中考数学平行四边形综合练习题及答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．

（1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；

（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．

【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．

【解析】

试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出

∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．

试题解析：（1）解：如图1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．

由（1）知∠APB=∠BPH ， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ， 在△ABP 和△QBP 中，

{90APB BPH

A BQP BP BP

∠=∠∠=∠=?=， ∴△ABP ≌△QBP （AAS ）， ∴AP=QP ，AB=BQ ， 又∵AB=BC ， ∴BC=BQ ．

又∠C=∠BQH=90°，BH=BH ， 在△BCH 和△BQH 中，

{90BC BQ

C BQH BH BH

=∠=∠=?=， ∴△BCH ≌△BQH （SAS ）， ∴CH=QH ．

∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8． ∴△PDH 的周长是定值．

（3）解：如图3，过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ．

又∵EF 为折痕， ∴EF ⊥BP ．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°， ∴∠EFM=∠ABP ．

又∵∠A=∠EMF=90°， 在△EFM 和△BPA 中，

{EFM ABP EMF A FM AB

∠=∠∠=∠=， ∴△EFM ≌△BPA （AAS ）． ∴EM=AP ． 设AP=x

在Rt △APE 中，（4-BE ）2+x 2=BE 2．

解得BE=2+2

8x

，

∴CF=BE-EM=2+2

8

x -x ，

∴BE+CF=2

4

x -x+4=14（x-2）2+3．

当x=2时，BE+CF 取最小值， ∴AP=2．

考点：几何变换综合题．

2．已知：在菱形ABCD 中，E ，F 是BD 上的两点，且AE ∥CF ． 求证：四边形AECF 是菱形．

【答案】见解析 【解析】 【分析】

由菱形的性质可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠ADF ＝∠CDF ，由“SAS ”可证△ADF ≌△CDF ，可得AF ＝CF ，由△ABE ≌△CDF ，可得AE ＝CF ，由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF 是菱形． 【详解】

证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠ADF ＝∠CDF ， ∵AB ＝CD ，∠ADF ＝∠CDF ，DF ＝DF

∴△ADF ≌△CDF （SAS ） ∴AF ＝CF ， ∵AB ∥CD ，AE ∥CF

∴∠ABE ＝∠CDF ，∠AEF ＝∠CFE ∴∠AEB ＝∠CFD ，∠ABE ＝∠CDF ，AB ＝CD ∴△ABE ≌△CDF （AAS ） ∴AE ＝CF ，且AE ∥CF ∴四边形AECF 是平行四边形 又∵AF ＝CF ， ∴四边形AECF 是菱形 【点睛】

本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.

3．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数； （3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.

【答案】（1）()223

03y x x x =-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为

2117

+. 【解析】

试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．

（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∠AET =∠B =70°．

又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．

②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴2

2221y x =+-，

则()223

03y x x x =

-++<<

（2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∴∠AET =∠B =70°．

又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°．

（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2． ②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =

-=-，

则

22

4117

4

AD CA

x x AC CB

x -±=?=

?=-（舍负） 易知∠ACE <90°，所以边BC 的长为

117

+． 综上所述：边BC 的长为2或

117

2

+．

点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．

4．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ．

（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC 的面积． 【答案】（1）见解析；（2）S 平行四边形ADBC 273

【解析】 【分析】

（1）在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点，则CE=

12AB ，BE=1

2

AB ，得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF ≌△BEC ，得∠AFE=∠BCE=60°.又∠D=60°，得∠AFE

=∠D=60度.所以FC ∥BD ，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD ∥BC ，即FD//BC ，则四边形BCFD 是平行四边形.

（2）在Rt △ABC 中，求出BC ，AC 即可解决问题； 【详解】

解：（1）证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，在等边△ABD 中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°，∵E 为AB 的中点，∴AE=BE ，又∵∠AEF=∠BEC ，∴△AEF ≌△BEC ，在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 的中点，∴CE=

12AB ，BE=1

2

AB ，∴CE=AE ，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°，又∵△AEF ≌△BEC ，∴∠AFE=∠BCE=60°，又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°，∴FC ∥BD ，又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD ∥BC ，即FD ∥BC ，∴四边形BCFD 是平行四边形；

（2）解：在Rt △ABC 中，∵∠BAC=30°，AB=6，∴BC=AF=3，AC=∴S 平行四边形

BCFD =3×

，S △ACF =12

×3×，S 平行四边形ADBC ． 【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

5．（问题情境）在△ABC 中，AB ＝AC ，点P 为BC 所在直线上的任一点，过点P 作PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．当P 在BC 边上时（如图1），求证：PD+PE ＝CF ．

证明思路是：如图2，连接AP ，由△ABP 与△ACP 面积之和等于△ABC 的面积可以证得：PD+PE ＝CF ．（不要证明）

（变式探究）（1）当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3），试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由；

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

（结论运用）（2）如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD ＝16，CF ＝6，求PG+PH 的值．

（迁移拓展）（3）在直角坐标系中，直线l 1：y ＝-

4

3

x+8与直线l 2：y ＝﹣2x+8相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点，若点P 到直线l 1的距离为2．求点P 的坐标．

【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】（﹣1，6），（1，10）【解析】

【变式探究】

连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得；

【结论运用】

过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，根据勾股定理和矩形的性质解答即可；

【迁移拓展】

分两种情况，利用结论，求得点P到x轴的距离，再利用待定系数法可求出P的坐标．【详解】

变式探究:连接AP，如图3：

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，且S△ABC＝S△ACP﹣S△ABP，

∴1

2AB?CF＝

1

2

AC?PE﹣

1

2

AB?PD．

∵AB＝AC，

∴CF＝PD﹣PE；

结论运用:过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图④，

∵四边形ABCD是长方形，

∴AD＝BC，∠C＝∠ADC＝90°．

∵AD＝16，CF＝6，

∴BF＝BC﹣CF＝AD﹣CF＝5，

由折叠可得：DF＝BF，∠BEF＝∠DEF．

∴DF＝5．

∵∠C＝90°，

∴DC2222

-=-8．DF CF

106

∵EQ⊥BC，∠C＝∠ADC＝90°，

∴∠EQC＝90°＝∠C＝∠ADC．

∴四边形EQCD是长方形．

∴EQ＝DC＝4．

∵AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB．

∵∠BEF＝∠DEF，

∴∠BEF＝∠EFB．

∴BE＝BF，

由问题情境中的结论可得：PG+PH＝EQ．∴PG+PH＝8．

∴PG+PH的值为8；

迁移拓展:如图，

由题意得：A（0，8），B（6，0），C（﹣4，0）

∴AB22

68

10，BC＝10．

∴AB＝BC，

（1）由结论得：P1D1+P1E1＝OA＝8

∵P1D1＝1＝2，

∴P1E1＝6 即点P1的纵坐标为6

又点P1在直线l2上，

∴y＝2x+8＝6，

∴x＝﹣1，

即点P1的坐标为（﹣1，6）；

（2）由结论得：P2E2﹣P2D2＝OA＝8

∵P2D2＝2，

∴P2E2＝10 即点P1的纵坐标为10

又点P1在直线l2上，

∴y＝2x+8＝10，

∴x＝1，

即点P1的坐标为（1，10）

【点睛】

本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点，利用面积法列出等式是解决问题的关键．

6．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．

性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．

理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．

应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF 与BE交于点O．

（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面

积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2．

【解析】

试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；

（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、

△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解．

探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴OE=OB，

∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）∵△AOE和△DOE是友好三角形，

∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，

∵△AOB与△AOE是友好三角形，

∴S△AOB=S△AOE，

∵△AOE≌△FOB，

∴S△AOE=S△FOB，

∴S△AOD=S△ABF，

∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12．

探究：

解：分为两种情况：①如图1，

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=×4=2，

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OB，A′O=CO，

∴四边形A′DCB是平行四边形，

∴BC=A′D=2，

过B作BM⊥AC于M，

∵AB=4，∠BAC=30°，

∴BM=AB=2=BC，

即C和M重合，

∴∠ACB=90°，

由勾股定理得：AC=，

∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；

②如图2，

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=×4=2，

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OA′，BO=CO，

∴四边形A′BDC是平行四边形，

∴A′C=BD=2，

过C作CQ⊥A′D于Q，

∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，

∴CQ=A′C=1，

∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；

即△ABC的面积是2或2．

考点：四边形综合题．

7．猜想与证明：

如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．

拓展与延伸：

（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不

变，则DM和ME的关系为．

（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．

【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.

【解析】

试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据

RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.

试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=DE，

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME．

（1）、如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和CEFG是矩形，

∴AD∥EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

∴△FME≌△AMH（ASA）

∴HM=EM，

在RT△HDE中，HM=EM

∴DM=HM=ME，

∴DM=ME，

（2）、如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和ECGF是正方形，

∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，

∴AE和EC在同一条直线上，

在RT△ADF中，AM=MF，

∴DM=AM=MF，

在RT△AEF中，AM=MF，

∴AM=MF=ME，

∴DM=ME．

考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.

8．（问题发现）

（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系

为；

（拓展探究）

（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在

Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点

M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由；

（解决问题）

（3）如图（3）在正方形ABCD中，AB=2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．

【答案】（1）AC垂直平分BD；（2）四边形FMAN是矩形，理由见解析；（3）16+8

或16﹣8

【解析】

【分析】

（1）依据点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，即可得出AC 垂直平分BD；

（2）根据Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得AF=CF=BF，再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE，即可得到AD=DB，AE=CE，进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，即可判定四边形AMFN是矩形；

（3）分两种情况：①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，分别依据旋转的性质以及勾股定理，即可得到结论．

【详解】

（1）∵AB=AD，CB=CD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，点C在线段BD的垂直平分线上，

∴AC垂直平分BD，

故答案为：AC垂直平分BD；

（2）四边形FMAN是矩形．理由：

如图2，连接AF，

∵Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，

∴AF=CF=BF，

又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，

∴AD=DB，AE=CE，

∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，

又∵∠BAC=90°，

∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，

∴四边形AMFN是矩形；

（3）BD′的平方为16+8或16﹣8．

分两种情况：

①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°，

如图所示：过D'作D'E⊥AB，交BA的延长线于E，

由旋转可得，∠DAD'=60°，

∴∠EAD'=30°，

∵AB=2=AD'，

∴D'E=AD'=，AE=，

∴BE=2+，

∴Rt△BD'E中，BD'2=D'E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°，

如图所示：过B作BF⊥AD'于F，

旋转可得，∠DAD'=60°，

∴∠BAD'=30°，

∵AB=2=AD'，

∴BF=AB=，AF=，

∴D'F=2﹣，

∴Rt△BD'F中，BD'2=BF2+D'F2=（）2+（2-）2=16﹣8综上所述，BD′平方的长度为16+8或16﹣8．

【点睛】

本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理进行计算求解．解题时注意：有三个角是直角的四边形是矩形．

9．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．

（1）求证：图1中的PBC是正三角形：

（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，

且HM=JN．

①求证：IH=IJ

②请求出NJ的长；

（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a＜3，a＞3

【解析】

分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由

Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x，则IQ=QN=2x、3，根据IJ=IQ+QJ求出x即可得；

（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可．（1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF

∴PB=PC

∵沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P处

∴PB=BC

∴PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形：

（2）证明：①如图

∵矩形AHIJ ∴∠H=∠J=90° ∵△MNJ 是等边三角形 ∴MI=NI

在Rt △MHI 和Rt △JNI 中

MI NI

MH NJ =??

=?

∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ） ∴HI=IJ

②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ

∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ， ∴∠HIM=∠JIN ， ∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°， ∴∠HIM=∠JIN=15°， 由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°， ∴∠NQJ=30°，

设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，QJ=22=3QN NJ -x ， ∵IJ=6cm ， ∴2x+3x=6，

∴x=12-63，即NJ=12-63（cm ）． （3）分三种情况： ①如图：

设等边三角形的边长为b ，则0＜b≤6，

则

tan60°=

3=

2

a

b

，

∴a=3

2

b

，

∴0＜b≤63

2

=33；

②如图

当DF与DC重合时，DF=DE=6，

∴a=sin60°×DE=63

2

=33，

当DE与DA重合时，a=

6

43

sin603

==

?，

∴33＜a＜43；

③如图

∵△DEF是等边三角形

∴∠FDC=30°

∴DF=

6

43

cos303

==

?

∴a＞3

点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．

10．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB，OC为邻边作?OBFC，连接OF与BC交于点H，再连接EF．

（1）如图1，若△ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；

（2）如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），猜想（1）中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；

（3）如图3，若△ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC之间的数量关系．

【答案】（1）见解析；

（2）EF⊥BC仍然成立；

（3）EF=BC

【解析】

试题分析：（1）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等边三角形的性质得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；

（2）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰直角三角形的性质得到

AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可；

（3）由平行四边形的性质得到BH=HC=BC，OH=HF，再由等腰三角形的性质和

AB=AC=kBC得到AB=BC，AH⊥BC，根据勾股定理得到AH=BC，即可．

试题解析：（1）连接AH，如图1，

中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类含答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E． （1）求证：AC∥OD； （2）如果DE⊥BC，求AC的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）2π． 【解析】 试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度． 试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO， ∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD； （2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三 角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606 180 π? =2π． 点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．

【答案】画图见解析. 【解析】 【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解：画图如下： 【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线. 3．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC． （1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin∠ABE= 3 3 ，CD=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为3 ． 【解析】 分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下： 连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE． 又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED， ∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切；

中考数学几何综合题汇总.doc

如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域；

（3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ；

中考数学平行四边形的判定经典题型精编

平行四边形的判定 一、【基础知识精讲】 1.平行四边形的判定方法： ① 两组对边分别平行 ② 两组对边分别相等 ③ 一组对边平行且相等 ④ 两组对角分别相等 ⑤ 对角线互相平分 2.平行四边形性质的运用： ① 直接运用平行四边形性质解决某些问题，如求角的度数， 线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等． ② 判别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行． ③ 先判别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题． 二、【例题精讲】 例1．（1）根据下列条件，不能判别四边形是平行四边形的是( ) A ．一组对边平行且相等的四边形 B ．两组对角分别相等的四边形 C ．对角线相等的四边形 D ．对角线互相平分的四边形 （2）下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A ．AB=CD ，AD ∥BC B ．AB=CD ，AB ∥CD C ．AB ∥C D ，AD ∥BC D ．AB=CD ，AD=BC 例2．已知：如图，□ABCD 中，点E 、F 在对角线上，且AE ＝CF ． 求证：四边形BEDF 是平行四边形． 的四边形是平行四边形

例3．如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，EF 过点O 交AD 于E ，交BC 于F ， G 是OA 的中点，H 是OC 的中点，求证：四边形EGFH 是平行四边形． 三、【同步练习】 A 组 1．如图，四边形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ， 若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD 是______, 根据是_____________________ . 2．在图中，AC=BD ， AB=CD=EF ，CE=DF ， 图中有哪些互相平行的线段？ 3．一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A ．88°，108°，88° B ．88°，104°，108° C ．88°，92°，92° D ．88°，92°，88° 4．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，AF=CE ． 求证：四边形ABCD 是平行四边形． D

中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案

中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）

【中考数学压轴题专题突破48】综合实践与创新问题(4)

【中考压轴题专题突破48】 综合实践与创新问题（4） 1．综合与实践 问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD ＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系． 探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法： 证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB． ∵AD＝2AB，∴AD＝AE． ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC． ∴．（依据1） ∵BE＝AB，∴．∴EM＝DM． 即AM是△ADE的DE边上的中线， 又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依据2） ∴AM垂直平分DE． 反思交流： （1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ ②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明； （2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明； 探索发现： （3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

问题情境 在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝α． 操作发现 （1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是． （2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论． 拓展探索 （3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．

全国中考数学平行四边形的综合中考真题分类汇总附详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD 的交点，过点O作OE⊥MN于点E． （1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为．（请直接填结论） （2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F． ①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由． ②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明． ③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为．（请直接填结论） 【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF ﹣AF=2OE， 【解析】 试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论； （2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证； ②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证； ③同②的方法可证． 试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线， ∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°， ∵OE⊥AB，

中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析

中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析 几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3个问题，解答这种题一般用分析综合法． 【典型例题精析】 例1．如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD． （1）求证：AB2=AQ·AC： （2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ． P 分析：要证A B2=AQ·AC，一般都证明△ABQ∽△ACB．∵有一个公共角∠QAB=∠BAC，?∴只需再证明一个角相等即可． 可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD和AB所对的圆周角相等． （2）欲证PC=PQ， ∵是具有公共端点的两条线段， ∴可证∠PQC=∠PCQ（等角对等边） 将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操． ∠BQC=∠AQD=90°-∠1（充分利用直角三角形中互余关系） ∵∠PCA是弦切角，易发现应延长AO与⊙交于E，再连结EC，?利用弦切角定理得∠PCA=∠E，同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°， ∴∠PCA=∠E=90°-∠1． 做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，?充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，?这样有利于做题时发生迁移，联想． 例2．如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1，⊙O2于A、E，?过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B，切点为D，过点E作⊙O2的切线与AD交于F，连结BC、CD、?DE． （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； （2）在（1）的条件下，求sinA和tan∠DCE的值； （3）当AC：CE为何值时，△DEF为正三角形？

中考数学综合练习题

42.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P （1）若AE=CF， ①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值； （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径的长． 43.合作学习 如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数 的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH 于点G。回答下列问题： ①该反比例函数的解析式是什么？ ②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？ （1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题； （2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE>EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？” 针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由． 44.九（3）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘 制成如下统计图． 根据统计图，解答下列问题： （1）第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整；

（2）已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？ 45.一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？ 46.在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是（-1，1），（0，0）和（1，0）． （1）如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； （2）在其它格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标（写出2个即可）． 47.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为，△BED的面积为 ．

中考数学复习题目

中考复习题 1 .计算：22221 (1)121 a a a a a a +-÷+---+． 2．“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐活动中，济南市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据右图提供的信息，捐款金额．． 的众数和中位数分别是（ ） A ．20、20 B ．30、20 C ．30、30 D ．20、30 3．不等式组213 351x x +>??-? ≤的解集在数轴上表示正确的是（ ） 4．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A ．230cm B ．230cm π C ．260cm π D ．2120cm 5．如图，矩形 ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则 AE 的长是（ ） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.4 6．如图，O 的半径5cm OA =，弦8cm AB =，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的 最短距离是 cm ． 金额（元） 50 100 （第2题图） 2 2 C ． 2 D ． 2 （第4题图） B A C O A B C D O E （第5题图） O A B

7．如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则cos AOB ∠的值是 ． 8．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后， 他为 了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角 60CBD =?∠； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米． 根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1 1.73≈） 9.已知，如图①，在ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点， 且BF DE =． 求证：AE CF =． 10.已知，如图②，AB 是O 的直径，CA 与O 相切于点A ．连接CO 交O 于点D ，CO 的延长线交O 于点E ．连接BE 、BD ，30ABD =?∠，求EBO ∠和C ∠的度数． 20．有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其它均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k ，第二次从余下．．的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b ． （1）写出k 为负数的概率； （2）求一次函数y kx b =+的图 象经过二、三、四象限的概率． （用树状图或列表法求解） 11．如图，AB 与O ⊙相切于点B ，AO 的延长线交 O ⊙于点C ，连结BC ，若34A ∠=°，则C ∠= ． 12．观察下列等式： 221.4135-=?； 222.5237-=?； 223.6339-=? 224.74311-=?； …………则第n （n 是正整数）个等式为________. A D B E C 60 第8题图 A E C D F B 第9题 图第10题图② 1-2 - 3 - 正 背

初三中考数学综合题一

初三中考数学综合题(一) A 卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各数中是负数的是（ ） A ．－(－3) B ．－(－3)2 C ．－(－2)3 D ．|－2| 2．下列计算正确的是（ ） A ．3a = B ．632a a a ÷= C ．()1 22a a -=- D ．() 3 2628a a -=- 3．6月5日是世界环境日，“海洋存亡，匹夫有责”，目前全球海洋总面积约为36105.9万．平方千米,用科学记数法(保留三个有效数字)表示为（ ） A ．6 1061.3?平方千米 B ．7 1061.3?平方千米 C ．81061.3?平方千米 D ．91061.3?平方千米 4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）． 5．已知下列四个命题：（1）．对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（2）．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；（3）．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 4）．对角线垂直相等的四边形是菱形。其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．已知112233 (2)(1)(2)P y P y P y --，，，，，是反比例函数2y x =的图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是（ ） Ａ．321y y y << 123y y y << Ｃ．213y y y << Ｄ． 以上都不对 7．如右图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两 条平行线a b 、上，已知155∠=°，则2∠的度数为（ ） A ．45° B ．125° C ．55° D ．35° 8．已知点P （x ，y ）在函数x x y -+= 2 1 的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 9．“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐活动中，成都市某中学九年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据右图提供的信息，捐款金额．． 的众数和中位数分别是（ ） A ．20、20 B ．30、20 C ．3010．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限， ⊙A 与x 轴相切于B ，与y 轴交于C （0，1）， D （0，4）两点，则点A 的坐标是 （ ） A ．35 (,)22 B ．3(,2)2 A B C D 主 视 图左视图俯 视图(第4题)

题型七 综合实践题-2021年中考数学第二轮重难题型突破(原卷版)

题型七综合实践题 已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG. 【深入探究】 (1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论； (2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 (3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)． 第1题图 例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D 移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH. 【问题发现】 (1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________； 【拓展探究】 (2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由； 【解决问题】 (3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度． 第2题图 例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ. (1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系； (2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．

中考数学专题训练--函数综合题

中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A

° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A

x

(1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22

中考数学综合习题(六)

中考数学综合习题（六） 一、 填空题 1、计算：(2)--= ;15- = ;1 3()2 -= . 2、计算：(52)(52)+-= . 3、计算：2sin60°= . 4、将3 2 x xy -分解因式的结果为 . 5、一个圆锥形容器的底面半径为12cm ，母线长为15cm ，那么这个圆锥形容器的高为 cm. 6、如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD 的中心经过的路线长是 cm. 选择题（7~12题为单项选择题；13~15题为多项选择题） 7、下列计算正确的是（ ） A 、3 2 5 2a a a += B 、32 6 (2)4a a -= C 、2 2 2 ()a b a b +=+ D 、623 a a a ÷= 8、下列各图中，∠1大 于∠2的 是（ ） 9、下列运算中，错误．． 的是（ ） A 、 (0)a ac c b bc =≠ B 、1a b a b --=-+ C 、0.55100.20.323a b a b a b a b ++= -- D 、x y y x x y y x --=++ 10、将不等式841 13822 x x x x +<-?? ?≤-??的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） 11、在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（ ）

12、已知某种品牌电脑的显示器的大约为4 210?小时，这种显示 寿命 器工作的天数为d （天），平均每天工作的时间为t （小时），那么能正确表示d 与t 之间的函数关系的图象是（ ） 13、下列说法正确的是（ ） A 、9的算术平方根是3 B 、设a 是实数，则a a -的值可能是正数，也可能是负数 C 、点(2,3)P -关于原点的对称点的坐标是(2,3)-- D 、抛物线2 6y x x =--的顶点在第四象限 14、如图，反映的是某中学七（3）班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图（部分）和扇形分布图，则下列说法正确的是（ ） A 、七（3）班外出步行的有8人 B 、七（3）班外出的共有40人 C 、在扇形统计图中，步行人数所占的圆心角度数为82° D 、若该校七年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的约有150人 15、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，则下列结论中正确的有（ ） A 、∠ADE=∠CDE B 、DE ⊥E C C 、AD·BC=BE·DE D 、 CD=AD+BC 三、解答下列各题 A B C D E F 12 20 乘车50% 步行 20% 骑车30% 乘车 步行 骑车

中考数学综合题专题复习【相似】专题解析

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 ∴抛物线解析式为：y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1 （2）解：存在 使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点． 设过点C′、O直线解析式为：y=kx

∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为（1，- ） （3）解：当△AOC∽△MNC时， 如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为（0，- a?1） ∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，a?1） 把M代入y= x2?x?1，解得 a=4 则N点坐标为（4，-3） 当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

中考数学综合复习题共三套含答案

复习题（一） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 在每题所给出的四个选项中，只有 一项是符合题意的. 请把所选项前的字母代号填在题后的括号内.） 1、计算2 )3(-，结果正确的是（ ） A 、－9 B 、9 C 、－6 D 、6 2、若a 为任意实数，则下列等式中恒成立的是 ( ). A 、2 a a a =+ B 、a a a 2=? C 、1=÷a a D 、0=-a a 3、如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是如图所示的（ ） 4、下列结论中正确的是（ ） A 、无限小数都是无理数 B 、 3 3 是分数 C 、(－4)2的平方根是±4 D 、a a 221 -=- 5、已知反比例函数y ＝x a 2 -的图象在第二、四象限，则a 的取值范围是（ ） A 、a ≤2 B 、a ≥2 C 、a ＜2 D 、a ＞2 6、正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（ ） A 、5 B C 、1 2 D 、2 7、如图，奥运会五环旗是由五个圆组成的图形，此图中存在的圆和圆的位置关系有（ ） A 、相交与内含 B 、只有相交 C 、外切与外离 D 、相交与外离 8、如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位 置，若B A AC ''⊥，则BAC ∠是（ ） A 、50° B 、60° C 、70° D 、80° 9、如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1，则这个圆锥的底面半径为（ ） A 、 2 1 B 、22 C 、2 D 、22 10、固体物质的溶解度是指在一定的温度下,某物质在100克溶剂里达到饱和状态时所溶解 的克数.如图所示，观察硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度，下列叙述不正确．．．的是（ ） A 、硝酸钾的溶解度比氯化铵的溶解度大 B 、约25℃时二者的溶解度相等 C 、温度为10℃时氯化铵的溶解度大 D 、温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大

中考数学阅读理解(四)综合实践活动

中考数学阅读理解（四）综合实践活动实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75 i=，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少cm？ 解：（1）设王诗嬑的影长为xcm， 由题意可得：90150 72x =， 解得：120 x=， 经检验：120 x=是分式方程的解， 王诗嬑的的影子长为120cm； （2）正确。 因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直， 则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， ∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，CDE ?为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG CE ⊥于点G， 由题意可得：100 BC=，100 CF=， 斜坡坡度1:0.75 i=，

∴140.753 DE FG CE CG ===， ∴设4FG m =，3CG m =，在CFG ?中，222(4)(3)100m m +=， 解得：20m =， 60CG ∴=，80FG =， 160BG BC CG ∴=+=， 过点F 作FH AB ⊥于点H ， 同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ， FG BE ⊥，AB BE ⊥，FH AB ⊥， 可知四边形HBGF 为矩形， ∴9072AH AH HF BG ==， 90901602007272AH BG ∴= ?=?=， 20080280AB AH BH AH FG ∴=+=+=+=， 故高圆柱的高度为280cm 。 【小结】 知识点：投影、成比例线段、立体几何初步知识、解分式方程等； 数学思想：转化的数学思想、建立数学模型的数学思想； 能力培养：解决实际问题的能力； 来源：原题来源于2020年四川省攀枝花市中考数学试卷。

中考数学平行四边形知识点及练习题及答案

中考数学平行四边形知识点及练习题及答案 一、解答题 1．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE （1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由； （2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形． 2．在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，点P 是边AD 上一点，PF ⊥BD 于点F ，PA ＝PF ． （1）试判断四边形AGFP 的形状，并说明理由． （2）若AB ＝1，BC ＝2，求四边形AGFP 的周长． 3．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ． （1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ?的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =； （2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条； （3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值． 4．如图，点P 是正方形ABCD 内的一点，连接,CP 将线段CP 绕点C 顺时针旋转90,?得到线段,CQ 连接,BP DQ . ()1如图甲，求证：CBP CDQ ∠=∠；

()2如图乙，延长BP交直线DQ于点E.求证：BE DQ ⊥； ()3如图丙，若BCP为等边三角形，探索线段, PD PE之间的数量关系，并说明理由. 5．如图，在平面直角坐标系中，已知?OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA 的中点，点P在BC上由点B向点C运动． （1）求点B的坐标； （2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值； （3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

中考数学易错题综合专题一 附答案详解

易错题数学组卷 一．选择题（共3小题） 1．下列各式计算正确的是（） A．2x3﹣x3=﹣2x6B．（2x2）4=8x8C．x2?x3=x6D．（﹣x）6÷（﹣x）2=x4 2．（2008?临沂）若不等式组的解集为x＜0，则a的取值范围为（）A．a＞0 B．a=0 C．a＞4 D．a=4 3．（2008?临沂）如图，已知正三角形ABC的边长为1，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且A E=BF=CG，设△E FG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数的图象大致是（） A．B．C．D． 二．解答题（共4小题） 4．（2012?鸡西）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC．设网格中小正方形的边长为1个单位长度． （1）在网格中画出△ABC向上平移4个单位后得到的△A1B1C1； （2）在网格中画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2； （3）在（1）中△ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积． 5．如图，在△ABC中∠BAC=90°，AB=AC=2，圆A的半径1，点O在BC边上运动（与点B，C不重合），设BO=x，△AOC的面积是y．

（1）求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）以点O为圆心，BO为半径作圆O，求当⊙O与⊙A相切时，△AOC的面积． 6．（2009?黄石）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax2+bx ﹣4过A、D、F三点． （1）求抛物线的解析式； （2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=S△FQN，则判断四边形AFQM的形状； （3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得AP⊥PH且AP=PH？若存在，请给予严格证明；若不存在，请说明理由． 7．（2007?重庆）下图是我市去年夏季连续60天日最高气温统计图的一部分． 根据上图提供的信息，回答下列问题： （1）若日最高气温为40℃及其以上的天数是最高气温为30℃～35℃的天数日的两倍，那么日最高气温为30℃～35℃的天数有_________天，日最高气温为40℃及其以上的天数有_________天；