第七节 函数的图象

第七节函数的图象

会运用函数图象理解和研究函数的性质.

1.描点法作图

方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、周期性、单调性、最值,甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.

2.图象变换

(1)平移变换:

(2)伸缩变换:

y=f(x)y=⑤f(ωx);

y=f(x)y=⑥Af(x).

(3)对称变换:

y=f(x)y=⑦-f(x);

y=f(x)y=⑧f(-x);

y=f(x)y=⑨-f(-x).

(4)翻折变换:

y=f(x)y

=⑩f(|x|);

y=f(x)y=|f(x)|.

函数图象对称变换的相关结论

(1)y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象.

(2)y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象.

(3)y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象.

(4)y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).

(1)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y=f(-x-1)的图象.()

(2)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.()

(3)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()

(4)函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称.()

(5)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.()

答案(1)?(2)√(3)√(4)√(5)?

2.函数y=x|x|的图象大致是()

答案A

3.(教材习题改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是()

A.y=f(|x|)

B.y=|f(x)|

C.y=f(-|x|)

D.y=-f(-|x|)

答案 C

4.如图,四个容器的高度都相同,将水从容器顶部的一个孔以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系,其中不正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4 答案 A

5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f(x)=( ) A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1 答案 D

6.(2018课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)=

e x -e -x x 2

的图象大致为( )

答案 B

作函数的图象

典例1 作出下列函数的图象. (1)y=2-x

x+1; (2)y=(12)

|x+1|;

(3)y=|log 2x-1|; (4)y=x 2-2|x|-1.

解析 (1)易知函数的定义域为{x ∈R|x ≠-1}.y=2-x

x+1=-1+3

x+1,因此由y=3

x 的图象向左平移1个单位长度,向下平移1个单位长度即可得到函数y=2-x x+1的图象,如图①所示.

(2)先作出y=(12)x

,x ∈[0,+∞)的图象,然后作其关于y 轴对称的图象,再将整个图象向左平移1个单位长度,即得到y=(12)

|x+1|

的图象,如图②所示.

(3)先作出y=log 2x 的图象,再将图象向下平移1个单位长度,保留x 轴上方的部分,将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方来,即得到y=|log 2x-1|的图象,如图③所示.

(4)y={x 2-2x -1(x ≥0),x 2+2x -1(x <0)

的图象如图④.

规律总结

函数图象的三种画法

1.直接法:当函数解析式(或变形式后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.

2.转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象.

3.图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,可利用图象变换作出.

?提醒 (1)画函数的图象时一定要注意定义域.

(2)利用图象变换法时要注意变换的顺序,对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 1-1 分别画出下列函数的图象.

(1)y=|lg x|;(2)y=2x+2;(3)y=x+2

x -1. 解析 (1)y={

lgx(x ≥1),

-lgx(0

的图象如图①.

(2)将y=2x 的图象向左平移2个单位长度即可得到y=2x+2的图象,如图②.

(3)y=x+2

x -1=1+3

x -1,先作出y=3x 的图象,再将其图象向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度,即得到y=x+2

x -1的图象,如图③.

图③

函数图象的识辨

命题方向一 根据函数解析式识辨函数图象

典例2 (1)函数f(x)=sinx+x

cosx+x 2在[-π,π]上的图象大致为( )

(2)在同一平面直角坐标系中,函数y=1

a x ,y=log a(x+1

2

)(a>0,且a≠1)的图象可能是()

答案(1)D(2)D

解析(1)由f(-x)=sin(-x)+(-x)

cos(-x)+(-x)2=-sinx-x

cosx+x2

=-f(x),且定义域关于原点对称,得f(x)是奇函数,其

图象关于原点对称.又f(π

2)=1+

π

2

(π

2

)

2

=4+2π

π2

>1,f(π)=π

-1+π2

>0,所以应为D选项中的图象.故选D.

命题方向二根据函数图象识辨函数解析式

典例3(1)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()

A.f(x)=ln|x|

x B.f(x)=e

x

x

C.f(x)=1

x2-1D.f(x)=x-1

x

(2)(2018河南洛阳第一次统考)已知f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的大致图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的大致图象是()

答案(1)A(2)A

解析(1)由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B,C.若函数为f(x)=x-1

x

,则x→+∞时, f(x)→+∞,排除D,故选A.

(2)由函数f(x)的大致图象可知3

命题方向三根据实际背景、图形判断函数图象

典例4(2018四川绵阳模拟)如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1≤x≤3),线段MN的两个端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为()

答案D

解析由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为1

2

的扇形.

因为矩形ABCD的周长为8,AB=x,则AD=8-2x

2=4-x,所以y=x(4-x)-π

4

=-(x-2)2+4-π

4

(1≤x≤3),

显然该函数的图象是二次函数图象的一部分,且当x=2时,y=4-π

4

∈(3,4).故选D.

规律总结

函数图象的识辨可从以下方面入手

1.由函数的定义域判断图象的左右位置;由函数的值域判断图象的上下位置;

2.由函数的单调性判断图象的变化趋势;

3.由函数的奇偶性判断图象的对称性;

4.由函数的周期性判断图象的循环往复;

5.由特殊点排除不符合要求的图象.

2-1(1)函数y=2x 3

2+2

在[-6,6]上的图象大致为()

(2)如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB交AB 于点E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,l 左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是()

答案(1)B(2)C

解析(1)设y=f(x)=2x 3

2x+2-x ,则f(-x)=2(-x)

3

2-x+2x

=-2x

3

2x+2-x

=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点

对称,排除选项C.又f(4)=2×43

24+2-4>0,排除选项D,f(6)=2×6

3

26+2-6

≈7,排除选项A,故选B.

函数图象的变换及应用

命题方向一研究函数的性质

典例5(1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()

A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞)

B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1)

C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1)

D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)

(2)已知函数f(x)=|x|(x-a),a>0.

(i)作出函数f(x)的图象;

(ii)写出函数f(x)的单调区间;

(iii)当x∈[0,1]时,由图象写出f(x)的最小值.

答案(1)C

解析(1)f(x)={x2-2x,x≥0,

-x2-2x,x<0,

画出函数f(x)的图象,如图,

观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且递减区间是(-1,1).

(2)(i)f(x)={x(x-a),x≥0,

-x(x-a),x<0,其图象如图所示.

(ii)由图象知,f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(a

2,+∞);单调递减区间是(0,a

2

).

(3)由图象知,当a

2

>1,即a>2时,

f(x)min=f(1)=1-a;当0

2≤1,即0

2

)=-a2

4

.

综上,f(x)min={-a2

4

,0

1-a,a>2.

命题方向二解不等式

典例6已知奇函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,若f(-2)=0,则xf(x)<0的解集为()

A.(-2,0)∪(0,2)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-1,0)∪(2,+∞)

D.(-∞,-2)∪(0,2)

答案B

解析由题意得函数f(x)的大致图象如下,

因为xf(x)<0,所以函数f(x)的图象应在第二、四象限,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞),故选B.

命题方向三求参数的取值范围

典例7已知函数f(x)={e x,x≤0,

lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是

()

A.[-1,0)

B.[0,+∞)

C.[-1,+∞)

D.[1,+∞)

答案C

解析令h(x)=-x-a,

则g(x)=f(x)-h(x).

在同一平面直角坐标系中画出y=f(x),y=h(x)的大致图象,如图所示.

若y=g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a过点(0,1)时,两图象有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.

当直线y=-x-a在直线y=-x+1上方,即a<-1时,两图象仅有1个交点,不符合题意.

当直线y=-x-a在直线y=-x+1下方,即a>-1时,两图象有2个交点,符合题意.

综上,a的取值范围是[-1,+∞).故选C.

规律总结

利用函数图象的直观性求解相关问题,关键在于准确作出函数图象,根据函数解析式的特征和图象的直观性先确定函数的相关性质,特别是函数图象的对称性,然后解决相关问题. 3-1 已知函数f(x)为R 上的偶函数,当x ≥0时, f(x)单调递减,若f(2a)>f(1-a),则a 的取值范围是( )

A.(-∞,1

3)

B.(-1

3

,1)

C.(-1,1

3) D.(-1

3,+∞)

答案 C

3-2 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是 .

答案 (1

2,1) 解析 f(x)={

x -1,x ≥2,

3-x,x <2.

作出y=f(x)的图象,如图,

其中A(2,1),则k OA =1

2.

要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点,由图可知,1

2

A 组 基础题组

1.函数y=1-1

x-1

的图象是()

答案B

2.图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图象是()

答案B

3.为了得到函数y=ln x+1

e2

的图象,只需把函数y=ln x的图象上所有的点()

A.向左平移1个单位长度再向下平移e2个单位长度

B.向左平移1个单位长度再向下平移2个单位长度

C.向右平移1个单位长度再向下平移2个单位长度

D.向右平移1个单位长度再向下平移e2个单位长度

答案B

4.定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时,f(x)=2x-4.若关于x的方程f(x)=k恰有两个实根,则k的取值范围是()

A.(-3,0)∪(0,3)

B.[-3,0)∪(0,3]

C.(-3,3)

D.[-3,3]

答案A由定义在R上的奇函数f(x)满足当x>0时,f(x)=2x-4,

可得f(x)={2x-4,x>0,

0,x=0,

4-2-x,x<0,

作出函数f(x)的图象,如图所示,

由图象可得,当k∈(-3,0)∪(0,3)时,直线y=k与y=f(x)的图象有两个交点,

即当k∈(-3,0)∪(0,3)时,方程f(x)=k恰有两个实根,故选A.

5.下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是()

A.y=ln(1-x)

B.y=ln(2-x)

C.y=ln(1+x)

D.y=ln(2+x)

答案B函数y=ln x的图象过定点(1,0),(1,0)关于直线x=1对称的点还是(1,0),只有y=ln(2-x)的图象过此点.

故选项B正确.

6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是()

答案D令f(x)=2|x|sin2x,

因为x∈R,f(-x)=2|-x|sin2(-x)

=-2|x|sin2x=-f(x),

所以f(x)=2|x|sin2x为奇函数,

排除选项A,B;

,π)时,

因为x∈(π

2

f(x)<0,所以排除选项C,故选D.

7.若函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(2-x)的图象是()

答案C y=f(x)的图象先关于y轴对称,得到y=f(-x)的图象,再向右平移两个单位长度,即可得到y=f(-(x-2))=f(2-x)的图象.故选C.

8.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在(-1,3)上的解集为()

A.(1,3)

B.(-1,1)

C.(-1,0)∪(1,3)

D.(-1,0)∪(0,1)

答案C作出函数f(x)的图象如图所示.

当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0),

当x∈(0,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).

故x∈(-1,0)∪(1,3).

9.若函数y=f(x)的大致图象如图所示,则f(x)的解析式可能是()

A.f(x)=x

e +e B.f(x)=x

e -e C.f(x)=

e x +e -x

x D.f(x)=

e x -e -x x

答案 C

10.如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集是( )

A.{x|-1

B.{x|-1≤x ≤1}

C.{x|-1

D.{x|-1

答案 C 作出函数y=log 2(x+1)的图象,如图所示:

其中函数f(x)与y=log 2(x+1)的图象的交点为D(1,1), 结合图象可知f(x)≥log 2(x+1)的解集为{x|-1

11.已知函数f(x)=2x (x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )

A.(-∞,2) B .(-∞,e) C.(2,e) D.(e,+∞)

答案 B 函数f(x)=2x

(x<0)图象与y 轴对称的图象对应的函数为y=(12)x

(x>0),要使得函数f(x)=2x

(x<0)与g(x)=ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则函数y=(12)x

(x>0)的图象与函数g(x)=ln(x+a)图象存在交点,在同一平面直角坐标系中作出函数y=(12)x

(x>0)与函数

g(x)=ln(x+a)的大致图象如下,

由图可得g(0)=ln(0+a)<(12)0

, 解得a

ax +b,x <-1,

ln(x +a),x ≥-1

的图象如图所示,则f(-3)等于 .

答案 -1

解析 由图象可得-2a+b=1,ln(-1+a)=0,得a=2,b=5, ∴f(x)={

2x +5,x <-1,

ln(x +2),x ≥-1,

故f(-3)=2×(-3)+5=-1. 13.已知函数f(x)=2x ,x ∈R.

(1)当m 取何值时,方程|f(x)-2|=m 有一个解?有两个解? (2)若不等式[f(x)]2+f(x)-m>0在R 上恒成立,求m 的取值范围. 解析 (1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x -2|,G(x)=m, 画出F(x)的图象如图所示,

由图象看出,当m=0或m ≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,即原方程有一个解; 当00),H(t)=t 2+t,

因为H(t)=(t +12)2-1

4在区间(0,+∞)上是增函数, 所以H(t)>H(0)=0.

因此要使t 2+t>m 在区间(0,+∞)上恒成立,应有m ≤0, 即m 的取值范围是(-∞,0].

B 组 提升题组

1.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=

x+1x

与y=f(x)图象的交点为

(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x m ,y m ),则∑i=1

n (x i +y i )=( ) A.0 B.m C.2m

D.4m

答案 B 易知f(x)+f(-x)=2,y=x+1x

=1+

1x ,所以函数y=f(x)与y=

x+1x

的图象都关于点(0,1)对

称,所以∑i=1

m

x i =0,∑i=1

m

y i =

m 2

×2=m,故选B.

2.已知函数y=f(x)的周期为2,当x ∈[-1,1]时, f(x)=x 2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lg x|的图象的交点共有 ( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个

答案 A 由函数y=f(x)的周期为2,又当x ∈[-1,1]时, f(x)=x 2,g(x)=|lg x|,在同一坐标系中分别作出这两个函数的图象如图所示,可知交点共有10个.

3.已知函数f(x)={1

3

x 3-1

2x 2,x <0,e x ,x ≥0,则f(3-x 2)>f(2x)的解集为( )

A.(-∞,-3)∪(1,+∞)

B.(-3,1)

C.(-∞,-1)∪(3,+∞)

D.(-1,3)

答案 B 当x<0时, f(x)=1

3x 3-1

2x 2, f '(x)=x 2-x,

∴当x<0时, f '(x)>0, f(x)单调递增,且x →0时, f(x)→0,∴f(x)<0; 当x ≥0时, f(x)=e x 单调递增,且f(x)≥f(0)=1,因此f(x)单调递增, ∴f(3-x 2)>f(2x)可转化为3-x 2>2x,解得-3

4.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=2f(x),当x ∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-8

9,则m 的取值范围是( ) A.(-∞,9

4] B .(-∞,73] C.(-∞,5

2] D .(-∞,8

3]

答案 B ∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1). ∵x ∈(0,1]时, f(x)=x(x-1)∈[-1

4,0];

∴x ∈(1,2]时,x-1∈(0,1], f(x)=2f(x-1)=2(x-1)(x-2)∈[-1

2,0]; ∴x ∈(2,3]时,x-1∈(1,2], f(x)=2f(x-1)=4(x-2)(x-3)∈[-1,0], 如图:

当x ∈(2,3]时,由4(x-2)(x-3)=-89,解得x 1=73,x 2=8

3,

若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-8

9,则m ≤7

3,则m 的取值范围是(-∞,7

3]. 故选B. 5.已知f(x)={

|log 4x|,0

x 2-10x +25,x >4,

a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取

值范围是 . 答案 (24,25) 解析 先画出函数 f(x)={

|log 4x|,0

x 2-10x +25,x >4

的图象,

如图所示:

因为a,b,c,d 互不相同,不妨设a

)2=25,

且cd=c(10-c)=-(c-5)2+25,

当c=4时,d=6,此时cd=24,但此时b,c 相等, 故abcd 的范围是(24,25).

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质 例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。 例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈

例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值 例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性 例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性

例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间 提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（ ） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（ ） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（ ） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（ ） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________

高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；

正弦函数余弦函数的图像(附答案)

正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．

2015高考数学(理)一轮题组训练：2-7函数的图象及其应用

第7讲 函数的图象及其应用 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________． 解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案 y ＝(x －1)2＋3 2．函数f (x )＝x ＋1 x 的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1 x ，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1) 3．已知f (x )＝? ???? 13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )， 则g (x )的表达式为________． 解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则??? x 0＝2－x ， y 0＝y . ∴y ＝? ???? 132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －2 4．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________． 解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)

5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________． 解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案 (－2,0)∪(2,5) 6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________． 解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的． ∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2] 7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1. 答案 (1，＋∞) 8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝??? log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有 两个实根，则实数a 的范围是________． 解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实

函数图象变换的四种方式

函数图象变换的四种方 式 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

函数图象变换的四种方式 一，平移变换。 （1）水平平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。 （简记：左加右减，这里的a>0。） （2）上下平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。 （简记：上加下减，这里的a>0） 二，对称变换。 （1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。 所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记：左右翻折) （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。 所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记：上下翻折) （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记：旋转180度) 三，翻折变换。 （1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？ 先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形 （简记：右不动，左对称） （2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？ 先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。 （简记：上不动，下上翻） 四，伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。 （2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。

正余弦函数的图象

课题：正弦函数、余弦函数的图象 高（ ）班 组 姓名 教师评价: 编制人： 审核人： 【学习目标】 1.借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.能熟练运用“五点法” 作图. 2.通过独立思考，合作探究，体会利用“几何法”作正弦函数、余弦函数图象的过程，提高动手能力,体会数形结合在解题中的应用. 3.通过作正弦函数、余弦函数的图象，培养学生认真负责、一丝不苟的学习精神，培养主动交流的合作精神，培养积极探索的思维品质；激情投入学习，享受成功的快乐. 重点：运用“五点法”作图 难点：借助于三角函数线画y=sinx 的图象 【预习案】 【使用说明与学法指导】 1.用20分钟左右的时间，阅读探究课本的内容，熟记基础知识。自主高效预习，提升自己的阅读理解能力. 2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题. 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处. 一、相关知识： 1、 函数的定义及其三要素是什么？ 2、 请同学们回忆一下所学的指数函数图象怎么画？ 二、教材助读： 1、 你能用自己的语言来描述正弦函数和余弦函数的定义吗？ 2、 正弦函数的定义域和值域是什么？ 3、 请你结合书本第30页中简谐运动的过程，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一 个直观的印象？ 4、 如何利用正弦线画出在0到π2内的正弦函数的图像？ 5、 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 6、 如何作R x x y ∈=,sin 的图像？ 7、 用以前学过的诱导公式，=x cos ________（用正弦式表示），那么x y cos =的图象怎样 作？ 三、预习自测： 1、函数x y 2sin =的定义域为（ ）

高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材

含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4

专题九函数图象及其综合应用

专题九 函数图象及综合应用 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻。 知识网络： 一、新课引入 在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？描点法作图。 描点法作图的步骤有哪些？ 描点法作图的基本步骤是：列表、描点、连线。 基本函数的图象要熟记：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、幂函数。 二、新课讲解 1、函数图象的基本作法有两种: ① 描点法②图象变换法 2、画函数图象时有时也可利用函数的性质如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，以及图象上的特殊点、线（如对称轴、渐近线等）。 3、图象的变换是指一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图 象。 . 在高考中要求学生掌握的三种变换是：平移变换、对称变换、伸缩变换、翻折变换。 4、常用函数图象变换的规律。 (1)平移变换 ①水平平移：y ＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到。 ②竖直平移：y ＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到。 (2)对称变换 ①y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于y 轴对称。 ②y ＝－f(x)与y ＝f(x)的图象关于x 轴对称。 ③y ＝－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称。 (3)伸缩变换 ①y ＝af(x)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变。 ②y ＝f(ax)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a 倍，纵坐标不变。 (4)翻折变换 ①作为y ＝f(x)的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f(x)|的图象。

函数图象的三种变换

. 函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种： 一、平移变换 2，在同一坐标系中画出：＝x设f(x)例1 (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图 (2)如图

点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到； y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到； y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到． 小结：

二、对称变换的图象，并观察两个函数图)－xy＝f(x＋1，在同一坐标系中画出y＝f()和x例2设f(x)＝象的关系．1的图象如图所示．＝－x＋x与y＝f(－)＋y解画出＝f(x)＝x1 由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称． 点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 三、翻折变换 例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数1 / 6

. 图象的关系． 解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所 示． 点评要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解如下图所 示． 点评要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可． 小结： 保留x轴上方图象y?f(x)????????y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：

三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿

（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）

函数图像的三种变换

函数图像的三种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种： 一 、平移变换 函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 1、 沿水平方向左右平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。 函数图象的平移变化可以概括地总结为： （1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 （3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解 例1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 分析 把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。 故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 分析 把已知函数图象向右平移1个单位， 即把其中自变量换成，得.

正弦函数余弦函数的图像(附)

正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？

答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线． 根据诱导公式sin ????x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)． 要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，????π2，0，(π，－1)，????3 2π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象． 思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象？ 答案

二次函数图像性质及应用

.. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2

函数图像的四种变换形式

函数图像的四种变换 1．平移变换 左加右减，上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位； ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位； a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位； a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。 （1）对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 （2）中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点（a,b）对称。 3伸缩变换 （1）) (x af y=的图像，可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。 （2）) (ax f y=（a>0）的图像，可以将) (x f y=的横坐标伸长（01）到原来的1/a倍，纵坐标不变。

4．翻折变换 （1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。 （2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。 习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像

函数图象及其应用

函数图象及其应用 武安市第十中学李冉 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想：

函数图象的三种变换(可编辑修改word版)

函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下 3 种： 一、平移变换 例1 设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出： (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1 和y＝f(x)－1 的图象，并观察三个函数图象的关 系．解(1)如图 (2)如图 点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到； y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长度得到； y＝f(x)＋1 的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1 个单位长度得到； y＝f(x)－1 的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1 个单位长度得到． 小结： 二、对称变换 例2 设f(x)＝x＋1，在同一坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(－x)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解画出y＝f(x)＝x＋1 与y＝f(－x)＝－x＋1 的图象如图所示． 由图象可得函数y＝x＋1 与y＝－x＋1 的图象关于y 轴对 称．点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y 轴 对称；函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x 轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 三、翻折变换 例 3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数

将x 轴下方图象翻折上去 并作其关于y 轴对称的图象 图象的关系． 解 y ＝f (x )的图象如图 1 所示，y ＝|f (x )|的图象如图 2 所示． 点评 要得到 y ＝|f (x )|的图象，把 y ＝f (x )的图象中 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方，其余部分不变． 例 4 设 f (x )＝x ＋1，在不同的坐标系中画出 y ＝f (x )和 y ＝f (|x |)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解 如下图所示． 点评 要得到 y ＝f (|x |)的图象，先把 y ＝f (x )图象在 y 轴左方的部分去掉，然后把 y 轴右边的对称图象补到左方即可． 小结： y = f (x ) ??保?留x ?轴上?方图?象?→ y ＝|f (x )|. y = f (x ) ???保留?y 轴右?侧?图象??→ y ＝f (|x |). 如图： 四 函数图象自身的对称性 1. 函数 y = f (x ) 的图象关于直 x = a + b 对称? f (a + x ) = f (b - x ) ? f (a + b - x ) = f (x ) 2 2. 函数 y = f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称? 2b - f (x ) = f (2a - x ) ? f (x ) = 2b - f (2a - x ) ? f (a + x ) + f (a - x ) = 2b 3.若 f (x ) = - f (-x ) ，则 f (x ) 的图象关于原点对称，若 f (x ) = f (-x ) ，则 f (x ) 的图象 关于 y 轴对称。 基础训练 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 x ∈(0，＋∞)时，函数 y ＝|f (x )|与 y ＝f (|x |)的图象相同. ( × ) y y=f(|x|) a o b c x y y=|f(x)| a o b c x y y=f(x) a o b c x

正余弦函数的图象与性质

精心整理 正、余弦函数的图象与性质 [知识回顾] 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

原点的距离是()0 r r=>，则sin y r α=，cos x r α=，() tan0 y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT． 12、同角三角函数的基本关系： 222222

[考点例题精讲] 考点一：正余弦函数图象的应用 例1 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 2 1 sin )1(≥ x 解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈?? ? ???++,265, 26 ππππ 2 1 cos )2(≤ x 解：作出余弦函数y=cos ，x ∈[0，2π]的图象： 由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈?? ? ???++,235, 23 ππππ 考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题 例2求下列函数的定义域： (1)y ＝1+ x sin 1 (2)y ＝x cos 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠2 3π ＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠ 23π ＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－2π ＋2k π≤x ≤2 π＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为［－2π＋2k π，2 π ＋2k π］(k ∈Z ) 方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函单调性 在2,22 2k k ππππ??-+??? ? ()k ∈Z 上是增函 数； 在32,22 2k k π πππ??++ ??? ? () k ∈Z 上是减函数． 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函 数． 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2 x k k π π=+∈Z 对称中心(),02 k k π π?? +∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z

5函数图象及其应用

6、函数图象及其应用 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想： 1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。 2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断