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圆的有关性质(学生版)

圆的有关性质(学生版)
圆的有关性质(学生版)

第24讲 圆的有关性质(含答案点拨)

第七单元圆 第24讲圆的有关性质 纲要求命题趋势 1.理解圆的有关概念和性质,了解 圆心角、弧、弦之间的关系. 2.了解圆心角与圆周角及其所对弧 的关系,掌握垂径定理及推论. 中考主要考查圆的有关概念和 性质,与垂径定理有关的计算,与圆 有关的角的性质及其应用.题型以选 择题、填空题为主. 知识梳理 一、圆的有关概念及其对称性 1.圆的定义 (1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形.这个定点叫做________,定长叫做________; (2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆,定点叫做圆心,定点与动点的连线段叫做半径. 2.圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的________叫做弦; (2)圆上任意两点间的________叫做圆弧,简称弧. (3)________相等的两个圆是等圆. (4)在同圆或等圆中,能够互相________的弧叫做等弧. 3.圆的对称性 (1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴; (2)圆的中心对称性:圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; (3)圆是旋转对称图形:圆绕圆心旋转任意角度,都能和原来的图形重合.这就是圆的旋转不变性. 二、垂径定理及推论 1.垂径定理 垂直于弦的直径________这条弦,并且________弦所对的两条弧. 2.推论1 (1)平分弦(________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过________,并且平分弦所对的________弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 3.推论2 圆的两条平行弦所夹的弧________. 4.(1)过圆心;(2)平分弦(不是直径);(3)垂直于弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项. 三、圆心角、弧、弦之间的关系 1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧________,所对的弦________. 2.推论 同圆或等圆中:(1)两个圆心角相等;(2)两条弧相等;(3)两条弦相等.三项中有一项成立,则其余对应的两项也成立. 四、圆心角与圆周角 1.定义

初中数学圆的全部详细公式

1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a+b=c 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c,那么这个三角形是直角三角形 48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

初中数学圆的经典测试题及解析

初中数学圆的经典测试题及解析 一、选择题 1.如图,有一个边长为2cm 的正六边形纸片,若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片,则这个圆形纸片的半径是( ) A .3cm B .2cm C .23cm D .4cm 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意画出图形,再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数,最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可. 【详解】 解:如图所示,正六边形的边长为2cm ,OG ⊥BC , ∵六边形ABCDEF 是正六边形, ∴∠BOC=360°÷6=60°, ∵OB=OC ,OG ⊥BC , ∴∠BOG=∠COG= 12 ∠BOC =30°, ∵OG ⊥BC ,OB=OC ,BC=2cm , ∴BG= 12BC=12×2=1cm , ∴OB=sin 30 BG o =2cm , ∴OG=2222213OB BG -=-=, ∴圆形纸片的半径为3cm , 故选:A . 【点睛】

本题考查的是正多边形和圆,根据题意画出图形,利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键. 2.如图,正方形ABCD内接于⊙O,AB=22,则?AB的长是() A.πB.3 2 πC.2πD. 1 2 π 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA、OB,求出∠AOB=90°,根据勾股定理求出AO,根据弧长公式求出即可. 【详解】连接OA、OB, ∵正方形ABCD内接于⊙O, ∴AB=BC=DC=AD, ∴???? AB BC CD DA ===, ∴∠AOB=1 4 ×360°=90°, 在Rt△AOB中,由勾股定理得:2AO2=(2)2,解得:AO=2, ∴?AB的长为902 180 π′ =π, 故选A. 【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质,求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键. 3.如图,在平面直角坐标系中,点P是以C271为半径的⊙C上的一个动点,已知A(﹣1,0),B(1,0),连接PA,PB,则PA2+PB2的最小值是()

2019年中考数学专题复习第二十二讲圆的有关概念及性质(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习 第六章圆 第二十二讲圆的有关概念及性质 【基础知识回顾】 一、圆的定义及性质: 1、圆的定义: ⑴形成性定义:在一个平面,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧: 弦:连接圆上任意两点的叫做弦 弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类 3、圆的对称性: ⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是 【名师提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦,弦不一定是直径; 3、圆不仅是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论: 1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的。 2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的。【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线(即弦心距)。 3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系:

1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角 2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别 【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论: 1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的 推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是,900的圆周角所对的弦是 【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角 有个,是类,它们的关系是,2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】 五、圆接四边形: 定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。 性质:圆接四边形的对角。 【名师提醒:圆接平行四边形是圆接梯形是】 【重点考点例析】 考点一:垂径定理 例1(2018?)已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是 cm. 【思路分析】分两种情况进行讨论:①弦AB和CD在圆心同侧;②弦AB和CD 在圆心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可,小心别漏解. 【解答】解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图, ∵AB=16cm,CD=12cm, ∴AE=8cm,CF=6cm,

最新九年级数学下册圆的知识点整理

最新九年级数学下册圆的知识点整理 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3."三点定圆"定理 4.垂径定理及其推论

5."等对等"定理及其推论 5. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质: 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系

初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算

中心角:初中数学复习提纲 内角的一半:初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周:4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距

圆的有关概念与性质练习及答案

圆的有关概念与性质练习及答案 1.如图K28-1,AB为☉O的直径,点C在☉O上,若∠ACO=50°,则∠B的度数为() 图K28-1 A.60° B.50° C.40° D.30° 2.如图K28-2,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上.若∠ACD=25°,则∠BOD的度数为() 图K28-2 A.100° B.120° C.130° D.150° 3.在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径.如图K28-3,在直角角尺中,∠AOB=90°,将点O放在圆周上,分别确定OA,OB与圆的交点C,D,读得数据OC=8,OD=9,则此圆的直径约为() 图K28-3 A.17 B.14 C.12 D.10 4.如图K28-4,四边形ABCD内接于☉O,E为CD延长线上一点,若∠ADE=110°,则∠AOC的度数是() 图K28-4 A.70° B.110° C.140° D.160°

5.如图K28-5,☉O的半径OC垂直于弦AB,垂足为D,OA=2√2,∠B=22.5°,AB的长为() 图K28-5 A.2 B.4 C.2√2 D.4√2 6.如图K28-6,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于() 图K28-6 A.-4和-3之间 B.3和4之间 C.-5和-4之间 D.4和5之间 7.如图K28-7,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则CD的长为 () 图K28-7 A.2 B.-1 C.√2 D.4 8.如图K28-8是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是 () 图K28-8

初中数学.圆的概念及性质.教师版

中考内容 中考要求 A B C 圆的有关概念理解圆及其有关概 念 会过不在同一直线 上的三点作圆;能利 用圆的有关概念解 决简单问题 圆的性质知道圆的对称性,了 解弧、弦、圆心角的 关系 能用弧、弦、圆心角 的关系解决简单问 题 能运用圆的性质解 决有关问题 圆周角了解圆周角与圆心 角的关系;知道直径 所对的圆周角是直 角 会求圆周角的度数, 能用圆周角的知识 解决与角有关的简 单问题 能综合运用几何知 识解决与圆周角有 关的问题 垂径定理会在相应的图形中 确定垂径定理的条 件和结论 能用垂径定理解决 有关问题 点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系了解直线与圆的位 置关系;了解切线的 概念,理解切线与过 切点的半径之间的 关系;会过圆上一点 画圆的切线;了解切 线长的概念 能判定直线和圆的 位置关系;会根据切 线长的知识解决简 单的问题;能利用直 线和圆的位置关系 解决简单问题 能解决与切线有关 的问题 圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置 关系 能利用圆与圆的位 置关系解决简单问 题 中考内容与要求 圆的概念及性质

弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题 扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题 圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积 和全面积 能解决与圆锥有关 的简单实际问题 圆是北京中考的必考内容,主要考查圆的有关性质与圆的有关计算,每年的第20题都会考查,第1小题一般是切线的证明,第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题,有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。 要求同学们重点掌握圆的有关性质,掌握求线段、角的方法,理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化,理解直线和圆的三种位置关系,掌握切线的性质和判定方法,会根据条件解决圆中的动态问题。 年份2010年2011年2012年 题号11,20 20,25 8,20,25 分值9分13分17分 考点垂径定理的应用; 切线判定、圆与解 直角三角形综合 圆的有关证明,计 算(圆周角定理、 切线、等腰三角形、 相似、解直角三角 形);直线与圆的 位置关系 圆的基本性质,圆 的切线证明,圆同 相似和三角函数的 结合;直线与圆的 位置关系 中考考点分析

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案 一、选择题 1.“直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的AOB ∠不一定... 是直角的是( ) A . B . C . D . 【答案】C 【解析】 【分析】 根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】 解:选项A 中,做出了点A 关于直线BC 的对称点,则AOB ∠是直角. 选项B 中,AO 为BC 边上的高,则AOB ∠是直角. 选项D 中,AOB ∠是直径AB 作对的圆周角,故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】 本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关键. 2.如图,在平行四边形ABCD 中,BD ⊥AD ,以BD 为直径作圆,交于AB 于E ,交CD 于F ,若BD=12,AD :AB=1:2,则图中阴影部分的面积为( ) A .3 B .36ππ C .312π D .48336ππ 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长,利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数,进而求得∠EOD 的度数,那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ,算出后乘2即可.

【详解】 连接OE ,OF . ∵BD=12,AD :AB=1:2, ∴AD=43 ,AB=83,∠ABD=30°, ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==??=V ∵两个阴影的面积相等, ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选:C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积. 3.如图,在平面直角坐标系中,点P 是以C (﹣2,7)为圆心,1为半径的⊙C 上的一个动点,已知A (﹣1,0),B (1,0),连接PA ,PB ,则PA 2+PB 2的最小值是( ) A .6 B .8 C .10 D .12 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P (x ,y ),表示出PA 2+PB 2的值,从而转化为求OP 的最值,画出图形后可直观得出OP 的最值,代入求解即可. 【详解】 设P (x ,y ), ∵PA 2=(x +1)2+y 2,PB 2=(x ﹣1)2+y 2, ∴PA 2+PB 2=2x 2+2y 2+2=2(x 2+y 2)+2, ∵OP 2=x 2+y 2, ∴PA 2+PB 2=2OP 2+2, 当点P 处于OC 与圆的交点上时,OP 取得最值,

20年苏教版初中数学《圆有关的最值问题》专题

圆有关的最值问题 一、求解方法: 1.根据“三角形三边关系”求解: -≤≤+ a b c a b 2.动中有静,抓住不变量求解. 3.旋转必产生圆,很多情况在相切位置产生最值. 4.四点共圆(补充). 五个基本判断方法: (1)若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆. (2)若一个四边形的一组对角互补(和为180。),则这个四边形的四个点共圆. (3)若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆. (4)若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆. (5)同斜边的直角三角形的顶点共圆, 二、解题策略 1.直观感觉,画出图形; 2.特殊位置,比较结果; 3.理性分析动点过程中所维系的不变条件,通过几何构建,寻找动量与定量(常量)之间的关系,建立等式,进行转化.

三、中考展望与题型训练 例一、圆外一点与圆的最近点、最远点 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是. 例二、正弦定理 2.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=4,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F,连结EF,则线段EF长度的最小值为. 3.如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,PM=l,则l的最大值是.例三、不等式、配方法 4.如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、PB,设PC的长为x (2<x<4).当x为何值时,PD?CD的值最大?最大值是多少?

人教版九年级上册数学 24.1 圆的有关性质 同步课时训练(含答案)

人教版初三数学24.1 圆的有关性质同步课 时训练 一、选择题 1. 已知:如图,OA,OB是⊙O的两条半径,且OA⊥OB,点C在⊙O上,则∠ACB 的度数为() A.45°B.35°C.25°D.20° 2. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是() A.AB,AC边上的中线的交点 B.AB,AC边上的垂直平分线的交点 C.AB,AC边上的高所在直线的交点 D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 3. 如图,在直角坐标系中,以原点为圆心,半径为5的圆内有一点P(0,-3),那么经过点P的所有弦中,最短的弦的长为() A.4 B.5 C.8 D.10 4. 如图,著名水乡乌镇的一圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m,水面宽AB 为8 m,则拱桥的半径OC为()

A .4 m B .5 m C .6 m D .8 m 5. 如图,AD 是⊙O 的直径,BC 是弦,四边形OBCD 是平行四边形,AC 与OB 相交于点P ,下列结论错误的是( ) A .AP =2OP B .CD =2OP C .OB ⊥AC D .AC 平分OB 6. 2019·聊城 如图,BC 是半圆O 的直径,D ,E 是BC ︵ 上的两点,连接BD ,CE 并延长交于点A ,连接OD ,OE .如果∠A =70°,那么∠DOE 的度数为( ) A .35° B .38° C .40° D .42° 7. 如图,从 A 地到 B 地有两条路可走,一条路是大半圆,另一条路是4个小半 圆.有一天,一只猫和一只老鼠同时从A 地到B 地.老鼠见猫沿着大半圆行走,它不敢与猫同行(怕被猫吃掉),就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同,那么下列结论正确的是( ) A .猫先到达 B 地 B .老鼠先到达B 地 C .猫和老鼠同时到达B 地

圆的有关性质

圆的有关性质 本章重点 1.圆的定义: (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d

⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角. (3)弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角. 弦切角的性质:弦切角等于它夹的弧所对的圆周角. 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半. 4.圆的性质: (1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.

(完整)初中数学“最值问题”_集锦

“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题 在平面几何中,我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题,有时它和不等式联系在一起,统称最值问题.如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来,可以达到最经济、最节约和最高效率.下面介绍几个简例. 在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件变动时,求某几何量(如线段的长度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种: (1)应用几何性质: ①三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; ②两点间线段最短; ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短; ④定圆中的所有弦中,直径最长。 ⑵运用代数证法: ①运用配方法求二次三项式的最值; ②运用一元二次方程根的判别式。 例1、A、B两点在直线l的同侧,在直线L上取一点P,使PA+PB最小。 分析:在直线L上任取一点P’,连结A P’,BP’,

在△ABP’中AP’+BP’>AB,如果AP’+BP’=AB,则P’必在线段AB上,而线段AB 与直线L无交点,所以这种思路错误。 取点A关于直线L的对称点A’,则AP’= AP, 在△A’BP中A’P’+B’P’>A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时 A’P’+B’P’=A’B,所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径,如果这个半圆是一块铁皮,ABDC是内接半圆的梯形,试问怎样剪这个梯形,才能使梯形ABDC的周长最大(图3-91)? 分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长,可设半圆半径为R.由于AB∥CD,必有AC=BD.若设CD=2y,AC=x,那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可.解作DE⊥AB于E,则x2=BD2=AB·BE=2R·(R-y)=2R2-2Ry, 所以 所以求u的最大值,只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可. -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2, 上式只有当x=R时取等号,这时有 所以2y=R=x. 所以把半圆三等分,便可得到梯形两个顶点C,D, 这时,梯形的底角恰为60°和120°. 2 .如图3-92是半圆与矩形结合而成的窗户,如果窗户的周长为8米(m),怎样才能得出 最大面积,使得窗户透光最好? 分析与解设x表示半圆半径,y表示矩形边长AD,则必有2x+2y+πx=8,

圆的有关性质练习及答案(供参考)

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. °° 圆的有关性质 【知识要点】 1.圆的定义: (1)动态定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫做圆。 (2)静态定义:在平面内到定点(圆心O )的距离等于定长(半径r )所有点的集合叫做圆: 2.圆的相关概念 弦:直径:弧:半圆弧:优弧:劣弧:等弧:同心圆: 3.垂径定理及推论: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。 由此得到推论: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线,经过圆心, 并且平分弦所对的两条弧。 4.圆的轴对称性: (1)圆是轴对称图形;(2)经过圆心的每一条直线都是它的对称轴;(3)圆的对称轴有无数条。 5..圆的旋转不变性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 6.圆心角、弧、弦关系定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等。 7.弧的度数等于它所对的圆心角的度数。 8..圆周角定理及推论: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,并等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角.90°的圆周角所对的弦是直径. (2)三角形的一边上的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形 9:三角形:圆内接三角形;圆:三角形的外接圆 四边形:圆内接四边形圆:四边形的外接圆 定理:圆内接四边形的对角互补 【基础和能力训练】 一、选择题 1.平行四边形的四个顶点在同一圆上,则该平行四边形一定是( )A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰 2.(2014?毕节地区)如图,已知⊙O 的半径为13,弦AB 长为24,则点O 到AB 的距离是( ) A 6 B 5 C 4 D 3 3. ( 2014?珠海)如图,线段AB 是⊙O 的直径, 弦CD 丄AB ,∠CAB =20°,则∠AOD 等于( ) A 160° B 150° C 140° D 120° 4.(2015湖南常德)如图,四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,已知∠BOD =100°,则∠BCD 的度数为( ) A 、50° B 、80° C 、100° D 、130° 5.(2015上海)如图,已知在⊙O 中,AB 是弦,半径OC ⊥AB ,垂足为点D ,要使四边形OACB 为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是( ) A 、AD =BD ; B 、OD =CD ; C 、∠CA D =∠CBD ;D ∠OCA =∠OCB . 6. 如图:是小明完成的.作法是:取⊙O 的直径AB ,在⊙O 上任取一点C 引弦CD ⊥A B.当C 点在半圆上移动时(C 点不与A 、B 重合),∠OCD 的平分线与⊙O 的交点P 必( ) A 。 平分弧AB B 。到点D 和直径AB 的距离相等 C .三等分弧AB D.到点B 和点C 的距离相等 7.如图,量角器外沿上有A 、B 两点,它们的读数分别是70°、40°,则∠1的度数为( )度 A 10 B 15 C 25 D 30 8.下列语句中正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧;④等弧所对的圆心角相等 A.3个 B.2个 C.1个 D.以上都不对 9.(2015湖北荆州)如图,A ,B ,C 是⊙O 上三点,∠ACB =25°,则∠BAO 的度数是( ) A . 55° B .60° C . 65° D . 70° 10.(2015?甘肃兰州,)如图,经过原点O 的⊙P 与x 、y 轴分别交于A 、B 两点,点C 是劣弧上一点,则∠ACB = A . 80° B . 90° C . 100° D . 无法确定 #11.(2015?威海)如图,已知AB=AC=AD∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD 的度数为( ) A .68° B .88° C .90° D .112° #12. 如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16,则该半圆的半径为( ). A .(45) B .9 C 5.2 二.填空 13. 一个点与定圆上最近点的距离为4cm,与最远点的距离为9cm,则圆的半径是_________. 14.(2015?江苏南昌,)如图,点A , B , C 在⊙O 上,CO 的延长 线交AB 于点D ,∠A =50°,∠B =30°则∠ADC 的度数为 . 15.(2015?江苏南京)如图,在⊙O 的内接五边形ABCDE 中,∠CAD =35°,则∠B +∠E = _ . 16.(2015?江苏徐州)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,连接A C .若∠CAB =22.5°,CD =8cm ,则⊙O 的半径为 cm 17.(浙江省绍兴市)如图,已知点A (0,1),B (0,-1),以点A 为圆心,AB 为半径作圆,交x 轴的正半轴于点C ,则∠BAC 等于 18.(2015?江苏泰州,)如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,∠A =115°,则∠BOD 等于__________°. 19. 如图,点A 、B 、C 、D 在⊙O 上,O 点在∠D 的内部,四边形OABC 为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=______°.

初中数学教程圆的有关性质

24.1圆的有关性质 第1课时 教学内容 1.圆的有关概念. 2.垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用. 教学目标 了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题. 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,讲授圆的有关概念.利用操作几何的方法,理解圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解. 重难点、关键 1.重点:垂径定理及其运用. 2.难点与关键:探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学口答下面两个问题(提问一、两个同学) 1.举出生活中的圆三、四个. 2.你能讲出形成圆的方法有多少种? 老师点评(口答):(1)如车轮、杯口、时针等.(2)圆规:固定一个定点,固定一个长度,绕定点拉紧运动就形成一个圆. 二、探索新知 从以上圆的形成过程,我们可以得出: 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 学生四人一组讨论下面的两个问题:

问题1:图上各点到定点(圆心O )的距离有什么规律? 问题2:到定点的距离等于定长的点又有什么特点? 老师提问几名学生并点评总结. (1)图上各点到定点(圆心O )的距离都等于定长(半径r ); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 因此,我们可以得到圆的新定义:圆心为O ,半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形. 同时,我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC ,AB ; ②经过圆心的弦叫做直径,如图24-1线段AB ; ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A 、C 为端点的弧记作”,读作“圆弧”或“弧AC ”.大于半圆的弧(如图所示叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示)或叫做劣弧. ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. (学生活动)请同学们回答下面两个问题. 1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.你是用什么方法解决上述问题的?与同伴进行交流. (老师点评)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是直径,我能找到无数多条直径. 3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的. (学生活动)请同学按下面要求完成下题: 如图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径CD ,使CD ⊥AB ,垂足为M . (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由. (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD . (2)AM=BM ,,,即直径CD 平分弦AB ,并且平分及. ?AC ? AC ?ABC ?AC ?BC ??AC BC =??AD BD =? AB ?ADB

人教版初中数学九年级上册17.圆中的最值问题

人教版初中数学 重点知识精选 掌握知识点,多做练习题,基础知识很重要!人教版初中数学和你一起共同进步学业有成!

拔高专题 圆中的最值问题 一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图(2) 思考 图(1)两点之间线段 最短 ; 图(2)垂线段 最短 。 .在直线L 上的同侧有两个点A 、B ,在直线L 上有到A 、B 的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L 的 对称 点,对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点. 二、拔高精讲精练 探究点一:点与圆上的点的距离的最值问题 例1:如图,A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点,B 点是弧AN 的中点,P 点是MN 上一动点,⊙O 的半径为3,求AP+BP 的最小值。 解:作点A 关于MN 的对称点A ′,连接A ′B ,交MN 于点P ,连接OA ′,AA ′. ∵点A 与A ′关于MN 对称,点A 是半圆上的一个三等分点, ∴∠A ′ON=∠AON=60°,PA=PA ′,∵点B 是弧AN 的中点, ∴∠BON=30°,∴∠A ′OB=∠A ′ON+∠BON=90°,又∵OA=OA ′=3, ∴A ′.∵两点之间线段最短,∴PA+PB=PA ′+PB=A ′. 【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置.根据轴对称和两点之间线段最短的知

识,把两条线段的和转化为一条线段,即可计算。 探究点二:直线与圆上点的距离的最值问题 例2:如图,在Rt △AOB 中,,⊙O 的半径为1,点P 是AB 边上的动点,过点P 作⊙O 的一条切线PQ (点Q 为切点),求切线PQ 的最小值 解:连接OP 、OQ .∵PQ 是⊙O 的切线,∴OQ ⊥PQ ;根据勾股定理知PQ 2=OP 2-OQ 2, ∴当PO ⊥AB 时,线段PQ 最短,∵在Rt △AOB 中,OA=OB=3 , ∴OA=6,∴OP= =3,∴. ?OA OB AB 【变式训练】如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心,2为半径画⊙O ,P 是⊙O 是一动点且P 在第一象限内,过P 作⊙O 切线与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于点B .求线段AB 的最小值. 解:(1)线段AB 长度的最小值为4, 理由如下: 连接OP , ∵AB 切⊙O 于P , ∴OP ⊥AB , 取AB 的中点C , ∴AB=2OC ; 当OC=OP 时,OC 最短, 即AB 最短, 此时AB=4.

鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题1(附答案)

鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题1(附答案)一.选择题(共10小题) 1.如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图,点O为圆心,且OA=AB=BC =CD=5,那么周长是接近100的圆是() A.OA为半径的圆B.OB为半径的圆 C.OC为半径的圆D.OD为半径的圆 2.我们知道沿直线前进的自行车车轮上的点既随着自行车作向前的直线运动,又以车轴为圆心作圆周运动,如果我们仔细观察这个点的运动轨迹,会发现这个点在我们眼前划出了一道道优美的弧线.其实,很早以前人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣,有人认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧,也有人认为这个轨迹是一段段的抛物线.你认为呢?摆线(Cycloid):当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时,动圆圆周上一个定点的轨迹叫做摆线.定直线称为基线,动圆称为母圆,该定点称为摆点: 现做一个小实验,取两枚相同的硬币并排排列,如果我们让右侧的硬币绕左侧硬币作无滑动的滚动,那么: (1)当右侧硬币上接触点A的运动轨迹大致是什么形状? (2)当右侧硬币转到左侧时,硬币面上的图案向还是向下? (3)当右侧硬币转回原地时,硬币自身转动了几圈?() A.一条围绕于硬币的封闭曲线;向上;1圈 B.一条摆线;向上;1圈 C.一条围绕于硬币的封闭曲线;向上;2圈 D.一条摆线;向下;2圈 3.已知AB、CD是两个不同圆的弦,如AB=CD,那么与的关系是()A.B.C.D.不能确定

4.有下列说法:①等弧的长度相等;②直径是圆中最长的弦;③相等的圆心角对的弧相等;④圆中90°角所对的弦是直径;⑤同圆中等弦所对的圆周角相等.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个 5.如图,CD为⊙O直径,CD⊥AB于点F,AE⊥BC于E,AE过圆心O,且AO=1.则四边形BEOF的面积为() A.B.C.D. 6.如图所示,一种花边是由如图弧ACB组成的,弧ACB所在圆的半径为5,弦AB=8,则弧形的高CD为() A.2B.C.3D. 7.如图,点A,B,C都在⊙O上,∠C+∠O=63°,则∠O的度数是() A.21°B.27°C.30°D.42° 8.如图,AB是⊙O的直径,C、D为圆上两点,∠D=34°,则∠BOC的度数为() A.102°B.112°C.122°D.132° 9.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠BOD=90°,则∠BCD的度数是()

人教版_2021年中考数学试卷分类汇编解析:圆的有关性质

圆的有关性质 一、选择题 1. (2021兰州,7,4分)如图,在⊙O中,点C 是的中点,∠A=50o,则∠BOC=()。(A)40o(B)45o(C)50o(D)60o 【答案】A 【解析】在△OAB中,OA=OB,所以∠A=∠B=50o。根据垂径定理的推论,OC 平分弦AB 所对的弧,所以OC 垂直平分弦AB,即∠BOC=90o? ∠B=40o ,所以答案选A。 【考点】垂径定理及其推论 2. (2021兰州,10,4分)如图,四边形ABCD 内接于⊙O, 四边形ABCO 是平行四边形,则∠ADC= () (A)45o(B) 50o (C) 60o (D) 75o 【答案】:C 【解析】:连接OB,则∠OAB=∠OBA, ∠OCB=∠OBC ∵四边形ABCO 是平行四边形,则∠OAB=∠OBC ∴∠ABC=∠OAB+∠OBC=∠AOC ∴∠ABC=∠AOC=120o ∴∠OAB=∠OCB=60o 连接OD,则∠OAD=∠ODC,∠OCD=∠ODC

由四边形的内角和等于360o可知, ∠ADC=360o-∠OAB-∠ABC-∠OCB-∠OAD-∠OCD ∴∠ADC=60o 【考点】:圆内接四边形 3. (2021·四川自贡)如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是() A.15°B.25°C.30°D.75° 【考点】圆周角定理;三角形的外角性质. 【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数,再由圆周角定理可求∠B的度数. 【解答】解:∵∠A=45°,∠AMD=75°, ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°, ∴∠B=∠C=30°, 故选C. 【点评】本题主要考查了三角形的外角定理,圆周角定理,熟记圆周角定理是解题的关键4. (2021·四川成都·3分)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠OCA=50°,AB=4,则的长为() A.πB.πC.πD.π 【考点】弧长的计算;圆周角定理. 【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数,再利用圆周角定理得出∠BOC的度数,再利用弧长公式求出答案. 【解答】解:∵∠OCA=50°,OA=OC, ∴∠A=50°,

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