立体几何初步讲义

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

知 识 梳 理

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系

??

?

共面直线???

??

平行

相交异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：????0，π2. (3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

辨 析 感 悟

1．对平面基本性质的认识

(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×)

(2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，记作α∩β＝A .(×) (3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√) (4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×) 2．对空间直线关系的认识

(5)已知a ，b 是异面直线、直线c 平行于直线a ，那么c 与b 不可能是平行直线．(√) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×) [感悟·提升]

1．一点提醒 做有关平面基本性质的判断题时，要抓住关键词，如“有且只有”、“只能”、“最多”等．如(1)中两个不重合的平面还可把空间分成三部分．

2．两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点，那么两个平面一定相交得到的是一条直线，如(2)；二是搞清“三个公共点”是共线还是不共线，如(4)．

3．一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线，如(6).

考点一平面的基本性质及其应用

【例1】(1)以下四个命题中，正确命题的个数是()．

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0 B．1 C．2 D．3

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

规律方法(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．

(2)画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．

【训练1】如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形的序号是________．

考点二空间两条直线的位置关系

【例2】如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

规律方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

【训练2】在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

考点三异面直线所成的角

【例3】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.

(1)求四棱锥的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与P A所成角的余弦值．

规律方法 (1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成角的取值范围是????0，π

2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． (2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

【训练3】 (2014·成都模拟)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1的中点，则A 1B 与EF 所成角的大小为________．

1．证明线共点问题，常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上． 2．证明点或线共面问题，一般有以下两种途径：

(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合． 3．异面直线的判定方法

(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线； (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

思想方法7——构造模型判断空间线面的位置关系

【典例】 (2012·上海卷)已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则( )． A ．m 与n 异面 B ．m 与n 相交 C ．m 与n 平行 D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能 【自主体验】

1．(2013·浙江卷)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )． A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β ，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β 2．对于不同的直线m ，n 和不同的平面α，β，γ，有如下四个命题：

①若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α；②若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m ⊥α，m ∥n ，n ?β，则α⊥β.其中真命题的个数是( )．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

基础巩固题组

一、选择题

1．(2013·江西七校联考)已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ?α，a ?β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( )．

A ．相交或平行

B ．相交或异面

C ．平行或异面

D ．相交、平行或异面

2．在正方体AC 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )． A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．垂直

3．设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )．

①P ∈a ，P ∈α?a ?α②a ∩b ＝P ，b ?β?a ?β③a ∥b ，a ?α，P ∈b ，P ∈α?b ?α④α∩β＝b ，P ∈α，P ∈β?P ∈b A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④

4.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过顶点A 1与正方体其他顶点的连线与直线BC 1成60°角的条数为( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 二、填空题

5．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对． 6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：

①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．

其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．

7．(2013·江西卷)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个

面所在的平面相交的平面个数为________．

三、解答题

8. 如图，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC =12AD ，BE =12F A ，G ，H 分别为F A ，FD

的中点．

(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？

9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于点O ，AC ，BD 交于点M ，求证：点C 1，O ，M 共

线．

能力提升题组

一、选择题

1．(2014·长春一模)一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )． A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 相交 C ．AB ⊥CD D ．AB 与CD 所成的角为60°

2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相

交的直线( )．

A ．不存在

B ．有且只有两条

C ．有且只有三条

D ．有无数条

二、填空题

3.(2013·安徽卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①当0＜CQ ＜1

2时，S 为四边形；

②当CQ ＝1

2

时，S 为等腰梯形；

③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝1

3；

④当3

4＜CQ ＜1时，S 为六边形；

⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62

. 三、解答题

4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；

(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．

第4讲 直线、平面平行的判定与性质

知 识 梳 理

1．直线与平面平行的判定与性质

2.

1．对直线与平面平行的判定与性质的理解

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)

(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)

(4)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条．(×)

2．对平面与平面平行的判定与性质的理解

(5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)

(6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)

(7)(教材练习改编)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若l∥α，l∥β，则α∥β.(×)

[感悟·提升]

三个防范一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内，如(1)、(3)．

二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，如(5)．

三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行，如(2)、(4)．

考点一有关线面、面面平行的命题真假判断

【例1】(1)(2013·广东卷)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，，则m∥n

C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

(2)设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是()．

A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β

C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β

规律方法线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来解题．

【训练1】(1)(2014·长沙模拟)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()．A．b?αB．b∥αC．b?α或b∥αD．b与α相交或b?α或b∥α

(2)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()．

A．3 B．2 C．1 D．0

考点二线面平行的判定与性质

【例2】如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′

的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱锥A′－MNC的体积．

规律方法判断或证明线面平行的常用方法：

(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；

(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；

(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；

(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．

【训练2】如图，在四面体A－BCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.

考点三面面平行的判定与性质

【例3】(2013·陕西卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，

AB＝AA1＝ 2.

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

规律方法(1)证明两个平面平行的方法有：

①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；

②用判定定理或推论(即“线线平行?面面平行”)，通过线面平行来完成证明；

③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；

④借助“传递性”来完成．

(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意转化思想的应用．

【训练3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，

求证：平面PMN∥平面A1BD.

1．平行关系的转化方向如图所示：

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

答题模板8——如何作答平行关系证明题

【典例】(12分)(2012·山东卷，文)如图1，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.

图1

[反思感悟] 立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要符合要求，每步推理要有理有据，不可跨度太大，以免漏掉得分点．本题易忽视DM?平面EBC，造成步骤不完整而失分．

【自主体验】(2013·福建卷改编)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，

AB＝6，DC＝3，若M为P A的中点，求证：DM∥平面PBC.

基础巩固题组

一、选择题

1．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是()．

A．a∥α，b?αB．a∥α，b∥αC．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b

2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()．A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交

3．(2014·陕西五校一模)已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()．

A．存在一条直线b，a∥b且b?αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α

C．存在一个平面β，a?β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β

4．(2014·汕头质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线

B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线

C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β

D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行

5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD 的中点，则()．

A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

二、填空题

6．(2014·南京一模)下列四个命题：

①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；

②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；

③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；

④如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．

其中所有真命题的序号是________．

7．(2014·衡阳质检)在正方体AC1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为______．8．(2014·金丽衢十二校联考)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b?β；②a ∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.如果命题“α∩β＝a，b?γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．

三、解答题

9．(2014·青岛一模)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC 于M.

(1)求证：PD∥平面ANC；(2)求证：M是PC中点．

10.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1

＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.

能力提升题组

一、选择题

1．(2014·蚌埠模拟)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2

2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为

其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．

A．①③B．②③

C．①④D．②④

二、填空题

3．(2014·陕西师大附中模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC

的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动， 则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1. 三、解答题

4．(2014·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．

(1)求证：MN ∥平面CDEF ；

(2)求多面体A －CDEF 的体积．

第5讲 直线、平面垂直的判定与性质

知 识 梳 理

1．直线与平面垂直

(1)定义：若直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直．

(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直?线面垂直)．即：a ?α，b ?α，l ⊥a ，l ⊥b ，a ∩b ＝P ?l ⊥α.

(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a ⊥α，b ⊥α?a ∥b . 2．平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a ?α，a ⊥β?α⊥β.

(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a ?α，α∩β＝b ，a ⊥b ?a ⊥β.

3．直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：θ∈????0，π

2. 4．二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

辨 析 感 悟

1．对线面垂直的理解

(1)直线a ，b ，c ；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .(×) (2)直线l 与平面α内无数条直线都垂直，则l ⊥α.(×)

(3)(教材练习改编)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α.(√) (4)(教材习题改编)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β.(×) 2．对面面垂直的理解

(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(×)

(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)

[感悟·提升]

三个防范一是注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等，如(1)；

二是注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”，如(2)；

三是判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况，如(6)．

考点一直线与平面垂直的判定和性质

【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是

PC的中点．

证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.

规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等．

【训练1】如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一

点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.

考点二平面与平面垂直的判定与性质

【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D

是AB的中点．

证明：平面ABC1⊥平面B1CD.

规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．

【训练2】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

证明：平面ABM⊥平面A1B1M.

考点三平行、垂直关系的综合问题

【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

(1)求证：CE∥平面P AD；

(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.

规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．

【训练3】如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．

(1)求证：BC⊥平面P AC；

(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.

考点四线面角、二面角的求法

【例4】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是

PC的中点．

(1)求PB和平面P AD所成的角的大小；

(2)证明AE⊥平面PCD；

(3)求二面角A－PD－C的正弦值．

规律方法(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：

①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；

②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．

(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．

【训练4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为

A.

2

3 B.

3

3 C.

2

3 D.

6

3

1．转化思想：垂直关系的转化

2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化

为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．

创新突破7——求解立体几何中的探索性问题

【典例】 (2012·北京卷) 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的

一点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. (1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；

(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.

[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．

(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误． 【自主体验】

(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AD ＝CD ＝12AB ＝2，点E 为AC 中点，将

△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2.

(1)求证：DA ⊥BC ；

(2)在CD 上找一点F ，使AD ∥平面EFB .

基础巩固题组

一、选择题

1．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的 ( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是

A ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥α

B ．若m ?α，n ?β，m ⊥n ，则n ⊥α

C ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α

D ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥β

3．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ?α，l ?β，则 ( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β

C ．α与β相交，且交线垂直于l

D ．α与β相交，且交线平行于l

4.(2014·深圳调研)如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是 ( )． A ．平面ABC ⊥平面ABD B ．平面ABD ⊥平面BDC

C ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE

D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE

5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l ，m ，且l ⊥m ，α⊥γ，α∩γ＝m ，β∩γ＝l ，给出下列四个结论： ①β⊥γ；②l ⊥α；③m ⊥β；④α⊥β.其中正确的是( )． A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．③④

二、填空题

6.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等， M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．

7．已知平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α，β所成的角分别为π4和π

6，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，

垂足为A ′，B ′，则AB ∶A ′B ′＝________.

8．设α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)． 三、解答题

9.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD .E 和F 分别是

CD 和PC 的中点．求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .

10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．

(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ； (2)求证：MD ⊥AC ；

(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .

能力提升题组

一、选择题

1.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在

A ．直线A

B 上 B ．直线B

C 上 C ．直线AC 上

D ．△ABC 内部

2．(2014·北京东城区期末)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是

A ．A ′C ⊥BD

B ．∠BA ′

C ＝90° C ．CA ′与平面A ′B

D 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13

二、填空题

3．(2013·河南师大附中二模)如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下

列结论中：

①PB ⊥AE ；②平面ABC ⊥平面PBC ； ③直线BC ∥平面P AE ；④∠PDA ＝45°.

其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)． 三、解答题

4．如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，二面角S －CD －A 的平面角为45°，M 为AB 的中点，N 为SC 的中点．

(1)证明：MN ∥平面SAD ； (2)证明：平面SMC ⊥平面SCD ； (3)记

CD

AD

＝λ，求实数λ的值，使得直线SM 与平面SCD 所成的角为30°.

基础回扣练——空间几何体及点、线、面之间的位置关系

一、选择题

1．(2014·中山模拟)一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是

2.(2013·豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A ，B ，C 是展开图上的三点，则在正方体盒

子中，∠ABC 的值为 ( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

3．(2013·浙江五校联盟联考)关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是( )． A ．若l ∥α，α∩β＝m ，则l ∥m B ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m

C ．若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β

D ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α 4．若直线m ?平面α，则条件甲：直线l ∥α是条件乙：l ∥m 的( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．(2014·揭阳二模)一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的

体积为 ( )．

A ．7 B.223 C.476 D.233

6．(2013·温州二模)下列命题正确的是 ( )．

A ．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面α

B ．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α

C ．若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l

D ．若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l

7．(2014·潍坊模拟)设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是

A ．m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n

B ．m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥n

C ．m ⊥α，n ?β，m ⊥n ，则α⊥β

D ．m ?α，n ?α，m ∥β，n ∥β，则α∥β 8．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为 ( )． A ．48 B ．64 C ．80 D ．120

9．(2013·广州二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，

若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是( )．

(

A ．12π

B ．24π

C ．32π

D ．48π

10．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为9

4，底面是边长为3的正三角形．若P 为底

面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )． A.5π12 B.π3 C.π4 D.π

6

二、填空题

11．(2014·苏锡常镇四市二调)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：

①若α∥β，m ?β，n ?α，则m ∥n ；②若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ；③若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ；④若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n .

上面命题中，所有真命题的序号为________．

12．(2013·深圳二调)某机器零件的俯视图是直径为24 mm 的圆(包括圆心)，正视图和侧视图完全相同，如图所示，

则该机器零件的体积是________mm 3(结果保留π)．

13.正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，设三棱锥D －GAC 的 体积为V 1，三棱锥P －GAC 体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.

14．(2014·皖南八校第三次联考)点E ，F ，G 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，如图所示，

则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．

①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；

②过点F ，D 1，G 的截面是正方形； ③点P 在直线FG 上运动时，总有AP ⊥DE ；

④点Q 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1QC 的体积是定值；

⑤点M 是正方体的平面A 1B 1C 1D 1内的到点D 和C 1距离相等的点，则点M 的轨迹是一条线段． 三、解答题

15．(2014·济南一模)在如图的多面体中，AE ⊥底面BEFC ，AD ∥EF ∥BC ，BE ＝AD ＝EF ＝1

2BC ，G 是BC 的中点．

(1)求证：AB ∥平面DEG ； (2)求证：EG ⊥平面BDF .

16.(2014·成都一模)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，△ABF 是等边三角形，棱EF

∥BC ，且EF ＝12BC .

(1)求证：EO ∥面ABF ；

(2)若EF ＝EO ，证明：平面EFO ⊥平面ABE .

17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：

(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .

18．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝2

2

.

(1)证明：DE ∥平面BCF ；

(2)证明：CF ⊥平面ABF ；

(3)当AD ＝2

3时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .

高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义

第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量.

高中数学空间立体几何讲义

第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲： 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 （二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ） （A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥

高中数学立体几何讲义

平面与空间直线 (Ⅰ)、平面的基本性质及其推论 图形 符号语言 文字语言（读法） A a A a ∈ 点A 在直线a 上。 A a A a ? 点A 不在直线a 上。 A α A α∈ 点A 在平面α内。 A α A α? 点A 不在平面α内。 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点。 a α a α? 直线a 在平面α内。 a α a α=?I 直线a 与平面α无公共点。 a A α a A α=I 直线a 与平面α交于点A 。 l αβ=I 平面α、β相交于直线l 。 2、平面的基本性质 公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈? ??∈? ?。 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。 B A α

公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推理模式： A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。 例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面 α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线． 解：∵AB ∥CD ， ∴AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB I α＝E ，AB ?β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点． 同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线． 说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． 例2．如图，已知平面α，β，且αI β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ?α，CD ?β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB I CD ＝M ． 又∵AB ?α，CD ?β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈αI β． 又∵αI β＝l ，∴M ∈l ， 即AB ，CD ，l 共点． 说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的． 公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。 例3．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， α D C B A E F H G α D C B A l 例2 β M

立体几何讲义(线面平行,垂直,面面垂直)

D C B 1 A 1 C 1 立体几何讲义------线面平行，垂直，面面垂直 立体几何高考考点： 选择题：三视图 选择填空：球类题型 大题 （1）线面平行、面面平行 线面垂直、面面垂直 【运用基本定理】 （2）异面直线的夹角 线面角 面面角（二面角） 【几何法、直角坐标系法】 (3)锥体体积 【找到一个好算的高，运用公式】 点面距离 【等体积法】 线面平行 1、如图所示，边长为4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的中点．求证：PA ∥面BDM 2、如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点,求证:；平面D BC AB 11// 3、如图，正三棱柱111C B A ABC 的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1. A B C A 1 B 1 C 1 D

4、如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD ． 5、如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平 面PCE ； 6、(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点． 证明：MN ∥平面A ′ACC ′； 7、【2015高考山东】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点． （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；

空间立体几何讲义全

①规定长度为0的向量为零向量，记作0； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a的相反向量记为-a. 5.共线与共面向量 （1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∕∕b. （2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量． （3）定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量b (b≠ 、的充要条件是存在实数λ，使得.b ),0 a// a b = aλ共面向量定理：如果两个向量b、a不共线，则向量p与向量b、a共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x，y),使得p.b y = a x+ 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小．

二、空间向量的运算 1、加减法 （1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． （2）加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． 交换律： 结合律： （3）推广 *首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： *首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 2.空间向量的数乘运算 （1）实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，λa与a的方向相同； ②当λ＜0时，λa与a的方向相反； ③当λ=0时，λa=0． ④|λa|=|λ|a?，λa的长度是a的长度的|λ|倍．

高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习电子教案

高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习

面面平行的判定与性质 一、基本内容 1.面面平行的判定 文字 图形 几何符号 简称 判定定理1 判定定理2 2.面面平行的性质 文字 图形 几何符号 简称 性质定理1 性质定理2 二、例题 1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面． 2.在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F

F E D B A P C 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （Ⅰ）求证：EF BD ⊥； （Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD . 4. 在四棱锥P ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA 平面 ABCD ，4PA . （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所 成角的正弦值为33，求PQ PB 的值． 5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠?， EB ⊥平面ABCD ， EF//AB ，2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ； （Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. P D C B A C A F E B M D

利用空间向量立体几何(完整版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：

高一讲义立体几何

立体几何 学习目标 1、认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征； 2、理解掌握立体图形的平行平面投影三视图； 3、能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，了解球的表面积和体积公式； 4、会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 教学内容 1、如下图中所示几何体中是棱柱有（ ） A ．1 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、如下图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、C 1D 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的________． 3、已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ． 323 π B ．4π C ．2π D ．43π 4、如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．9122π+ B ．9 182 π+ C ．942π+ D ．3618π+

空间几何体的结构 【知识梳理】 1、棱柱的结构特征 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱锥的结构特征 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；

立体几何知识点归纳

一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱 棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=.

3立体几何综合大题讲义

立体几何 【典型例题】 题型一、线面平行 例1、（2012?山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD． （Ⅰ）求证：BE=DE； （Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC 变式1：（2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置． （1）求证：AE∥平面DCF； 变式2：（2013?潍坊一模）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，设AD中点为P． （I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF （Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值． 例2、（2010?湖南）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． （Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值； （Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

变式：（2013?广州三模）如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD． （1）求证：平面PAD⊥平面PCD． （2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V PDCMA：V M-AC B=2：1，若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由． （3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD． 练习1、（2013?宁德模拟）如图所示的多面体A1ADD1BCC1中，底面ABCD为正方形，AA1∥BB1∥CC1，AA12AB=2AA1=CC1=DD1=4，且AA1⊥底面ABCD． （Ⅰ）求证：A1B∥平面CDD1C1； （Ⅱ）求多面体A1ADD1BCC1的体积V． 2、（2013?聊城一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=2，E、F分别为线段PD和BC的中点 （I）求证：CE∥平面PAF； （Ⅱ）求三棱锥P-AEF的体积．

空间几何体的表面积和体积经典例题(学生讲义)

空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2

空间向量与立体几何讲义

高 二 年级 数学 学科 一、空间向量的数量积坐标运算 1.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++ ，则称有序实数组{,,}x y z 为 向量a 的坐标，记着p = . 2．空间向量的直角坐标运算 （1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈ ， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =--- ． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2．数量积：即 ?=332211b a b a b a ++ 3 ．夹角：cos ||||a b a b a b ??==? 4．模长公式：若123(,,)a a a a = ，则||a == ． 5．平行与垂直： 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈ 00332211=++?=??⊥b a b a b a 6．距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则||AB == ， 或,A B d = 【典型例题】例1 如图，空间四边形OABC 中，,OA a OB b == ， OC c = ，点M 在OA 上，且OM =2MA ,点N 为BC 的中点，则MN = .

立体几何123-讲义

立体几何 立体几何重在考查空间想象能力、化归能力和计算能方．呈现的形式考查线线、线面和面面位置关系的判断和证明，其中的计算和证明既可以从定义和定理的角度给出分析求解，也可以利用空间向量的方法给出计算和证明， 常用方法如下：（思维导图） 1．空间中翻折与展开问题 (1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口． (2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决． (3)涉及多面体侧面的问题，常常将侧面展开，把空间图形转化为平面图形加以解决． 2．空间位置关系的探索性问题 解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点（中点、三等分点等）、特殊位置（平行或垂直），再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形， 3．用函数的观点分析处理“动点型”问题 涉及空间几何量中的角、距离、面积和体积的范围或最值，通常用函数方法分析处理， 4．利用空间向量解题 利用空间向量解题一般步骤为：(1)建立恰当的空间直角坐标系．(2)求出相关点的坐标．(3)写出向量坐标．(4)结合公式进行论证、计算．(5)转化为几何结论． (2)如右上图，正三棱锥A-BCD的底面边长为n，侧棱长为2a，过B作与侧棱AC、AD分别交于E、F两点的截面△BEF，则此截面周长的最小值为 (3)如下图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则cos 的最大值为

(完整版)立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习),推荐文档

立体几何中的轨迹问题 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的 位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与 完备性． 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数 的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 轨迹问题 【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△ SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC．则动点P 的轨迹与△SCD 组 成的相关图形最有可能的是( ) A.B．C． 解析：如图，分别取CD、SC 的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC 与BD 的交点为O，连结SO，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC ∴AC⊥平面EFG， ∵P∈FG，E∈平面EFG， ∴AC⊥PE． 另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC；C 中P 点所在的轨π 迹与CD 平行，它与CF 成4角，显然不满足PE ⊥AC；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角 为锐角，显然也不满足PE ⊥AC． 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处 设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为 活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的 平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹． 【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1 B1C1D1中，E、F、G、H 分别是CC1、C1D1、DD1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足时，有MN∥平面B1BDD1． (2)正方体ABCD —A1B1C1D1中，P 在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P 的轨迹是线段B1C ． (3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F 分别是棱A1B1，BC 上的动点，且A1E=BF，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是线段MN(M、N 分别为前右两面的中心)． (4)已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A 距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是． A (1) C1 A E C (2) 1 A1 (3) 1 C1 A C (4) 若将“在正方体的侧面BCC 1 B1上到点A 距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为的 点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是． B

高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习

面面平行的判定与性质 一、基本内容 1.面面平行的判定 文字 图形 几何符号 简称 判定定理1 （ 判定定理2 ] 2.面面平行的性质 文字 图形 " 几何符号 简称 性质定理1 ， 性质定理2 [ 二、例题 1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 2.在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. * 求证：平面1D EF ∥平面BDG . A A B 1 C 1 C D 1 D G ， F

F E " B A P C 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （Ⅰ）求证：EF BD ⊥； （Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF PBD 4. 在四棱锥P ABCD 中， AB CD AB AD 4,22,2AB AD CD PA ABCD 4PA / （Ⅰ）设平面 PAB 平面 PCD m =，求证： CD m BD ⊥PAC Q PB QC PAC 33PQ PB 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠?， EB ⊥平面ABCD ， EF//AB ，2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ； （Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大 & 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. 6.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值． ？ 7 如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足 P D C B A C A F E B M D

高中数学优秀讲义微专题63 立体几何中的建系设点问题

微专题63 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上 （2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标,x y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应 不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用 坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下： x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0

立体几何初步讲义

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 知 识 梳 理 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面． (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 ?? ? 共面直线??? ?? 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②围：? ????0，π2. (3)平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面三种情况． (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 辨 析 感 悟 1．对平面基本性质的认识 (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(×) (2)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于A 点，记作α∩β＝A .(×) (3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√) (4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×) 2．对空间直线关系的认识 (5)已知a ，b 是异面直线、直线c 平行于直线a ，那么c 与b 不可能是平行直线．(√) (6)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)

五年级立体几何拓展三视图专属奥数讲义

学科教师辅导讲义 班级： 年 级： 五年级 辅导科目：小学思维 学科教师： 上课时间 授课主题 立体几何拓展----三视图 知识图谱 错题回顾 三视图

一．三视图 在观察物体的时候，我们往往可以从不同的角度进行观察．角度不同，看到的风景就会不同．比如：我们可以从正面看，上面看，左面看，看到的图形分别称为正视图，俯视图和左视图．并且容易发现：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的图形是相同的．对于较复杂的立体图形，通过三视图法往往可以很方便地计算出表面积． 二．正方体的展开图 我们采用不同的剪开方法，共可以得到下面11种展开图． 三．长方体的展开图 观察上图可以发现，长方体的展开图由6个长方形组成，相对面的面积相等，即上面= 高宽 长 右面 左面 后面 下面 前面 上面 上 后 前 右 左 下 展开后由上、下、左、右、前、后六个正方形面组成，这六个正方形面的面积都相等． 知识精讲

下面=长×宽，左面=右面=宽×高，前面=后面=长×高． 四．判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法． 判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体，首先，要依据它们各自展开图的特点判断；其次，可以运用空间想象或实际操作进一步判断． 重难点：展开图、三视图及三视图求个数和表面积． 题模一：展开图与对立面 例1.1.1 一个正方体的六个面上分别写着A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母．请你根据图中的三种摆放情况，判断每个字母的对面是______________，______________，______________ 【答案】 B 与D 相对，E 与A 相对，C 与F 相对 【解析】 由于正方体的6个面上写了6个不同的字母，那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果2个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对． 第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B 出现了2次，那么由第一种摆放可知，B 不与A 相对，也不与F 相对；由第二种摆放可知，B 不与C 相对，也不与E 相对．那么在所有的字母中，B 只能与D 相对． 第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E 出现了2次，那么由第二种摆放可知，E 不与B 相对，也不与C 相对；由第三种摆放可知，E 不与D 相对，也不与F 相对．那么在所有的字母中，E 只能与A 相对． B F A E B C F E D 三点剖析 题模精选

空间立体几何讲义

一、基本概念 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB ,a 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作0； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a 的相反向量记为-a . 5.共线与共面向量 （1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a ∕∕b . （2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量． （3）定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量b a b a //),0(b ≠、 的充要条件是存在实数λ，使得.b a λ= 共面向量定理：如果两个向量b 、 a 不共线，则向量p 与向量 b 、a 共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x ，y),使得p .b y a x += 6．注意： 7．①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行； 8．②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； 9．③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； 10．④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； 11．⑤一般来说，向量不能比较大小． 二、空间向量的运算 1、加减法 （1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． （2）加法运算律： （3）空间向量的加法满足交换律及结合律． 交换律： 结合律： （3）推广 *首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： *首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量

空间立体几何知识点

立体几何（空间的直线和平面） 1、平面的基本性质： 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 说明：公理1是判定直线在平面内的依据，用符号表示为：ααα?????∈∈∈∈l B l B A l A ,,，以“直 线在平面内”的意义为依据，我们常用下面的推理判定“点在平面内”：αα∈??∈A l l A ,。简而言之：点在线上，线在面内，则点在面内。 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 说明：公理2是判定两个平面相交的依据，即a A a A A ∈=??∈∈且,,βαβα，进而有AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,,。以“两平面相交的意义”为依据，常用下面的推理判定“点在直线上”：a A a A A ∈?=?∈∈,,βαβα且。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。 联想：公理3及其3个推论，是确定平面的依据，是我们将空间图形问题转化到平面问题来解决的重要前提。在立体几何中，如果我们所研究的点线等能确定是同一平面内的，那么我们就可不加证明地运用平面几何中的定义、公理、定理等，公理3及其3个推论也是证明两平面重合的依据，如：重合与不共线βαβα?∈∈C B A C B A C B A ,,,,,,,,。 斜二测画法——斜二测画法的规则是：（见书本） 说明：画水平放置的直观图时，坐标原点的选取是任意的，但通常取中心对称图形的中心为坐标原点，或者取轴对称图形一边与轴的交点为原点等。 2、空间两条直线 异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 空间两直线的位置关系有三种：相交直线、平行直线和异面直线。 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。 空间四边形：四个顶点不共面的四边形叫做空间四边形。 三线平行公理（公理4）平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等。 等角定理的推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 两条异面直线所成的角的范围：(]0 090,0 ，两条异面直线互相垂直、公垂线和距离的定义。 金点子：（1）证明两直线是异面直线的常用方法是“判定定理”和“反证法”，其中“反证法”