2015-2016高中数学 人教A版选修1-2 3.1.2复数的几何意义 学案

3．1.2 复数的几何意义

基础梳理

1．复平面．

(1)定义：建立了直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．

(2)实轴：x 轴叫做实轴．

(3)虚轴：y 轴(除去原点)叫做虚轴．

2．复平面内的点与复数的对应关系．

(1)实轴?实数．

(2)虚轴(除原点)?纯虚数．

(3)各象限的点?非纯虚数．

3．复数的两种几何形式(点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b )．

(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)?点Z (a ，b )．

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)?向量OZ →．

4．复数的模．

向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模，记作|z |若b ＝0，那么z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是一个实数，它的模等于|a |． 基础自测

1．复数2－3i 对应的点在直线(C )

A ．y ＝x 上

B ．y ＝－x 上

C ．3x ＋2y ＝0上

D ．2x ＋3y ＝0上

解析：2－3i 对应的点(2，－3)，满足方程3x ＋2y ＝0.故选C.

2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数(C )

A ．等于0

B ．－3

C ．在虚轴上

D ．既不在实轴上，也不在虚轴上

解析：OZ →对应的复数为－3i ，在虚轴上．故选C.

3．在复平面内，复数1－i

解析：1－i 对应的点为Z (1，－1)，|OZ |＝ 2.

（一）复平面

(1)根据复数相等的定义，任何一个复数z ＝a ＋b i (a 、b∈R)，都可以由一个有序实数对(a ，b )唯一确定．因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．

(2)基本概念．

①复平面：建立了平面直角坐标系来表示复数的平面叫复平面．

②实轴：坐标系中的x 轴叫实轴．在它上面的点都表示实数．

③虚轴：坐标系中的y 轴叫虚轴．除去原点外，在它上面的点都表示纯虚数．

注：(1)习惯上，用大写字母Z 表示点，小写字母z 表示复数．

(2)复数z ＝a ＋b i 用复平面内的点Z (a ，b )表示，复平面内点Z 的坐标是(a ，b )，而非(a ，b i)．例如，复平面内的点(－2，3)表示复数－2＋3i ；反之，复数－2＋3i 对应复平面内的点的坐标是(－2，3)．

（二）复数的几何意义

(1)复数与点对应．

每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即

复数z ＝a ＋b i 一一对应复平面内的点Z(a ，b)．

(2)复数与向量的应用．

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对

与复数是一一对应的．设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i ，连接OZ ，向量OZ →是由点Z 唯

一确定的；反过来，点Z 也可以由向量OZ →唯一确定．因此，复数集C 与复平面内的向量所成

的集合也是一一对应的，即

复数z ＝a ＋b i 一一对应平面向量OZ →.

注：(1)复数与向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点，若起点不是原点，则复数与向量就不能建立一一对应关系． (2)常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z(a ，b)或说成

向量OZ →.

(3)规定：相等向量表示同一复数．

（三）复数的模

(1)定义：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z|或者|a ＋b i |.

(2)求法：|z|＝|OZ →|＝a 2＋b 2.

(3)模的几何意义：模的几何意义就是复数z ＝a ＋b i 所对应的点Z(a ，b)到原点(0，0)的距离．

注：(1)实数0与零向量对应，故复数0的模为0.

(2)模相等的两个复数未必相等．例如，|i |＝1＝|－i |，但显然i ≠－i .

1．复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)与点Z (a ，b )及向量OZ →的一一对应关系如下图所示．

2．由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时，通常是由对应关系列出方程(组)或不等式(组)，求得复数的实部、虚部的取值(范围)来确定所求的复数．

3．复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2

，从几何意义上理解，表示点Z (a ，b )和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示复数z 1和z 2对应的点Z 1和Z 2之间的距离．

4．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用复数模的计算公式进行计算．由于复数的模是一个实数，所以复数的模可以比较大小．

1．复数z ＝3－4i 5

(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为(D ) A 第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．复数z ＝2－i 2

对应的点在复平面的(B )

A ．第一象限内

B ．实轴上

C ．虚轴上

D ．第四象限上

3．(2013·重庆卷)已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z | 4．a 取何值时，z ＝(a 2－2a －8)＋? ????a 2

－a －2a ＋1i(a ∈R)对应的点Z ： (1)在复平面的x 轴的下方？

(2)在直线x ＋y ＋8＝0上？

解析：(1)点Z 在复平面的x 轴的下方，则a 2－a －2a ＋1

＜0?a ＜2，且a ≠1. ∴a ＜2，且a ≠－1时，点Z 在复平面的x 轴的下方．

(2)点Z 在直线x ＋y ＋8＝0上，则

a 2

－2a －8＋a 2－a －2a ＋1＋8＝0?a 3－3a －2＝0?a 2－a －2＝0(a ≠－1)?a ＝2. ∴a ＝2时，点Z 在直线x ＋y ＋8＝0上．