全国中学生物理竞赛课件22：电磁感应面面观

动生电动势与感生电动势?Bqvl

Blv q ε==

B v

-

动生电动势+F

E B Eq l

El q ε?==感生电动势B

S

t t ε?Φ

?==???.B

S

E t l ?=?示例示例

如图所示，一长直导线中通有电流I ＝10 A ，有一长l ＝0.2

m 的金属棒AB ，以v ＝2 m/s 的速度平行于长直导线做匀速运动，若棒的近导线的一端与导线距离a ＝0.1 m ，求金属棒AB 中的动生电动势．解:专题22-例1

I 直线电流磁场分布有02B I r

μπ=距直线电流r i 处元动生电动势v

()012i i i i I r r v r μεπ+=-设棒中总动生电动势为ε,1021i i r r nv I πεμ+=+102lim lim 1n n i n n i r r nv I πεμ+→∞→∞????=+ ???????r i 02nv I a l e a πεμ+=0ln 2Iv a l a

μπε+=()012i i i I r r v r n

μεπ+-=

解:专题22-例2通电螺线圈内磁场分布有0B nI μ=圆盘产生转动动生电动势()20012B nI r εμω=±电流表读数:()2002B nI r I R μω±=由20202r B I R n r ωμω= ωI O

202R

nr μ0

0B n μ如图所示是单极发电机示意图，金属圆盘半径为r ，可以无

摩擦地在一个长直螺线圈中，绕一根沿螺线圈对称轴放置的导电杆转动，线圈导线的一端连接到圆盘的边缘，另一端连接到杆上，线圈的电阻为R ，单位长度有n 匝，它被恰当地放置而使它的对称轴和地球磁场矢量B 0平行，若圆盘以角速度ω转动，那么流过图中电流表的电流为多少？A ωB 0规律

试手

B 0 O

a

0nI

μ

0nI

μ

返回

在磁感应强度为B ，水平方向的均匀磁场内，有

一个细金属丝环以速度做无滑动的滚动，如图所示．环上有长度为l 的很小的缺口，磁场方向垂直于环面．求当角AOC 为α时环上产生的感应电动势.解:开口的细金属丝环在滚动过程“切割”

磁感线而产生动生电动势.如图:v αv

α

sin Blv εα=A

O

C

0tan ln 2BC Iv d l d μθπε+=解:

无限长直线电流周围磁感应强度的分布规律为I

v

d 02B I r μπ=直角三角形线圈ABC 的AB 边在距直线电流d

时的动生电动势为01ta tan 2n d B vl Ivl d μεθπθ==l A C 直角三角形线圈的BC 边各段处在不同磁场,取第i 段:有效切割长度:()1

tan i i r r θ+-()1tan BC i i i B r r v n εθ+-=则()10tan 2i i BC i r r I v r n μεθπ+-?=02tan BC Iv d l e πεμθ+=12ε

εε=-=0tan ln 2Iv d l l d d μθπ+??- ???

f B

如图所示，在电流为I 的无限长直导线外有与它共面的直角

三角形线圈ABC ，其中AB 边与电流平行，AC 边长l ，∠BCA=θ，线圈以速度v 向右做匀速运动，求当线圈与直线电流相距d 时，线圈中的动生电动势.

B

如图所示，一根永久性圆磁棒，在它的磁极附近套上一环形线圈，摆动线圈，使线圈沿轴做简谐运动，振幅A =1mm （这比磁铁和线圈的尺

寸小得多），频率f =1000Hz ．于是，在线圈里产生感应电动势，其最大值εm =5V ，如果线圈不动，线圈通以电流I =200mA ，求磁场对线圈的作用力.解:设线圈所在处磁场辐向分量为

B x ，线圈摆动时“切割”B x 而

产生动生电动势，线圈简谐运

动最大速度:此时有最大电动势：

max 2v fA

π=max 2x fAB L επ=max 2x L

B fA επ=线圈通电时受所在处磁场辐向分量B x 安培力:x F B LI =max 2LI fAL

επ==N 30.252 3.14100010-????N

0.16≈返回

一个“扭转”的环状带子（称为莫比乌斯带）是由长度为L ，宽度为d 的纸条制成．一根导线沿纸带的边缘了一圈，并连接到一个电压表上，如图

所示．当把绕在纸带上的导线圈放入一个均匀的垂直于纸带环所在面的磁场中，且磁场随时间均匀变化，即，电压表记录的数据为多少？解1:专题22-例3磁场随时间均匀变化B kt =变化的磁场引起感生电场:22L S E k k L L ππ?? ???=?=电压表读数:4L

k π=22kL π=2解:由法拉弟电磁感应定律,每个线圈中的电动势为:

2E L ε=?由202L k S k εππ??=?=? ???24L k π

=22kL επ=()B t kt =

解:一个长的螺线管包括了另一个同轴的螺线管，它的半径R 是外面螺线管半径的一半，两螺线管单位长度具有相同的圈数，且初时都没有电

流．在同一瞬时，电流开始在两个螺线管中线性地增长，任意时刻，通过里边螺线管的电流为外边螺线管中电流的两倍且方向相同，由于增长的电流，一个处于两个螺线管之间初始静止的带电粒子开始沿一条同心圆轨道运动，如图所示，求该圆轨道半径r .专题22-例4变化电流在螺线管上产生变化的匀强磁场，变化的磁场产生感生电场。带电粒子在磁场及感生电场中受洛伦兹力与电场力；在向心力与速度相适配的确定轨道做圆周运动.r 10B nI μ=r

E ①②202B nI μ=粒子绕行一周时间设为ΔT,则200222r nI nI r R E T T r μμ=?+???由动量定理，感生电场使静止粒子获得速度：r q E T m v ??=粒子运动的一个动力学方程为：21v q Bv m r =220022nI r R q T r T q nI r μμ+??=2r R

=规律()2200222R nI R n I R μπμπΦ=+()200224222nI R B nI R R μπμππΦ===12B =试手

R

B B S Φ=E

eE F m

222B R B R E t R t ππ??=?=???由动量定理，感生电场使电子增加速度Δv 为：eE t m v

??=?当电子速度为v 时,有：20v evB m R =0mv B eR ?=0B m v t eR t

???=???0B m eE t eR m ?=??2B R R t ??=?02

B B =返回

轨道所在处的磁场磁感应强度为轨

道内磁场平均磁感应强度的一半!

在半径为R 的圆柱形体积内充满磁感应强度为B 的均匀磁场．有一长为l 的金属棒放在磁场中，如图所示，设磁场在增强，其变化率为k ．⑴求棒中的

感生电动势，并指出哪端电势高；⑵如棒的一半在磁场外，其结果又如何？解:回路中的感生电动势B B S t ε?=??感O 22122l k l R ε??=?-= ???感2244

kl R l -棒一半在磁场外时

2221222l l k R R εθ??????=?-+ ???????感

1122222tan tan 44l l R l R l

θ--=---其中22211222242tan tan 8244l R l R l l k R l R l ε--????-??+- ? ???--???=?

θ右端电势高

一个很长的直螺线管半径为R ，因线圈通过交流电而在线圈内引

起均匀的交变磁场B=B 0sinωt ，求螺线管内、外感生电场E 的分布规律.解:把螺线管理想化为无限长通电直

螺线管，其磁场均匀且只分布在

管内．由于磁场按正弦规律变化，

必会引起感生电场.B O 在管内,距轴心r 处2..22B r B r E t r t ππ??==??其中()00sin sin lim t t t B t t t B ωω?→??+?-=?()00cos sin 2lim 2t t t t B t ωωωω?→?+??=?0cos B t ωω=0cos 2r B t E ωω=內在管外,距轴心r 处22..22B R B R E t r t r ππ??==??20cos 2R B E t

r ωω=外

自感电动势?N t I L t

ε?Φ==???自自感系数电感线圈面积单位长度匝数总匝数有无铁芯自感线圈中的磁场能?

产生自感电动势的过程是电源电流做功将电能转变成磁场能的过程!,,i I t I i n ?=若某电源移送元电量为,I i t n ?元功为电流由0增至I 做的总功为:1lim n n i I W i t n ε→∞==???∑自I L n t ??212

m E LI =,I i t n ε??自

解:有一个N 匝的螺旋状弹簧如图所示，线圈半径为R 、弹簧自然长度为x 0(x 0R )，劲度系数为k ，当电流I 0通过弹簧时，求弹簧的长度改变了多少？

专题22-例5先计算螺线管的自感系数2

0nI R N N t t μπε?Φ==??自由I 20I N n R t μπ=?20L N n R μπ=达到稳定时,磁通量不变:220000t t N N I R I R x x μπμπ=00t t x I I x ∴=220t t N R L x

μπ=由能量守恒:()222000111222t t t k x x L I L I -=-()2222000020t t N R k x x I x x x μπ-=-????20220020

t x R k x N I x μπ-=

解:⑴闭合开关稳定时R E

S R

r L r U rE R r =+这也是开关刚打开时电感的端电压！⑵开关打开过程，电源电流为0，通过

电表的是自感电流电感上电流从原来的()0L E I R r =?+2q t r ε=??自2L I t r t ??=????()2LE r R r =+⑶开关闭合过程，电源电流与自感电流叠加，通过电表的

是自感电流电感上电流从原来的()0L E I R r ?=+2q t r ε=??自

2L I t r t ??=????()2LE r R r =+如图所示电路，直流电源的电动势为E ，内阻不计，两个电阻值为R ，一个电阻值为r ，电感的自感系数为L ，直流电阻值为r ．闭合开关S ，待电路电流稳定后，再打开开关S （电流计G 内阻不计）⑴打开开关时，电阻值为r 的电阻两端电压为多少？⑵打开开关后有多少电量通过电流计？⑶闭合开关到电流稳定时，有多少电量通过电流计？

电磁涡流制动器由一电阻为ρ、厚度为τ的金属圆盘为主要部件，如图所示．圆盘水平放置，能绕过中心O 的竖直轴转动，在距中心O 为r 处，一边长为a 的正方形区域内有垂直于圆盘平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，若r a ，试写出圆盘所受的磁制动力矩与圆盘转动角速度之间的关系式.处在磁场中的小金属块电阻为：

a R a ρτ=?由法拉弟电磁感应定律，小金属块中的感应电动势为：2

B a E t t

φ??==??小金属块中产生的感应电流（涡流）为：2

E B a I R t τρ??==??,a Ba r r a t I r τωωρ

∴?=?=? 磁制动力矩：M BIa r =?解: 222

B a r ωτρ

=

释放后棒在重力与安培力共同作用下做加速度减小的加速

运动，由于线圈自感及棒的切割运动，产生与电源电动势相反的感应电动势，使通过AB 棒的电流逐渐减小，当感应电动势与电源电动势相等时，棒上无电流，棒加速度为g ，此后感应电动势大于电源电动势，安培力与重力方向相反，当电流达到恒定，棒速度达到最大时，线圈自感电动势为零，通过电流

m v lB E I R r -=+m v lB E mg lB R r -=+又122.5m v =m/s

如图，在竖直面内两平行导轨相距l ＝1m ，且与一纯电感线圈L 、直流电源E （ε，r ）、水平金属棒AB 联为一闭合回路，开始时，金属棒静止，尔后无摩擦地自由下滑（不脱离轨道）．设轨道足够长，其电阻可忽略，空间中磁场B 的大小为0.4T ，其方向垂直于轨道平面，已知电源电动势为ε＝9V ，内电阻r ＝0.5Ω，金属棒质量m ＝1kg ，其电阻R ＝1.1Ω，线圈自感系数L ＝12H ，试求金属棒下落可达到的最大速度．

E L A B l 解:

O

B a 解:空洞处视作变化率相同的两反

向匀强磁场B a 、B b 叠加:a a 1E r 2k =?b b 1E r 2k =-a b

E E E A =+O 'r a A E A

r b d B b 12A E kd =即两变化磁场在空洞中A 处引起感生电场E a 、E b :

sin 60EL ε=()a b 1r r 2k =-空腔内为一匀强电场！34

kdL ε=一无限长圆柱，偏轴平行地挖出一个圆柱空间，两圆柱轴间距离，图所示为垂直于轴的截面．设两圆柱间存在均匀磁场，磁感应强度B 随时间t 线性增长，即B=kt ．现在空腔中放一与OO ′成60°角、长为L 的金属杆AB ，求杆

中的感生电动势．

?

感应电流电路计算

∑

I=

∑∑

+=

IRε