教案-垂线段与点到直线的距离

《垂线段与点到直线的距离》教案

【学习目标】

1.会过一点作一条直线的垂线。

2.掌握垂线段、点到直线的距离等有关概念。

3.理解并能运用垂线段最短的性质。

【学习重点】

点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质.

【学习难点】

1、过一点作已知直线的垂线。

2、垂线段和垂线的区别。

3、垂线段最短性质的应用。

一、情境导入：

小明参加了运动会上的跳远项目，你知道如何去测量小明的跳远成绩吗？（通过实际问题，引发学生思考，激发学生学习新课欲望）二、新授:

（1）垂线的画法

1、完成“画一画”第1小题，解决如何画垂线问题。（学生回答，师生互评）

法一：（利用直角三角尺）放、靠、画、标。

法二：（利用量角器）放、靠、画、标。

2、完成“画一画”第2小题，通过自主动手、归纳，解决如何“过

一点”，且“过一点”分两种情况问题；得到“过一点画已知直线的垂线只能画一条”的猜想。（学生上台展示，师生互评）

3、完成“议一议”部分，通过问题假设引导学生如何验证自己的猜想。从而得到垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”。

4、通过小小的文字游戏，区别垂线的基本事实和平行线的基本事实，加深对垂线这一基本事实的理解和记忆。

(2)垂线段及其性质：

1、（垂线段的相关概念）完成导学案“填一填”部分，加深学生对于概念的把握。

归纳易错点：

垂线VS垂线段：（区别）垂线、斜线是直线，不可度量，但垂

线段、斜线段是线段，可以度量。

（联系）线段和线是部分与整体的关系。

2、通过观察，猜想：线段PO最短，引导完成导学案上的“比一比”部分，学生尝试说理。得到结论：垂线段最短。（齐声朗读，以加深记忆。）

(3)点到直线距离的运用

1、点到直线距离的概念

通过问题设置，引入距离的概念。完成导学案上的“思考”部分，加

深学生对距离和垂线段概念的区分。

注意：

垂线段VS距离：（区别）垂线段是线段，是一种图形；距离是长度，是一类度量单位，两者本质不同，不可混淆。

（联系）垂线段的长度是距离。

2、实际问题中点到直线距离的运用。

自主思考，组内交流，尝试动手画图，并说明理由，师生互评。

注意：点到直线的距离可转化为点到点之间的距离。

3、情境问题的解决：

学生联系生活实际，感受垂线段的实际应用带来的便利，学生独立完成并举手发言。小组讨论并回答。师生互评。

3、数学问题中的点到直线的距离问题。

学生代表上台板演，教师台下巡视指导，学生作为小老师为同学讲解，师生点评，教师PPT展示分析并小结。

三、课堂小结：这节课你学到了什么，有何感想和收获？

（1-2名学生回答）

四、当堂检测

1）第1题的第1-4小问，随机抽取小组接龙作答，师生互评。

2）第1题的第5小问，学生作业展示，师生互评。

3）第2题，学生分析，师生互评。

五、布置作业：

书本102页的第5题，103页的第8题

六、板书设计：

垂线段与点到直线的距离

在同一平面内，过一点

有且只有一条直线与已垂线段（最短）知直线垂直。

垂线段的长度─点到直线的距离

七、教学反思：

点到平面的距离的计算

预备知识 (1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P 向平面α引垂线，垂足为P '，则点P '叫做点P 在平面α上的正射影，简称为射影。同时把线段PP '叫作点P 与平面α的垂线段。 图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。 (3) 四面体的体积公式 13 V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。在很多时候为了

简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。 图2 1、定义法求点到平面距离(直接法) 定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。 以下几条结论常常作为寻找射影点的依据: (1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。 (2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。 (3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。 (4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。 例如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D '''' -棱长为a，求点A'到平面AB D''的距离。

数学：《平面上两点间的距离》教案

普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版] 平面上两点间的距离(1) 教学目标： （1）掌握平面上两点间的距离公式； （2）能运用距离公式解决一些简单的问题． 教学重点： 掌握平面上两点间的距离公式及运用． 教学难点： 两点间的距离公式的推导． 教学过程 一、引入新课 问题：1．证明一个四边形是平行四边形可用对边互相平行外还可用什么方法? 2．已知四边形的顶点坐标如何求四边形的边长? 3．已知(1,3)A -、B(3,-2), C(6,-1),D(2,4) ，四边形ABCD 是否为平行四边形？ 二、讲解新课 先计算点A(-1,3),B(3,-2) 间的距离． 过点A （-1，3）向x 轴作垂线，过点B （3，-2）向y 轴作垂线，两条垂线交于点P ，则点P 的坐标是（-1，-2），且PA=|3-（-2）|=5，PB=|3-（-1）|=4，所以在Rt ?PAB 中， AB=22225441PA PB +=+=，同理可得CD=41，则AB=CD ，同理AD BC =，所以ABCD 是平行四边形． 一般地，设两点111222(,),(,)P x y P x y ，求12PP 的距离． 如果12,12x x y y ≠≠，过12PP 分别向y 轴、x 轴作垂线，两条垂线相交于点Q ，则点Q 的坐标为21(,)x y ． 因为1 21221||,||PQ x x P Q y y =-=-，所以在Rt ?12PP Q 中， 2 222212122121()()PP PQ P Q x x y y =+=-+- (*) 当12x x =时，12PP =21||y y -,当12y y =时,12PP =21||x x -,均满足(*)式． 则平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为 22122121()()PP x x y y = -+-． 三、数学运用 1．例题： 例1．（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；

点到直线的距离公式教案

点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7

《两点间的距离》教学设计(优质课)

两点间的距离 （一）教学目标 1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。 （二）教学重点、难点 重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。（三）教学方法 启发引导式 识解决以下问题：

2

备选例题 例1 已知点A (3，6)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于10，求点P 的坐标 【解析】设点P 的坐标为 (x ，0)，由|PA | = 10，得： 10 解得：x = 11 或x = –5. 所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0). 例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小. 【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=?? --=? 解2 5x y =??=? 得 P (2，5). （2）C 关于l 对称点324 (, )55 C '

由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′| 当P 是AC ′与l 的交点1126 (,)77 P 时“=”成立， ∴1126 (, )77 P . 例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度. 【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点 因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以2 1, 10 QQ b k a '-==- 又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以 02 1022 a b ++++= 所以2 10 210 22 b a a b -?=??-?+?++=??得31a b =-??=-?，所以 Q ′(–3，–1) 因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)2 2(3)5 k --= =-- l 1：21(2)5 y x -=-即2x – 5y + 1 = 0 （2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′ 所以沿这光线从P 到Q 入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.

怎样求点到平面的距离

怎样求点到平面的距离 徐加生 在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法，供参考。 一 直接法 根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。 例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱111C B A ABC -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，32AC ,2BC ,90ABC ==?=∠，且C A AA ,C A AA 1111=⊥；（I ）求侧棱A A 1与底面ABC 所成角的大小；（II ）求侧面11ABB A 与底面ABC 所成二面角的大小；（III ）求顶点C 到侧面11ABB A 的距离。 图1 简析：（I ）如图1，取AC 中点D ，易得侧棱1AA 与底面ABC 所成的角为?=∠45AD A 1。 （II ）由于⊥D A 1底面ABC ，过D 作AB DE ⊥于E ，连E A 1，知AB E A 1⊥，则ED A 1∠为所求二面角的平面角。易求得?=∠60ED A 1。 （III ）要求C 到平面11ABB A 的距离，可直接作⊥CH 面11ABB A 于H ，CH 的长就是点到平面的距离。关键是怎样求CH 的长。注意到AB BC ⊥，连BH ，则由三垂线定理得AB HB ⊥，即HBC ∠为二面角的平面角。由（II ）知HBC ∠?=60，所以360sin BC CH =?=为所求。 注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。 二. 找垂面法 找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到 平面的垂线段。 例2. 正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，侧棱长为3，11C A 的中点为D 。（1）求证//BC 1平面D AB 1；（2）求点B 到平面D AB 1的距离。

空间两点之间的距离公式

空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC

例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结

3.3.2《两点间的距离》教案

3.3.2两点间的距离 三维目标 知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题 教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。难点，应用两点间距离公式证明几何问题。 教学方式：启发引导式。 教学用具：用多媒体辅助教学。 教学过程： 一， 情境设置，导入新课 课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点()(2 122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。 在直角ABC V 中，222 1212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ， 过点 向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221 212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-， 所以，222121 2PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。 由此得到两点间的距离公式 12PP = 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。 二，例题解答，细心演算，规范表达。 例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。 解：设所求点P （x ，0），于是有 =由 PA PB =得

22 25411 x x x x ++=-+解得x=1。 所以，所求点P（1，0）且 PA==通过例题，使学生对两点间距 离公式理解。应用。 解法二：由已知得，线段 AB的中点为 1 2 ? ?? Ｍ ，直线AB的斜率为 k= 1 2 ?? ? ?? ３ ｘ－ＰＡ＝ ３２３ 线段AB的垂直平分线的方程是 y- 1 2 ?? ? ?? ３ ｘ－ ２ 在上述式子中，令y=0，解得x=1。 所以所求点P的坐标为（1，0）。因此 ＰＡ＝ 三．巩固反思，灵活应用。（用两点间距离公式来证明几何问题。） 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。 设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为2222 2222 AB a CD a AD b c BC ===+= ，， () 2 AC a b =+２２， ＋ｃ() ２２２ ＢＤ＝ｂ－ａ＋ｃ 所以，() ２２２２２２２ ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝２ａ＋ｂ＋ｃ () ２２２２２ ＡＣ＋ＢＤ＝２ａ＋ｂ＋ｃ所以， ２２２２２２ ＡＢ＋ＣＤ＋ＡＤ＋ＢＣ＝ＡＣ＋ＢＤ 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

人教版初中七年级数学下册《点到直线的距离》教案

点到直线的距离 教学目标：1、掌握点到直线的距离的有关概念。2、会作出直线外一点到一条直线的距离。3、理解垂线段最短的性质。 教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。 教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法 教学过程： 一、准备知识 1、垂直的概念 2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？ 3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？ 二、探究新知 1、经过一点作一条已知直线的垂线。 （1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB 外 2、讨论思考题：过一点P作已知直线的 垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？ 如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合） 3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的概念：

如图，设PO垂直于AB于O，线段 PO叫作点P到直线AB的距垂线段。 PA、PB、PC、PD叫作斜线段。 5、垂线段PO的长度叫作点P到直 线AB的距离。 6、做一做 （1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。 （2）按教材P73的做一做操作。 7、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 8、垂线段的应用 P74的动脑筋 三、练习与小结 1、练习P74的练习题 2、课堂小结 四、布置作业 1、已知：经过直线m外一点P 。求作：PO，使PO垂直于直线m，O点是垂足。 2、画一个5厘米的正方形ABCD，在正方形内部任取一点P，作经过点作正方形各边的垂线，垂足分别M、N、R、Q，测量PM、PN、PR、PQ的长度。

点到平面距离的若干典型求法

点到平面距离的若干典型求法 目录 1.引言 (1) 2.预备知识 (1) 3.求点到平面距离的若干求法 (3) 3. 1 定义法求点到平面距离 (3) 3. 2 转化法求点到平面距离 (5) 3. 3 等体积法求点到平面距离 (7) 3.4 利用二面角求点到平面距离 (8) 3. 5 向量法求点到平面距离 (9) 3.6最值法求点到平面距离 (11) 3.7公式法求点到平面距离 (13) 1.引言 求点到平面的距离是高考立体儿何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了儿何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。 2.预备知识 （1）正射影的定义：（如图1所示）从平面外一点向平面。引垂线，垂足为P,则点P'叫 做点〃在平面。上的正射影，简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面。的垂线段。

图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离, 也即点与平面间垂线段的长度。 (3)四面体的体积公式 V=-Sh 3 其中V表示四面体体积，S、/?分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线/把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面a与平面“所成的二面角，记作二面角a-1-p,其中/为二面角的棱。如图在棱/上任取一点。，过点。分别在平面。及平面”上作/的垂线。4、OB，则把平面角匕叫作二面角a-1-p的平面角，匕4彼的大小称为二面角a-1-p的大小。在很多时候为了简便叙述，也把匕称作a与平面“所成的二面角。 (7)空间向量内积： 代数定义：设两个向量刁=(而,》1，4)，/；=(易况，全)，则将两个向量对应分量的乘积之和 定义为向量。与片的内积,记作沁，依定义有必。二%工2 +凹)‘2 +4弓

两点间的距离公式教案

两点间的距离公式教案 江苏省苏州丝绸中等专业学校唐佳倩 一、教材分析 本人所用教材为江苏教育出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数方法研究平面几何问题的学科，第八章《直线与圆的方程》属于平面解析几何学的基础知识。它侧重于数形结合的方法和形象思维的特征，综合了平面几何、代数、三角等知识。本课是第八章第一节课，利用初中学习的数轴距离公式和勾股定理知识，在平面直角坐标系中推导出任意两点间的距离公式，能产生数形结合的思想。 二、学情分析 学生是一年级纺织中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力薄弱，对抽象的知识理解能力不强，但是对直观的事物能够理解，对新事物也有较强的接受能力。 三、教学目标 1．知识与技能目标： （1）了解平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导过程； （2）理解平面直角坐标系中两点间的距离公式的结构特点； （3）能应用这个公式解决相关问题。 2.过程与方法： （1）通过公式的推导过程，让学生领会“数形结合”的数学思想与方法和从特殊到一般的认知规律； （2）通过公式的使用过程，让学生领会方程的数学思想与方法。 3.情感态度与价值观： 让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养。 四、教学重难点 重点：两点间的距离公式。 难点：两点间的距离的应用。

五、教法学法 针对学生的情况，本人在教学中的引入尽量安排多个实例，多讲具体的东西，少说抽象的东西，以激发学生的学习兴趣.在例题和练习的安排上多画图，努力贯彻数形结合的思想，让学生逐步接受和养成画图的习惯，用图形来解决问题。同时在教学中经常用探究发现法，逐步培养学生的协作能力和独立思考的能力。 六、教学过程 1. 提出问题引发思考 提问：（1）在初中的时候我们学习了数轴上计算两点之间的距离，大家还记得是怎么表示的吗连接2点的线段长即两点间的距离。 （2）大海中有两个小岛，一个在灯塔东60海里偏北80海里的A处，另一个在灯塔西10海里偏北55海里B处，如何知道两个小岛的距离呢 根据题目意思引导学生建立平面直角坐标系，以灯塔所在位置为原点,正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向，建立直角坐标系，则A岛坐标为（60，80），B岛坐标为（-10，55）。 2.构建新知得出结论 已知和,试求两点间距离(让学生思考，再引导学生求出特殊位置的两点的距离) 1. 2. 提问：(1)这之间的距离怎么去表示呢

点到直线的距离 优秀教案

点到直线的距离 教学目标： （1）理解点到直线距离公式的推导过程. （2）会求点到直线的距离. （3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神. 教学用具：计算机 教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程： 一、引入 点到直线的距离是指过点P 作l 的垂线，P 与垂足Q 之间的长度 【问题1】已知点P （-1，2）和直线l ：0102=-+y x ，求P 点到直线l 的距离． （由学生分析、解答） 分析：先求出过P 点和l 垂直的直线：PQ ：052=+-y x ，再求出l 和PQ 的交点 ()43，Q ∴ 52=PQ 如果把问题1一般化就有如下问题： 【问题2】已知：()00y x P ，和直线l ：0 =++C By Ax （P 不在直线l 上，且0≠A ，0≠B ），试求P 点到直线l 的距离． 二、点到直线距离 分析1：要求PQ 的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求PQ 的长度．∵ P 点坐标已知，∴只要求出Q 点 坐标就可以了． 又∵Q 点是直线PQ 和直线L 的交点 又∵直线L 的方程已知∴只要求出直线 PQ 的方程就可以了. 即：PQ ←Q 点坐标←直线PQ 与直线l 的交点←直线PQ 的方程←直线PQ 的斜率←直线l 的斜率 （这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结） 问：这种解法好不好，为什么? 根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出

分析2：如果PQ 垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段PS 和PR ，如图1所示，显然相对而言PS ，和PR 好求一些， 事实上，设P 到直线的距离为d ，R 坐标为()11y x ，，S 坐标为()22y x ，，则易求： A C Bx x --= 01，B C Ax y --=02 所以：A C By Ax x x PR ++= -=0010，B C By Ax y y PS ++=-=0010 所以：C By Ax AB B A PS PR PS ++?+= +=002 22 2 根据三角形面积公式：PS PR RS d ?=? 所以：2 2 00B A C By Ax d +++= （至此问题2已经解决） 公式2 002 | |B A C By Ax d +++= 的完善.容易验证（由学生完成）： 当0=A ，即y L ⊥轴时，公式成立； 当0=B ，即x L ⊥轴时，公式成立； 当P 点在L 上时，公式成立． 公式2 002 | |B A C By Ax d +++= 结构特点 师生一起总结： （1）分子是P 点坐标代入直线方程； （2）分母是直线未知数x 、y 系数平方和的算术根． 类似于勾股定理求斜边的长 三、检测与巩固 练习1 （1）()32， -P 到直线2-=y 的距离是________． （2）()32-， P 到直线042=++y x 的距离是_______． （3）用公式解()21 ，-P 到直线0102=-+y x 的距离是______． （4）()11 ，-P 到直线23=x 的距离是_________．

高中数学北师大版必修二2.3.3【教学设计】《空间两点间的距离公式》

《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分

我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。

小学人教四年级数学点到直线的距离教案

执教时间：年月日课题点到直线的距离执教者李子涵共 1 课时 学情分析本课是在学生学习了射线、线段和直线、垂线、平行线之后，进一步学习空间与图形知识的基础。小学四年级学生认知水平以及生活阅历相对较少，但孩子们都喜欢亲自动手试一试。所以学生的这种认知特征要善于引导，寻求科学的学习方法和适合学生年龄特点的教学方法。 教学目标1、学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、认识平行线之间的距离相等。 3、在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。 教学重点认识点到直线的距离，认识平行线之间的距离。 教学难点能解决一些实际的问题 教学准备多媒体课件、三角尺 教学过程 一、复习引入 1、下面各组直线，哪一组互相平？哪一组互相垂直？（课件出示） （学生判断，并说明理由） 2、复习过直线外一点（点A）画已知直线的垂线的方法。 （学生口述画垂线的方法，教师补充并在黑板上作图示范） 3、谈话导入：掌握了经过直线外一点向已知直线作垂线的方法，这 节课我们在此基础上，继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的 距离（板书课题）。 【设计意图：通过复习平行与垂直的知识，直接引出课题，可以让学 生尽快进入数学知识的学习状态中，而平行与垂直、画垂线知识的复 习为今天的学习起到铺垫作用】 二、新知探究。 修改意见

（一）点到直线的距离 1、画一画 从直线外一点A到这条直线画几条不同的线段，要求有一条垂线。（以比赛的形式展开：在1分钟的时间内看谁从点A向直线画出的线段多，速度快） 2、量一量 学生动手量一量所画的线段的长度，并观察这些线段的长度，看看有什么发现，同桌互相说一说。 3、通过学生交流，引导学生总结从直线外一点到这条直线所画的垂 直线段最短。 教师小结并板书：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离 【设计意图：进行画图、测量、交流等多种活动，引导学生得出垂线 的性质，对距离的含义，让学生在交流中明确它的定义】 （二）认识平行线间垂直线段的特点 1、课件出示课本例3（2）图，直线a//b，想一想这组平行线之间可以画出多少条垂线段？ a b 引导学生：一条直线上有无数个点，因此可以画出无数条垂直线段。2、学生独立完成（在课本上画）：在直线a上任选5个点，分别向b画垂直线段。 3、小组合作测量所画垂直线段的长度，然后交流测量结果，你有什 么发现？ （生动手操作，指名汇报） 4、师根据学生汇报，总结：端点分别在两条平行线上，且与平行线 垂直的所有线段的长度都相等。 5、拓展延伸：根据平行线间的距离处处都相等的性质可以判断两条 直线是否平行。 三、巩固练习 （一）基础练习 1、填空。

两点间的距离及点到直线间的距离--教案

两点间的距离及点到直线间的距离教学内容：青岛版小学数学四年级上册第55和56页及自主练习内容. 教学目标： 1.理解“两点间线段最短”，知道两点之间距离和点到直线的距离。 2.在知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。 3.在解决实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系。 4.提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。 教学重点：画出点到直线的垂线段，认识点到直线的距离。 教学难点：画出点到直线的垂线段，运用所学知识解释有关现象。 教具、学具： 教师准备：多媒体课件直尺三角尺 学生准备：练习本直尺三角尺 教学过程： 课前谈话 一、复习导入 11.分别画一条线段.射线和直线，想一想它们各有什么特点？ 指名答 2.过A点画已知直线的垂线，并想一想画垂线的方法。 对于过A需强调。 看来同学们对以前学的知识掌握的很好，这节课我们继续走进校园来探索 2．出示学习目标。 过渡语：本节课的学习目标是： （1）理解“两点间线段最短”，知道两点之间距离和点到直线的距离。 （2）在知识的探究过程中，培养观察、想象、动手操作的能力，发展初步的空间观念。 （3）在解决实际问题的过程中，体验数学与日常生活的密切联系。 （4）提高学习兴趣，学会与他人合作共同解决问题。

3．出示自学指导 过渡语：为了达到学习目标，离不开大家的努力，请同学们看自学指导：认真看课本第60页和61页“自主练习”前面的部分，重点看方框内部分，按课本的要求做一做，思考： （1）为什么要修隧道哪？你能猜想并验证吗？ （2）请过直线外一点向这条直线画线段，你能画多少条？ （3）有没有最短的？你如何知道的？ （4）如果有，你是怎么画出这条线段的？ 4.看一看 师：下面请同学们根据“自学指导”开始自学，比一比谁看书最认真，谁自学效果最好！（师目光巡视每一个学生） 生看书，师巡视，确保每位学生都在紧张地自学。（要保证学生看够5分钟，学生可以看看、想想，如果学生看完，可以复看，遇到问题可以小声问同位。） 二、汇报交流，评价质疑。 （一）讨论交流自学指导第一个问题。 1.小组合作操作大山两侧（即两个点）之间的连线，通过直尺、线等工具测量一下所画的所有线段的长度，标记出来。 班内交流操作的感受和发现。 2.谈话：通过交流，你能得出什么结论？ （连接两个点的线段是所有画的连线中最短的一条。） 3.教师引导学生归纳知识点：两点之间线段最短。线段的长度叫做这两点间的距离。 板书：两点间的距离：两点之间线段最短。 4.教师再引导学生用学过的知识解释为什么要修隧道？ （距离近，修隧道是为了缩短路程。） （二）小组内讨论交流自学指导第二、三、四题。 1.谈话：同学们在刚才连接两点中，都得到了两点之间的线段是最短的，从而知道了我们为什么要架桥、修隧道。 2.师出示图：那过直线外一点向这条直线画线段，你能画多少条？都是线段，到底哪条线段最短呢？

点到直线的距离教案

点到直线的距离 人教版高二第二册（上）第七章第三节第4课时 山西省阳泉市荫营中学王萍 教学目标： （1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离； （2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力； （3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验． 教学重点：点到直线距离公式及其应用． 教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法． 教学方法：问题解决法、讨论法． 教学工具：计算机多媒体、实物投影仪． 教学过程： 一、创设情景提出问题 多媒体显示实际的例子： 某电信局计划年底解决本地区最后一个小 区P的电话通信问题．离它最近的只有一条线 路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电 缆？ 以电信局为原点），得知这个小区的坐标为P（－1 离它最近线路其方程为2x+y+10=0． 这个实际问题要解决，要转化成什么样的 数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离． 二、自主探索推导公式 多媒体显示：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足Q，求线段PQ的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？ 教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x 轴和y轴的特殊情况．学生解决． 板书：l l

B C By B C y y y PQ C By l A Q +=+ =-==+=000,0:0时，当 A C x x x PQ C Ax l B Q =+ =-==+=00,0:0时，当时， 当0≠AB 如何求PQ ？ 学生思考回答下列想法： 思路一：过P 作l PQ ⊥于Q 线PQ 方程，由PQ 与l 联立方程组解得Q 利用两点距离公式求得． 教师评价：此方法思路自然． 教师继续提出问题： (1)求线段长度可以构造图形吗？ (2)什么图形？如何构造？ (3)第三个顶点在什么位置？ (4)特殊情况与一般情况有联系吗？ 学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第 三个顶点在什么位置？可能在直线l 与x 轴的交点M 或与y 轴交点N ，或过P 点做x,y 轴的平行线与直线l 的交点R 、S ． 教师根据学生提出的方案，收集思路． 思路二：在直角△PQM,或直角△PQN 中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值． 思路三：在直角△PQR,或直角△PQS 中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值． 思路四：在直角△PRS 中，求线段PR 、PS 、RS ，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段PQ 长． 学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程． （思路一）解：直线PQ ：()()000,x x x x A B y y ≠-=-，即00Ay Bx Ay Bx -=- 由? ??=++-=-000C By Ax Ay Bx Ay Bx ，2 2002B A AC ABy x B x Q +--= ()()2020y y x x d Q Q -+-=∴ ) () 0022 A Ax By C A B -++= +2220000022Q B x ABy AC A x B x x x A B -----=+()00Q B y y x x A -=-0022 Ax By C B A B ++=-+= 00Ax By C = ++

八年级数学两点距离公式

§19.10 两点的距离公式 教学目标： 1、让学生经历探求直角坐标平面内任意两点之间距离的过程，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法，掌握两点之间距离公式。 2、学会应用数形结合、方程思想以及分类讨论等数学思想方法。 3、会利用两点的距离公式解决一些基本的简单问题。 教学重点、难点： 重点：直角坐标平面内两点之间距离公式的推导及其应用 难点：直角坐标平面内任意两点之间距离公式的推导 教学过程： 1、复习引入： 已知直角坐标平面内A(-3,2),B(4,1),C(-3,1) 求①B 、C 两点的距离 X 轴或平行于X 轴的直线上的两点 的距离AB= ②A 、C 两点的距离 Y 轴或平行于Y 轴的直线上的两点 的距离CD= ③A 、B 两点的距离 2、探求新知： 任意两点之间距离公式 y)B(),A 21，、（x y x | | 21x x - )y D(),C 21，、（x y x | | 21y y -

如果直角坐标平面内有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么A 、B 两点的距离 AB = 221221)()y y x x -+-（ 3、练一练： 求下列两点的距离 （1）A(1,2)和B(4,6) （2）C(-3,5)和D （7,-2） 4、例题讲解： 例1、已知坐标平面内的△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(-1,4)、B(-4,-2)、C(2,-5),判定这个三角形的形状？ 例2：已知直角坐标平面内的两点分别是A(3，3)、B(6，1) ① 点P 在x 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 变一变：②点P 在y 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 5、归纳总结： 6、布置作业：

高中数学人教版必修两点间的距离教案(系列一)

两点间的距离 教学目标 1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性. 2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质. 重点难点 教学重点：①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系. 教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 安排 1 教学过程 导入新课 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求? (2)求B(3，4)到原点的距离. (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 推进新课 新知探究 提出问题 ①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求? ②求点B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 讨论结果：①|AB|=|x B x A|,|CD|=|y C y D|. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③

图1 在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q. 在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2|QP 2|2. 因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2x 1|2|y 2y 1|2. 由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=2 12212)()(y y x x -+-. ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用 应用示例 例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标. 图2 解:设B(x ，3)，根据|AB|=13， 即(x4)2(38)2=132，解得x=8或x=16.