高中数学立体几何知识点归纳总结
一、立体几何知识点归纳
第一章空间几何体
(一)空间几何体的结构特征
(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。
(2)柱,锥,台,球的结构特征
1.棱柱
棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四
行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系:
①
?
?
??????→
??
?????→?
?
??
?
底面是正多形
棱垂直于底面
斜棱柱
棱柱正棱柱
直棱柱
其他棱柱
底面为平行四边形
侧棱垂直于底面
底面为矩形
底面为正方形
侧棱与底面边长相等
棱柱的性质:
①侧棱都相等,侧面是平行四边形;
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形;
④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。长方体的性质:
①长方体一条对角线长的平方等于一个顶
点上三条棱的平方和;【如图】222211AC AB AD AA =++
②(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ,,,那么222cos cos cos 1αβγ++=,222sin sin sin 2αβγ++=;
③(了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ,,,则222cos cos cos 2αβγ++=,222sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.
面积、体积公式:2S c h S c h S S h
=?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底,V (其中c 为底面周
长,h 为棱柱的高)
2.圆柱
圆柱——以矩形的一边所在的直线为
旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.
圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.
侧面
母线
面积、体积公式:
S 圆柱侧=2rh π;S 圆柱全=222rh r ππ+,V 圆柱=S 底h=2r h π(其中r 为底面半径,h 为圆柱高) 3.棱锥
棱锥——有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的
几何体叫做棱锥。
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 棱锥的性质:
①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;
②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形;
③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:,,,SOB SOH SBH OBH
为直角三角形)
B
侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。
面积、体积公式:S 正棱锥侧=1
2ch ',S 正棱锥全=12ch S '+底,V 棱锥=13
S h ?底.(其中c 为底面周长,h '侧面斜高,h 棱锥的高) 4.圆锥
圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 圆锥的性质:
①平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ②轴截面是等腰三角形;如右图:SAB
③如右图:2
2
2
l h r =+.
圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形。 面积、体积公式:
S 圆锥侧=rl π,S 圆锥全=()r r l π+,V 圆锥=213
r h π(其中
B
r 为底面半径,h 为圆锥的高,l 为母线长) 5.棱台
棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 正棱台的性质:
①各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形;
②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形; ③ 如右图:四边形`,``O MNO O B BO 都是直角梯形 ④棱台经常补成棱锥研究.如右图:`SO M 与SO N ,S`O `B`与SO B相似,注
意考虑相似比.
棱台的表面积、体积公式:S S S 全上底下底=S ++
侧,1S `)3
V S h 棱台=(,
(其中,`S S 是上,下底面面积,h 为棱台的高)
6.圆台
圆台——用平行于圆锥底面的平面去
截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 圆台的性质:
①圆台的上下底面,与底面平行的截面都是圆; ②圆台的轴截面是等腰梯形;
③圆台经常补成圆锥来研究。如右图:
`SO A SOB 与相似,注意相似比的应用.
圆台的侧面展开图是一个扇环;
圆台的表面积、体积公式:22()S r R R r l πππ+++全=, V 圆台
2211
S `))3
3
S h r rR R h πππ++=(=(,
(其中r ,R 为上下底面半径,
h 为高) 7.球
球——以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.
或空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称球;
球的性质:
①球心与截面圆心的连线垂直于截
面;
②r =(其中,球心到截面的
距离为d 、球的半径为R 、截面的半径为r )
球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长方体,球与正方体等的
内接与外切.
注:球的有关问题转化为圆的问
题解决.
球面积、体积公式:2344,3
S R V R ππ==球球(其中R 为球的半径) 例:(06年福建卷)已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为
32
3
π,则正方体的棱长为_________ (二)空间几何体的三视图与直观图
1.投影:区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出
的图形;
正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图; 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图; 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图; 注:(1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画
在正视图的右边,“高度”与正视图相等,“宽度”与俯视图。(简记为“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”.
(2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。 3.直观图:
直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 斜二测法:
step1:在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ,(即取90xoy ∠=? ); step2:画直观图时,把它画成对应的轴'',''o x o y ,取'''45(135)x o y or ∠=??,
它们确定的平面表示水平平面;
step3:在坐标系'''
x o y中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变,平行于y轴(或在y轴上)的线段长度减半。
结论:一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
倍.
4
解决两种常见的题型时应注意:(1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”.
(2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
第二章点、直线、平面之间的位置关系
(一)平面的基本性质
1.平面——无限延展,无边界
三个定理与三个推论
公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。
用途:常用于证明直线在平面内.
图形语言:符号语言:
公理2:不共线
...的三点确定一个平面. 图形语言:
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言:
推论2:两条相交直线确定一个平面. 图形语言:
推论3:两条平行直线确定一个平面. 图形语言:
用途:用于确定平面。
公理3:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线).
用途:常用于证明线在面内,证明点在线上.
图形语言:符号语言:
形语言,文字语言,符号语言的转化:
(二)空间图形的位置关系
1.空间直线的位置关系:???
共面:a b=A,a//b
异面:a与b异面
平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述://,////a b b c a c ?
等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
异面直线:(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线;
(2)判定定理:连平面内的一点与平面外一点的直线与
这个平面内不过此点的直线是异面直线。
图形语言:
符号语言:PA a P A a A a ααα??
?∈?
???????
与异面
异面直线所成的角:(1)范围:(]0,90θ∈??;(2)作异面直线所成的角:平移法.
如右图,在空间任取一点O ,过O 作
'//,'//a a b b ,则','a b 所成的θ角为异面直线,a b 所
成的角。特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的
特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.
2.直线与平面的位置关系: //l l A l l αααα???
=?????
??
图形语言:
3.平面与平面的位置关系:αβαβαβ??
????
⊥??
平行://斜交:=a 相交垂直:
(三)平行关系(包括线面平行,面面平行) 1.线面平行:
①定义:直线与平面无公共点.
②判定定理:////a b a a b ααα?
?
??????(线线平行?线面平行)【如图】
③性质定理:////a a a b b α
βαβ?
?
????=?
(线面平行?线线平行)【如图】
④判定或证明线面平行的依据:(i )定义法(反证)://l l αα=??(用
于判断);(ii )判定定理:////a b a a b ααα?
?
??????
“线线平行?面面平行”(用
于证明);(iii )////a a αββα?
????
“面面平行?线面平行”
(用于证明);
(4)//b a b a a ααα⊥?
?
⊥?????
(用于判断);
2.线面斜交:l A α=
①直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与
平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影
的夹角。【如图】 PO α⊥于O ,则AO 是PA 在平面α内的射影, 则PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角。
范围:[]0,90θ∈??,注:若//l l αα?或,则直线l 与平面α所成的角为0?;若l α⊥,则直线l 与平面α所成的角为90?。 3.面面平行:
①定义://αβαβ=??;
②判定定理:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面互相平行;
符号表述:,,,//,////a b a b O a b ααααβ?=? 【如下图①】
O b a
β
αa'
b'
O O b a
β
α
图① 图②
推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面互相平行 符
号
表
述
:,,,',',//',//'//a b a b O a b a a b b αβαβ
?=??
【如上图②】
判定2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:,//a a αβαβ⊥⊥?.【如右图】
③判定与证明面面平行的依据:(1)定义法;(2)判定定理及推论(常用)(3)判定2
④面面平行的性质:(1)////a a αββα?????
(面面平行?线面平行)
;(2)////a a b b αβαγβγ?
?
=???=?
;(面面平行?线线平行)(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】
(四)垂直关系(包括线面垂直,面面垂直)
1.线面垂直
①定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。
符号表述:若任意,a α?都有l a ⊥,且l α?,则l α⊥.
②判定定理:,a b a b O l l l a
l b ααα???=?
???⊥??⊥?
⊥??
(线线垂直?线面垂直)
③性质:(1),l a l a αα⊥??⊥(线面垂直?线线垂直);(2)
,//a b a b αα⊥⊥?;
④证明或判定线面垂直的依据:(1)定义(反证);(2)判定定理(常
用);(3)//a b b a αα??⊥?⊥?(较常用);(4)//a a αββα?
?⊥?⊥?
;
(5)a b a a a b
αβββα⊥?
?=?
?⊥???
?⊥?
(面面垂直?线面垂直)常用;
⑤三垂线定理及逆定理:
(I )斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中,PO α⊥(1)斜线相等?射影相等;
(2)斜线越长?射影越长;(3)
垂线段最短。【如图】
PB PC OB OC
=?=;
PA PB OA OB >?>
(II )三垂线定理及逆定理:已知PO α⊥,斜
线PA 在平面α内的射影为OA ,a α?,
①若a OA ⊥,则a PA ⊥——垂直射影?垂直斜线,此为三垂线定理; ②若a PA ⊥,则a OA ⊥——垂直斜线?垂直射影,此为三垂线定理的逆定理;
三垂线定理及逆定理的主要应用:(1)证明异
面直线垂直;(2)作、证二面角的平面角;(3)作点到线的垂线段;【如图】 面面斜交
①二面角:(1)定义:【如图】
,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角-的平面角
范围:[0,180]AOB ∠∈??
②作二面角的平面角的方法:(1)定义法;(2)三垂线法(常用);(3)垂面法. 面面垂直
a
α
O
P
A
α
O
A B
C
P
(1)定义:若二面角l αβ--的平面角为90?,则αβ⊥; (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
a a ααββ??
?⊥?⊥?
(线面垂直?面面垂直)
(3)性质:①若αβ⊥,二面角的一个平面角为MON ∠,则90MON ∠=?;
②
a AB a a a AB
αβββ
α⊥??=?
?⊥???
?⊥?
(面面垂直?线面
垂直);
③
A a A a a αβααβ⊥??∈?
???∈??⊥?
. ④
二、立体几何常见题型归纳例讲 1、概念辨析题:
//a a a αβααβ⊥?
???⊥?
或
(1)此题型一般出现在填空题,选择题中,解题方法可采用排除法,筛选法等。
(2)对于判断线线关系,线面关系,面面关系等方面的问题,必须在
熟练掌握有关的定理和性质的前提下,利用长方体,正方体,实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它,你认为错误的命题必须找出反例。
(3)相关例题:课本和报纸上出现很多这样的题型,举例说明如下: 例:(04年北京卷)设m ,n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平
面,给出下列四个说法:①
,//m n m n
αα⊥?⊥;②
//,//,m m αββγαγ⊥?⊥;③//,////m n m n αα?
④,//αγβγαβ⊥⊥?,说法正确的序号是:_________________ 2、证明题。证明平行关系,垂直关系等方面的问题。 (1)基础知识网络:
一、选择题 1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( ) 2 3 + 为 ( ) C 、120; 。 3、边长为a 正四面体的表面积是 ( ) A 、34; B 、312a ; C 、24 a ; D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距,下列说法正确的是 ( ) A 、在y 轴上的截距是6; B 、在x 轴上的截距是6; C 、在x 轴上的截距是3; D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//,则直线a 与直线b 的位置关系是 ( ) A 、平行; B 、相交或异面; C 、异面; D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=,且12l l //,则满足条件a 的值为A 、12-; B 、12 ; C 、2-; D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。 若AC BD a ==,且AC 与BD 所成的角为60,则四边形EFGH 的面积为 ( ) A 2; B 2a ; C 2; D 2。 8、在右图的正方体中,M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点, 则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A .30° B .45° C .90° D . 60° 9、下列叙述中错误的是 ( ) A 、若P αβ∈且l αβ=,则P l ∈; B 、三点,,A B C 确定一个平面; C 、若直线a b A =,则直线a 与b 能够确定一个平面; 图(1) 1 A
D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈,则l α?。 10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( ) A 、两条平行直线; B 、一点和一条直线; C 、两条相交直线; D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A 、25π; B 、50π; C 、125π; D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形,则圆柱的体积为 ; 14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径.. 和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 . 15、过点(1 16、已知,a b (1) a b αβ////,,则a b //; (2) ,a b γγ⊥⊥,则a b //; (3) ,a b b α?//,则a α//; (4) ,a b a α⊥⊥,则b α//; M
一.直线和平面的三种位置关系: 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示: 符号表示: 3. 线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。方法二:用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三:用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,,则m l//。 2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二:用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。方法二:用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交 且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三.垂直关系: l
1. 线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。 方法二:用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。 方法二:计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二:三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????
高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 (一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中,这条定直线称为旋转体的轴。 (2)柱,锥,台,球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 E'D' F' C'侧面 A'B' l 1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的 底面侧棱 关系: 斜棱柱 ED FC ① 底面是正多形 棱柱正棱柱 棱垂直于底面 直棱柱 其他棱柱 AB ②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形 长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 1.3棱柱的性质: ①侧棱都相等,侧面是平行四边形; ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ④直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质: ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 D1 C1 平方和;【如图】 2222 ACABADAA 11 A1 D B1 ②(了解)长方体的一条对角线 AC 与过顶点A 的三条 1 C AB 棱所成的角分别是,,,那么
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222 coscoscos1, 222 sinsinsin2; ③(了解)长方体的一条对角线A C与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是,,, 1 则 222 coscoscos2, 222 sinsinsin1. 2.侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻 边的矩形. 3.面积、体积公式:S ch 直棱柱侧 直棱柱全底,V棱柱底 Sch2SSh (其中c为底面周长,h 为棱柱的高)1.5圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其 余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线A' B' O' C' 轴 轴截面 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和AOC 侧面B 母线长为邻边的矩形. 底面2.4面积、体积公式: S圆柱侧=2rh;S 圆柱全= 2 2rh2r,V 圆柱=S底h= 2 rh(其中r为底面半径,h为圆柱高) 1.6棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形,其余各 S 顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形,由这些高 面所围成的几何体叫做棱锥。 侧棱正棱锥——如果有一个棱锥的底面 是正多边形,并且顶点在底面的射影是 底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质:底面 斜高DC ①平行于底面的截面是与底面相似的正 O AB H 多边形,相似比等于顶点到截面的距 离与顶点到底面的距离之比; ②正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ③正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。)(如上图:SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形) 3.3侧面展开图:正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )
第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式: 一种是由简单几何体拼接而成,一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影:中心投影 平行投影 (1)定义:几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点:“长对正”,“高平齐”,“宽相等” 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤: ①建立适当直角坐标系xOy (尽可能使更多的点在坐标轴上) ②建立斜坐标系'''x O y ∠,使''' x O y ∠=450(或1350 ),注意它们确定的平面表示水平平面; ③画对应图形,在已知图形平行于X 轴的线段,在直观图中画成平行于X ‘ 轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y 轴的线段,在直观图中画成平行于Y ‘ 轴,且长度变为原来的一半; ⑴圆柱侧面积;l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积:l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积:()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式: h S V ?=柱体;h S V ?=31锥体; ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积:
立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.(用两种方法证明) 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图,E ,F ,G ,H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1,C 1D 1,AA 1的中点。 求证:(1)EG ∥平面BB 1D 1D ; (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
4、如图所示,已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 、N 分别为AB 、PC 的中点,平面PAD ∩平面PBC =l. (1)求证:l ∥BC ; (2)MN 与平面PAD 是否平行?试证明你的结论。 5、如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,SA ⊥底面ABCD ,SA=SB ,点M 是SD 的中点,AN ⊥SC ,且交SC 于点N 。 (1)求证:SB ∥平面ACM ; (2)求证:平面SAC ⊥平面AMN ; (3)求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.
高中数学立体几何知识点总结 一 、空间几何体 (一) 空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各 个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二) 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱 四棱柱 平行六面体直平行六面体 长方体正四棱柱 正方体 性质: Ⅰ、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等; 棱长都相等 底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是四边形
1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧(c 是底周长,h 是高) S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2)正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比;截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 '2 S ch = 正棱椎(c 为底周长,'h 为斜高) 体积:1 3 V Sh = 棱椎(S 为底面积,h 为高) 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H
高中数学必修二立体几何入门试题精选 内容:空间几何体与异面直线 时间:90分钟 分值:100分 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分?在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 下列说法不正确的是 ( ) A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D .直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 下列四个几何体中,每个几何体的三视图 有且仅有两个视图相同的是( ) 3. 如右图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正三角形,俯视图是一个圆,那么几何体的侧面积为 ( B. ①正方体 A .①② B .①③ C .①④ D .②④ C. _2 D. 4 A i B i C i D i 中,既与 AB 共面也与CC i 共面的棱的条数为( 4.平面六面体ABCD
5. 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图中厶 ABC 是 边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的 9. 在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1 : 2,则它们的面积比为 1 : 4,类似地,在空 间内,若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2,则它们的体积比为 _」 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面, 它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 11.直三棱柱ABC A1B 1C 1的各顶点都在同一球面上, 若AB AC AAA 2 , BAC 120,则此球的表面积等于 _______________________ 侧视图的面积为( )? A. 12 B . 2 3 C . 3 2 D . 6 6 ?—个骰子由1~6六个数字组成 ,请你根据图中三种状态所显 示的数字,推出 “? ”处的数字是( : ) A. 6 B 3 C 1 D 7. 如右图所示的直观 图, 其平面图形的面积为( ) 3”2 A. 3 B . 2 C . 6 D . . 3 2 则该几何体的表面积为() ?(不考虑接触 点) A. 6+ .3 B. 18+ .3 4 C. 32 D. 18+ 2.3 亠「3 丿 、填空题(本大题共5小题,每小题 4分,满分20分?把答案填在题中横线上 正迄要 8.如右图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示, 俯视 侧视
专题一浅析中心投影与平行投影 中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础,弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图,平行投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与这个平面图形的形状和大小完全相同;而中心投影则不同.下表简单归纳了中心投影与平行投影,结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影. 例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等? 解析:方法一:可在同一方向上画出与原长相等的影长,分别连结它们影子顶点与树的顶点,此时为平行投影. 方法二:可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子,连结影子顶点与树的顶点相交于P,此时为中心投影,P为光源位置. 点评:这是一道平行投影和中心投影相结合的题目,答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点,如果得到的是平行线,即为平行投影;如果得到的是相交线,则为中心投影,这是判断平行投影与中心投影的方法,也是确定中心投影光源位置的基本作法,还应注意,若中心投影光源在两树同侧时,图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号).
解析:在下底面ABCD上的投影为③,在右侧面B′BCC′上的投影为②,在后侧面D′DCC′上的投影为①. 答案:①②③ 点评:画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影. 专题二不规则几何体体积的求法 当所给几何体形状不规则时,无法直接利用体积公式求解,可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积,下面逐一介绍,供同学们参考. 一、等积转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量(底面积或高)不易求出时, 可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解,该方法尤其适用于求三棱锥的体积. 例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N,P 分别是棱A1B1,A1D1,A1A上的点,且满足A1M = 1 2A1B1, A1N=2ND1,A1P= 3 4A1A(如图1),试求三棱锥A1—MNP的体 积. 分析:若用公式V= 1 3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积, 则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高,这两者显然都不易求出, 但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下,变为求三棱锥P—A1MN的体积,便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积,从而代入公式求解. 解:V A 1-MNP =V A1—MNP = 1 3·S△A1MN ·h = 1 3× 1 2·A1M1·A1N·A1P= 1 3× 1 2× 1 2a· 2 3a· 3 4a= 1 24a 3.
第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求: ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法,画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). (一)例题选讲: 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上,且CD =2,AB =3,在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是( ) A . 6π B .3 π C .32π D .65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A .π2 B .π2 3 C .π332 D .π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示,等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3,点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上,且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使PE ⊥AE .记BE =x ,V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. (1)求V (x )的表达式; (2)当x 为何值时,V (x )取得最大值? (3)当V (x )取得最大值时,求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 (二)基础训练: 1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( ) A .①② B .①③ C .①④ D .②④ 2.设地球半径为R ,若甲地位于北纬045东经0120,乙地位于南纬度0 75东经0120,则甲、乙两地球面距离为( ) (A )3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A P B C F E D 立体几何专题训练 1.在四棱锥P -ABCD 中,PA =PB .底面ABCD 是菱形, 且∠ ABC =60°.E 在棱PD 上,满足DE =2PE ,M 是AB 的中点. (1)求证:平面PAB ⊥平面PMC ; (2)求证:直线PB ∥平面EMC . 2.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相 等, D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点,点 F 在BC 上且满 足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点,求证:BB 1∥平面EFM ; (2)求证:EF ⊥BC 。 3.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,,E P 分别是 11,BC A D 的中点,M 、N 分别是1,AE CD 的中点,1,2AD AA a AB a === (1)求证://MN 面11ADD A (2)求三棱锥P DEN -的体积 4如图1,等腰梯形ABCD 中,AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a (1)求证:平面PCF ⊥平面PDE ; (2)求四面体PCEF 的体积. 6如图,等腰梯形ABEF 中,//AB EF ,AB =2, 1AD AF ==,AF BF ⊥,O 为AB 的中点,矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面CBF ; (Ⅱ)设FC 的中点为M ,求证://OM 平面DAF ; (Ⅲ)求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中,,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. (Ⅰ)求证:直线EF ∥平面ABD ;(Ⅱ)求证:平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2,G 为 AF 的中点。 (1)求证:1F G ∥平面11BB E E ; (2)求证:平面1F AE ⊥平面11DEE D ; D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1
高中数学之立体几何 平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 根据上面的公理,可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系 共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b. (2)两直线垂直的判定
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 % 棱柱的分类 棱柱的性质 , ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 ` 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + co s2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱
棱柱的侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长,h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 【 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 - 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径,h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心, 这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; ⑵ 正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; ⑶ 正棱锥中的六个元素,即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH),构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图:正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式 图1-3 圆柱 )
必修2空间立体几何大题 一.解答题(共18小题) 1.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面V AB⊥平面ABC,△V AB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,V A的中点. (1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面V AB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积. 2.如图,三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥P﹣ABC的体积; (2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值. 3.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 4.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点, (Ⅰ)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1; (Ⅱ)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F﹣AEC的体积.
5.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E. 求证: (1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1. 6.如题图,三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4, 点F在线段AB上,且EF∥BC. (Ⅰ)证明:AB⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P﹣DFBC的体积为7,求线段BC的长. 7.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1, (Ⅰ)若D为线段AC的中点,求证;AC⊥平面PDO; (Ⅱ)求三棱锥P﹣ABC体积的最大值; 8.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 (一)立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有: ①利用定义采用反证法; ②平行判定定理; ③利用面面平行,证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法:中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证:PC∥面BDQ. 证明:如图,连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形, ∴A O=O C.连结O Q,则O Q在平面BDQ内, 且O Q是△APC的中位线, ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外, ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证: (1)E、F、B、D四点共面; (2)面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ,如图, 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点, ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. (2)连结A 1C 1交MN 于P 点,交EF 于点Q ,连结AC 交BD 于点O ,分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点, ∴MN ∥EF ,EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD , ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ,PA 、MN ?面AMN , ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图(1),在直角梯形P 1DCB 中,P 1D//BC ,CD ⊥P 1D ,且P 1D=8,BC=4,DC=4 6, A 是P 1D 的中点,沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置(如图(2)),使二面角P —CD —B 成45°,设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证:AF//平面PE C ; 证明:如图,设PC 中点为G ,连结FG ,
高中数学立体几何知识点总结 一、空间几何体 (一)空间几何体的类型 1多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 (二)几种空间几何体的结构特征 1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 「斜機柱 ①校*L曲査十底雨>直棱 柱]一IF 皱ft 他械柱… 底面是四边形底面是平行四边形 棱柱四棱柱平行六面体侧棱垂直于底面底面是矩形 直平行六面体'长方体 底面是正方形棱长都相等 正四棱柱正方体 性质: I、侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; n、两底面是全等多边形且互相平行; 川、平行于底面的截面和底面全等;
2 1.3棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧ch ( c 是底周长,h 是咼) S 直棱柱表面=c ? h+ 2S 底 V 棱柱=S 底? h 2、棱锥的结构特征 2.1棱锥的定义 (1) 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共 顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 (2) 正棱锥:如果有一个棱锥的底面是正多边形, 并且顶 点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 I 、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形, 相似比 等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比;它们面积 的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱 锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱 锥的高的立方 比; n >正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; 正棱锥侧面积: 1 S 正棱椎 (c 为底周长,h'为斜高) 2 1 体积:V 棱椎-Sh ( S 为底面积,h 为高) 3 正四面体: 对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 2 -a 的正方体问题。 P O H C
点、直线、平面之间的关系 ㈠平面的基本性质 公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 公理二:不共线的三点确定一个平面。 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 推论二:两条相交直线确定一个平面。 推论三:两条平行直线确定一个平面。 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。 ㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 即:a∥b,b∥c a∥c 1.2 异面直线 定义:不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围:(0°,90°]. ⑵作异面直线成角的方法:平移法。 注意:找异面直线所成角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等),形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义:平面外的直线与平面无公共点,则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理: 1.3 性质定理:
2 线面角: 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角):若直线与平面斜 交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围:θ∈[0°,90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义:空间两个平面没有公共点,则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理: ⑴ 判定定理1:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行。 即: 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面的两条线段,那么这两个平面平行。即: ⑵ 判定定理2:垂直于同一条直线的两平面互相平 行。即: 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行 线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理: 图2-3 线面角 图2-5 判定1推论 图2-6 判定2
空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形,//AB DC ,⊥=∠PA DAB ,90ο 底面ABCD ,且 1 2 PA AD DC === ,1AB =,M 是PB 的中点 (Ⅰ)证明:面PAD ⊥面PCD ; (Ⅱ)求AC 与PB 所成的角; (Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明:以A 为坐标原点AD 长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M (Ⅰ)证明:因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥,且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上,故面PAD ⊥面PCD (Ⅱ)解:因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 (Ⅲ)解:在MC 上取一点(,,)N x y z ,则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角 30304||,||,. 555 2 cos(,).3||||2 arccos(). 3 AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-?-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r 故所求的二面角为