人教数学 锐角三角函数的专项 培优易错试卷练习题及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62

或

23

.

【解析】

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，

∵△EFK是直角三角形，∴OF=1

2

EK=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，

∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；

（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，

∵|CF﹣AE|=2，3AE=CK，∴FK=2，

在Rt△EFK中，tan∠3

∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，

∴EK=2FK=4，OF=1

2

EK=2，

∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，

在Rt△PHF中，PH=1

2

PF=1，3OH=23

∴()2

2

12362

+-=

如图4中，点P 在线段OC 上，当PO=PF 时，∠POF=∠PFO=30°， ∴∠BOP=90°， ∴OP=

33OE=233

， 综上所述：OP 的长为62-或

23

3

. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

2．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．

（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC 2＝2CD?OE ； （3）若314

cos ,53

BAD BE ∠=

=，求OE 的长．

【答案】（1）DE 为⊙O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35

6

． 【解析】

试题分析：（1）连接OD ，BD ，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB 为直角，可得出△BCD 为直角三角形，E 为斜边BC 的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE ，从而得∠C=∠CDE ，再由OA=OD ，得∠A=∠ADO ，由Rt △ABC 中两锐角互余，从而可得∠ADO 与∠CDE 互余，可得出∠ODE 为直角，即DE 垂直于半径OD ，可得出DE 为⊙O 的切线；

（2）由已知可得OE 是△ABC 的中位线，从而有AC=2OE ，再由∠C=∠C ，∠ABC=∠BDC ，可得△ABC ∽△BDC ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的长，根据三角形中位线定理OE 的长即可

求得．

试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=A C?CD．

∴BC2=2CD?OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，

又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．

考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数

3．问题背景:

如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为．

（2）知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

【答案】解：（1）22．

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．

∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．

过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．

则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．

在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，

∴．

∴BE+EF的最小值为

【解析】

试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和

MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：

如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，

根据垂径定理得弧BD=弧DE．

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．

∴∠C′AE=45°．

又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．

∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=22．

∴AP+BP的最小值是22．

（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．

4．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．

（1）AE的长为 cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

（3）求点D′到BC的距离．

【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：

∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．

∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．

（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．

试题解析：解：（1）．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，

∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．

∴点E，D′关于直线AC对称．

如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．

∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，

∴，即DP+EP最小值为12cm．

（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，

∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′

（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．

设D′G长为xcm，则CG长为cm，

在Rt△GD′C中，由勾股定理得，

解得：（不合题意舍去）．

∴点D′到BC边的距离为cm．

考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．

5．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，2

3)、D(0，33)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60o．

(1)点B 的坐标是 ，∠CAO ＝ o，当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标 为 ；

(2)设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．

【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）

))))243

x 430x 33

313333x 5S {23x 1235x 93543

x 9+≤≤+<≤=-+<≤>

【解析】

解：（1）（6，3 30．（3，3 （2）当0≤x≤3时， 如图1，

OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得

EF PE DC31

==

OQ PO DO3

33

==，∴EF=

1

3

（3+x），

此时重叠部分是梯形，其面积为：

EFQO

14343

S S EF OQ OC3x x43 233

==+?=+=+梯形

（）（）

当3＜x≤5时，如图2，

()

HAQ

EFQO EFQO

22

1

S S S S AH AQ

2

43331333

x43x3=x x

32232

?

=-=-??

=+---+-

梯形梯形

。

当5＜x≤9时，如图3，

12

S BE OA OC3x

23

23

=x123

=+?=-

-+

（）（）

。

当x＞9时，如图4，

11183543

S OA AH 6=

22x x

=

?=??

． 综上所述，S 与x 的函数关系式为：

()()()()243

x 430x 33

31333x x 3x 5S {23x 1235x 93543

x 9+≤≤-+-<≤=-+<≤>．

（1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标： ∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，

∵A （6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）． ②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数： ∵OC 233

tan CAO ==

OA ∠=

，∴∠CAO=30°． ③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，

∵∠PQO=60°，D （0，3∴3 ∴0

PE AE 3tan 60

=

=．

∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，3）．

（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案．

6．如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)

【答案】95m

【解析】

【分析】过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．在△ACE中，求AE＝3m，在RT△MFC中，设MN＝x m，则AN＝xm．FC3xm，可得x＋33 ( x－20)，解方程可得答案..

【详解】解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F．

在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°

∴CE＝FN＝20m，AE＝3

设MN＝x m，则AN＝xm．FC3，

在RT△MFC中

MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20

FC＝NE＝NA＋AE＝x＋3

∵∠MCF＝30°

∴FC3MF，

即x＋33－20)

解得：x 403 31

＝60＋3

答：电视塔MN的高度约为95m．

【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.

7．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．

（1）如图1，求证：KE＝GE；

（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝1

2

∠ACH，求证：CA∥FE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝3

5

，AK＝10，求CN

的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（320

10 13

【解析】

试题分析：

（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；

（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=1

2

∠ACH可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF；

（3）如下图2，作NP⊥AC于P，

由（2）可知∠ACH=∠E，由此可得sinE=sin∠ACH=

3

5

AH

AC

，设AH=3a，可得AC=5a，

CH=4a ，则tan ∠CAH=

4

3

CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=

3AH

HK

=，AK=10a ，结合AK=10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP

=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=

PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=5

13

，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：

（1）如图1，连接OG ．

∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，

∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，

∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，

∵∠FGB=

1

2

∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ，

∴CA ∥FE ．

（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=3

5

AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ，

则4a =，tan ∠CAH=

4

3

CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ， ∴∠CAK=∠AKH ，

∴AC=CK=5a ，HK=CK ﹣CH=4a ，tan ∠AKH=AH

HK

=3，=， ∵

∴

=

∴a=1．AC=5， ∵∠BHD=∠AGB=90°， ∴∠BHD+∠AGB=180°，

在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°， ∴∠ABG+∠HKG=180°， ∵∠AKH+∠HKG=180°， ∴∠AKH=∠ABG ， ∵∠ACN=∠ABG ， ∴∠AKH=∠ACN ， ∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3， ∵NP ⊥AC 于P ， ∴∠APN=∠CPN=90°， 在Rt △APN 中，tan ∠CAH=4

3PN AP =，设PN=12b ，则AP=9b ， 在Rt △CPN 中，tan ∠ACN=PN

CP

=3， ∴CP=4b ， ∴AC=AP+CP=13b ， ∵AC=5， ∴13b=5， ∴b=

513

，

∴

=b

8．如图所示，一堤坝的坡角62ABC ∠=?，坡面长度25AB =米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角50ADB ∠=?，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01 米)(参考数据：sin620.88?≈，cos620.47?≈，

tan50 1.20?≈)

【答案】6.58米 【解析】

试题分析：过A 点作AE ⊥CD 于E ．在Rt △ABE 中，根据三角函数可得AE ，BE ，在Rt △ADE 中，根据三角函数可得DE ，再根据DB=DE ﹣BE 即可求解． 试题解析：过A 点作AE ⊥CD 于E ． 在Rt △ABE 中，∠ABE=62°． ∴AE=AB?sin62°=25×0.88=22米，

BE=AB?cos62°=25×0.47=11.75米， 在Rt △ADE 中，∠ADB=50°， ∴DE==18

米，

∴DB=DE ﹣BE≈6.58米． 故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．

考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

9．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点B 到航线l 的距离BD 为4km ，点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处．现有一艘轮船从位于点A 南偏东74°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处．求这艘轮船的航行路程CE 的长度．（结果精确到0.1km 3，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49）

【答案】20.9km 【解析】

分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可. 详解：如图，

在Rt △BDF 中，∵∠DBF=60°，BD=4km ，

∴BF=

cos 60BD

=8km ，

∵AB=20km ， ∴AF=12km ，

∵∠AEB=∠BDF ，∠AFE=∠BFD ， ∴△AEF ∽△BDF ，

∴

AE BD

AF BF ， ∴AE=6km ，

在Rt △AEF 中，CE=AE?tan74°≈20.9km ． 故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km ．

点睛：本题考查相似三角形，掌握相似三角形的概念，会根据条件判断两个三角形相似.

10．如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点，过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.

（1）求证：DF ⊥AC ；

（2）若∠ABC=30°，求tan ∠BCO 的值. 【答案】(1)证明见解析; (2) tan ∠3 【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线定理可求出OD∥AC，根据切线的性质可证明DE⊥OD，进而得证．

（2）过O作OF⊥BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB表示出OF、CF的长，根据三角函数的定义求解．

试题解析：证明:连接OD

∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE

∵O为AB中点, D为BC的中点

∴OD‖AC

∴DE⊥AC

(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD

在Rt△BFO中，∠ABC=30°

∴OF=1

2OB

∵BD=DC, BF=FD，∴

在Rt△OFC中，tan∠

BCO=

1

OB

OF

FC

==.

点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识

点，有一定的综合性，根据已知得出OF=1

2

OB，

，

OB是解题关

键．

培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再

人教数学锐角三角函数的专项培优易错试卷练习题附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到

1cm）？ 【答案】 【解析】 于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm． （1）AE的长为 cm； （2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离． 【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm． 【解析】 试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

八年级数学培优练习题及答案大全

八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且

AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。

培优锐角三角函数之欧阳光明创编

锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）

A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)

七年级上册数学 期末试卷培优测试卷

七年级上册数学期末试卷培优测试卷 一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难） 1．已知，，点E是直线AC上一个动点（不与A,C重合），点F是BC边上一个定点，过点E作，交直线AB于点D，连接BE，过点F作，交直线AC于点G． （1）如图①，当点E在线段AC上时，求证：． （2）在（1）的条件下，判断这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． （3）如图②，当点E在线段AC的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系． （4）当点E在线段CA的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出之间的关系． 【答案】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴

（2）解：这三个角的度数和为一个定值，是过点G作交BE于点H ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 （3）解：过点G作交BE于点H ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即

故的关系仍成立 （4）不成立| ∠EGF-∠DEC+∠BFG=180° 【解析】【解答】解：(4)过点G作交BE于点H ∴∠DEC=∠EGH ∵ ∴ ∴∠HGF+∠BFG=180° ∵∠HGF=∠EGF-∠EGH ∴∠HGF=∠EGF-∠DEC ∴∠EGF-∠DEC+∠BFG=180° ∴（2）中的关系不成立，∠EGF、∠DEC、∠BFG之间关系为：∠EGF-∠DEC+∠BFG=180°故答案为：不成立，∠EGF-∠DEC+∠BFG=180° 【分析】（1）根据两条直线平行，内错角相等，得出；两条直线平行，同位角相等，得出，即可证明．（2）过点G作交BE于点H，根据平行线性质定理，， ，即可得到答案．（3）过点G作交BE于点H，得到 ，因为，所以，得到，

培优锐角三角函数

锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。

七年级数学期末试卷培优测试卷

七年级数学期末试卷培优测试卷 一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难） 1．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，∠BOE=90°，FO平分∠BOD，∠BOC：∠AOC=1：3． （1）求∠DOE、∠COF的度数． （2）若射线OF、OE同时绕O点分别以2°/s、4°/s的速度，顺时针匀速旋转，当射线OE、OF的夹角为90°时，两射线同时停止旋转．设旋转时间为t，试求t值． 【答案】（1）解：∵∠BOC：∠AOC=1：3， ∴∠BOC=180°× =45°， ∴∠AOD=45°， ∵∠BOE=90°， ∴∠AOE=90°， ∴∠DOE=45°+90°=135°， ∠BOD=180°-45°=135°， ∵FO平分∠BOD， ∴∠DOF=∠BOF=67.5°， ∴∠COF=180°-67.5°=112.5° （2）解：∠EOF=90°+67.5°=157.5°， 依题意有 4t-2t=157.5-90， 解得t=33.75． 故t值为33.75． 【解析】【分析】（1）根据∠BOC：∠AOC=1：3，∠BOC+∠AOC=180°，即可算出∠BOC 的度数，然后根据对顶角相等由∠AOD = ∠BOC得出∠AOD 的度数，根据平角的定义，由∠AOE=∠AOB-∠BOE算出∠AOE的度数，进而根据∠DOE=∠AOE+∠AOD算出∠DOE的度数，∠BOD=∠AOB-∠AOD算出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义得出∠BO 的度数，最后根据∠COF=∠COB+∠BOF即可算出答案； （2）根据角的和差，由∠EOF=∠EOB+∠BOF算出∠EOF的度数，根据题意OE转过的角度为4t°，OF转过的角度为2t°，根据题意列出方程 4t-2t=157.5-90，求解即可。

八年级数学分式培优练习题完整复习资料

分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1=3 1 C （-2）2=4 D （）-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是

(完整版)七年级数学(下)培优试题

七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4

7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？ （3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古 塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用） （1） （2） （3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q

初二数学提优练习题

初二数学提优训练 班级 姓名 学号 成绩 1 ．某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价,由单价为15元/千克的甲种糖果10千克,单价为12元/千克的乙种糖果20千克,单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为( ) A.11元/千克 B.11.5元/千克 C.12元/千克 D.12.5元/千克 2 ．数学老师布置10道选择题作为课堂练习,课代表将全班同 学的答题情况绘制成条形统计图(如图),根据图表,全班每 位同学做对题数中位数和众数分别为 ( ) A.8,8 B. 8,9 C.9,9 D. 9,8 3 ．甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、 x 分、80分,若这组数据的众数与平均数恰好相等,则这组数 据的中位数是( ) A.100分 B. 95分 C. 90分 D. 85分 4 ．八年级(1)班50名学生的年龄统计结果如右表所示:则此班学 生年龄的众数、中位数分别为( ) A.14,14 B.15,14 C.14,15 D.15,16 5．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BCD △的面积是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡 路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的 关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡 路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到 家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟 7．在全市中学运动会800m 比赛中，甲乙两名运动员同时起跑， 刚跑出200m 后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，并取得了优异的成绩．图中分别表示甲、乙两名运动员所跑的路程y （m ）与比赛时间x （s ）之间的关系，根据图像解答下列问题： （1）甲摔倒前，________的速度快（填甲或乙）； （2）甲再次投入比赛后，在距离终点多远处追上乙？ 年龄 13 14 15 16 人数 4 22 23 1 图1 2 O 5 x A B C P D 图2 O y (m) x (s) 800 200 40 120 125 C D A B P

七年级数学期末试卷培优测试卷

七年级数学期末试卷培优测试卷 一、选择题 1．我国第一艘航空母舰辽宁航空舰的电力系统可提供14 000 000瓦的电力．14 000 000这个数用科学记数法表示为（ ） A ．14×106 B ．1.4×107 C ．1.4×108 D ．0.14×109 2．若关于x 的方程2x ﹣m=x ﹣2的解为x=3，则m 的值是（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．7 D ．﹣7 3．下列说法错误的是( ) A ．对顶角相等 B ．两点之间所有连线中，线段最短 C ．等角的补角相等 D ．不相交的两条直线叫做平行线 4．已知关于x 的方程34x a -=的解是x a =-，则a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 5．2019年12月15日开始投入使用的盐城铁路综合客运枢纽，建筑总面积约为324 000平方米．数据324 000用科学记数法可表示为（ ） A ．324×103 B ．32.4×104 C ．3.24×105 D ．0.324×106 6．如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图不可能的是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（） A ．63 B ．70 C ．92 D ．105 8．小明在某月的日历中圈出了三个数，算出它们的和是14，那么这三个数的位置可能是 （ ）

A ． B ． C ． D ． 9．－8的绝对值是（ ） A ．8 B ． 18 C ．－ 18 D ．－8 10．如图，点C 是AB 的中点，点D 是BC 的中点，则下列等式中正确的有（ ） ①CD AC DB =-②CD AD BC =-③2BD AD AB =- ④1 3 CD AB = A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 11．下列叙述中正确的是（ ） A ．相等的两个角是对顶角 B ．若∠1+∠2+∠3 =180o，则∠1，∠2，∠3互为补角 C ．和等于90 o的两个角互为余角 D ．一个角的补角一定大于这个角 12．下列说法正确的是（ ） A ．如果ab ac =，那么b c = B ．如果22x a b =-，那么x a b =- C ．如果a b = 那么23a b +=+ D ．如果 b c a a =，那么b c = 13．如图，已知正方形2134A A A A 的边长为1，若从某一点开始沿逆时针方向走点的下标数字的路程，则把这种走法成为一次“逆移”，如：在点3A 开始经过3412A A A A →→→为第一次“逆移”， 在点2A 开始经过2341A A A A →→→为第二次“逆移”.若从点1A 开始，经过2020次“逆移”，最终到达的位置是（ ） A ．1A B ．2A C ．3A D ．4A 14．下列说法正确的是（ ） A ．两点之间的距离是两点间的线段 B ．与同一条直线垂直的两条直线也垂直 C ．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D ．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 15．下列运用等式的性质，变形正确的是（ ） A ．若x=y ，则x ﹣5=y+5 B ．若a=b ，则ac=bc C ．若 a b c c =，则2a=3b D ．若x=y ，则 x y a a =

(完整word)初二上数学培优题(一)答案

初二数学培优题（一） 1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数． 【分析】（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE； （2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可； 【解答】解：（1）∵∠1=∠2=∠3， ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）即∠BAC=∠DAE， 又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）∵AE∥BC， ∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C， 又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x， 则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB， 又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C， ∴∠ABD=4x，

∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°， ∴x=20°， ∴∠E=∠C=20°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC． （1）证明：BC=DE； （2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可； （2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案； 【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△ADE中，

七年级数学下册培优试卷

七下数学培优试卷2 姓名 班级 总分 一、选择题（每小题3分，共18分.） 1.下列说法正确的是（ ） A. 4的算术平方根是2 B.16的平方根是2± C. 27的立方根是±3 D.9的平方根是±3 2.点A 关于x 轴对称的点为A ′（3，2-），则点A 的关于原点的对称点坐标是（ ） A.(2,3) B.(2,3-) C.(2,3--) D. (3,2-) 3.如果关于x 的方程 5432b x a x +=+的解不是负值，那么a 与b 的关系是( )． A.b a 5 3> B.a b 5 3≥ C.5a ＝3b D. 5a ≥3b 4.如图，AF ∥CD ，BC 平分∠ACD ，BD 平分∠EBF ，且BC ⊥BD ，下列结论：①BC 平分∠ABE ；②AC ∥BE ；③∠BCD+∠D=90°；④∠DBF=2∠ABC. 其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.如图，AB ∥CD ，MP ∥AB ，MN 平分∠AMD ，∠A=40°，∠D=30°，则∠NMP 等于（ ） A ． 10ο B ． 15ο C ． 5ο D ． 75.ο 6.某人从一鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条2 b a +元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ） A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．与ab 大小无关 二、 填空题:（每题3分，共24分.） 7.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，O 为垂足，∠EOD =30°，则∠AOC = . 8.当x 满足______时，2 31x -的值不小于－4． 9.若(x ＋y －2)2＋｜4x ＋3y －7｜＝0，则8x －3y 的值为 . 10.在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称该点是整点。若整点P(m+2，2m-1)在第四象限，则m 的值为 . 11.关于x 的不等式组? ??->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围为 . 12.如图，△DEF 是由△ABC 经过平移得到的，若∠C =80°，∠A =33°，则 ∠EDF = ； 13.学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满，则有__________名女生． 14.如图，将正整数按如图所示规律排列下去，若用有序数对（m ，n ）表示m 排从左到右第n 个数。如（4， 3）表示9，则（15，4）表示________. 15.钟表上7点20分，时针与分针的夹角为 . 三、解答题 O F E C B A D B A F C E D 4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...... 5题图 7题图 12题图

初二上数学培优题一问题详解

标准 初二数学培优题（一） 1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE； E=∠CAD，求∠BC，且∠C的度数．（2）若AE∥ ，∠DAE2，即∠BAC=，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠∠【分析】（1）由∠1=∠2=3≌ABC，已知AC=AE，即可证得：△∠3，则可得∠B=∠ADE1+又∠∠B=∠ADE+；ADE△ °，解x+4x+4x=180ABD中，可得）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△（2答处即可； ，∠3）∵∠1=∠2=【解答】解：（1

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和），DAC+∠2DAC=∴∠1+∠∠，DAEBAC=∠即∠ ，ADE∠3，则可得∠B=∠∠又∵∠1+B=∠ADE+ ，ADE中在△ABC和△ ；）（≌△∴△ABCADEAAS 文案． 标准 （2）∵AE∥BC， ∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C， 又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x， 则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB， 又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C， ∴∠ABD=4x， ∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°， ∴x=20°， ∴∠E=∠ C=20°．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC． （1）证明：BC=DE； （2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积． 文案． 标准 【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可； （2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得

锐角三角函数(培优)

知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．

七年级上册数学 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

七年级上册数学 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析） 一、选择题 1．如图1是//AD BC 的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF 折叠并压平，若图3中24CFE ∠=?，则图2中AEF ∠的度数为（ ） A ．120? B ．108? C ．112? D ．114? 2．﹣3的相反数为（ ） A ．﹣3 B ．﹣ 13 C ． 13 D ．3 3．若要使得算式－3□0.5的值最大，则“□”中填入的运算符号是（ ） A ．＋ B ．－ C ．× D ．÷ 4．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中∠α与∠β一定相等的图形个数共 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．在 3.14、 22 7 、 0、π、1.6这 5个数中，无理数的个数有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 6．下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A ．()3-- B ．()3 3-- C ．()2 3- D ．3-- 7．如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．据报道，2019年建成的某新机场将满足年旅客吞吐量45 000 000人次的需求．将45

000 000用科学记数法表示应为（） A．0.45×108B．45×106C．4.5×107D．4.5×106 9．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（）元． A．140B．120C．160D．100 10．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（） A．6（m﹣n）B．3（m+n）C．4n D．4m 11．一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（） A．B．C．D． 12．把方程213 1 48 x x -- =-去分母后，正确的结果是（） A．2x-1=1-（3-x）B．2（2x-1）=1-（3-x） C．2（2x-1）=8-3+x D．2（2x-1）=8-3-x 13．据江苏省统计局统计：2018年三季度南通市GDP总量为6172.89亿元，位于江苏省第4名，将这个数据用科学记数法表示为() A．3 6.1728910 ?亿元B．2 61.728910 ?亿元 C．5 6.1728910 ?亿元D．4 6.1728910 ?亿元 14．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的主视图为（） A．B．

最新八年级上数学培优试题及答案解析

最新八年级上数学培优试题及答案解析 11.1与三角形有关的线段 专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类 推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表： 在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 完成下表： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第三边x的长． 状元笔记 【知识要点】 1．三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性．

八年级上数学培优试题(1)

一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 2、函数34+-=x y 的图象上存有点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=__________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为___________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中准确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为m °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)°

O y (微克/毫升) x (时) 3 14 8 4 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤16 3、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关门两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同 时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能准确的论断是( ) A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4、将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同 的截法有( ) A.5种 B. 6种 C. 7种 D.8种 5、在△ABC 中，适合条件C B A ∠=∠=∠4 1 31，则△ABC 中是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 6、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）． A .x ＞1 B .x ＜1 C .x ＞－2 D .x ＜－2 O 1 x y －2 y ＝k 1x ＋b