精品教案：平面任意力系

第三章 平面任意力系

教学要求：

1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。

2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。

3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。

工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。

§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化

力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。此方法的理论基础是力的平移定理。

一、力的平移定理

定理：可以把作用在刚体上点A 的力F 平移到任一点B ，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F 对新作用点B 点的矩。

证：图中F ’=F ’’=F ，M =M B (F )

反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。

力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允

许用一只手扳动扳手。因为作用在扳手一端的力F 与作用在中点的力F’和力偶矩

为M 的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝锥。

二、平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩

有一平面任意力系：F 1、F 2、F 3，向作用面内任一简化中心O 点简化。 先将各力平移至点O ，得：F’1、F’2、F’3、M 1、M 2、M 3，

M 1= M O (F 1)，M 2= M O (F 2)，M 3= M O (F 3)

合成得主矢： F’R = F’1+ F’2+ F’3= F 1+ F 2+ F 3=∑F i 主矩： M O = M 1+ M 2+ M 3=∑M O (F i )

一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。

主矢的解析表达式：F’R = F’Rx + F’R y=∑F x i +∑F y j

主矢的大小和方向余弦： F ’R =

()()

2

2

∑∑+y

x F F cos(F’R ，i )=∑F x /F ’R ，cos(F’R ，j )= ∑F y /F ’R 三、固定端约束力

固定端：一个物体的一端完全固定在另一物体上。例：车刀夹持在刀架上，工件夹持在卡盘上固定不动等。固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力为一平面任意力系。将这群力向作用面内A 点简化得到一个力和一个力偶，一般这个力的大小和方向均为未知量，可用两个未知正交分力代替。因此，在平面力系情况下，固定端A 处的约束作用力可简化为两个约束力F Ax 、F Ay 和一个矩为M A 的约束力偶。

四、平面任意力系的简化结果分析 1、简化为一个力偶

F’R =0，M O ≠0，因力偶对平面内任一点的矩相同，故主矩与简化中心的选择无关 2、简化为一合力

(1) F’R ≠0，M O =0，F’R 即为合力，过简化中心O 。

(2) F’R ≠0，M O ≠0，合力F R =F’R ，作用线到O 点的距离d =M O /F R ，根据主矢和主矩的方向确定合力的作用线在O 点的哪一侧。

∵M O =∑M O (F i )，M O (F R )= F R d=M O ∴M O (F R )=∑M O (F i ) 平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力

系中各力对同一点的矩的代数和。

3、平衡

F’R =0，M O =0

R

例3.1 一平面力系：F 1=200N ，F 2=100N ，F 3=40N ，M =300N·m ，求(1)力系向C 点简化的结果；(2)力系的合力。

解：1、向C 点简化 主矢投影：∑F x= -F 1·3/5+F 3= -200×3/5+40= -80N ∑F y= - F 1·4/5- F 2= -2004/5-100= -260N

主矢大小和方向余弦：F ’R =()()

2

22

2

26080+=+∑∑y

x

F F =272N cos(F’R ，i )=∑F x/F ’R = -80/272= -0.294， α= -107.1°

主矩：M O =∑M O (F i )= F 1×3/5×2- F 2×4- F 3×1.5-M=-520 N·m 2、力系的合力：F R = F’R ，位于O 点的右侧，距O 点的距离： d =M O /F R =520/272=1.91m ，OC = d/cos(α-90°)= d/cos17.1°=2m

§3-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程

一、平面任意力系的平衡条件 充要条件：F’R =0，M O =0

应有：F ’R =()()

2

2

∑∑+y

x F F =0 M O =∑M O (F i ) =0 二、平衡方程

1、一般式 ∑F x =0

∑F y =0 三个方程，可求解三个未知量。 ∑M O (F )=0

2、二矩式

一般式中的力矩方程矩心的选择是任意的，当矩心不同时可列出不同的力矩方程，但这些投影和力矩方程中，只有三个是独立的，任何第四个方程只是前三个方程的线性组合。 ∑M A (F ) =0

∑M B (F ) =0 x 轴不得垂直于A 、B 两点的连线。 ∑F x =0

3、三矩式 ∑M A (F )=0

∑M B (F )=0 A 、B 、C 三点不得共线。 ∑M C (F )=0

上述三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题，究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。选择适当的坐标轴和矩心，可减少平衡方程中的未知量的数目，以简化解题。对平面任意力系，坐标轴应与较多未知力相垂直，矩心取在两个未知力的交点上。

例3.2 已知：q =2kN/m ，P =1kN ，M =4kN·m 。求：支座A 、B 处的约束力。

M

解：1、取刚架研究，受力分析如图。 2、列平衡方程

∑F x =0 P +F Ax =0

∑F y =0 -3q + F Ay + F NB =0

∑M A (F ) =0 -P ×2-3q ×1.5-M + F NB ×3=0 3、解方程

F Ax = - P = -1kN(向左) F NB =5 kN F Ay =1kN

4、校核。可用另一平衡方程校核，例∑M B (F i ) =0

例3.3 已知：P 1=20kN ，P 2=40kN ，求：杆①、②、③所受的力。 解：1、取梁ABC 研究，受力分析如图。假设各杆受拉。 2、列方程

∑M O1(F ) =0，-P 2sin30°×2-P 2cos30°×4- F 3×6=0

∑M O2(F ) =0，F 1×6√2+ P 1×6+ P 2sin30°×4+ P 2cos30°×2=0 ∑F x =0， - F 1 cos45°+ F 2cos45°- P 2sin30°=0 3、解方程

得： F 1= -31.7kN ，F 2= -3.4kN ，F 3= -29.8kN 。负号表明，三杆均受压。 4、校核。可用平衡方程：∑F y =0校核。 三、平面平行力系的平衡方程 平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。

若取x 轴⊥各力，则∑F x ≡0 平衡方程：∑F y =0 ∑M O (F ) =0

二矩式： ∑M A (F ) =0，∑M B (F ) =0

A 、

B 连线不平行于各力。

§3-3 物体系的平衡·静定和超静定问题

一、静定和静不定

工程中，由几个物体组成的系统是很常见的，当物体系平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，对每个受平面任意力系作用的物体，均可列出三个平衡方程。如物体系由

n 个物体组成，则共有3n 个独立方程。如系统中有的物体受平面汇交力系或平面平行力系

作用，则系统的平衡方程数相应减少。

静定问题——未知量数=独立平衡方程数，所有未知力都能由平衡方程求出。

工程问题中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，常增加多余约束，使未知量数＞独立

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