第十九单元 解直角三角形

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第十九单元 解直角三角形

考点一：锐角三角函数的定义

如图，在Rt △ABC 中，A sin A =∠的对边斜边

； A cos A =∠的邻边斜边；A tan A A =∠的对边∠的邻边

考点二：特殊角的三角函数值

考点三：解直角三角形

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 考点四：锐角三角函数的增减性

当角度在0°~90°间变化时，正弦、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

考点五：锐角三角函数之间的关系

（1） 互余角三角函数的关系：sin(90)cos ;cos(90)sin a a a a -=-= 。

（2） 同角三角函数的关系：22sin sin cos 1;tan cos ααααα

+==。 考点六：直角三角形的边角关系

在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c 。

（1） 三边之间的关系：222a b c +=（勾股定理）

（2） 锐角之间的关系：∠A+∠B=90°

（3） 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b

=； sin b B c =，cos a B c =，tan b B a

=。 （4） 两锐角的三角函数之间的关系：sin cos ,cos sin A B A B ==。

考点七：解直角三角形应用问题的相关概念

（1） 仰角、俯角：如图，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在

水平线上的叫仰角，在水平线下方的叫俯角。

（2） 坡度（坡比）、坡角：如图，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫

2 坡度（或坡比），即tan h i a l

==，坡面与水平线的夹角a 叫坡角。 （3） 方向角：指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫做方向角。如图，

OA 是表示北偏东60°方向的一条射线。

中考题型练习

1（2010

泰安模拟）计算：0452005)3

-+

2（2008泰安中考）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）

A ．247 B

C ．724

D ．13

3（2010宿迁中考）如图，在Rt △ABC 中，?=∠90C ，AM 是BC 边上的中线，

53sin =

∠CAM ，则B ∠tan 的值为_______．

第2题图 第3题图

4（2010天津中考）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的点，AD BE =，

AE 与CD 交于点F ，AG

CD ⊥于点G ， 则

AG AF

的值为 5（2010宿迁中考）小明沿着坡度为2:1的山坡向上走了m 1000，则他升高了（ ） A ．m 5200 B ．m 500 C ．m 3500 D ．m 1000

6（2010黄冈中考）如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长。

7（2010杭州中考）如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处。(1) 说明本次台风会影响B 市；

（2）求这次台风影响B 市的时间。

6 8

C E A B

D B C A 第4题图 C A F B

E G

解直角三角形-单元测试题(基础题)--含答案

解直角三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（） A.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A． B． C． D． 5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上 的一点，则cos∠APB的值是（） A．45° B．1 C． D．无法确定 6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AC′B′，则tanB′的值为（） A． B． C． D． 7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那 么△AEF和△ABC的周长比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 8、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大 树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高 度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( ) A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处， 测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向 上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里

著名机构初中数学培优讲义中考复习.解直角三角形.第11讲(通用讲).教师版

内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问 题。 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、 正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 模块一、勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 C A B c b a 2．勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： 知识点睛 中考要求 解直角三角形

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222 在中如果那么是直角三角形。 ABC AC BC AB ABC ?+=? ,, 4．勾股数： 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17。 模块二、解直角三角形 一、解直角三角形的概念 根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：

(完整版)解直角三角形单元测试题

解直角三角形单元测试题 班级__________姓名__________ 分数__________ 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5 sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3 sin = a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4 sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题3分，共15分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) (12题) （13题） A ．54sin =a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4 cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( ) A ．54 B ．43 C ．34 D ．5 3 14．△ABC 中，∠C ＝90°，且a ≠b ，则下列式子中，不能表示△ABC 面积的是 ( ) A ．ab 21 B ．B ac sin 21 C ．A b tan 212 D ．B A c cos sin 2 1 2? 15．如图，钓鱼竿AC 长6m ，露在水面上的鱼线BC 长23m ，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 转动到C A '的位置，此时露在水面上的鱼线C B ''为33，则鱼竿转过的角度是 ( ) A ．60° B ．45° C ．15° D ．90° 三、解答题(共75分) 16．计算（每题5分，共10分） (1)2cos30°+cot60°-2tan45°·tan60°

浙教版2020学年《解直角三角形》培优提升特训(Word版无答案)

解直角三角形同步复习与提升 一、选择题 1. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4,3），则cos α的值是（ ) A. 34 B.43 C.35 D.45 2. 如图，△ABC 内接于半径为5的⊙O 中，圆心O 到弦BC 的距离为3，则∠A 的正切值为（ ） A. 35 B.45 C.34 D.43 3. 已知抛物线y=-x 2-2x+3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为点C ，连接AC ，则tan ∠CAB 的值为（ ） A.12 B.55 C.25 5 D.2 4.如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=（ ） A.34 B.43 C.35 D.45 5.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=1 5 ，则AD 等于（ ） A. 2 B.2 C.1 D.2 2 6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=3 5 ，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A.12 B.2 C.52 D.55

7.如图，在△ABC 中，若∠B=30°，sinC=3 5 ，AC=10，则AB=( ) A.12 B.14 C.1 6 D.20

8. 如图，△ACB 中，∠ACB=RT ∠，已知∠B=α，∠ADC=β，AB=a ，则BD 的长可以表示（ ） A. a·（cosα-cosβ） B.a tanβ-tanα C.acosa -a ·sinαtanβ D.a ·cos α-asin α·a ·tan β 9. 因为cos60°=12 ，cos240°=- 1 2 ，所以cos240°=cos(180°+60°)=- cos60°；由此猜 想、推理：当α为锐角时有cos （180°+α）= - cosα，由此可知：cos210°=（ ） A. -12 B.- 22 C..- 3 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，AB=35，连结AB 并延长至C ，连结OC ，若满足OC 2=BC ·AC ，tanα=2，则点C 的坐标为（ ） A. (-2,4) B.(-3,6) C.(-53，103 ) D.（- 263，283 ） 二、填空题 11. 在△ABC 中，若|sinA-3 2 |+|cosB - 12 |=0，则∠C= ° 12. 若3tan(α+10°)=1，则锐角α= ° 13. 如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B=40，∠E=140°，AB=EF=5，BC=DE=8，则两个三角形面积的大小关系为：S △ABC S △DEF .（填“＞”，或“=”，“＜”） 14. 已知：实常数a ，b ，c ，d 同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ-c=0；①acosθ-bsinθ+d=0(其中θ为任意角)，则a 、b 、c 、d 之间的关系式是： 15. 如图 ，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，∠AEC=45°，若AC=2，tan ∠ACB=34，则AB 的长为 .

(人教版初中数学)解直角三角形题目

姓名： 学号： 成绩： 敬业中学初三上期单元检测题（二） （解直角三角形 A 卷） 满分：100分；考试时间：90分钟 一、填空题：（每空1分,共20分） 1、旗杆的上一段BC 被风吹断,顶端着地与地面成300角,顶端着地处B 与旗杆底端相距4米,则原旗杆高为_________米. 2、在Rt △ABC 中,∠ACB ＝900,CD ⊥AB 于D,BC ＝7,BD ＝5,则sinB ＝ ,cosA ＝ ,sinA ＝ ,tanA ＝ ,cotA ＝ . 3、在△ABC 中,∠ACB ＝900,CD ⊥AB 于D,若AC ＝4,BD ＝5 9 ,则sinA ＝ ,tanB ＝ . 4、若α为锐角,cot α＝ 21 ,则sin α＝ ,cos α＝ . 5、查正弦表得8474sin 0'＝0.9650,则2115cos 0'＝ ；若2'对应的修正值为0.0002,则0115cos 0 '＝ ；若3'对应的修 正值为0.0004,且cosA ＝0.9646,则A ＝ . 6、计算：（1）0 2 2 56cos 34cos 1--＝ ； （2）0 69sin 21cos 69cos 21sin +＝ . 7、计算：30 031 0)30cot 3 1()30tan 3(?＝ . 8、当x ＝ 时,x x x x cos sin cos sin -+无意义.（00＜x ＜900） 9、在△ABC 中,∠C ＝900,若sinA ＞cosA,则∠A 的取值范围是 . 10、已知△ABC 中,AB ＝24,∠B ＝450,∠C ＝600,AH ⊥BC 于H,则AH ＝ ；CH ＝ . 二、选择题：（每小题2分,共20分） 11、已知cotA ＝3,求锐角A （ ） A 、320 B 、300 C 、600 D 、500 12、在Rt △ABC 中,如果一条直角边和斜边的长度都缩小至原来的5 1 ,那么锐角A 的各个三角函数值（ ） A 、都缩小 5 1 B 、都不变 C 、都扩大5倍 D 、无法确定 13、若α是锐角,且054sin cos 0 =-α,则α为（ ） A 、540 B 、360 C 、300 D 、600 14、在△ABC 中,∠C ＝900,CD 是AB 边上的高,则CD ∶CB 等于（ ） A 、sinA B 、cosA C 、tanA D 、cotA 15、在△ABC 中,∠C ＝900,CD ⊥AB 于D,∠ACD ＝α,若tan α＝2 3 ,则sinB ＝（ ） A 、553 B 、552 C 、13133 D 、13132 16、A 、B 、C 是△ABC 的三个内角,则2sin B A +等于（ ） A 、2 cos C B 、2sin C C 、C cos D 、2cos B A + 17、若00＜∠A ＜900,且5)90cot(0 =-A ,则A cot 的值为（ ） A 、5 B 、51 C 、34 D 、4 3 18、化简250tan 50cot 0202-+的结果是（ ） A 、0050tan 50cot - B 、0050cot 50tan - C 、250tan 50cot 0 0-- D 、0 050cot 50tan + 19、在Rt △ABC 中,∠C ＝900,3 2 cos =B ,则a ∶b ∶c 为（ ）A 、2∶5∶3 B 、2∶5∶3 C 、2∶3∶13 D 、1∶2∶3 20、在△ABC 中,若AB ＝AC,则sinB 等于（ ） A 、2sin A B 、2 cos A C 、A sin D 、A cos 三、计算下列各题：（每小题5分,共10分） 21、 00 00245tan 45cos 230cos 60tan 45sin +?+ 22、1000100 00 202)25tan 2() 65tan 2 1 (30cot 230tan ?-+- 四、解答下列各题：（每小题8分,共40分） 23、已知如图：AB ∥DC,∠D ＝900,BC ＝10,AB ＝4,C tan ＝ 3 1 ,求梯形ABCD 的面积. D C B A

青岛版八年级数学下册第九章解直角三角形单元测试题B卷

青岛版八年级数学下册第九章单元测试题B 卷 一选择题30 1.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦 （ ） （A ） 都扩大2倍 （B ） 都扩大4倍 （C ） 没有变化 （D ） 都缩小一半 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA= 5 4 ，则cosB 的值等于（ ） A ．5 3 B. 5 4 C. 4 3 D. 5 5 3.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B 的值为（ ） A ． 12 B C D 4.河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ． B ．10米 C ．15米 D ． 5.等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ） 600 （B ） 900 （C ） 1200 （D ） 1500 6.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中( ) A 、甲的最高 B 、丙的最高 C 、 乙的最低 D 、丙的最低 7..如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60O 方向，这艘渔船以28km/时的速度

向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15O 方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ） Ａ．km 27 Ｂ．km 214 Ｃ．km 7 Ｄ．km 14 8.在Rt ?ABC 中，∠C=90o，∠A=15o，AB 的垂直平分线与AC 相交于M 点，则CM ：MB 等于（ ） （A ）2：3 （B ）3：2 （C ）3：1 （D ）1：3 9.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为 A ．12秒． B ． 16秒． C ．20秒． D ．24秒． 10. 等腰直角三角形斜边为10，则它的直角边为（ ）． A ． ． ． ． 二填空题 28分 04sin 45(3)4?+-π+-= 12.在△ABC 中，∠A=30o，tan B= 1 3 ， AB 的长为 . 13.锐角A 满足2 sin(A-150 则∠A= . 14.已知tan B=3，则sin 2 B = . 15.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为 . 16.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为______米（保留根号）． ６０Ｏ Ａ Ｂ Ｍ 东

华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习培优测试卷A卷(附答案详解)

华师大版2020九年级数学上册第24章解直角三角形自主学习培优测试卷A 卷（附答案详解） 1．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是( ) A ．12 B ．1 C ．55 D ．255 2． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝10，sinA ＝ 35，则斜边上的高等于（ ） A ．5 B ．4.8 C ．4.6 D ．4 3．如图，在Rt ABC ?中，90C =∠， 如果5AC =，13AB =，那么cos A 的值为（ ） A ．513 B ．1213 C ．125 D ．512 4．如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测得∠BCD=60°，又测得 AC=60米，则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ） A ．30 米 B ．30 米 C ．40 米 D ．（30+ ）米 5．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60° 6．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知,,AB m BAC a =∠=∠则下列结论错．误． 的是（ ） A ．BDC α∠=∠ B ．tan B C m a =? C ．2sin m AO α= D ．cos m BD a = 7．如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，与∠1互余的角有（ ）

A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°．若AB＝3，BC＝2，则sin A的值为（） A．2 3 B． 5 3 C． 25 5 D．5 2 9．计算式子：﹣32+6cos45°﹣8+|2﹣3|的结果为（） A．﹣6+62B．﹣12 C．﹣12﹣2D．﹣6 10．小刚在距某电信塔10 m的地面上(人和塔底在同一水平面上)，测得塔顶的仰角是60°，则塔高（） A．10m B．5m C．10m D．20 m 11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是_____． 12．在△ABC中，若|cos A 1 2 -|＋(1－tan B)2＝0，则△ABC的形状是________________． 13．如图，直线OA与x轴的夹角为α，与双曲线 2 y x =(x>0)交于点A(1，m)，则tana 的值为________. 14．如图，点、、为正方形网格纸中的3个格点，则的值是________. 15．如图①，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若直角三角形一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”设AB＝a，则图中阴影部分面积为_____(用含a的代数式表示)

沪科版九年级数学上册第23章 解直角三角形 整合【新版】

解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算． 巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值． 巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值． 巧用折叠法求67.5°角的三角函数值 3．小明在学习“锐角的三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，然后还原，求67.5°角的正切值．

(第3题) 巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值 4．求sin 18°，cos 72°的值． 巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．

解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题 名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角学的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛． 利用三角函数解与函数的综合问题 1．如图，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，tan ∠OCB ＝1 2. (1)求点B 的坐标和k 的值； (2)若点A(x ，y)是第一象限内的直线y ＝kx －1上的一个动点，在点A 的运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数表达式． (第1题) 2．如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝3 2. (1)求k 的值； (2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数表达式； (3)若直线AE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的大小关系，写出你的结论，并说明理由．

九年级数学-解直角三角形 单元检测试卷(含答案)

解直角三角形 单元检测试卷 一、单选题（共10题；共30分） 1.在△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=4,则sinA 的值是（ ） A. 34 B. 35 C. 45 D. 43 2.一个三角形的两边长分别是3和7,且第三边长为整数,这样的三角形周长最大的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 18 D. 19 3.为测量某河的宽度,小军在河对岸选定一个目标点A,再在他所在的这一侧选点B,C,D,使得AB ⊥BC,CD ⊥BC,然后找出AD 与BC 的交点E ．如图所示,若测得BE=90m,EC=45m,CD=60m,则这条河的宽AB 等于（ ） A. 120m B. 67.5m C. 40m D. 30m 4.等腰三角形的周长为20cm,腰长为x cm,底边长为y cm,则底边长与腰长之间的函数关系式为（ ） A. y=20﹣x （0＜x ＜10） B. y=20﹣x （10＜x ＜20） C. y=20﹣2x （10＜x ＜20） D. y=20﹣2x （5＜x ＜10） 5.一段拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB 的坡度为i=1：√3 , 坝高BC=6m,则坡面AB 的长度（ ） A. 12m B. 18m C. 6√3 D. 12√3 6.汶川地震后,抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险,飞机在距地面450米上空的P 点,测得A 村的俯角为30°,B 村的俯角为60°（如图）则A,B 两个村庄间的距离是（ ）米． A. 300 B. 900 C. 300 √2 D. 300 √3 7.如图,小明晚上由路灯A 下的点B 处走到点C 处时,测得自身影子CD 的长为1米,他继续往前走3米到达点E 处（即CE=3米）,测得自己影子EF 的长为2米,已知小明的身高是1.5米,

相似三角形及解直角三角形测试题

解直角三角形复习练习4 九年级数学培优试题 2．如图，△ABC中，AB＝12，AC＝15，为AB上一点，且，在AC上取一点，使以A、D、E 为顶点的三角形和△ABC相似，则AE等于 ( ) A． B．10 C．或10 D．以上答案都不对 3、（2013o宿迁）如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（） A． B． C． D． （第3题图） 4.（2009泰安图18）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为。 A．6 B．3 C．4 D．5 6．（2013o连云港）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosA的值为（） A． B． C． D． 7．（2013o荆门）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE= ． （第7题图） 9. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的，那么点B′的坐标是( ) A．(3,2) B．(－2，－3) C．(2,3)或(－2，－3) D．(3,2)或(－3，－2) 二、填空题。 10.、如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD 交于G，若AE=4，EG=3，则EF= 。

11．（2013o十堰）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米． 12．（2013o荆州）如图，在高度是21米的小山A处没得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为何45°，则这个建筑物的高度CD= 米（结果可保留根号） 14．（2014?云南昆明，）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E 处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 cm 15、如图，已知是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=，BC=1，则BF=__________。 16.求值： +2sin30°－tan60°＋cot450 17. 计算： 18. 计算： 19. 计算： + 20、如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）． 21、已知：如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交CD于点F，交BC的延长线于点G，连结EC。（1）求证：△ECF∽△EGC；（2）若EF＝，FG＝，求AE的长。 23．（2014年山东泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=； （2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点， 求证：四边形ABFD是菱形．

九年级数学上册第23章解直角三角形专题训练新版沪科版

解直角三角形专题训练 1．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF ．（参考数据：64.040sin ≈?，77.040cos ≈?，84.040tan ≈?，结果精确到0.1m．）在Rt△CDF 中，CD ＝5.4，∠DCF ＝40o ， ∴DF ＝CD ·sin40o ≈5.4×0.64≈3.46．在Rt△ADE 中，AD ＝2.2，∠ADE ＝∠DCF ＝40o ， ∴DE ＝AD ·cos40o ≈2.2×0.77≈1.69．∴EF ＝DF ＋DE ≈5.15≈5.2（m）．即车位所占街道的宽度为5.2m． 2．小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据： 第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB 的长度为9cm ； 第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC 为80°(O 为AB 的中点)．请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC 的长．(参考数据：sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，结果精确到0.1cm ．)3．如图，点A 、B 为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所成的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E .DE =15cm,AD =14cm.求半径OA 的长.(精确到0.1cm)【参考数据：sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36】 解：在Rt △ODE 中，DE =15，∠ODE =67°. ∵cos∠ODE = . ∴OD ≈≈38.46(cm) (4分)A B C O 670 D E O C B A

解直角三角形单元测试题

解直角三角形 单元测试 (时间：100分钟 满分：150分) 一、填空题(每题3分，共30分) 1．若直角三角形两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长为________. 2．若等腰直角三角形的一边长是2，则它的面积为___________. 3．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，则sinA ＝_____________. 4．在△ABC 中，∠C ＝90°，13 5sin =B ，则cosB ＝___________. 5．若2 3sin =a ，则锐角a ＝__________度. 6．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，220,20==c a ，则∠B ＝_________度． 7．△ABC 中，∠C ＝90°，10,5 4sin == AB A ，则AC ＝_________. 8．在离大楼15m 的地面上看大楼顶部仰角为65°，则大楼高约__________m(精确到lm)． 9．在电线杆离地面8m 的地方向地面拉一条缆绳以固定电线杆，如果缆绳与地面成 60°角，那么需要缆绳__________m(忽略打结部分)． 10．一个斜坡的坡度是1：3，高度是4m ，则他从坡底到坡顶部所走的路程大约是___________m(精确到0.1m)． 二、选择题(每题4分，共20分) 11．直角三角形的两条边长分别为3、4，则第三条边长为 ( ) A ．5 B ．7 C ．7 D ．5或7 12．如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝a ，则下列结论正确的是 ( ) A ．54sin = a B ．53cos =a C ．34tan =a D ．3 4cot =a 13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD ＝a ，则cos a 的值为 ( )

解直角三角形(培优)

解直角三角形 1．(2015·湖南省衡阳市,第1２题3分）如图,为了测得电视塔的高度AB，在Ｄ处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔?? 顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进1０0米到达Ｆ处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位:米）为( ）.?? ? A． B.51 C.D．１01 2．（2０15?浙江滨州，第12题3分）如图,在x轴的上方,直角∠ＢOA绕原点Ｏ按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数、的图象交于Ｂ、A两点,则∠OＡB大小的变化趋势为( ）?? A.逐渐变小? B.逐渐变大 C.时大时小? D.保持不变 3．如图，要在宽为2２米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC 成120°角,路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DＯ与灯臂CＤ垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BＣ高度应该设计为( ）? ? (3题) (4题) A．（11﹣2)米Ｂ.(11﹣2）米 C.(1１﹣２)米?D．（1１﹣4)米

4．（2０1５?山东日照 ,第１0题4分)如图,在直角?ＢAD 中,延长斜边BD 到点Ｃ，使ＤC ＝ＢD ，连接A Ｃ,若tanB =，则t ａｎ?CA Ｄ的值（ ）??? A.? Ｂ.? C ．??D ． 5.湖南路大桥于今年５月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度,在距桥塔ＡB 底部50米的Ｃ处,测得桥塔顶部Ａ的仰角为41．5°(如图).已知测量仪器CD 的高度为1米,则桥塔AB 的高度约为（ ） ?? (6题) Ａ.３4米?B.?38米?C ． 45米?D ．?5０米 6.如图，斜面ＡＣ的坡度（ＣD 与ＡD 的比)为１：２，A Ｃ＝米,坡顶有一旗杆BC ,旗杆 顶端B 点与A 点有一条彩带相连,若AB ＝10米，则旗杆ＢC 的高度为( ) ?? A ．５米 Ｂ.６米 C . ８米 D . 米? 二.填空题? 1. 如图，菱形ABCD 的边长为15，si ｎ?BAC =,则对角线AC 的长为 . ? (１题） (2题) (3题） （5题)

第23章：解直角三角形知识点强化记忆

第23章 解直角三角形知识点强化记忆 知识点1：正弦、余弦、正切、余切的概念 （1）锐角∠A 、∠B （∠A+∠B=90°）的三角函数： 取值范围 全称 简写 锐角∠A 的正弦斜边的对边 A 0＜sinA ＜1 sine sin 锐角∠A 的余弦cosA= 斜边的邻边 A ∠=sin B 0＜cosA ＜1 cosine cos 锐角∠A 的正切tanA= 的邻边 的对边 A A ∠∠=cot B tanA ＞0 tangent tan (或tg) 锐角∠A 的余切cotA= 的对边 的邻边 A A ∠∠=tan B cotA ＞0 cotangent cot (或 ctg 、ctn) 注：对于锐角∠A 的每一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。 （１）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义； （２）ｓｉｎＡ不是ｓｉｎ与Ａ的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。 “ｓｉｎＡ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的； （３）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。 知识点2：同角三角函数的关系： （1） 平方关系： sin 2A+cos 2A =1 （2） 商数关系： tanA= A A cos sin ，cotA=A A sin cos （3） 倒数关系： tanA =A cot 1 ，tanA · cotA=1 tanA · tanB=1 cotA ·cotB=1（∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°） 注：同一锐角的正弦和余弦的平方和等于１， 同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。 同一锐角的正切与余切的积为１，互为倒数；互余两角正切值的积为1；互余两角余切值的积为1 （１）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形， 如：sin A ，cos A = 因为∠A 为锐角，所以0＜sinA ＜1,0＜cosA ＜1 所以其中的负值舍去 （２）ｓｉｎ2 α是（ｓｉｎα）2 的简写，读作“ｓｉｎα”的平方；不能将ｓｉｎ2 α写成 ｓｉｎα2 ，前者是α的正弦值的平方，后者表示α2 的正弦值。 图19.3.1

解直角三角形单元测试题含答案

解直角三角形 单元测试题 BC CA AB 满足 BC:CA:AB=5:12:13，贝U si nA 的值是（ B. sinA 三，则（ ° < A v 90° C. ） ° v AW 30° D. °W AW 90° 3、在 Rt △ ABC 中，/ C=90°,Z B=60°,那么 sinA+cosB 的值为（ ） B. C. D. 4、 已知在 Rt △ ABC 中，/ C=90°, sinA=，贝U tanB 的值为( ) A . B . C . D 5、 如图，点A 、B 、O 是正方形网格上的三个格点，O O 的半径为OA 点P 是优弧上的一点，则 的值是( ) A . 45° B . 1 C . D .无法确定 6、如图，A 、B C 三点在正方形网格线的交点处， 若将△ ABC 绕着点A 逆时针旋转得到厶 AC B',则tanB ' 8、 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度 .她站在B 处仰望树顶，测得仰角为30° ,再往大树的方向前进 4 m 测得仰角为60 ° .已知小敏同学身高(AB)为m,则这棵树的高度约为(结果精确到m, ~( ) A . m B . m C . m D . m 9、 如图，有一轮船在 A 处测得南偏东30°方向上有一小岛 P ,轮船沿正南方向航行至 B 处，测得小岛P 在南偏东45°方向上，按原方向再航行 10海里至C 处，测得小岛P 在正东方向上，则 A , B 之间的距离是 ( ) A . 10 海里 B . (10 — 10)海里 C . 10 海里 D . (10 — 10)海里 10、 如图，在△ ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC 点D 为边AC 的中点，DE 丄BC 于点E ,连接BD,贝U tan / DBC 的值为( ) A. B. — 1 C . 2— D. 11、 如图是拦水坝的横断面，斜坡 AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1: 2，则斜坡AB 的长为() 米 米 米 D . 24米 12、 如图，在高度是 90米的小山A 处测得建筑物 CD 顶部C 处的仰角为30°,底部D 处的俯角为45 ° , 则这个建 筑物的高度。。是( )(结果可以保留根号) A . 30 (3+)米 B . 45 (2+)米 C. 30 (1+3)米 D . 45 (1+)米 二、填空题： 13、 求值：sin60 ° ?tan30 ° = _________ . 14、 如图，/ 1的正切值等于 ______________ . 15、 如图，在菱形 ABCD 中, DE 丄 AB,, BE=2,则 ___________ . 16、 如图，一人乘雪橇沿坡比 1:的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为 ____________________ 米. 、选择 题: 1、在厶 ABC 中，若三边 A. 2、已知/ A 为锐角，且 ° < AW 60° cos / APB 的值为( ) A . B . C . 7、如图，已知在厶 ABC 中, cosA=, BE 、CF 分别是 比为( ) A . 1: 2 B . .1 : 3 C . D . AG AB 边上的高，联结 EF,那么△ AEF 和厶ABC 的周长 4 D . 1: 9

数学 锐角三角函数的专项 培优练习题及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆， 圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是 E 的切线； （2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ： ①当1 an 7 t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求 BG CF 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ?? ??? ，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】 【分析】 （1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ??，得1 2 BG CF ≤，从而得解. 【详解】 （1）证明：连接DE ，则： ∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵ EB ED = ∴EBD EDB ∠=∠

∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即：EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为 E 的切线. （2）①如图1，当F 位于AB 上时： ∵1~ANF ABC ?? ∴ 11 NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：10 31 x = ∴150531AF x == 15043 33131 OF =-= 即143,031F ?? ??? 如图2，当F 位于BA 的延长线上时： ∵2~AMF ABC ?? ∴设3AM x =，则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241 tan 1037 F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25 x =

冀教版九年级数学上册_第26章_解直角三角形_单元检测试卷

冀教版九年级数学上册_第26章_解直角三角形_单元检测试 卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在Rt ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和正切值（ ） A ．都缩小 12 B ．都扩大2倍 C ．都没有变化 D ．不能确定 2．sin60°=（ ） A ． 1 2 B ． 2 C ．1 D 3．已知α、β都是锐角，且sin αsin β<，则下列关系中，正确的是（ ） A ．αβ> B ．tan αtan β> C ．cos αcos β> D ．αβ= 4．如果α是锐角，则下列成立的是（ ） A ．sin αcos α1+= B ．sin αcos α1+> C ．sin αcos α1 +< D ．sin αcos α1+≤ 5．如图，在△ABC 中，cos B ＝ 2 ，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( ) A ． 21 2 B ．12 C ．14 D ．21 6．如图，P 是α∠的边OA 上一点，且点P 的坐标为()3,4，则cos α(= ) A ． 35 B ． 45 C ． 34 D ． 43 7．小明()M 和小丽()N 两人一前一后放风筝，结果风筝在空中E 处纠缠在一起（如示意图）．若ENF 45∠=，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，

∠的正切值是（） 则M A．2B．2C1D1 8．温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在 温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中 心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（） A．5 B．6 C．8 D．10 9．一人乘雪橇沿坡度为1S（米）与时间t（秒）之间的 关系为S=10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（） A．72米B．36米C．D．米10．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（） A．B．61C．1D．121 二、填空题 11．求值：22 +=________． sin60cos60 12．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得北偏东68.7反向有小岛C，继续前进