在同一平面内n条直线最多有几个交点

在同一平面内n条直线最多有几个交点？最少有几个交点？为什么？

一条直线无交点，2条直线有1个交点，3条直线有3（1+2）个交点，4条直线有6（1+2+3）个交点，5条直线有10（1+2+3+4）个交点，所以n条直线最多有（1+2+3+……+n）=n(n+1)/2个交点，最少就是当这n条直线都平行时，没有交点。

两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 ；第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 ；第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4；………；第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点；

由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），

高三数学上学期直线和平面练习(附答案)

第七章 直线和平面 (一)选择题 1.有下列四个命题： (1)n 条直线中，若任意两条都共面，则这n 条直线都共面 (2)分别与两条异面直线都相交的两条直线是异面直线 (3)空间中有三个角是直角的四边形是矩形 (4)两条异面直线在同一平面内的射影不可能是平行线 其中，真命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列命题中，真命题是( ) A.若直线m 、n 都平行于平面α则m ∥n B.设α—l —β是直二面角，若直线m ⊥l,则m ⊥β C.若m 、n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n,则n 在α内或n 与α平行 D.若直线m 、n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α平行，则n 与α相交 3.已知直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是( ) (1) a b a a b a ⊥????⊥∥ (2) b a a b a a ∥?? ?? ⊥⊥ (3) a b b a a a ∥????⊥⊥ (4) a a b a a b ⊥?? ??⊥∥ A.(1)(2) B.(1)(2)(3) C.(1)(2)(4) D.(2)(3)(4) 4.设α、β是两个不重合的平面，m 和l 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分条( ) A.l ?α，m ?α且l ∥β，m ∥β B.l ?α， m ?β且l ∥m C.l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m D.l ∥α，m ∥β且l ∥m 5.四棱柱成平行六面体的充分但不必要条件是( ) A.底面是矩形 B.侧面是平行四边形 C.一个侧面是矩形 D.两个相邻侧面是矩形 6.二面角α—EF —β是直二面角，C ∈EF ，AC ?α，BC ?β，如果∠ACF=30°，∠ACB=60° ，∠BCF=θ，那么cos θ的值等于，则( ) A. 332 B.36 C.22 D.3 3 7.如图，有共同底边的等边△ABC 和等边三角形BCD 所在平面互相 垂直，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为( )

直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式 【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一：直线的交点 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两 直线方程联立所得方程组11122200 A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解， 此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ． 要点三：两点间的距离公式 两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四：点到直线的距离公式 点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =要点诠释： （1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.

第21题 n条直线把平面划分成多少个区域-

第21题 n条直线把平面划分成多少个区域 平面上有n条直线两两相交，但没有三条直线交于一点。问这n条直线把平面划分成多少个区域？ 分析：当我们遇到一个较为复杂的数学问题时，往往想起与它类似的问题，类似的形式，类似的解法等等，并联想起与它相应的定理，相应的公式，相应的法则等，从而把所遇到的问题与联想起的问题进行比较。通过类比推理的思考方法，将所遇到的问题进行等效“转化”，向想起的问题“靠拢”，又将联想起的类似的方法“移植”到所遇到的问题上。因此在解决直线分平面的问题时，我们可通过类比和联想，从点分直线的情况出发来探索直线分平面的问题。 解：首先我们来考虑点分直线的问题。设一直线上的n个点能将直线分成a n个部分，那么容易得到a n=n+1。 接着我们再来研究直线分平面问题。平面上有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设这n条直线将平面分成b n个部分，在观察的基础上进行归纳可知，第k＋1条直线与前k条直线均相交得k个交点，由前面点分直线的情形可知，该直线被k个交点分成k＋1段，而其中每一段都把平面上的每一个区域分成两个区域，所以平面部分应增加(k＋1)块。由此可得递推关系式为 b k+1=b k＋(k＋1)，并且b1=2 所以，当k=1时，b2-b1=2 当k=2时，b3-b2=3 当k=3时，b4-b3=4 … 当k=n-1时，b n-b n-1=n 把以上n-1个式子相加得： (b2-b1)＋(b3-b2)+(b4-b3)＋…＋(b n-b n-1)

＝2＋3＋4＋…＋n 则： b n-b1=2＋3＋4＋…＋n 即：b n=2＋2＋3＋4＋…＋n 因此n条两两相交，且没有三线交于一点的直线可把平面分成 回顾：本题还可利用差分法来帮助发现规律，从而解决问题，首先我们考虑一条直线、两条直线、三条直线，……，将平面所分的区域数。 计算数列2，4，7，11，…的差分 由于二阶差分数列是非零的常数列，所以猜测bn是n的2次多项式bn=an2＋bn＋c，利用待定系数法，进一步求出a、b、c的值。 但我们运用差分法猜测得到的结论，还需通过数学归纳法加以论证。

直线的交点坐标与距离公式一课一练

直线的交点坐标与距离公式一课一练 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

直线的交点坐标与距离公式 一、选择题 1、点(a , b )到直线0x y b a +=的距离是 （A （B （C ）22a b + （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则 （A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对 3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为 （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定 4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有 （A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）3条 5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是 （A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ） 2x +3y +8=0 6、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则 （A ）a =31, b =6 （B ）a =3 1, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是 （A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3) 8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是 （A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x 9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点 且与x –y +2=0垂直的直线方程是 （A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=0 二、填空题 10、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 .

n条直线能把平面最多分成几部分之欧阳家百创编

n条直线能把平 面最多分成几部 分 欧阳家百（2021.03.07） 一、画图探索． 一条线两条直线三条直线 【答案】B． 【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作a1＝1＋1＝2；平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作a2＝1＋1＋2＝4；平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a3＝1＋1＋2＋3＝7； 平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a4＝1＋1＋2＋3＋4＝11． 若平面上有n条直线，最多可将平面分成多少部分，此时n条直线的相对位置如何？

从前面的分析不难推出平面上有n条直线时，最多可将平面分成 a n＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点 二、为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手．（1）一条直线把平面分成2部分；（2）两条直线最多可把平面分成4部分；（3）三条直线最多可把平面分成11部分…；把上述探究的结果进行整理，列表分析：直线条数把平面分成部分数写成和形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 ……… （1）当直线条数为5时，把平面最多分成 16 部分，写成和的形式 1+1+2+3+4+5 ；（2）当直线为10条时，把平面最多分成 56 部分；（3）当直线为n条时，把平面最多分成 n(n+1) 2 +1

解答：解：（1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+… +10=56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m 个．有以下规律： n m1 1+12 1+1+23 1+1+2+3：：：n m=1+1+2+3+…+n= n(n+1) 2 +1． 本题体现了由“特殊到一般再到特殊”的思维过程，有利于培养同学们的探究意识． 三、平面内有n条直线，其中没有两条互相平行，也没有三条交于一点，一共有多少个交点？ 因为每两条直线都确定一个交点,则每一条直线与另外的(n-1)条直线都有一个交点,所以共有n(n-1)个交点.但是每一个交点都重复计算了一次,(例如直线a,b的交点和直线b,a的交点就是同一个)因此应该除以2.是故共有n(n-1)/2个交点. 平面内n条直线，把这个平面最多分成几部分 第1条分成2个, 第2条分成4个, 第3条分成7个, 第4条分成11个, 第2条比第1条多分2个, 第3条比第2条多分3个第4条比第3条多分4个所以第n条,比第n-1条多分n个. 第2条的个 数:4=2+2 第3条的个数:7=2+2+3 第4条的个数:11=2+2+3+4 第n 条的个数:=2+2+3+4+ ----- +n 2+2+3+4+ ----- +n =1+1+2+3+4+ ----

n条直线能把平面最多分成几部分

n条直线能把平面最多分成几部分 一、画图探索． 一条线两条直线三条直线 【答案】B． 【点评】平面内一条直线将平面分成两部分，记作a1＝1＋1＝2； 平面内两条直线将平面最多分成四部分，记作a2＝1＋1＋2＝4； 平面内三条直线将平面最多分成七部分，记作a3＝1＋1＋2＋3＝7； 平面内四条直线将平面最多分成几部分？由图可知，共可分成11个部分，记作a4＝1＋1＋2＋3＋4＝11． 若平面上有n条直线，最多可将平面分成多少部分，此时n条直线的相对位置如何？ 从前面的分析不难推出平面上有n 条直线时，最多可将平面分成an＝1＋1＋2＋3＋4＋...＋n＝1＋个部分，此时每两条直线都相交，且没有三条直线交于一点 二、为了探究n条直线能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手． （1）一条直线把平面分成2部分； （2）两条直线最多可把平面分成4部分； （3）三条直线最多可把平面分成11部分...； 把上述探究的结果进行整理，列表分析： 直线条数 把平面分成部分数 写成和形式 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 4 11 1+1+2+3+4 ... ... ... （1）当直线条数为5时，把平面最多分成 16 部分，写成和的形式

1+1+2+3+4+5 ； （2）当直线为10条时，把平面最多分成 56 部分； （3）当直线为n条时，把平面最多分成 n(n+1) 2 +1 解答：解： （1）根据表中规律，当直线条数为5时，把平面最多分成16部分，1+1+2+3+4+5=16；（2）根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+...+10=56；（3）设直线条数有n条，分成的平面最多有m个． 有以下规律： n m 1 1+1 2 1+1+2 3 1+1+2+3 ： ： ： n m=1+1+2+3+...+n= n(n+1) 2 +1． 本题体现了由"特殊到一般再到特殊"的思维过程，有利于培养同学们的探究意识． 三、平面内有n条直线，其中没有两条互相平行，也没有三条交于一点，一共有多少个交点？ 因为每两条直线都确定一个交点,则每一条直线与另外的(n-1)条直线都有一个交点,所以共有n(n-1)个交点.但是每一个交点都重复计算了一次,(例如直线a,b的交点和直线b,a的交点就是同一个)因此应该除以2.是故共有n(n-1)/2个交点. 平面内n条直线，把这个平面最多分成几部分 第1条分成2个, 第2条分成4个, 第3条分成7个, 第4条分成11个, 第2条比第1条多分2个, 第3条比第2条多分3个第4条比第3条多分4个所以第n条,比第n-1条多分n 个. 第2条的个数:4=2+2 第3条的个数:7=2+2+3 第4条的个数:11=2+2+3+4 第n条的个数:=2+2+3+4+ ----- +n 2+2+3+4+ ----- +n =1+1+2+3+4+ ---- +n =1+n*(n+1)/2 当n=1时,1+n*(n+1)/2=2 当n=2时,1+n*(n+1)/2=4 当n=3时,1+n*(n+1)/2=7 所以n条直线把平面分成1+n*(n+1)/2个

直线的交点坐标和距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能用解方程组的方法求两 条相交直线的交点坐标． 2.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式、会求两 条平行直线间的距离. 1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出 现在相关的位置关系中． 2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的 距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与 圆或圆锥曲线的问题中来考查. [归纳·知识整合] 1．两条直线的交点 设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个

交点时，两条直线重合． 2．距离 点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距 离 d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 d ＝ |C 1－C 2| A 2＋ B 2 [探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选D d ＝ |－5|12＋22 ＝ 5. 2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8 D ．6 解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0 2＋ 0－82＝36＋64＝10. 3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－1 2

n条直线分平面问题

N 条直线分平面问题 1.n 条直线最多能将平面分为多少个区域？ 设n 条直线最多能将平面分为n a 个区域,则121,4a a ==。 下面来建立1n a +与n a 的关系，设已画出n 条直线的情况，对于n+1条直线，我们看成是在n 条的基础上再增加一条直线所得，设新增直线为L,L 与n 条直线最多有n 个交点，n 个交点将L 分为 n+1个部分，而每个部分均将其在的区域一分为二，所以增一条L ，使在n 条直线的基础上最多增加n+1个区域，从而11n n a a n +=++。 由递推知11221,1,,2n n n n a a n a a n a a ----=-=--= 。 累加得11(1)(2)2(1)12 n a a n n n n n -=+-+-++= +- ,故1(1)12 n a n n = ++。 所以n 条直线最多能将平面分为1 (1)12 n n ++个区域。 2.平面上n 条直线相交，内部最多能得到多少个区域？ 方法（1）设n 条直线相交，内部最多能得到n a 个区域,则1230,0,1a a a ===。 下面来建立1n a +与n a 的关系，设已画出n 条直线的情况，对于n+1条直线，我们看成是在n 条的基础上再增加一条直线所得，设新增直线为L,L 与n 条直线最多有n 个交点，n 个交点将L 分为 n+1个部分，而每个部分均将其在的区域一分为二，只有两头两部分没有使所在区域增加一个内部区域，中间n-1个部分使所在区域均增加一个内部区域，所以增一条L ，使在n 条直线的基础上最多增加n-1个内部区域，从而11n n a a n +=+-。 由递推知112212,3,,0n n n n a a n a a n a a ----=--=--= 。 累加得11(2)(3)(4)10(1)(2)2 n a a n n n n n -=-+-+-+++=-- , 故1(1)(2)2 n a n n = --。 所以平面上n 条直线相交，内部最多能得到1 (1)(2)2 n n --个区域。 方法（2）我们已将“n 条直线最多能将平面分为 1(1)12 n n ++个区域”当作结论。 平面上n 条直线相交，要使内部区域最多，n 条直线应两两相交，且没有三线共点。此时正是n 条直线将平面分为1 (1)12n n ++个区域的情况，我们只需计算出外部区域的个数即 可，发现n （n ≥1）条直线有2n 个“头”，每个去掉一个“头”就能减少一个外部区域，故外部区域有2n 个，从而平面上n 条直线相交，内部最多能得到 11(1)12(1)(2)2 2 n n n n n ++-= --个区域。

直线的交点坐标与距离公式练习题

第八章第三节直线的交点坐标与距离公式 课下练兵场 、选择题 1.两条平行线11： 3x + 4y + C 1 = 0, 12： 6x + 8y + C 2= 0 之间的距离是 （ A. d = * 5 .以上皆非 C 2 解析：I 2： 3X + 4y + - = 0,/ 答案：B k 2k 1 k —1v 0, L>0,所以交点在第二象限. 答案：B 3. （2009 ?哈尔滨模拟）若k , — 1, b 三个数成等差数列，则直线 解析：因为k ,— 1, b 三个数成等差数列，所以 k + b =— 2,即b =— k — 2,于是直线 方程化为y = kx — k — 2,即卩y + 2 = k （x — 1），故直线必过定点（1 , — 2）. 答案：A A. (1 , — 2) B . (1,2) .(—1,2) .(—1, — 2) C 2 l C 1—□ d= ------ 2.当 0v k v 2时, 直线 11: kx — y = k — 1与直线12： ky — x = 2k 的交点在 A.第一象限 .第二象限 C.第三象限 .第四象限 解析：解方程组 kx — y = k — 1, ky — x 得两直线的交点坐标为 k 2k — 1 , k — 1 ，因为0 1 v k v 2，所以 y = kx + b 必经过定点（ ）

4.直线y= 2x + 10, y= x+ 1, y= ax — 2交于一点，则a的值为

解析：直线 y = 2x + 10与y = x + 1的交点坐标为(—9, - 8)，代入y = ax —2，得一8 2 =a ? ( — 9) — 2, a =3. 答案：C 5. 点P (m- n ,— m 到直线m + y = 1的距离等于 X y 解析：因为直线m + n =1可化为n x + m y - mn= 0, 则由点到直线的距离公式，得 ,1( m — n )n + ( — n ) m — mn d = 答案: l i ： y = k (x — 4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又 由于直线1 1： y = k (x — 4)与直线12关于点(2,1)对称，???直线12恒过定点(0,2). 答案：B 二、填空题 解析：由题意得，6=V 丰V ，? a = — 4，c 12, c 则 6x + ay + c = 0 可化为 3x — 2y + 2 = 0, c 由两平行线间的距离，得血N 解得c = 2或-6，所以宁=± 1. 答案：±1 &直线3x — 4y — 27= 0上到点R2,1)距离最近的点的坐标是 解析：数形结合所求点即为过 P 点垂直于已知直线的交点, 答案：(5 , — 3) 9?与直线x — y — 2= 0平行，且它们的距离为 2^/2的直线方程是寸 m + n 2 6. (2009 -海淀模拟 )若直线l i ： y = k (x — 4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线|2恒过定 A. (0,4) B .(0,2) C .(—2,4) .(4 , — 2) 解析：由于直线 7.若两平行直线 3x — 2y — 1 = 0,6x + ay + c = 0之间的距离为 垃，则也的值为 a 13 可得 P' (5 , — 3).

经过平面上几个点可做直线的条数

7．我们知道过两点有且只有一条直线． 阅读下面文字，分析其内在涵义，然后回答问题： 如图，同一平面中，任意三点不在同一直线上的四个点A、B、C、D，过每两个点画一条直线，一共可以画出多少条直线呢？我们可以这样来分析： 过A点可以画出三条通过其他三点的直线，过B点也可以画出三条通过其他三点的直线．同样，过C点、D点也分别可以画出三条通过其他三点的直线．这样，一共得到3×4=12条直线，但其中每条直线都重复 过一次，如直线AB和直线BA是一条直线，因此，图中一共有34 2 ? =6条直线．请你仿照上面分析方法， 回答下面问题： （1）若平面上有五个点A、B、C、D、E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两点画一条直线，一共可以画出条直线； 若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以画出条直线； 若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出条直线（用含n的式子表示）． （2）若我校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛（每两个班之间比赛一场），类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少？

8．如图平面上有四个点，过其中每两个点画一条直线，可以画条直线，在画出的图形中共有条线段，条射线。 经过平面上几个点可做直线的条数答案 1．C．解：有两种情况，一种是三点共线时，只有一条， 另一种是三点不共线，有三条； 2．D．平面上四点的位置关系由三种情况，即： 四点在同一直线上时，可以画一条直线； 三点在同一条直线上，可以画四条直线； 任意三点均不在同一条直线上，则可画六条直线． 可以画直线的条数为1或4或6．

3．C．解：如图所示： 当C、D两点可A、B中任一点在一条直线上即如图（一）所示时，经过两点可以画4条直线； 当C、D两点不和A、B中任一点在一条直线上时即如图（二）所示时，经过两点可以画6条直线． 点评：分四个点中有三点共线和任意三点不共线解答，不要漏解． 4．无数、一、一或三、一、六． 5．B．解：设直线有n条，交点有m个．有以下规律： 直线n条交点m个 2 1 3 1+2 4 1+2+3 … n m=1+2+3+…+（n-1） (1) 2 n n- 十条直线相交有10(101) - =45个． 是24×23÷2=276场． 7．解：（1）5个点，共画5(51) 2 ?- =10条直线；6个点，共画 6(61) 2 ?- =15条直线，n个点；共画 (1) 2 n n ?- 条直线。 （2）每个队能进行23场比赛，但每两个队的比赛重复数一次，所以应除以2， 即第一阶段比赛的总场次是24×23÷2=276场． 8．6条直线，6条线段，12条射线． 分析：根据图形可得任意三点不共线，由此可得任意两个点确定一条直线，任意两个点确定一条线段，任意两个点确定两条射线，由此可得出答案． 解：根据直线、射线、及线段的定义可得： 任意两个点确定一条直线，任意两个点确定一条线段，任意两个点确定两条射线， ∴图形中有：6条直线，6条线段，12条射线．

高中数学-直线的交点坐标与距离公式教案

第一课时 3.3-1两直线的交点坐标教案 一、教学目标 （一）知能目标：1。直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解 （二）情感目标：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。 2．能够用辩证的观点看问题。 二、教学重点，难点 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。 难点：两直线相交与二元一次方程的关系。 三、教学过程： （一）课题导入 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ （二）探研新知 分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。 几何元素及关系代数表示 点A A（a，b） 直线L L：Ax+By+C=0 点A在直线上 直线L1与 L2的交点A 课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？ （1） 若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。 （2） 若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。 （3） 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。 课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？ 1． 例题讲解，规范表示，解决问题 例题1：求下列两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 34202220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。3。1。 6 4 2 -2 -4 -55 y x 教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。 同类练习：书本114页第1，2题。

知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础

直线的交点坐标与距离公式 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一、直线的交点 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两 直线方程联立所得方程组111222 00A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111 222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ． 要点三、两点间的距离公式 两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四、点到直线的距离公式 点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =. 要点诠释： （1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；

N条直线能把平面分成几块

N条直线能把平面分成几块 一、摘要 在生活中常常用直线来分平面，本研究是要探讨如何用直线划分平面成最多块和最少块，并找出规则和公式。我们发现分成几块和线数、交点数有关系。N 条线全部平行、没有交点，能分成最少N+1 块，每增加一个两线交点，就会增加 1 块。每增加一个三线交点，会增加2 块。每增加一个四线交点，会增加3 块。以此类推，每增加一个n 线交点，就会增加n-1 块。N 条线完全没有平行、只有两线交点的话，就能分成最多（N2+N+2）÷2 块。注:N 等于线段的数量。 二、研究动机及目的： 有一天，我们做一个“猫与老鼠”的题目。感情交恶的猫与老鼠合计16只，想让老鼠不被猫吃掉，要用直线来把牠们一只只分开，最少用5条就可以把它们分开。所以我们就想研究用直线来分平面，最少能分成几块？最多能分成几块？有没有规则或公式？ 三、研究设备器材： 笔和纸。 四、研究过程或方式： 我们找50个同学，请每位同学分别用三条、四条、五条、六条直线来分平面，再把得到的结果整理分类，然后用表格整理，找出规则和公式。 五、研究结果： （一）、什么情况下可分成最多块、最少块 我们发现，不管是2 条、3 条、4 条、5 条或6 条直线，全部都平行、都没有交点时是最少块的；如果没有平行线，每一条线都跟其他条直线都有交点的话，会分成最多块。(二)、找出交点、线数、块数间的关系。 我们已经知道，N条直线平行时，得到的块数是最少的。所以，我们慢慢减少平行线，讨论N条直线与两线交点、三线交点、四线交点，试着找出点、线、块之间的关系。 (1) 两线交点的情况

我们发现，全部平行线、都没有交点时块数最少，得到的块数＝线段+1。不管怎么分，只要线数和点数相同，得到的块数也会相同。每增加一个两线交点，就会增加 1 块，点、线、块的关系是：（线段+1）+点数＝块数。

直线的交点坐标与距离公式(习题)

直线的交点坐标与距离公式（习题） 1.直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点，则k的值是（） A．1 2 B． 1 2 -C．2 D．-2 2.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直 线方程为（） A．3x+4y+17=0 B．4x-3y-6=0 C．3x+4y-17=0 D．4x-3y+18=0 3.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则|AB|=（） A B． 17 5 C． 13 5 D． 11 5 4.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离为4，则k的值为（） A．1 B．-3 C． 5 1 3 或D． 17 3 3 -或 5.已知点P的纵坐标为2，Q(2，-3)，M(1，1)，且|PQ|=|PM|，则点P的坐标 为________． 6.过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，-1)距离相等的直线的方程为 _________________________．

7. 两条平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0间的距离为______． 8. （1）与直线7x +24y =5平行，且与其距离等于3的直线方程为 _______________________________． （2）已知两条平行线l 1：2x +3y -6=0与l 2：4x +6y -3=0 平行线的方程为_________________________． 9. 已知点A (1，3) ，B (3，1)，C (-1，0)，求△ABC 的面积． 10. 设a ，b ，c ，d ∈R ．求证：对于任意p ，q ∈R ， 11. 已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为 2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x -2y -5=0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．

直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式 一、目标认知 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 二、知识要点梳理 知识点一：直线的交点： 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所 得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 要点诠释： 此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线 的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离. 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即 为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 要点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一 般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直 线中x，y的系数要保持一致. 三、规律方法指导 应用解析思想解决问题的基本步骤： 第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.

n条直线相交有几对对顶角

n条直线相交有几对对顶角？几对邻补角？ 2011-03-23 21:00:18| 分类：默认分类| 标签：交点直线相交平行个数|举报|字号大中小订阅 在同一平面内，n条直线相交有多少对对顶角？多少对邻补角？ 首先考虑只有两条直线的情况，两直线不平行，那么会有一个交点，2对对顶角和4对邻补角 由此我们也可以知道，对顶角数 = 交点个数 * 2；邻补角数 = 交点个数 * 4 考虑有多条直线， 画第3条直线，只要和前2条都不平行，就会和前2条直线都相交，增加2个交点，共1+2个交点。 画第4条直线，只要和前3条都不平行，就会和前3条直线都相交，增加3个交点，共1+2+3个交点。 画第5条直线，只要和前4条都不平行，就会和前4条直线都相交，增加4个交点，共1+2+3+4个交点。 画第n条直线，只要和前n-1条都不平行，就会和n-1条直线都相交，增加n-1个交点，共1+2+3+4+ ... + n-1个交点。 所以，n条相互都不平行的直线，交点个数=1+2+...+（n-1）= n(n-1)/2个 所以：对顶角数为n(n-1)对；邻补角数为2n(n-1)对。 当然，以上是没有考虑三条或三条以上的直线相交于同一点的 现在我们考虑这种情况：当已经有（x-1）条直线交于同一点，假设现在对顶角数为N，那么当新增加一条直线，通过公共交点，那么他会和现在已有的所有的直线形成新的对顶角，新对顶角的对数是2(x-1)对，由此可以推论出，即使出现公共交点，对顶角数量是不变的，同理，邻补角的个数也是不变的。 所以，即使所有的直线全部交于一点：对顶角数同样为n(n-1)对；邻补角数同样为2n(n-1)对。

直线的交点坐标与距离公式(教案)

直线的交点坐标与距离公式（教案） 教学目的 一. 考纲考情 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 二.知识梳理 知识点一 两条直线的交点 设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（ ）.l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0，（ ）. (1)直线l 1与l 2相交的充要条件是 . (2) 怎么求这两条直线交点坐标？ 知识点二 几种距离公式 (1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝ (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝ . 三.考点自测 1. 1.已知直线l 1:3x+4y-5=0与l 2:3x+5y-6=0相交, . 3.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________． 4.已知点A (1, 3)，B (3, 1)，C (－1, 0)，求△ABC 的面积. 2222A +B 0 ≠2211A +B 0≠2. 已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2 l 1 的 方程为_________________________.

四.典例精讲 热点一两条直线相交问题 【例1】求经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程． 【总结反思】 跟踪训练;求经过两条直l 1: x-2y+4=0和l 2 :x+y-2=0的交点,且和直线2x-y+6=0 平行的直线l的方程. 热点二距离问题 例2（1）直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________________. 【总结反思】

平面图形中与n有关的知识点的归纳

平面图形中与n有关的知识点的归纳 1、若平面内有n个点，过其中任何两点画直线，最多画几条？ 解析：n点中的每一点都可以和其他n-1点画n-1条直线，而从一点到另一点和从另一点到一点是同一条直线。所以如果没有任意三点在一条直线上的话，就可以画n(n-1)/2条。 2、在一条直线上取n个点时，共可得多少条线段？共可得多少条射段？ 解析：每两个点就有一条线段，每取一个点为线段其中一个端点，就有n-1个另一个端点。所以，就有n(n-1)条线段。不过这里面，线段两个端点会有重复，每条线段等于计算了两次，需要减半。所以是：n(n-1)/2条线段。共可得2n条射段. 3、n条直线相交时，最多有几个交点？ 解析：两条直线只有一个交点，第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋2 ；第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3 ；第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4；………；第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点；由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），这里n≥2，其和可表示为〔1+（n+1）〕× (n+1)/2, 即n(n-1)/2个交点。 4、往返于甲、乙两地的客运火车，途中停靠(n-2)站，（各站距离不等）有多少种不同的票价？要准备多少种车票？ 解析：每个站可以看做一条直线上的点，点和点之间的距离不同，等价于数线段。所以有不同n(n-1)/2的票价，两地之间的票不一样，所以要准备n(n-1)种车票. 5、从甲地到乙地的客运火车，途中停靠(n-2)站，（各站距离不等）有多少种不 同的票价？要准备多少种车票？ 解析：同3题，所以有不同n(n-1)/2的票价，两地之间的票不一样，但有方向，从甲地到乙地。所以只是n(n-1)/2种车票. 6、从一点o引出n条射线，最外侧两条射线的夹角小于180°，则以o 为顶点小于180°的角有多少个？ 解析：n(n-1)/2个。 7、从n边形的一个顶点出发,可以引多少条对角线?多边形共有多少条对角