固体物理学习题答案(朱建国版)
《固体物理学》习题参考
第一章
1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f =
22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b =
32
a 那么，
Rf Rb =23a
a
=63
1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失
a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？
答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a
2
和a
3重合，那么
1.3
二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示：
1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)
答：证明
设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此
正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°
123o o o a n hd
a n kd a n id
=== ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2）
313()o o a n a a n =-+
把（1）式的关系代入，即得
()id hd kd =-+ ()i h k =-+
根据上面的证明，可以转换晶面族为
（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)
1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：
6π
（2）体心立方：38π（3）面心立方：26π（4）六方密堆积：26π（5）金刚
石：
316
π
。 答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：
111248
i f e c Z N N N N =+
++ 边长为a 的立方晶胞中堆积比率为
3
34*3r F Z a
π=
假设硬球的半径都为r ，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r ，那么：
θ= 33
4/3(2)r r π= 6π
（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r ，则其边长为4
3
r ，那么：
θ= 33
2(4/3)
(4/3)
r r π*= 38π
（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r ，则其边长为22r ，那么：
θ= 33
4(4/3)
(22)
r r π*= 26π （4）对于六方密堆积
一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r ，因此
θ=32
42()
332
r a c π?=26π （5）对于金刚石结构
Z=8 38a r = 那么33
3443*8()338
r F Z a ππ==??=316π.
1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位）a=3i ，b=3j ，c=1.5（i+j+k ），
此处i ，j ，k 为笛卡儿坐标系中x ，y ，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：（1）因为a=3i ，b=3j ，而c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c ′）式中c ′
=3c 。显然，a 、b 、c ′构成一个边长为3*10-10
m 的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
（2）晶胞的体积= c (a b)'?= 3k (3i 3j)?=27*10-30
(m 3
)
原胞的体积=c (a b)?=
1
(333)(33)2
i j k i j +++=13.5*10-30(m 3) 1.7 六方晶胞的基失为：322a a ai j =
+，322
a b ai j =-+，c ck = 求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c ）=
2
32
a c 那么，倒格子
的
基
矢
为
12()b c b π?=
Ω
223i j
a a
ππ
=
+ ，
22()c a b π?=
Ω223i j a a
ππ=-+ ，32()a b b π?=Ω2k c π
=
其第一布里渊区如图所示：
1.8 若基失a ，b ，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl ）的面间距为
2221
()()()hkl d h k l a b c
=
++
答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl ）中距原点最近平面在三个晶轴a 1，a 2，a 3上的截距分别为
1a h ，2a k ，3
a l
。该平面（ABC ）法线方向的单位矢量是 123
dh dk dl n x y z a a a =
++ 这里d 是原点到平面ABC 的垂直距离，即面间距。 由|n|=1得到
222
123
(
)()()1dh dk dl a a a ++= 故12222123
[()()()]h k l d a a a -=++
1.9 用波长为0.15405nm 的X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ
如下
序号 1 2 3 4 5 θ/（°） 19.611 28.136 35.156 41.156 47.769 已知钽为体心立方结构，试求：
（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距；
（3）利用上两项结果计算晶格常数.
答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
2222|[1cos ()]sin ()hkl I F f n h k l f n h k l ππ∞=++++++
考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l ）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式
2sin (1)hkl d n θλ==
得 101101
1.5405
2.29510()2sin 2sin19.611
o
d m λ
θ-==
=? 同法得
102002
1.633410()2sin d m λ
θ-=
=?
102113
1.337710()2sin d m λ
θ-=
=?
102203
1.160910()2sin d m λ
θ-=
=?
103104
1.040310()2sin d m λ
θ-=
=?
应用立方晶系面间距公式
2
2
2
hkl a d h k l
=
++
可得晶格常数222hkl a d h k l =++
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m 为
3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897
取其平均值则得
103.272510()a m -=?
1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a ，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.
答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1a ai =
21322
a ai aj =
+
用正交关系式{
022,
i j
i j ij i j b a ππδ≠===
求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设 111x y b b i b j =+ 222x y b b i b j =+
由112b a π= 120b a = 210b a = 222b a π= 得到下面四个方程式
11()2x y ai b i b j π+= （1）
1113()()022x y ai aj b i b j ++= （2） 22()0x y ai b i b j += （3）
2213()()222
x y ai aj b i b j π++= （4）
由（1）式可得：12x b a
π=
由（2）式可得：123y b a
π
=- 由（3）式可得：20x b = 由（4）式可得：243y b a
π
= 于是得出倒易点阵基矢
1223b i j a a
ππ
=
- 243b j a π=
第三章 习题答案
3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m ＝8.35×10
－27
kg ，恢复
力常数β＝15N ·m －1
解：一维单原子链的解为)(qna t i n Ae X -=ω
据周期边界条件 11+=N X X ，此处N=5,代入上式即得 1)5(=-q
a i e
所以 aq 5＝2π （ 为整数） 由于格波波矢取值范围：a
q a
π
π
<
<-
。 则 2
525<<-
故 可取－2，－1，0，1，2这五个值 相应波矢：a 54π-,a 52π-,0, a 52π,a
54π
由于2
sin
4qa
m βω=
，代入β，m 及q 值 则得到五个频率依次为（以rad/sec 为单位） 8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
3.2 求证由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 ()2
12
2)(2-
-=
ωωπ
ωρm
N
式中m m βω4=是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为
N
解：对一维单原子链，()()dq q q
d q d dN ρρωωρ2?)(=== 所以()()dq
d q ωρωρ2= （1）
由色散关系2
sin
4qa
m βω= 求得
2/12)2
sin 1(242
2cos 4qa
a m a
qa m dq
d -=?=ββω
2/12])4[(2ωβ-=m a （2）
而()π
πρ22Na
L q ==， 则由（1）式可得 ()2/1222/12)(2]4[222--=-=ωωπ
ωβπ
ωρm N m a Na 由于
m m
ωβ
=4 ，则总的振动模数为 ()ωωωπ
ωωρd N
d N m w w m
m 2/1220
)(2--=
=?
?
令
θωω
sin =m
，则积分限为0到2/π ， 故 ()
N N
d N ==
=
-?
2
1
20
2cos cos 2π
θπ
θθθπ
π
π
3.3 设晶体由N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为()239ωωωρm
N
=
解：由书上（3－69）式可得 ()()32
223v
v g ωπωωρ== （1）
由（3－71）可得 ()v n m D 3
/126πωω==
由此可得 n v m
323
32ωπ= ，代入（1）式得 ()23
9ωωωρm
N
=
3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m ＝8.35×10
－27
kg ，另一种原子的质量M ＝4m ，力常
数β＝15N ·m －1
，试求
（1） 光学波的最高频率和最低频率
m ax ω和
m in ω； （2） 声学波的最高频率A
m ax ω；
（3） 相应的声子能量（以eV 为单位）；
（4） 在300K 可以激发频率为
m ax ω， m in ω和A
m ax ω的声子的数目； （5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：（1）m m M Mm 5
4
=+=
μ
Hz rad 1313max 1007.1sec /1070.62?≈?≈=
μ
β
ω
Hz rad m
1313min 1095.0sec /1099.52?≈?≈=
β
ω
Hz rad M
A
1313max 1048.0sec /1000.32?≈?≈=
β
ω （2）eV 2max
1041.4-?≈
ω eV 2min
1095.3-?≈
ω eV A
2max
1097.1-?=ω （3）1
1/-=
kT
w e
n
221.0max
≈∴
ωn ， 276.0min ≈
ωn ，
873.0max ≈A
n ω
（4） 光速v c λ= ，m m c v c μωπ
λ28108.225max
=?≈?==
∴- 3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为m ，而最近邻原子间的力常数交替地等于β和10β，
且最近邻的距离为2/a ，试画出色散关系曲线，并给出0=q 和a q /π±=处的()q ω。 解：设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，
原子的运动方程应是()()()()???---=---=++++-+n n n n n n n n n n x x x x x m x x x x x m 21212221
212221221010ββββ
即 ()n n n n x x x x m 2121221110-+=-+β
()12222121110+++-+=n n n n x x x x m β
求格波解， 令 ()?
?
?
???-=t qa n i n Ae
x ω222，()?
?
?
???-++=t qa n i n Be
x ω21212
代入运动方程，可导出线性方程组为：
[]
[]
??????
?=??? ??-++-=+-??? ??---011100101122/2/2/2/2B m A e e m
B e e m A m iqa iqa iqa iqa ωβββωβ 令
2
0ωβ=m
，从A ，B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
()
[]
0)10)(10(112/2/2/2/4
02
220=++----iqa iqa iqa iqa e e e e ωωω
可解出
()
101cos 20112
2+±=qa ωω 色散关系见下图 0=q 时，1cos =qa ，022ωω=+，0=-ω
β 10β β 10β
m
2
a x 2n-1 x 2n x 2n+1 x 2n+2
a
q π
±
=时，1cos -=qa ，020ωω=+，02ωω=-
3.6．在一维双原子链中，如1>>m M ，求证
qa M
sin 21β
ω=
)cos 21(222qa M
m m +=
βω
[证] 由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支 ()}]sin )
(41[1{2
/122
2
1qa M m mM M m Mm
+-
-+=
β
ω m M >> ，14<<∴mM
mM
由近似式()nx x n -≈-11，）
当1(< }]sin ) (4211[1{2 /122 2 1qa M m mM mM M m +- -+=βω qa M qa M m 22sin 2sin 2β β≈+=， qa M sin 21β ω= ∴ 对2 2ω，由于m M >>，M m M ≈+ ()}]sin ) (41[1{) (2/12 2 2qa m M mM mM M m +- ++= βω ()() }]cos 44)[( 1{2 /122 22qa m M Mm m M Mm m M m M m +++-+++≈ β }]cos 4)[( 1{2/122qa M m m M m M m ++-+≈ β }cos 42111{2qa M m m + +≈β }cos 1{22qa M m m +≈ β qa M m m 22cos 12+= ∴βω)cos 21(22qa M m m +≈β 3.7 在一维双原子晶格振动情况中，证明在布里渊区边界a q 2π± =处，声学支格波中所有 轻原子m 静止，而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图象。 [证] 由（3－18）第一式得 22cos 2ωββm qa B A -= ，当a q 2π±= 时 0cos =qa 且对声学支2 /12? ? ? ??=M βω，代入上式即得： 0220=-=M m B A ββ ，故A ＝0， 轻原子静止 再由（3－18）第二式得 22cos 2ωββM qa A B -= ，当a q 2π±= 时0cos =qa 且对光学支，2 /12? ? ? ??=M βω，代入上式即得 0220 =-=M m A B ββ 故B ＝0， 重原子静止 3.8 设固体的熔点m T 对应原子的振幅等于原子间距a 的10％的振动，推证，对于简单晶 格，接近熔点时原子的振动频率2 /1502? ? ? ??=M T k a m B ω，其中M 是原子质量。 [解] 当质量为M 的原子以频率ω及等于原子间距a 的10％的振幅振动时，其振动能 为：2 222102121??? ??==a M A M E ωω 在熔点m T 时，原子的能量可按照能量均分定理 处理，即一个一维原子的平均能量为m B T k ，于是有m B T k a M =??? ??2 21021ω，由此得 2 /1502? ? ? ??=M T k a m B ω 3.9 按德拜近似，试证明高温时晶格热容]2011[32 ?? ? ??Θ-=T Nk C D B v 证明：由书（3.73）式可知() 43 2 9(/) 1D x T v B D x e x dx C Nk T T e Θ=Θ-? 在高温时，D T Θ>>，则在整个积分范围内x 为小量，因此可将上式中被积函数化简 为( )( ) ???? ??-=+≈??? ? ??+≈-=--12112124122222342/2/424 x x x x x x x e e x e x e x x x x 将上式代入v C 的表达式，得35 3119(/)360D D v B D C Nk T T T T ??ΘΘ????=Θ-?? ? ????????? 32 3 119(/)1320D D B D Nk T T T T ?? ΘΘ????=Θ-?? ? ????????? 2 13120D B Nk T ?? Θ??=-?? ??????? 3.10 设晶格中每个振子的零点振动能为 2 ω ，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解：由（3－69）式知，状态密度()()3 2 223v V V g ωπωωρ== 则 ()ωωπωωωρεωωd v V d E D D 32 20 002321 ? ? == D D v V d v V ω ωωπωωπ0 4320332163143 ==? 4 3 2163D v V ωπ = v N V D 3 /126??? ? ? =πω D D N v V N v V E ωωππ 8 961633 23 20=?= ∴ 3.11 在德拜近似的基础上，讨论由一个N 个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下 其比热正比于2 T 证明：此题可推广到任意维m ，由于 ()()ωωd g dq q C Cdq dq q g dN m m ====-11 ()1 11--??? ? ??=∴dq d q C g m ωω 而德拜模型中vq =ω，故()11 --∝∝m m q g ωω ()() 22 1-???? ??∝∴?T k T k B B v B B e d g e T k k C ωωω ωω 令 x kT =ω ，则上式变为 () () ?? -∝-∝++-p x x m x m x m x m v dx e x e T dx e x e T T C 0 2 1 2 1 1 1 1 在低温时 ∞→=kT x D D ω 则积分 ()dx e x e x m x ?∞ +-0 2 1 1 为一个于T 无关的常数 故 m v T C ∝ 对三维 m ＝3 3T C v ∝ 对本题研究的二维 m ＝2 2T C v ∝ 对一维 m ＝1 T C v ∝ 3.12 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势为()a r b r e r U +- =2， b 为待定常数， 平衡间距m r 10 0103-?=，求线膨胀系数。 解：由书上（3.114）式知，线膨胀系数 0 243r f gk B ?= α 其中：0 2221r dr U d f ???? ???=，0 33!31r dr U d g ???? ??-= 由平衡条件09100 2020=-=??? ??r b r e dr dU r 8029r e b =∴ 302 110302429022r e r b r e f =+-= ， 402120402352990661r e r b r e g =??? ? ??--= 由于 m r 80103-?= ，CGSE e 10 10806.4-?= K erg k B /10381.116-?= K e k r B /1046.1161352 0-?≈= ∴α 3.13 已知三维晶体在0=q 附近一支光学波的色散关系为 ()() 2 220z y x Cq Bq Aq q ++-=ωω ， 试求格波的频谱密度()ωρ 解：2220z y x Cq Bq Aq ++=-ωω 则 102 0202=-+-+-C q B q A q z y x ωωωωωω 这是q 空间的一个椭球面，其体积为abc π3 4 ，而 2 /10A a ω ω-= ，2 /10B b ω ω-= ，2 /10C c ω ω-= q 空间内的状态密度()33 )2(2ππρV L q =?? ? ??= ，故椭球内的总状态数N 为 ()2 /302 /131342ω ωππ-? ? ? ???=ABC V N 故 ()2 /10 22 /102 /12414ABC V ABC V d dN ωωπω ωπωωρ-=-? ? ? ??== 第四章 4.1晶体中空位和间隙原子的浓度是否相同？为什么？ 答：晶体中空位和间隙原子的浓度是相同的。在离子晶体中，由于电中性的要求，所以晶体中的空位和间隙原子一般都是成对出现，所以它们的浓度是相同的。 4.2试从能量角度说明滑移方向必定是密排方向. 4.3如果已知空位形成能为Eu=0.67eV ，试问当温度为300K 时在金里肖特基缺陷数与格点数之比是多少？ 答：设肖特基缺陷数为n ，格点数为N 。那么由公式 B Eu k T n e N -= 可得 19230.671.6101.3810300 n e N --??- ??==5.682*10-12 4.4某间隙原子在晶格的间隙位置间跳跃。该间隙原子在晶格中振动的频率为2*1015 s-1，如该间隙原子在跳跃过程中需要克服的势垒高度为0.1eV ，求该原子在1s 内跳跃的次数。 答：由公式 a B E k T o v v e - = 可得 230.11.3810300 eV o v v e -- ??==2*1015*0.02=4*1013 4.5在离子晶体中，由于电中性的要求，肖特基缺陷多成对地产生，令n 代表正、负离子空位的对数，W 是产生一对缺陷所需要的能量，N 是原有的正、负离子对的数目。 （1）试证明：n/N=Bexp （-W/2k B T ）； （2）试求有肖特基缺陷后体积的变化△V/V ，其中V 为原有的体积。 答： （1）设n 对肖特基缺陷是从晶体内部移去n 个正离子和n 个负离子而形成的。从N 个正离子中形成n 个正离子空位的可能方式数为 1! ()!! N W N n n = - 同时，从N 个负离子中形成n 个负离子空位的可能方式数也是 2! ()!! N W N n n = - 于是，在整个晶体中形成n 对正、负离子空位的可能方式数 212! [ ]()!! N W WW N n n ==- 由此而引起晶体熵的增量为 ! 2()!! B B N S k InW k In N n n ?==- 设形成一对正、负离子空位需要能量w ，若不考虑缺陷出现对原子振动状态的影响，则晶体自由能的改变 ! 2()!! B N F U T S nw k TIn N n n ?=?-?=-- （1） 热平衡时，( )0T F n ??=?，并应用斯特令公式!InN NInN n =-，从（1）式得 ( )2[()()]2[()]20T B B B F N n w k T NInN N n In N n nInn w k T In N n Inn w k TIn n n n ???-=-----=---=-=?? 2B w k T n e N n -=- 因为实际上N?n ，于是得 n/N=Bexp （-W/2k B T ） （2）对离子晶体的肖特基缺陷来说，每产生一对缺陷同时便产生了两个新的结点，使体积增加。当产生n 对正、负离子空位时，所增加的体积应该是3 2V na ?= 式中a 为离子最近邻距离。因为3 2V Na =为晶体原有的体积，有上式可得 3322V na n V Na N ?== 4.6已知扩散系数与温度之间的关系为：/A B E k T o D D e -= 下列数据是锌在铜晶体中扩散的实验结果： T/K 878 1007 1176 1253 1322 D/m 2·s -1 1.6*10-20 4.0*10-18 1.1*10-18 4.0*10-17 1.0*10-16 试确定常数Do 和扩散激活能E A . 答：由公式 /A B E k T o D D e -=，可得 当T=878，D=1.6*10-20 时，D 01= 4.7铜和硅的空位形成能Eu 分别是0.3eV 和2.8eV 。试求T=1000K 时，铜和硅的空位浓度。 答：由公式 B Eu k T n e N -= 可得：对于铜5 0.3 8.61010000.03n e N --??== 对于硅5 2.8 158.61010007.24710n e N ---??==? 4.8碘化钾在不同温度下的钾蒸汽中增色，通过测试F 带的光吸收就可得F 心的形成能E B 。当温度从570℃上升到620℃时，吸收常数增加了3.9%左右。假设光吸收的增加是由F 心的数目增加引起的，试计算F 心形成能E B 。 答： 4.9考虑一体心立方晶格：（1）试画出（110）面上原子的分布图；（2）设有一沿[111]方向滑移、位错线和[110]平行的刃位错。试画出在（110）面上原子的投影图。 答：如图所示： 4.10求体心立方、面心立方、六方密堆积等晶体结构的最小滑移矢量的长度。 答：滑移面往往是那些原子面密度较大的晶面，滑移向也总是原子密度较大的晶向（即沿该方向的周期最小）。 （1）体心立方：滑移面为（110）面，滑移向为[111]，最小滑移矢量b 即[111]晶向上一个格点间距的长度。设晶格常数为a ，则 3||2 b a = （2）面心立方：滑移面为（111），滑移向为[101]。最小滑移矢量b 等于[101]方向上相邻格点间的距离，即 2||2 b a = （3）六角密堆：滑移面是基面（0001），滑移向是[2110]。[2110]晶向上原子间距为a ，因此， ||b a = 4.11在FCC 晶格中存在一个位错，其位错线的方向用晶向指数表示为[112]，该位错滑移的方向和大小用伯格斯矢量表示为1 [110]2 b =。试确定该滑移面的晶面指数，并问该位错是刃位错还是螺位错。 第六章 6.1 一维周期场中电子的波函数()x k ψ应满足布洛赫定理，若晶格常数为a ，电子的波函数为 （1）()x a x k π ψsin = （2）()x a i x k πψ3cos = （3）()()∑∞ -∞ =-= i k a x f x ψ （f 是某个确定的函数） 试求电子在这些状态的波矢 解：布洛赫函数为()()x e a x k ika k ψψ=+ （1）x a x a a x a π πππ sin )sin()(sin -=+=+ x a e a x a ika π π sin )(sin =+ 1-=∴ika e ，π±=ka ，a k π ± = （2）()x a i x a i a x a i ππππ3cos 33cos 3cos -=?? ? ??+=+ 同理，1-=∴ika e ，π±=ka ，a k π ± = （3） ()[]∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =--=+- a x f a a x f )1( ()()∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =-=-= a x f a x f '' 此处1'-= 1=ika e ，π20或=ka ，a k π 20或 = 6.2 已知一维晶格中电子的能带可写成()?? ? ??+-=ka ka ma k E 2cos 81cos 872 2 ，式中a 是晶格常数，m 是电子的质量，求（1）能带的宽度，（2）电子的平均速度， （3） 在带顶和带底的电子的有效质量 解：能带宽度为 min max E E E -=?， 由极值条件 ()0=dk k dE ， 得 0cos sin 2 1 sin 2sin 41sin =-=- ka ka ka ka ka 上式的唯一解是0sin =ka 的解，此式在第一布里渊区内的解为a k π或0= 当k ＝0时，()k E 取极小值min E ，且有()00min ==E E 当a k π =时，()k E 取极大值m ax E ，且有2 2 max 2ma a E E =??? ??=π 由以上的可得能带宽度为2 2min max 2ma E E E =-=? （2）电子的平均速度为()?? ? ??-== ka ka ma dk k dE v 2sin 41sin 1 （3）带顶和带底电子的有效质量分别为 m ka ka m k E m a k a k a k 322cos 21cos 1222-=??? ??-=?????? ????????=±=-±=± =* π π π 1 220 0201cos cos 222k k m m ka ka m E k -* ==?? ???? ==-=?? ?????? ???? ? 6.3 一维周期势场为 ()()[] ?? ???-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na na x b mW x V )1(02 1 2 22当当， 其中b a 4= ，W 为常数，求此晶体第一及第二禁带宽度 解：据自由电子近似得知禁带宽度的表示式为 n g V E 2= ， 其中n V 是周期势场()x V 傅立叶级数的系数，该系数为： ()dx e x V a V nx a i a a n π22 /2 /1--? = 求得，第一禁带宽度为 ()dx e x V a V E x a i a a g π 22/2 /1 1221--? == [] dx e x b mW b nx a i b b π 222 2241 2 --? -= [] dx x b x b mW b b b ?? ? ??-=? -2cos 241 2 222π 3 2 28πb mW = 第二禁带宽度为 ()dx e x V a V E x a i a a g π42/2 /212 21--? == [] dx e x b mW b x a i b b π --? -=22 2241 2 [] dx x b x b mW b b b ?? ? ??-=? -πcos 241 2 222 2 2 2πb mW = 6.4 用紧束缚近似计算最近邻近似下一维晶格s 态电子能带，画出()k E ，()k m *与 波矢的关系，证明只有在原点和布里渊区边界附近，有效质量才和波矢无关。 解： 根据紧束缚近似， ()∑--=Rs ika e J J E k E 1 00 对一维，最近邻a R s ±= 则 ()() ika ika e e J J E k E -+--=100 ka J J E cos 100--= ()k E 为余弦函数 （图省） 有效质量 () ka a J k E m cos 22 12 2 22 =??=* ()k m *的图也省 在原点附近，ka 很小，1cos ≈ka () 2122a J m ≈∴* 在布里渊区边界，a k π ±=，π±=ka ，1cos -≈ka ( ) 2 12 2 12 22a J a J m -= -≈∴* 6.5 某晶体电子的等能面是椭球面 ??? ? ??++=32322 212122m k m k m k E ，坐标轴1，2，3互相垂直。 求能态密度。