2010高考数学一轮复习讲义—36空间向量及应用

一．【课标要求】

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用

二．【命题走向】

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离

预测2010年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度

三．【要点精讲】

1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

b a AB OA OB

+=+= b a OB OA BA

-=-=

)(R a OP ∈=λλ

加法交换率：.a b b a

+=+

加法结合率：).()(c b a c b a

++=++

数乘分配率：.)(b a b a

λλλ+=+

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，

则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b

。

注意：当我们说a 、b

共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平

行直线；当我们说a

、b

平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠0）、b ，a ∥b

的充要条件是存在实数λ使b ＝λa

注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a ∥b （a ≠0），则有b ＝λa

，其中λ

是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数λ，使b ＝λa （a ≠0），则有a ∥b

（若

用此结论判断a 、b 所在直线平行，还需a （或b ）上有一点不在b （或a

）上）。

⑵对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa

|，当λ>0时与a 同向，当λ<0时与a

反向的所有向量

⑶若直线l ∥a

，l A ∈，P 为l 上任一点，O 为空间任一点，下面根据上述定理来推导OP 的表达式。

推论：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a

的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式

OA OP =a t

+ ①

其中向量a

叫做直线l 的方向向量

在l 上取a AB =，则①式可化为 .)1(OB t OA t OP +-= ②

当21

=

t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(2

1OB OA OP += ③ ①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。

注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

4．向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a

在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。注意：向量a

∥α与直线a ∥α的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量

共面向量定理 如果两个向量a 、b 不共线，则向量p

与向量a 、b 共面的充要条件是

存在实数对x 、y ，使.b y a x p

+=①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使

,MB y MA x MP +=④

或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤

在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。①式叫做平面MAB 的向量表示式

又∵.OM -=.OM -=代入⑤，整理得

.)1(y x y x ++--= ⑥

由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所

以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件

5．空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c

不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x , y , z , 使.c z b y a x p

++=

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量a 、b 、c

不共面，那么所有空间向量所组成的

集合就是{}

R z y x c z b y a x p p ∈++=、、,|

，这个集合可看作由向量a 、b 、c 生成的，所

以我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c

都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基

底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于0

可视为与任意非零向量共线。与

任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0

。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的有序实数组

z y x 、、，使.OC z OB y OA x OP ++=

6．数量积

（1）夹角：已知两个非零向量a 、b ，在空间任取一点O ，作a

=，b OB =，

则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作??b a

，

说明：⑴规定0≤??b a ，≤π,因而??b a

，=??a b ，； ⑵如果??b a ，=2

π，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b

；

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注

意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，

图（3）中∠AOB =??,， 图（4）中∠AOB =-π??,,

从而有??-,=?-?,=-π??,.

（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

A

B

O

（4） A

B

O

（3）

a

b

a

b

A

B

O （1）

O a

b

a

b

A

B

（2）

（3）向量的数量积：??b a b a ,cos 叫做向量a 、b

的数量积，记作b a ?。 即b a ?=??b a b a ,cos ，

向量AB 方向上的正射影在e

:

B A e a AB e a ''=??=?

,cos ||

（4）性质与运算率

⑴??=?e a e a

,cos 。 ⑴()()a b a b λλ?=? ⑵a ⊥b ?b a ?=0 ⑵b a

?=b a ?

⑶2

||.a a a =? ⑶()a b c a b a c ?+=?+?

四．【典例解析】

题型1：空间向量的概念及性质

例1．有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）

()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③

解析：对于①“如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。

点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系

例2．下列命题正确的是（ ）

()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的直线共面；

()C 零向量没有确定的方向；

()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；

解析：A 中向量b 为零向量时要注意，B 中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D 中需保证b 不为零向量

答案C 。 点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 题型2：空间向量的基本运算

A

B

A '

B '

e

l

例3．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，

M 为11C A 与11D B 的交点。若AB a =，AD b =，

1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）

()A 1122a b c -++ ()B 11

22a b c ++

()C 1122

a b c --+ ()D c b a +-21

21

解析：显然=+-=+=111)(2

1

AA AB AD M B BB BM 1122a b c -++； 答案为A 。

点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力

例4．已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a

∥b

,求y x ,的值.

解： a ∥b

,,且,,0a b a λ=∴≠即.42328)1(p n m p y n m x λλλ--=+++

又p n m

,,不共面,.8,13,4

22831=-=∴-=-=+∴

y x y

x 点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。

题型3：空间向量的坐标

例5．（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）

A. a ：|a |=b ：|b |

B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3

C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0

D.存在非零实数k ，使=k

（2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ） A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1 （3）下列各组向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5) B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1) C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1) D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 解析：（1）D ；点拨：由共线向量定线易知；

M

C1

C

B1

D1

A1

B

D

（2）A 点拨：由题知?????=++=++024*******x y x ????-==3,4y x 或???=-=.1,4y x ；

（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得

点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况 例6．已知空间三点A （－2，0，2），B （－1，1，2），C （－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角θ；（2）若向量k +与k －2互相垂直，求k 的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：∵A(－2，0，2)，B （－1，1，2），C(－3，0，4)，a =AB ，b =AC ， ∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）. (1)cos θ520

01?++-=－1010，

∴和的夹角为－1010

。

(2)∵k a +b =k （1，1，0）+（－1，0，2）＝（k －1，k ，2）， k －2=（k+2，k ，－4），且(k +)⊥（k －2），

∴（k －1，k ，2）·（k+2，k ，－4）=(k －1)(k+2)+k 2－8=2k 2+k －10=0。

则k=－25

或k=2。

点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（a +b ）(k a －2b )=k 2a 2－k a ·b －

2b 2=2k 2+k －10=0，解得k=－25

，或k=2。

题型4：数量积

例72009江西卷文）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误．．

的为 A . AC BD ⊥ B . AC ∥截面PQMN

C . AC B

D = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为45

答案：C

【解析】由PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；

异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确； 综上C 是错误的，故选C .