整体思想的解题策略

整体思想的解题策略

人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。

一、构造整体

在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。

例1：证明21×43×65…×n n 21

2-＜1

21+n

证：设M=

21×43×65…×n n 212-，N=32×54×76…×122+n n ，显然M ＜N 则MN=(21×43×65…×n n 212-)(32×54×76…×122+n n )=1

21

+n

∵M 2＜MN ∴M 2＜

121

+n 故M ＜1

21+n 评注：本解法抓住M ，N 这两个整体，使问题得到解决。本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。

例2：设三个方程ax 2+bx+c=0，bx 2+cx+a=0，cx 2+ax+b=0有公共实数解，求实数a 、b 、c 之间的关系。

解：设三个方程的公共实数根为x 0，则 ax 02+bx 0+c=0 ① bx 02+cx 0+a=0 ② cx 02+ax 0+b=0 ③

①+②+③ (a+b+c)( x 02+x 0+1)=0

∵x 02+x 0+1=(x 0+21)+4

3

＞0，∴a+b+c=0

评注：本题欲求a 、b 、c 关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c 这一整体，使问题的解决豁然开朗。

二、整体求解

解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。 例3：设有四个数,其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求此四个数。

解：设此四个数之和为x ，则得方程

(x －22)+(x －20)+(x －17)+(x －25)=x ，解得x=28 ∴四数依次为8、3、6、11

评注：本题解法考虑到四数之和——问题的整体，可使问题中四个数变为只是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。本题若按通常解题习惯，须分别设四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。

例4：已知2sin α－cos α=1，求1

cos sin 1

cos sin +-++αααα的值

解：设

1

cos sin 1

cos sin +-++αααα=k ，则(1－k)sin α+(1+k)cos α=k －1①

又2sin α－cos α=1 ②

解①②得sin α=

k

k

+32 cos α=k k +-333(k ≠3)

由(k

k +32)2+(k k +-333)2

=1 解得k=0或k=2

故原式的值为0或2 评注：本解法利用

1

cos sin 1

cos sin +-++αααα=k 这一整体进行求解，能简捷解决问题。本题若由已知条件

2sin α－cos α=1及sin 2α+cos 2α=1联立解得sin α、cos α的值，再代入求值，计算较为繁琐。 例 5、三棱锥S-ABC

的个侧面互相垂直，它们的面积分别是6m 2,4m 2,和3m 2，求它的体积。 解 如图，设S-ABC 的三侧棱长 分别为xm,ym,zm,体积为Z ， 则由题意得

21xy=6, 21yz=4, 2

1zx=3 ∴得(xyz)2=(24)2, 则V=61xyz=6

1×24=4m 3 注 本题没用解方程组的方法，先求x,y,z ，而将xyz 视为一整体求值，故简捷而巧妙。

例 6、球面内接圆台的高为h ，球心到母线的距离为p,则球内接圆台的侧面积 S=2πph

分析与证明：如图，需求的

是S=π(r ’+r)l ① ,但r ’,r,l 下面寻找它们与已知量h,p 为此作辅助线，将r ’,r,l,h,p 都集中到有联系的图形之中。 （1）作DD ’⊥AB ? DD ’=h

（2）作EO ⊥AD ?E 为AD （3）作EE ‘

⊥OO ’

? EE ‘

=2

'r

r +

在R t △DD ‘A 和R t △EE ‘O 中

S

C B A

?△DD ‘A ∽△EE ‘O ?

AD

DD OE EE ''= 即 l h p r r =+2'

?（r+r ’

）l=2ph ②

②代入①得 S=2πph

注 按常规解法，必须把r,r ’,l 分别用p,h 表示出来，但这样做相当困难，且几乎是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将（r+r ’）l 视为一整体来求值，这样问题便巧妙的得到解答。

三、整体换元

在解题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路。

例7：等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若Tn Sn =1

32+n n 求∞

→n lim bn

an

的值。 解：∵n n a a a 2121=+-，n n b b b 2121=+-

∴n n b a =)(2

1

)(21

121121--++n n b b a a =))(12(2

1)

)(12(21

121121--+-+-n n b b n a a n =1212--n n T S

=

1)12(3)12(2+--n n =2624--n n ，∴∞

→n lim 3

2

=bn an 评注：本解法是根据等差数列的性质，m 、n 、p 、q ∈N ，且m+n=p+q 时，则a m +a n =a p +q q ，再将其作为一个整体代入，灵活又简便。

例8、：已知f （x ）=x 5+ax 3+bx - 8，且f （- 2）=10，求f （2） 解： 设g （x ）=f （x ）+8=x 5+ax 3+bx

注意到g （x ）= -g （- x ），即g （x ）是奇函数，因此， g （2）=- g （- 2） ∴f （2）=g （2）- 8=- g （- 2）- 8=- [f （- 2）+8]- 8=- 26

评注：本题将f(- 2)看作一个整体，注意到g （x ）=f （x ）+8= x 5+ax 3+bx

是一个奇函数。使计算过程大大简化。将x 5+ax 3+bx 看作整体而用g （x ）代换，过程简捷明了。如用一般思路则会一筹莫展,这是因为，其一，a,b 未知,其二，要解5次方程,而5次方程无法解.

四、整体变形

解题中，将条件等式看成一个整体，根据题目特点进行适当变形，以助解题进行。

例9：求函数f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值 解：f(x)=3sin(x+20°)+sin[(x+20°) +60°] =3sin(x+20°)+

2

1

sin(x+20°)+ 23cos(x+20°)

=

2

7

sin(x+20°)+ 23cos(x+20°)= 13sin(x+20°+φ)(其中φ=arc tan 73)

因此f(x)的最大值为13

评注：此题若按角形式展开,就没有思路了。本解法抓住x+80°=（x+20°）+60°这一整体，巧妙变形，使得问题得到解决。

例10：已知Z 是虚数，Z 2+2-Z 是实数，且arg(3－z)= 4

π

，求复数Z 。

解：将Z 2+2-Z 视为一个复数，利用Z 2

+2-Z ∈R

∴Z 2

+2-Z =-Z 2+2Z ，故(Z －-Z )(Z+-Z )=2(Z －-

Z )

∵Z 是虚数 ∴Z －-Z ≠0 ∴Z+-

Z =2

故可设Z=1+yi(y ∈R ，且y ≠0) ∴arg(3－Z)=arg(2－yi)=

4

π

，故y=－2，于是Z=1－2i 评注：本解法将Z 2

+2-Z 将为一个整体，然后利用复数为实数的充要条件是Z=-

Z ，从而得到问

题的解决。可以发现，运用整体思维方法，分析复数问题常能得到事半功倍之效。

五、整体代入

在问题解决过程中，往往涉及到较多的几个变量，但我们不必分别求出各个量的具体值，而是将它们的某些关系作为一个整体，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。

例11：三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6cm 2，4cm 2，3cm 2，求此三棱锥的体积。

解：设三条棱长分别为x 、y 、z ，则xy=6，xz=4，yz=3

∴V=61xyz=

6

1))()((yz xz xy =

6

1

346??=2cm 2

评注：本解法着重抓住xy=6，xz=4，yz=3，而不是具体求出x 、y 、z 的值，从而达到简捷解决问题的目的。

例12：已知P 是椭圆116

252

2=+y x 上一点，F 1，F 2是焦点，∠F 1PF 2=30°，求?F 1PF 2的面积。

解：易知a=5,b=4,c=3

在?F 1PF 中，由余弦定理可知2

1F F 2

=21PF +2

2PF －2|P F 1||P F 2|cos30°

=(|P F 1|+| P F 2|)2－2|P F 1||P F 2|－2|P F 1||P F 2|cos30°

由椭圆定义可知|P F 1|+| P F 2|=10，从而有|P F 1||P F 2|=16（3－1） 因此，S 2PF F F ?=

2

1

|P F 1||P F 2|=8（3－1） 例13、解不等式：4x 2-10x-2522+-x x ＞0

分析 本题按一般的解法，移项，使不等式一边为有理项，一边为无理项，然后两边同时平方，去无理项，问题将变得复杂，但将2522+-x x 视为一整体求解，问题便得到简洁、有效的解答。 解：令t=2522+-x x ，则原不等式化为 2t 2-2t-21＞0

解之得 t ＜27

-（舍） 或 t ＞3

即 2522+-x x ＞3 即 2x 2-5x-7＞0

解之得 x ＞

2

7

或 x ＜-1 例14、解方程组 x+y=2 xy-z 2=1

分析 两个方程，求三个未知数，似不可求，但由于x+y=2，所以可令x=1+t, y=1-t ,并将其视为整体，用均值整体代换便可。 解：令x=1+t, y=1-t （t 为实数）

∴ (1-t)(1+t)-z 2=1

∴ t 2+z 2=0 ∴ t=0 且 z=0 ∴ 原方程组的解为 x=1 y=1 z=0

六、整体思维

解决问题过程中，需要将要解决问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，整体功能，以便达到解题目的。

例15：双曲线过原点，实轴长为2，它的一个焦点F 1(4,0)，求双曲线中心的轨迹方程： 解：设双曲线另一个焦点为F 2，则|OF 2|－|OF 1|=±2a=±2 设双曲线中心为P(x,y)，则另一个焦点F 2(2x －4,2y) ∴24)2()4-2(22±=-+y x ，化简得(x －2)2+y 2=9或(x －2)2=1

评注：题设给定双曲线的一个焦点和一支上的一个特殊点，如果仅用这些条件，按常规方法很

难求得中心的轨迹方程。但若整体研究所给双曲线及两焦点与中心的位置关系，再利用原点在双曲线上，则解题思路豁然开朗。

例16：椭圆141622=+y x 上有两点P 、Q ，O 是坐标原点，若OP 、OQ 斜率之积为－4

1

。

⑴求证：|OP|2+|OQ|2为定值 ⑵求PQ 的中点M 的轨迹方程

解：⑴设P 、Q 两点坐标分别为P(x 1、y 1)，Q(x 2、y 2)

∵P 、Q 分别在椭圆上，且K OP ·K OQ =－41

∴???????????-

=?=+

=+

41

141614162

1

2122

222

121x

y x y y x y x ，故?????-=-=-=2

121222221214164164x

x y y x y x y ①×②得16y 12y 22=162－16(x 12+x 22)－x 12x 22 ④ ③代入④得x 12+x 22=16

①+②得y 12

+y 22

=8－ ( x 12

+x 22

)=4 ∴|OP|2+|OQ|2= x 12+y 12+ x 22 +y 22=20

⑵设P 、Q 中点为M(x ，y)，则有x 1+x 2=2x y 1+y 2=2y ①+②+③x2得 4(y 12 +y 22+ 2y 1y 2)=32－(x 12+ x 22+2 x 1x 2) ∴4(y 1+y 2)2=32－(x 1+x 2)2

∴4x 2

+16y 2=32，即12

82

2=+

y x 故PQ 的中点M 的轨迹方程为：12

82

2=+

y x 评注：在处理曲线与直线的关系时，往往运用问题中整体与部分关系，通过整体代入，整体运算，整体消元，整体合并等方法，常常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美。

七、整体配凑

运用数学的对称性，整体配凑，构造对称形式，使解题方便。 例17、计算 sin 210°+cos 240°+sin10°cos40°

分析 本题可运用常规解法，先降幂，然后运用积化和差，和差化积求解，但解题过程复杂。因此，

①

② ③

我们可将所求的三角函数式作为一整体（记作A ），并构造A 的一个对偶式B ，以谋取简便、巧妙的解法。

解：令 A= sin 210°+cos 240°+sin10°cos40° B=cos 210°+sin 240°+cos10°sin40°

则A+B=2+sin50°①

A- B =-cos20°+cos80°-21=-sin50°-2

1

②

由①+②得 2A=23 即A=4

3

解答选择题填空题的12种巧妙方法

传说中的十二招 你知道选择题和大题最大的区别是什么吗？那就是选择题只需要有一个模糊的方向，而不需要确切的答案；或者，选择题可以用一些歪招解出来，而不是像大题一样算到吐血——如果每道选择题都像大题一样算，一张卷下来，估计你所有的血小板都不够你用的……而传说中应对选择、填空题的十二招其实来自它们可抓的五个特征…… 一、答案符合题意 我们目前所学的数学，基本上是按照充分必要的套路。所以，题目可以推出答案，答案同样必然符合题意所指。以此本质的基础可以衍生出两大招。 1.特殊值法（适用于选择、填空） 1）对于问区间的题，只需分别找出可选区间中的元素，代入原题检验其真假，其实也就知道了选哪个区间；正如去到陌生的星球，一看满眼纳美人，那么此地当然就是潘多拉星。 2）特殊值一般选取容易算的，代入选项就可以判断真假，假的统统排除。 例题：y = cos(7π2 – 3x ) 是 函数（填奇偶性） 解析：代入x=0 得 y=0 答案：奇 2.代入法（适用于选择） 这个小学生都会。电池有电没电，放进多啦A 梦看看work 不work 不就知道了吗？题目算不出来，把答案代进去看成不成立不就知道了？然而这种方式不仅对一些题目无效，而且浪费太多时间；如果配合其它招式一起用效果会更强。 例题：函数f(x) = 2x ·ln(x-2) – 3 在下列哪个区间有零点（） A 、（1，2） B 、（2，3） C 、（3，4） D 、（4，5） 解析：我们知道若f(x 1)<0 ,f(x 2)>0,则f(x)在x 1 ~ x 2 之间一定有零点，所以把1、2、3、4、5 代入 x ，发现f(3)<0， f(4)>0. 答案：C 二、放诸四海皆准 既然叫做“成立”，那么就是不管什么条件均能成立。我们不妨把题目当做实验品，放到苛刻的条件下，通过观察它的反应剖析其内涵。

高中数学解题思想之分类讨论思想

分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

高考阅读理解标题类选择题解题技巧

高考阅读理解标题类选择题解题技巧标题选择题是高考阅读理解常考的题型之一，每年各地试卷都会有几个小题考查标题的选择。 考生要想做好标题选择题，就要对文章结构有很好的掌握。首先了解每段的段落大意，然后把它们概况起来，浓缩成一句话或一个短语——文章的标题。做到“各个问题通中心”。那么标题有什么特征呢？ 首先，概括性。文章定的标题能最大程度地覆盖全文，直接指向文章的主要内容，体现文章的主旨。 其次，醒目性。标题要能吸引读者的注意力，唤起读者对文章的阅读兴趣。标题是文章的点睛之笔，要简洁、突出、新颖，是文章的灵魂和门面。标题的好坏往往影响文章的可读性。读者一般会从标题上决定文章阅读的取舍，故标题要比较醒目，甚至比较离奇，目的就是吸引读者的注意力。所以在选择标题的过程中，除了要满足概括性的特点，还要考虑标题的醒目性特点。 考生在做题时要注意一下两方面：一是利用主题段来概括标题。一篇文章的第一段或最后一段往往很重要，因为第一段经常提出文章的主题或最后一段总结文章的主题，知道了文章的主题也就知道了文章的中心，把中心浓缩成一句话或一个短语——文章的标题。二是利用主题句来概括标题。最简单有效的方法是仔细研究文章开头的第一、第二句，因为它们经常是文章的主题句；然后，快速浏览文章结尾句。我们可以通过寻找文章的主题句，并对主题句进行概括和提炼，

从而轻松地确定文章的标题。但是大多数文章的主题并不明显，这时候需要考生仔细体会字里行间的意思，从整体上把握文章的主要内容。把各个选项和文章的主要内容进行比对，找出意思最接近的选项，即正确选项。 要恰当地选好标题，还需要了解标题的写作格式。一般来说，标题的写作格式是：以话题为中心，将控制性概念的词按一定的语法浓缩为概括主题句句意或中心思想的词组。 做此类题时，要避免如下三种错误：一是概括不够。多表现为部分替代整体。二是过度概括。多表现为人为扩大范围。三是以事实、细节替代抽象的大意。 【例1】（2010.年高考上海卷c）The 2012 London Olympics had enough problems to worry about. But one more has just been added__a communications blackout caused by solar storms. After a period of calm within the Sun, scientists have detected the signs of a fresh cycle of sunspots that could peak in 2012, just in time for the arrival of the Olympic torch in London. Now scientists believe that this peak could result in vast solar explosions that could throw billions of tons of charged matter towards the Earth, causing strong solar storms that could jam the telecommunications satellites and Internet links sending live Olympic broadcast from London.

数学思维

二、《解密数学思维的内核》 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略 所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有： （一）、充分联想回忆基本知识和题型： 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。 （二）、全方位、多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己

高考数学选择题的解题策略

高考数学选择题的解题策略 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使今年江苏试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分 之一。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1?3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 (一)数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有2次击中目标 的概率为( ) “ 81厂54 c 3627 A.— B.- C.— D.— 125125125125 解析：某人每次射中的概率为0.6, 3次射击至少射中两次属独立重复实验。 Ca (6)2-C33(6)327故选A。 10 1010125 例2、有三个命题：①垂直于冋一个平面的两条直线平行；②过平面a的一条斜线 有且仅有一个平面与a垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为( ) A . 0 B. 1 C. 2 D . 3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D。 2 2 X y 例3、已知F1、F2是椭圆+ =1的两焦点，经点F2的的直线交椭圆于点A、B, 16 9 若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 16 解析：由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8 ,两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF2代入，得|AF1|+|BF1|= 11,故选A。 例4、已知y log a(2 ax)在［0 , 1］上是x的减函数，贝U a的取值范围是( ) A. (0, 1) B. (1, 2) C. ( 0, 2) D. ［2 , +^) 解析：??? a>0, ??? y1=2-ax是减函数，T y log a(2 ax)在［0 , 1］上是减函数。 ??? a>1,且2-a>0 ,? 1

高考数学思想方法汇总(80页)

高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言

美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法

高中数学解题八个思维模式和十个思维策略

高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形

(推荐)高考文科综合选择题答题技巧及策略

高考文科综合选择题答题技巧及策略 由于高考文科综合题量较大，那么做题过程就非常依赖题目信息的提示，特别是选择题，文科综合选择题的答题原则只需简化为：题目暗示及选项暗示原则。因此在处理文综选择题方面，需要考生掌握一定的答题技巧，才能取得更好的成绩。文科综合选择题，审题是解题的前提或解题的基础，审题一旦出错，则整个解题都毫无意义。审题分两步：第一步是读材料，建议带着问题去读，可泛读或浏览，也可精读。第二步是审问题，审问题要注意三个方面：首先要审中心词，即答什么；其次要审限定词，主要指时间和空间等限定词；再次要审分值，正如量体裁衣，我们答题也要根据分值写要点。寻找相关信息是解题的关键，也就是寻找题目的暗示点。尤其是解答“根据材料（含图表材料）或根据材料（含图表材料）并结合所学知识概括、分析、概述、说明、指出……”等问题时，带着问题在材料中找信息显得特别重要。找信息主要指通过阅读材料找出与问题相关的信息。但针对不同问题要区别对待，如：解答“根据材料（含图表材料）并结合所学知识回答……”问题时，有时要找出材料的中心思想、出处、人物、言论等；解答“对比两则（或两则以上）材料说明、指出异同点（或各自特点）……”问题时，要找出不同材料的异同点或变化。在信息转换上，思维转换也是解题过程中的重要环节。文综解题过程中所涉及的思维转换主要有两种情况：一是政史地不同学科之间的思维转换；二是同一学科中纵向和横向知识的思维转换。剩下的是如何选，如果你知道文综选择题的命题方式，那么就能轻松的解答，那是因为： 1.每道选择题只有一个立意，即一个中心思想。因而，看到试题后应认真阅读，并很快归纳出中心思想，最后用一句话的形式提出立意。然后再看设问，就能很快找出答案。 2.题目几乎都有明显的暗示信息。一般情况下，每道选择题的关键词大多在题干的最后一句话中，如“范围关键词”：经济学道理……、哲学道理……等；“内容关键词”：措施是……、制度是……等；“形容词关键词”：根本……、主要……等；“动词关键词”：表明……、说明……、体现……等。立意和关键词相结合的方法对做难度稍大的题目有较大的帮助。 3.选项之间的对比可以帮助做题。高考题中有一部分是难度大的题目，甚至有些设置考生一时也难以理解，在这种情况下，通常可以先把明显错误的选项去掉，然后进一步缩小范围。 4.高考文科综合选择题非常容易猜测。特别是难题，如果这些题大多数人都不会，每一个人都有猜测得分的机遇。先用排除法排除能确认的干扰项，一般比较容易排除两个，其余两项肯定有一个是正确答案，而我们只要看哪个选项和题目表述的内容更加契合，就有非常高的概率选对。 高考文综大题解题技巧 高考是考生之间知识和能力的竞争，也是解题策略与技巧的竞争。大题（非选择题）占据文综试题的"半壁江山"，这一部分最容易拉分，即大题（非选择题）得分在很大程度上影响着总分，因此很多考生将非选择题视为"拦路虎"。怎样才能做到答题要点清晰明了，避免少失分、争取多得分呢？下面从政史地三科谈一下大题冲关的技巧。 1.政治篇 结合多年教学实践经验，在研究近几年高考文综政治大题得分技巧的基础上，笔者认为，要冲关高考文综政治大题，考生要做到以下三个方面：首先，必须过好基础关，即要熟练掌握政治学科的基础知识，对课本中的知识要做到细、熟、通。 其次，要过好能力关，即要在平时的训练中提高自己获取和解读信息的能力、调动和运用知识的能力、描述和阐释事物的能力、论证和探究问题的能力以及语言表达能力。 最后，要过好技巧关，即根据政治非选择题相应的设问类型，采用相应的解题方法。 1、体现、说明类大题冲关 解答体现、说明类试题可分四步。第一步"定"，即确定所要运用的观点、原理。第二步"分"，即对观点、原理进行分解。第三步"筛"，即筛选材料中的有效信息。第四步"联"，即把保留的观点、原理与相应材料进行有机结合。 2、原因类大题冲关 解答此类试题要坚持理论联系实际的原则。我们不仅要解释某种现象产生的原因，还要说明其影响和意义。对于原因类试题的解答，可以分为三步。第一步，分析其必然性，即分析这样做的重要现实意义。第二步，分析为什么要（能）这样做。分析时一定要紧扣题意且联系教材知识，分析得越充分越全面

高中数学解题四大思想方法

思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????

高中数学解题基本方法——换元法

高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。

高考数学选择题—解题策略

1 第35关：高考数学选择题—解题策略 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，选择题题量为12题每题5分共60分，分值占到试卷总分的40％。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略 （一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率为 （ ） 解析：某人每次射中的概率为0.6，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 + 12554=12581 故选A 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆+=1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．16 解析：由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a =8,|BF 1|+|BF 2|=2a =8，两式相加后将|AB|=5=|AF 2|+|BF 2|代入，得|AF 1|+|BF 1|＝11，故选A 。 例4、已知在[0，1]上是的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．[2，+∞） 解析：∵a>0,∴y 1=2-ax 是减函数，∵ 在[0，1]上是减函数 ∴a>1，且2-a>0，∴1tan α>cot α( )，则α∈（ ） A ．( ，) B ．（，0） C ．（0，） D ．（，） 解析：因 ，取α=－代入sin α>tan α>cot α，满足条件式，则排除A 、C 、D ，故选B 。

高考数学解题思维能力是怎样练成的.doc

高考数学解题思维能力是怎样练成的 纵观近几年高考数学试题，可以看出高考数学试题加强了对知识点灵活应用的考察。这就对考生的思维能力要求大大加强，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 高考数学解题思维能力怎样练成的 第一，从求解(证)入手——寻找解题途径的基本方法遇到有一定难度的考题我们会发现出题者设置了种种障碍。从已知出发，岔路众多，顺推下去越做越复杂，难得到答案，如果从问题入手，寻找要想获得所求，必须要做什么，找到"需知"后，将"需知"作为新的问题，直到与"已知"所能获得的"可知"相沟通，将问题解决。事实上，在不等式证明中采用的"分析法"就是这种思维的充分体现，我们将这种思维称为"逆向思维"——必要性思维。 第二，数学式子变形——完成解题过程的关键解答高考数学试题遇到的第二障碍就是数学式子变形。一道数学综合题，要想完成从已知到结论的过程，必须经过大量的数学式子变形，而这些变形仅靠大量的做题过程是无法真正完全掌握的，很多考生都有这样的经历，在解一道复杂的考题时，做不下去了，而回过头来再看一看答案，才恍然大悟，解法这么简单，后悔莫及，埋怨自己怎么糊涂到没有把式子再这么变一下呢? 其实数学解题的每一步推理和运算，实质都是转换(变形).但是，转换(变形)的目的是更好更快的解题，所以变形的方向必定是化繁为简，化抽象为具体，化未知为已知，也就是创造条件向有利于解题的方向转化.还

必须注意的是，一切转换必须是等价的，否则解答将出现错误。 解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的 桥梁，也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上，化归和消除这些差异。寻找差异是变形依赖的原则，变形中一些规律性的东西需要总结。在后面的几章中我们列举的一些思维定势，就是在数学思想指导下总结出来的。在解答高考题中时刻都在进行数学变形由复杂到简单，这也就是转化，数学式子变形的思维方式：时刻关注所求与已知的差异。 第三、回归课本---夯实基础。 1)揭示规律----掌握解题方法高考试题再难也逃不了课本揭示的思维 方法及规律。我们说回归课本，不是简单的梳理知识点。课本中定理，公式推证的过程就蕴含着重要的方法，而很多考生没有充分暴露思维过程，没有发觉其内在思维的规律就去解题，而希望通过题海战术去"悟"出某些道理，结果是题海没少泡，却总也不见成效，最终只能留在理解的肤浅，仅会机械的模仿，思维水平低的地方。因此我们要侧重基本概念，基本理论的剖析，达到以不变应万变。 2)构建网络----融会贯通在课本函数这章里，有很多重要结论，许多学生由于理解不深入，只靠死记硬背,最后造成记忆不牢，考试时失分。 例如： 若f(x+a)=f(b-x)则f(x)关于对称。如何理解?我们令x1=a+x,x2=b-x,则f(x1)=f(x2),x1+x2=a+b,=常数，即两自变量之和是定值，它们对应的函数值相等，这样就理解了对称的本质。结合解析几何中的中点坐标的横坐标为定值，或用特殊函数，二次函数的图像，记忆这个结论就很简单了，

数学选择题答题技巧方法

数学选择题答题技巧方法 数学选择题答题技巧 一、保持高度自信和旺盛斗志。 在保证充足休息的同时，重点背记认为可能会考的内容，也可以模拟中考考卷进行训练，以增强应考自信心。一定要回归考试说明，回归课本要求，回归近几年的中考试题。考试说明是命题专家编的，通过它找到中等、难题的感觉。近期要特别注意数学基础知识和基本技能;注意近几年中考的主干知识，在最后阶段还要特别注意数学知识网络的梳理和完善，不要做难题、偏题，要把握正确的初中数学学业要求。同时可以再一次检查还有什么公式、定理、概念没有复习或遗忘了。对中考数学“考什么”、“怎样考”有一个全面了解。 二、有选择地做题，从数学思想上进行总结。 现在，已没有必要拿到题就做，可选择三类题认真做。第一类是初看还没有解题思路的;第二类是最近做错的;最 后一类是以前做得比较慢的。做完后，还要从数学思想方法上进行总结，比如它的解法中用到了初中数学中的哪些数学思想?一道题的解法中蕴含的数学思想，往往为这道题的解题思路指明了方向。通过挖掘数学思想，我们就会形成一类问题的解题理念，收到举一反三的效果。 三、充分利用平时坚持使用的“病例卡”。

相当一部分学生存在会做的题做错的现象，特别是基础题。究其原因，有属于知识方面的，也有属于方法方面的。因此，要加强对以往错题的研究，找错误的原因，对易错的知识点进行列举、易误用的方法进行归纳。同学们可几个人一起互提互问，在争论和研讨中矫正，使犯过的错误不再发生，会做的题目不再做错。比如哪些是会做但做错了，哪些是会做做不到底的，要非常清晰地把原因整理出来。曾经犯错误的地方往往是薄弱的地方，仅有当时的订正是不够的，还要适当地进行强化训练。 四、要训练各种考试能力。 有的学生平时成绩很好，但考试时发挥不出来，这个问题可通过加强训练来解决。用与中考试卷结构相同的试卷进行模拟训练，并对每次训练结果进行分析比较，既可发现问题、查漏补缺，又可提高适应考试的能力。要有一个良好的心态，要有正确的战略战术。上了考场后，在接到考卷和允许答题之间，一般会有几分钟的空档，考生应该很快地把题目浏览一遍，找题目最薄弱的环节下手，寻找突破口。首先是认真审题，要一字一句地“读题”，而不是“看题”，读懂题意后再着手解。其次在解题时思想要高度集中。运算时不妨一边计算一边默读，从草稿纸上抄到试卷时也这样做。 慎做容易题，保证全部对;稳做中档题，一分不浪费;巧做较难题，力争得满分。也就是把该拿下的分数全部拿下来。

高中数学解题思想方法技巧：西瓜开门 滚到成功

第2 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范 ［题1］ (2006年赣卷第5题) 对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A. f (0)＋f (2)< 2f (1) B. f (0)＋f (2)≤2 f (1) C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1) D. f (0)＋f (2)>2f (1) ［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目. 其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论. ［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件. (ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件. 综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C. ［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0. ［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. ［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1). 满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0 选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C. ［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3 4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. ［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合 条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1)

高中数学19种答题方法及6种解题思想

高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；