(完整版)解析几何基础知识汇总

解析几何基础知识

5．0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)?两圆内含

6.椭圆

一、椭圆的定义和方程 1．椭圆的定义

平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (大于|F 1F 2|=2c )的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点.

定义中特别要注意条件2a ＞2c ，否则轨迹不是椭圆；当2a ＝2c 时，动点的轨迹是线段；当2a ＜2c 时，动点的轨迹不存在。 2．椭圆的方程

(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)．

(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)．

二、椭圆的简单几何性质(a 2＝b 2＋c 2)

标准方程 x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0)

y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0) 图 形

性 质

范围

－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b

－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a

对称性 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点

顶点

A 1(－a,0)，A 2(a,0)

B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0)

性 质

轴

长轴A 1A 2的长为2a

短轴B 1B 2的长为2b

焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c

a

∈(0,1) a ，b ，c 的关系

c 2＝a 2－b 2

8．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程()022

>=p px

y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2

p ,0），它的准线方程是2p x -= ；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22

-=，py x 22

=，py x 22

-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： [一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）]

标准方程

22(0)

y px

p =>

22(0)

y px p =->

22(0)x py p =>

22(0)

x py

p =->

图形

焦点坐标 (,0)2

p (,0)2p -

(0,)2p

(0,)2

p -

准线方程 2

p x =-

2

p x =

2

p y =-

2

p y =

范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤

对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率

1e = 1e =

1e = 1e =

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。

2.焦点弦(以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例) 设AB 是过焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则|AB |＝x 1＋x 2＋p ；|AB |min ＝2p ；x 1·x 2＝p 2

4；y 1·y 2＝－p ；|AF |＝x 1＋p 2,|BF |＝x 2＋p

2.

o F

x

y

l

o

x

y

F l

x

y

o

F l

《空间解析几何2》教学大纲.

《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）

解析几何学习知识重点情况总结复习资料

一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，

MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >；

高等数学-向量代数与空间解析几何复习

第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：? ?? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ ο a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 1 2121z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→a 与→ b 夹角为3 π ，求||→ →+b a 。 解 22 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ →→→→→→→→→→→ →++=?+?+?=+?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222=+???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示 任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的 倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截．距相等．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，2212212 1)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0

解析几何知识点总结

解析几何知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

解析几何知识点总结 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：（0,180） 2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. k=tan α （1）.倾斜角为90°的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过A （x1,y1）和B （x2,y2）两点的直线的斜率为K ， 则当X1≠X2时，k=tan α=Y1-Y2/X1-X2；当X1=X2时，α=90°；斜率不存在； 二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x=x0； 2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：y=kx+b ；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1≠X2，y1≠y2）则直线的方 程：1 21 121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （a ≠0，b ≠0）则直线方程： 1=+b y a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a 5一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B 不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。 位置关系 2 22111::b x k y l b x k y l +=+= 0 :0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l

《空间解析几何》学习指导

《空间解析几何》学习指导 一、教学目的与课程性质、任务。 《空间解析几何》是数学教育专业专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。 二、教学要求 通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握几何向量，n维向量的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下： 第一章向量与坐标 1 使掌握矢量的概念和记法，矢量相等和反矢量的概念 2 了解共线矢量及共面矢量等有关概念 3 掌握矢量加法的三角形法则和平行四边形法则 4理解矢量加法的运算律，矢量减法的定义 5理解数乘矢量的概念，掌握数乘矢量含义及运算律 6理解线性相关和线性无关的含义 7根据矢量的线性组合、线性相关判断矢量的几何关系. 8掌握空间标架的构成及坐标系的概念，掌握空间点和矢量坐标的定义，坐标与矢量的关系 9掌握投影与矢量模及夹角的关系. 10利用数积判断两矢量是否垂直；掌握矢量模的计算和两矢量夹角的计算11了解矢量的矢性积的概念，掌握矢积的计算；矢积坐标的公式；能利用矢积判断两矢量是否共线 12了解矢量的混合积的概念，掌握混合积与矢量坐标的关系 第二章轨迹与方程 1系统地理解曲面方程的概念，掌握矢量方程和参数方程的求法及关系 2系统地理解母线平行于坐标轴的柱面方程的概念，掌握其方程的特征 3掌握空间曲线的一般方程和参数方程的概念及求法，空间曲线在坐标面上的投影及求法 4 了解螺旋线的方程. 第三章平面与空间曲线 1 认识平面方程的几种形式：（1）点法式方程，（2）一般式方程，（3）参数式方程，（4）法式化方程 2 熟练掌握平面方程几种形式的求法 3 熟练掌握点到平面的距离公式 4 熟练掌握平面与平面的夹角公式

高中数学解析几何知识点总结大全

高中数学解析几何知识点大总结 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角α (1)定义：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。 (2)范围：?<≤?1800α 2.斜率：直线倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率. αtan =k （1）.倾斜角为?90的直线没有斜率。 （2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。 （3）设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2 121tan x x y y k --= =α；当21x x =时，o 90=α；斜率不存在； 二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点P （x 0,y 0）及直线的斜率k （倾斜角α）求直线的方程用点斜式：y-y 0=k(x-x 0) 注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； 2.斜截式：若已知直线在y 轴上的截距（直线与y 轴焦点的纵坐标）为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：kx y = 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。 3.两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠则直线的方程： 1 21 121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。 4截距式：若已知直线在x 轴，y 轴上的截距分别是a ，b （0,0≠≠b a ）则直线方程： 1=+b y a x ； 注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。 2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直

向量代数与空间解析几何教案

第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4

2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =，b =，试用a 和b 表示向量、、和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别 为xoy 面、yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示

解析几何基础知识汇总(推荐文档)

1i ： y = k i x + b i , I 2： y = k 2X + b 2, 则: (x — a)2+ (y — b)2 = r 2，方程表示圆心为(a , b),半径为r 的圆. 圆的一般方程 对于方程 Z+y 2+ Dx + Ey + F = 0 r 为半径，则有r 2= d 2+g),即I = M 2-d 2，求弦长或 已知弦长求解问题，一般用此公式. 5、两圆位置关系的判断 两圆(X — a 1)2 + (y — b 1)2= r 2(r > 0), (x — a 2)2 + (y — b ?)2 = r 2(r 2> 0)的圆心距为 d ，则 1. d >「1+「2?两圆外离； 2. d =「1+「2?两圆外切； 3. |r 1 — r 2|< d < r 1 + 「2(「1工 r 2)?两圆相交 4. d = |r 1— 「2|(「1工 r 2)?两圆内切; 解析几何基础知识 1.平行与垂直 (1)直线11 // 12的充要条件是: ⑵直线11丄12的充要条件是: k 1 = k 2 且 b 仟 b 2 k 1 k 2=— 1 2.三种距离 (1)两点间的距离平面上的两点 y)的距离|OP| =7x 耳亍. 点(0,0)与任意一点P(x , (2)点到直线的距离：点 (3)两条平行线的距离 两条平行线 Ax +By + C 1 3 、 ①. P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)间的距离公式 |P 1P 2|=寸(X 1— xz j +(y 1 — y 2 j .特别地，原 IAX 0+ By 0+C| P 0(X 0, y 0)到直线 I : Ax +By + C = 0 的距离 d = ■ 2 ^2 7 A + B =0 与 Ax + By + C 2 = 0间的距离 d =昙眉2 圆的方程的两种形式 圆的标准方程 若直线l i 和12有斜截式方程 ②. (1)当 D 2+ E 2— 4 F >0时，表示圆心为③ 卜2 — E ) 2丿，半径为 貝D 2+ E 2— 4F 的圆; ⑵当 D 2+ E 2— 4 F = 0时，表示一个点 卜2, - I 〕； ⑶当 D 2+ E 2 — 4F <0时，它不表示任何图形. 4、 直线与圆的位置关系 ①. 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交. 判断直线与圆的位置关系常见的有: 几何法：禾U 用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系d < r?相交；d = r?相切；d >r?相离 ②. 直线与圆相交 直线与圆相交时，若I 为弦长，d 为弦心距,

解析几何基础知识100题

解析几何基础100题 一、选择题： 1. 若双曲线22 221x y a b -=-的离心率为54 ，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043 X Y ±= 解 答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。 2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b 3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是 A k>2 B -32 D 以上皆不对 解 答：D 易错原因：忽略题中方程必须是圆的方程，有些学生不考虑 2240D E F +-> 4．设双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ，直线L 过(,0),(0,)a b 两点， 已知原点到直线L 的距离为 4 ，则双曲线的离心率为

A 2 B 2或 3 解答：D 易错原因：忽略条件0 a b >>对离心率范围的限制。 5．已知二面角β α- -l的平面角为θ，PAα ⊥，PBβ ⊥，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱l的距离为别为y x,，当θ变化时，点) , (y x的轨迹是下列图形中的 A B C D 解答： D 易错原因：只注意寻找,x y的关系式，而未考虑实际问题中,x y的范围。 6．若曲线y=(2) y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01 k ≤≤ B 3 4 k ≤≤ C 3 1 4 k -<≤ D10 k -<≤ 解答：C 易错原因：将曲线y=转化为224 x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。 7．P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR︱＋︱RQ︱最小，则m=（）

(精心整理)空间解析几何例题

第4章 向量代数与空间解析几何习题解答 习题4.1 一、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?． 解：3cos ||=?=?θb a b a （1） 4sin ||=?=?θb a b a （2） ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--= 力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-?-+-=?= k j i k j i k j i 41614321 2523253315 32312-+=--+-----=---= 所以，力矩的大小为 ()136416142 22=-++=M 4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a （1）

又x 与a 共线，则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即010********* 2 2 =-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 2 2 2 = ++z y x （3） 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为?? ? ??-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平 分, 则该四边形为平行四边形． 证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有 MA CN ND BM ==, 由矢量合成的三角形法则有MA BM BA += MA BM BM MA MD CM CD +=+=+= 所以CD BA = 即BA 平行且等于CD 四边形ABCD 是平行四边形 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得 ()()()()()()2 222 22321783++-++= -+-+-z y x z y x

最新解析几何基础知识汇总

解析几何基础知识

3．|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2(r 1≠r 2)?两圆相交_；4．d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)?两圆内切； 5．0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)?两圆内含 6.椭圆 一、椭圆的定义和方程 1．椭圆的定义 平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (大于|F 1F 2|=2c )的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点. 定义中特别要注意条件2a ＞2c ，否则轨迹不是椭圆；当2a ＝2c 时，动点的轨迹是线段；当2a ＜2c 时，动点的轨迹不存在。 2．椭圆的方程 (1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． (2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)． 二、椭圆的简单几何性质(a 2＝b 2＋c 2) 标准方程 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) 图 形 性 质 范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 性 质 轴 长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b 焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝c a ∈(0,1)

空间解析几何习题答案(新)

一、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?． 解：3cos ||=?=?θb a b a （1） 4sin ||=?=?θb a b a （2） ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a （1） 又x 与a 共线，则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即010********* 2 2 =-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 2 2 2 = ++z y x （3） 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ? ?-51,21,101

高中平面解析几何知识点总结 (1)

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： α tan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0 x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12 x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0 x ，常设其方程为 x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点 00(,) x y ，常设其方程为 00 ()y k x x y =-+或 x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合．

数学与应用数学专业空间解析几何教学大纲

《空间解析几何》教学大纲 一、课程说明: 课程总学时90 ，周学时 5 1．课程性质： 《空间解析几何》是高等师范院校数学专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。 2．课程教学目的与要求： 本课程的教学目的是培养学生的空间想象能力以及解决问题的能力，并为以后学习其他数学课程作准备，也为日后的中学几何教学打下良好的基础。 教学要求： （1）对空间的直线和平面，对曲面特别是二次曲面有明晰的空间位置、形状的概念，对于坐标化方法能运用自如，从而达到数与形的统一。 （2）能具备空间想象能力，娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，科学地处理中学数学的有关教学内容。 3．教学内容与学时安排： 第一章矢量与坐标20学时 第二章轨迹与方程6学时 第三章平面与空间直线24学时 第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面20学时 第五章二次曲面的一般理论20学时 4．使用教材与参考书 教材：《解析几何》，苏州大学吕林根、许子道等编，高等教育出版社，2001年6月第三版； 参考书： 《解析几何解题分析》，丰宁欣等编，江苏科学技术出版社，1990年第1版；

《空间解析几何习题试析》，陈绍菱、傅若男编，北京师范大学出版社，1992年第六次印刷； 《解析几何方法与应用》，郭健等编，天津科学技术出版社，1998年第1版； 《空间解析几何引论》，南开大学几何教研室编，南开大学出版社，1992年第1版； 5．课程教学重点与难点： 重点：基本概念；矢量计算；作图能力 难点：一般二次曲面理论，知识的综合应用 6．课程教学方法与要求： 本课程以课堂讲授为主，结合课堂提问和课堂讨论进行教学，同时对适合的内容以多媒体辅助教学。 7．课程考核方法与要求： 本课程考核以笔试为主，主要考核学生对基本理论、基本概念、运算技巧的掌握程度，以及学生综合运用知识的能力。平时成绩占30%，期末成绩占70%。 二、教学内容纲要 第一章矢量与坐标（16学时） 1．主要内容 1）矢量概念单位矢量零矢量相等矢量反矢量共线矢量共面矢量。 2）矢量的加、法及其运算法则。 3）数量乘矢量及其运算法则。 4）矢量的线性运算及矢量的分解。 5）行列式与线性方程组。 6）标架与坐标。 7）矢量在轴上的射影。 8）两矢量的数性积与矢性积。 9）三矢混合积。 10）三矢的双重矢性积。 2．基本要求

大学解析几何资料

空间解析几何 基本知识 一、向量 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 12212121(,,)M M x x y y z z =---u u u u u u r 2、已知向量),,(321a a a a =→ 、),,(321b b b b =→ ，则 （1）向量→a 的模为2 32221||a a a a ++= → （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→ → （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→ →?b a （1）><→ →b a ,为向量→ → b a ,的夹角，且π>≤≤<→ →b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积→ → ?b a （遵循右手原则，且→ → → ⊥?a b a 、→ → → ⊥?b b a ） 3 2 1 321 b b b a a a k j i b a → → → →→ =? 5、（1）3 3 2211//b a b a b a b a b a ==? =?→ → → → λ （2）00332211=++?=??⊥→ →→ → b a b a b a b a b a 二、平面

1、平面的点法式方程 已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→ ，则平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 注意：法向量为),,(C B A n =→ 垂直于平面 2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→ 3、（1）平面过原点)0,0,0(? 0=++Cz By Ax （2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）?法向量→ n 垂直于x 轴0=++?D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴） 平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）?法向量→ n 垂直于y 轴0=++?D Cz Ax （如果0=D ，则平面过y 轴） 平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）?法向量→ n 垂直于z 轴0=++?D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴） （3）平面与xoy 面平行?法向量→ n 垂直于xoy 面0=+?D Cz 平面与xoz 面平行?法向量→ n 垂直于xoz 面0=+?D By 平面与yoz 面平行?法向量→ n 垂直于yoz 面0=+?D Ax 注意：法向量的表示 三、直线 1、直线的对称式方程 过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→ 直线方程 3 2010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→ 和直线平行 2、直线的一般方程???=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面

《空间解析几何》教学纲要

《空间解析几何》课程教学纲要 一、课程基本信息： 课程类别：专业基础课 适用专业：数学专业 课程简介：本课程是数学专业三门基础专业课之一，其内容主要是以向量代数为工具，利用代数的方法去研究空间中的平面和直线的位置关系与度量性质，探讨柱面、锥面、旋转曲面和常见的二次曲面的几何性质，为数学分析等后继课程打下必备的基础。 开课学期：高师四年级上下两学期。 课程总的教学时数：72 授课教材：《空间解析几何》，许子道，殷剑兴编，南京大学出版社。 参考书目： 1、《解析几何》，吕林根，许子道等编，高等教育出版社。 2、《空间解析几何简明教程》，吴光磊，田畴编，高等教育出版社。 3、《解析几何学习指导书》，吕林根，张紫霞，孙存金编，高等教育出版社。 二、课程教育目标： 1、为后续课程的学习提供必要的基础知识，同时为以后继续深造打下坚实的基础。 2、使学生对小学数学中的有关内容有新的更深刻的认识和体会，可居高临下，为学生将来从事小学数学教育提供必要的知识与理论、技能与方法上的准备。 3、使学生学会并掌握用代数方法解决几何问题并在几何中为代数问题寻找直观背景的方法。初步学会从实际问题中建立数学模型，提高学生发现问题、分析问题及解决问题的能力。 4、通过基本概念、基本理论的学习及一定量的习题训练，提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、逻辑演绎能力、计算推理能力。 三、课程内容与要求：

（一）教学要求 在教学上要很好体现用代数方法研究几何问题的思想方法，注意基本概念、基本理论、基本方法的教学；要搞清各种概念之间的联系，通过分析对比，加深对概念本质的理解；体现素质教育的观念和思想，充分重视和突出能力的培养；结合课程特点适时地对学生进行思想教育。 （二）课程学时分配 （三）教学内容 第一章向量代数 1、教学目的及要求 本章引进了向量及其运算，它是空间解析几何的基础。通过学习培养学生抽象概念的理解能力，基本理论的运用能力，以及运用向量解决几何、力学等实际问题的能力。认识将空间几何结构代数化的过程。具体要求如下： (1) 理解有关向量的一些基本概念。 (2) 掌握向量各种运算的性质与规律。 (3) 熟悉向量的坐标表示，并能熟练地利用向量的坐标进行运算。 (4) 能够用向量代数的知识解决一些实际问题。 2、教学重点与难点 重点:有关向量的一些基本概念及各种运算的性质与规律。 难点: 用向量代数的知识解决一些实际问题。 3、教学内容 （1）向量的定义及向量的加法、数乘的运算。 （2）共线向量与共面向量。