高中 任意角的三角函数 知识点+例题 全面

辅导讲义――任意角的三角函数

教学内容

任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念

(1)分类???

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．

2．弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：

S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.

3．任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x (x ≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．

3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x

，但若不是单位圆时，如圆的半径

为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x

. [试一试]

1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α是第______象限角．

2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.

1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；

2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．

[练一练]

若sin α<0且tan α>0，则α是第______象限角．

考点一

角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题：

①－3π4是第二象限角；②4π3

是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有______个．

2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．

3．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．

4.设集合M ＝??? x ???

??x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝??????x ??

x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么集合M ，N 的关系是______．

[类题通法]

1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．

2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．

考点二 三角函数的定义

[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为????sin 2π3

，cos 2π3，则角α的最小正值为______． (2)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝

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x ，则sin ????α＋π2＝________.

[类题通法]

用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．

[针对训练]

已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋

3

cos α的值．

考点三扇形的弧长及面积公式

[典例](1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？

若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边

长，则其圆心角的弧度数是________.

[类题通法]

弧度制应用的关注点

(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝1

2lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝

nπr

180，扇形面积S＝

nπr2

360，此时n为角度，它们之间

有着必然的联系．

(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．

[针对训练]

已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，求弧长l.

[课堂练通考点]

1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是________．

2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．

3．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________．

4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．

5．已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35

，则x 的值为________． 6．已知sin α＝13

，且α∈????π2，π，则tan α＝______.

第Ⅰ组：全员必做题

1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是______．

2．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是第________象限角．

3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3

，则sin α＝______. 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3

弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．

5．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9

，其中符号为负的是________(填写序号)．

6．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．

7.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45

，则cos α＝________.

8．设角α是第三象限角，且????sin α2＝－sin α2，则角α2

是第________象限角．

9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .

10．已知sin α<0，tan α>0.

(1)求α角的集合；

(2)求α2

终边所在的象限；

第Ⅱ组：重点选做题

巩固基础和能力提升训练

1．满足cos α≤－12

的角α的集合为________． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．