,每件售价为180元;质量指标值落在[35,40)内的为二等品,每件售价为120元;其余为不合格品,全部销毁.每件产品生产销售全部成本50元.
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
(第20题图)
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
(1) 以样本估计总体,若生产的合格品全部在当年内可以销售出去,计算设备升级前一件产品的利润X (元)的期望的估计值.
(2)以样本估计总体,若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件,设其支付的费用为ξ(单位:元),求ξ(元)的分布列.
P
E
D
C
B
A
21.(12分)已知函数2()e 2()x x f x x ax e ax a =+-++,0a ≥. (1)讨论函数()f x 的单调性; (2)讨论()f x 的零点的个数.
22.(12分)已知抛物线E 的顶点在原点,焦点(0,
)2
p
F (0)p >到直线:2l y x =-的距
离为
2
,00(,)
P x y 为直线l 上的点,
过P 作抛物线E 的切线PM 、PN ,切点为M N 、. (1)求抛物线E 的方程;
(2) 若(3,1)P ,求直线MN 的方程;
(3)若P 为直线l 上的动点,求||||MF NF ?的最小值.
珠海市2020-2021学年度第一学期高三摸底测试
数学 2020.9解析及评分参考
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.设集合{}2|4A x x =>,{}
2|30B x x x =-<,则A B = A
A .(5,2)(2,6)--
B .(2,2)-
C .(,5)(6,)-∞-+∞
D .(,2)
(2,)-∞-+∞
2.27
(1)i i
-= B A .1
B .2
C .?i
D .?2i
3.8名医生去甲、乙、丙三个单位做核酸检测,甲、乙两个单位各需三名医生,丙需两名医生,其中医生a 不能去甲医院,则不同的选派方式共有 B A .280种
B .350种
C .70种
D .80种
4.一球O 内接一圆锥,圆锥的轴截面为正三角形ABC ,过C 作与球O 相切的平面α,则直线AC 与α所成的角为 D A .30°
B .45°
C .15°
D .60°
5.现有8位同学参加音乐节演出,每位同学会拉小提琴或会吹长笛,已知5人会拉小提琴,5人会吹长笛,现从这8人中随机选一人上场演出,恰好选中两种乐器都会演奏的同学的概率是 A A .
1
4
B .
12
C .38
D .
5
8
6.若定义在R 上的奇函数f (x )在(0,)+∞单调递增,且(5)0f -=,则满足0)(xf x <的解集是 D
A .(,5)(5,)-∞-+∞
B .(,5)(0,5)-∞-
C .(5,0)(5,)-+∞
D .(5,0)
(0,5)-
7.已知P 是边长为1的正方形ABCD 边上或正方形内的一点,则AP BP ?的最大值是 C A .
14
B .2
C .1
D .
12
8.直线:l y kx b =+是曲线()ln(1)f x x =+和曲线2
()ln()g x e x =的公切线,则b = C
A .2
B .
12 C .ln 2
e
D .ln(2)e 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合
题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.已知双曲线E 的中心在原点,对称轴为坐标轴,渐近线方程为2y x =±,则双曲线E 的
离心率为 AB A .
5 B .5 C .53 D .35
10.如图是函数()sin()f x A x ω?=+(0)ω>的部分图象,则 BCD
A .1()2sin()24f x x π=+
B .1()2sin()22f x x π
=+ C .1()2sin()22f x x π=-- D .1
()2cos()2
f x x =
11.已知0ab <,则 ACD
A .222a b ab +≥
B .222a b ab +<
C .()0a a b ->
D .
2b a
a b
+≥ 12.已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *
∈的非负整数,它的概率分布列为
X 0
1 2 3
… n
p
0p 1p 2p 3p …
n p
其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈,且0121n p p p p +++
+=.定义由X 生成的
函数23
0123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =++++++
+,()g x 为函数()f x 的导函数,
()E X 为随机变量X 的期望.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子,四个面分别标有1,2,
3,4个点数,这枚骰子连续抛掷两次,向下点数之和为X ,此时由X 生成的函数为1()f x ,则 CD
A .()(2)E X g =
B .115(2)2f =
C .()(1)E X g =
D .1225(2)4
f =
提示:
2345678
11()16161616161616f x x x x x x x x =
++++++ 234567811234321
(2)222222216161616161616f =?+?+?+?+?+?+?
225
4= 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.椭圆22
:143
x y E +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过原点的直线l 与E 交于A ,B 两
点,1AF 、2BF 都与x 轴垂直,则||AB =________14.将数列{}
2n 与{}2n 的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前10项和为________(用数字作答). 2046
15.已知α、β为锐角三角形的两个内角,sin α=
,sin()αβ+=,则cos 2β= .1
2
-
16.一半径为R 的球的表面积为64π,球一内接长方体的过球心的对角截面为正方形,则
该长方体体积的最大值为 .四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分)
在①1cos 2B =
, ②1cos 2C =, ③cos 2
C =
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在非直角ABC △,它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c , 且sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,1b =,________?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解:ABC △中,由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+ 得sin 2sin cos sin cos cos sin sin cos B B C A C A C A C +=++
sin sin cos B A C =+ ……………………………………………………………
…………1分 ∴
(2sin sin )cos 0B A C -= (2)
分
∵ABC △不是直角三角形 ∴cos 0C ≠
∴2sin sin B A =………………………………………………………………………3分 即2a b =………………………………………………………………………4分 ∵1b =
∴2a =………………………………………………………………………6分 选①:由1cos 2B =,及0B π<< 得3
B π
=…………………………………………………7分
由
sin sin b a
B A
= 得sin 1A =>……………………………………………………9分 不合理,故ABC △不存在.………………………………………………………………………10分
选②:由1cos 2
C = 得
c ==……8分
∴222b c a +=………………………………………………………………………9分 ∴A 为直角,不合题设,故ABC △不存在.…………………………………………………10分
选③:由cos 2
C =
得c==………………………………………………………
10分
18.(12分)
已知数列{}
n
a是正项等比数列,满足
345
2a a a
+=,
12
1
a a
+=.
(1)求{}
n
a的通项公式;
(2)设2
log(3)
n n
t a
=,求数列
12
1
n n
t t
++
??
??
??
的前n项和n T.
解:(1)设正项等比数列{}
n
a的公比为0
q>
由345
12
2
1
a a a
a a
+=
?
?
+=
?
得
234
111
11
2
1
a q a q a q
a a q
?+=
?
+=
?
解得1
1
3
2
a
q
?
=
?
?
?=
?
………………………………2分
所以{}
n
a的通项公式
1
2
3
n
n
a
-
=
n N*
∈……………………………………………………………4分
(2)1
22
log(3)log21
n
n n
t a n
-
===-………………………………………………6分
故
12
1111
(1)1
n n
t t n n n n
++
==-
++………………………………………………………………
8
分
所以
12
1
n n
t t
++
??
??
??
的前n项和:
1111111
(1)()()()
2233411
n
n
T
n n n
=-+-+-++-=
++
.…………………………………
…………12分
19.(12分)如图,三棱锥P ABC
-中,2
AC BC PC PB
====,
P
E
D
C B
A
120ACB ∠=,平面PBC ⊥底面ABC ,D ,E 分别是BC ,AB 的中点.
(1)证明:PD ⊥平面ABC ;
(2)求二面角P CE B --的正切值. (1)证明:∵PC PB =,D 是BC 中点 ∴PD ⊥BC …………………………………………1分 ∵平面PBC ⊥底面ABC ,PD ?平面PBC ,平面PBC
底面ABC BC =
∴PD ⊥平面ABC.………………………………………………4分 (2)解:如图,取CE 中点F ,连接DF ,PF 则//DF AB ………………………………………………5分 ∵2AC BC PC PB ====,E 是AB 的中点,120ACB ∠= ∴CE AB ⊥,……………………………………………………6分
BE =
PD =
∴DF
CE ⊥,…………………………………………………………7分
DF =
∵PD ⊥平面ABC ∴CE PD ⊥,PD
DF D =
∴CE ⊥平面PDF ………………………………………………………………………8分 ∴CE FP ⊥………………………………………………………………………9分
∴PFD ∠为二面角P CE B --的平面角.……………………………………………………10分
在Rt PDF ?
中,
tan 2
PD PFD DF ∠=
==…………………………………………11分 ∴二面角P CE B --的正切值为2.……………………………………………………………12分
P
F
E
D
C B
A
20.(12分)某药企对加工设备进行升级,现从设备升级前、后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本检测某项质量指标值: 该项质量指标值落在[25,30)内的产品为优等品,每件售价240元;质量指标值落在[20,25)和[30,35)内的为一等品,每件售价为180元;质量指标值落在[35,40)内的为二等品,每件售价为120元;其余为不合格品,全部销毁.每件产品生产销售全部成本50元.
下图是设备升级前100个样本的质量指标值的频率分布直方图
下表是设备升级后100个样本的质量指标值的频数分布表
(1) 以样本估计总体,若生产的合格品全部在当年内可以销售出去,计算设备升级前一件产品的利润X(元)的期望的估计值.
(2)以样本估计总体,若某位患者从升级后生产的合格产品中随机购买两件,设其支付的费用为ξ(单位:元),求ξ(元)的分布列.
X=-………………………………………1分
解:(1)由题设知,50,70,130,190
X的分布列为
………………………………………………………………………3分
设备升级前利润的期望值为
()0.14(50)0.18700.281300.4190118E X =?-+?+?+?=……………………4分
∴升级前一件产品的利润的期望估计值为118元.………………………5分 (2) 升级后设患者购买一件合格品的费用为η(元)
则120,180,240η=………………………………………………………………………6分 患者购买一件合格品的费用η的分布列为
……………………………8分
则240,300,360,420,480ξ=………………………………………………10分
111(240)6636P ξ==?=
111(300)339
P ξ==?=
11115(360)2263318P ξ==??+?=
111(420)2323P ξ==??=
111(480)224
P ξ
==?=
则升级后患者购买两件合格品的费用的分布列为
………………………………………………………………………12分 21.(12分)已知函数2()e 2()x x f x x ax e ax a =+-++,0a ≥. (1)讨论函数()f x 的单调性; (2)讨论()f x 的零点的个数.
解:(1)∵2()e 2()x x
f x x ax
e ax a =+-++
∴()(1)(e 2)x
f x x a '=-+…………………………………………………1分
0a ≥时1x <时()0f x '<,1x >时()0f x '>.……………………………3分
∴0a ≥时,()f x 的减区间是(,1)-∞,增区间是(1,)+∞.………………………4分 (2)①0a >时,∵(1)0f '=且()f x 的减区间是(,1)-∞,增区间是(1,)+∞ ∴(1)0f e =-<是()f x 的极小值,也是最小值…………………………………5分
(2)0f a =>,………………………………6分
取0b <且ln 2
a
b <……………………………7分 则
22()(2)(1)(2)(1)(23)022
b a a
f b b e a b b a b b b =-+->
-+-=->…………………………8分
∴()f x 在(,1)b 和(1,2)上各一个零点………………………………………9分 ②0a =时,()(2)x
f x x e =-只一个零点2x =…………………………………10分 综上,0a >时,()f x 有两个零点;…………………………………………11分
0a =时,()f x 一个零点.………………………………………………………………………
12分
22.(12分)已知抛物线E 的顶点在原点,焦点(0,
)2
p
F (0)p >到直线:2l y x =-的距
离为
2
,00(,)
P x y 为直线l 上的点,
过P 作抛物线E 的切线PM 、PN ,切点为M N 、. (1)求抛物线E 的方程;
(2) 若(3,1)P ,求直线MN 的方程;
(3)若P 为直线l 上的动点,求||||MF NF ?的最小值. 解:(1)由(0,
)2p F 到直线:20l x y --=
的距离为2
|
2|
2p
+= 得2p =或10p =-………………………………………………………2分
∵0p >
∴2p =…………………………………………………………………3分 ∴抛物线2
:4E x y =.……………………………………………………4分 (2) 由2:4E x y =知214
y x = ∴2
x
y '=
…………………………………………………………………5分 设切点11(,)M x y ,22(,)N x y
则21111
111:()22222
x x x x PM y y x x x x y -=-=-=-
即1
1:2
x PM y x y =
- 2
2:2
x PN y x y =
-……………………………………………………6分 ∵P PM ∈,P PN ∈
∴1122
3
1023102
x y x y ?--=????--=??即112232203220
x y x y --=??--=?………………………………7分 ∴:3220MN x y --=.………………8分
(3)若P 为直线l 上的动点,设00(,)P x y ,则002x y =+ 由(2)知
∵P PM ∈,P PN ∈
∴0
110
0220
020
2
x x y y x x y y ?--=???
?--=?? ∴0
0:
02
x MN x y y --=与2:4E x y =联立消x 得 222
000(24)0y y y y y -+++=…………“*” ……………………………………9分
则1y ,2y 是“*”的二根
∴2
12002
12
024y y y y y y y ?+=++?=?………………………………………………………………………10分
121212||||(1)(1)1MF NF y y y y y y ?=++=+++
2
00225y y =++………………………………………………………………………11分
当012y =-时,||||MF NF ?得到最小值为9
2
.…………………………12分