2015相似三角形1专题复习学生版2015.10.10 -
相似三角形专题2015.10.10
知识点1 有关相似形的概念
知识点2 比例线段的相关概念
知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：
①bc ad d c b a =?=::；②2
::a b b c b a c =?=?．
注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除
了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．
（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：
()()()a b
c d a c d c b d
b a d b
c a ?=??
?=?=??
?=??，
交换内项，交换外项．
同时交换内外项
（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d
a c
=?=．
（4）合、分比性质：a c a b c d b d b d
±±=?=．
发生同样和差变化比例仍成立．如：???
????+-=+--=-?=d c d c b a b a c
c
d a a b d c b a 等等．
（5）等比性质：如果
)0(≠++++====n f d b n
m
f e d c b a ，那么
b a n f d b m e
c a =++++++++ ．
知识点4 比例线段的有关定理
1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成
比例.
由DE ∥BC 可得：
AC
AE
AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注：
①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.
②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段
B
成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.
③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,
可得
AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF
=====或或或或等.
注：平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点5 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：
①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理
(1)相似三角形的等价关系：
①反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?．
②对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?．
③传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''? (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形：
用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ?∽ABC ?． 知识点7 三角形相似的判定方法
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
B (3)D B (2)
6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2
=BD ·DC ，AB 2
=BD ·BC ，AC 2
=CD ·BC 。 知识点8 相似三角形常见的图形
1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图） B
C
(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、
“反A共角共边型”、“蝶型”）
（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）
(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用：
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；
（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
（4）当
AD AE
AC
或AD·AB=AC·AE时，△
ADE∽△ACB．
知识点9 全等与相似的比较：
B
E
A
C
D
1
2
A
B
C
D
E
1
2
A
A
B
B C C
D
D
E
E
1
2
4
1
2
B
B
C(D
)
3.位似图形的性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注：位似图形具有相似图形的所有性质.
4. 画位似图形的一般步骤：
（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）
（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
（4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤ 注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外， 或在图形上（图形边上或顶点上）。
②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形） ③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）
（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),
经典例题透析
类型一、相似三角形的概念
1．判断对错：
(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？
(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？
(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？
(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？
(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？
举一反三
【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？
【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )
A.所有的直角三角形
B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形
D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
类型二、相似三角形的判定
2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？
4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.
举一反三
【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
【变式2】如图，弦和
弦相交于内一点，求证：.
【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE
∽△ABC．
类型三、相似三角形的性质
5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.
6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
举一反三
【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.
类型四、相似三角形的应用
7．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
举一反三
【变式1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?
(2)求古塔的高度．
【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？
类型五、相似三角形的周长与面积
8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
举一反三
【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.
【变式2】如图，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上．
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
2015年相似与位似精编
一.选择题
1. （2015?淄博第8题,4分）如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD ，CD =
AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2015·湖北省武汉市，第6题3分）如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)、B (6，0)．以原点O 为位似中心，相似比为3
1
，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）
A ．(2，1)
B ．(2，0)
C ．(3，3)
D ．(3，1)
3．(2015?湖南株洲,第7题3分)如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，那么EF 的长是 ( )
A ．13
B ．23
C ．34
D ．45
4．(2015?江苏南京,第3题3分)如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若，则下列结论中正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第7题图
F
5．（2015?甘肃武威,第9题3分）如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ：S △CDE =1：3，则S △DOE ：S △AOC 的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（2015?四川资阳,第10题3分）如图6，在△ABC 中，∠ACB =90o，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①AB ②当点E 与点B 重合时，MH =12；③AF+BE=EF ；④MG?MH =1
2
，其中正确结论为
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④
9. （2015?浙江嘉兴，第5题4分）如图，直线l 1// l 2// l 3，直线AC 分别交l 1， l 2， l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1， l 2， l 3于点D ，E ，F .AC 与DF 相较于点H ，且AH =2，HB =1，BC =5，则
的
值为（▲）
（A ）
（B ）2
（C ）
（D ）
10. （2015?四川省宜宾市，第6题，3分）6. 如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为l ：2，∠OCD =90°，CO =CD .若B (1，0)，则点C[中国^的坐标为( )
B .(1,1)
C .(2, 2)
D .(2,1)
11. （2015?四川成都,第5题3分）如图，在ABC ?中，BC DE //，6=AD ，3=DB ，4=AE ,
则EC 的长为
（A ）1 （B ）2
（C ）3 （D ）4
12. （2015?四川乐山,第5题3分）如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A 、B 、C 和D 、E 、
F ．已知，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13. （2015?四川眉山，第6题3分）如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1、l 2这与三条平行线分
别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．已知AB =1，BC =3，DE =2，则EF 的长为（ ）
A ． 4
B ． 5
C ． 6
D ． 8
14．(2015·黑龙江绥化，第9题 分)如图 ，在矩形ABCD 中 ，AB =10 , BC =5 ． 若点
M 、N 分别是线段ACAB 上的两个动点 ， 则BM +MN 的最小值为（ ）
A ． 10
B ． 8
C ． 53
D ． 6
15.（2015?山东东营,第6题3分）若
，则
的值为（ ）
A．1 B．C．D．
考点：比例的应用.
16.（2015?山东东营,第10题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=B C．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上
时，DF=DB；④若，则．其中正确的结论序号是（）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
17. （2015·山东潍坊第9 题3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点
M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
18．（2015?甘肃兰州,第5题，4分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2），D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为（5，0），则点A的坐标为
A.（2，5）
B.（2.5，5）
C. （3，5）
D.（3，6）
19．（2015?安徽省,第9题，4分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，
点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是[（ ）]
A ．2 5
B ．3 5
C ．5
D ．6
20. （2015山东济宁，10，3分）将一副三角尺（在中，∠ACB =
，∠B =
；在
中，∠EDF =
，∠E =
）如图摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C .将
绕点D 顺时
针方向旋转角， 交AC 于点M ，
交BC 于点N ，
则
的值为( )
A .
B .
C .
D .
二.填空题
1．(2015·贵州六盘水，第14题4分)已知06
54≠==a
b c ，则a c b +的值为 ．
2．（2015?广东佛山,第13题3分）如图，在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，AC =10
．四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形（点D 、E 、F 在三角形的边上）．则此正方形的面积是 25 ．
6．(2015·黑龙江绥化，第21题 分)在矩形ABCD 中 ，AB =4 , BC =3 , 点P 在AB 上。若将△DAP 沿DP 折叠 ，使点A 落在矩形对角线上的A '处 ，则AP 的长为__________．
7. （2015?浙江金华，第14题4分）如图，直线126l ,l ,,l ??? 是一组等距离的平行线，过直线1l
上的点A 作两条射线，分别与直线3l ，6l 相交于点B ，E ，C ，F . 若BC =2，则EF 的长是 ▲
8 . （2015?浙
江湖州，第16题4分）已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3(如图所示)，以此类推…，若A 1C 1=2，且点A ，D 2， D 3，…，D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是__________________________
9. （2015?浙江嘉兴，第12题5分）右图是百度地图的一部分（比例尺1:4 000 000）.按图可估测杭州在嘉
兴的南偏西____▲____度方向上，到嘉兴的实际距离约为____▲____.
考点：比例线段；方向角．.
10.
（2015?江苏泰州,第14题3分）如图，
△中，
D 为BC 上一点，∠BAD =∠C ,AB =6，BD =4，则CD 的长为_________.
11.（2015?山东临沂,第18题3分）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB
上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则_________.
（第18题图）
12.（2015湖北荆州第16题3分）如图，矩形ABCD 中，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，且OA =2，AB =5，把△ABC 沿着AC 对折得到△AB ′C ，AB ′交y 轴于D 点，则B ′
点的坐标为 ．
13．（2015?广东省,第13题，4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是 ▲ .
14. （2015?四川凉山州,第17题4分）在?ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ：S △COB = ．
15. （2015?四川成都,第23题4分）已知菱形A 1B 1C 1D 1的边长为2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角线A 1C 1，B 1D 1相交于点O ．以点O 为坐标原点，分别以OA 1，OB 1所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐标系．以B 1D 1为对角线作菱形B 1C 2D 1A 2∽菱形A 1B 1C 1D 1，再以A 2C 2为对角线作菱形A 2B 2C 2D 2∽菱形B 1C 2D 1A 2，再以B 2B 2为对角线作菱形B 2C 3D 2A 3∽菱形A 2B 2C 2D 2，…，按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点A n 的坐标为____________．
18. （2015?浙江杭州,第16题4分）如图，在四边形纸片ABCD 中，AB =BC ，AD =CD ，∠A =∠C =90°，∠B =150°，
将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD =_______________________________
19．（2015?广东梅州,第12题，3分）已知：△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，
F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）
20．（2015?甘肃兰州,第17题，4分）如果k f
e
d c b a ===（0≠++f d b ），且)(3f d b
e c a ++=++，那么k =_____
21. （2015山东省德州市，17，4分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD,AD=DC=CB=a，∠A=60°.取AB的中点A1，连接A1C,再分别取A1C,BC的中点D1，C1,连接D1C1,得到四边形A1BC1D1,如图2; 同样方法操作得到四边形A2BC2D2,如图3;…，如此进行下去，则四边形A n BC n D n的面积为.
；
三.解答题
1. （2015山东省德州市，23，10分）
(1)问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.
求证：AD·BC=AP·BP.
(2)探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.
(3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.
6．(2015·黑龙江绥化，第28题分)如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M ,使BM=DN ,连接MN交BD延长线于点E．
(1)求证：BD+2DE=2BM．
(2)如图2 ，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF:FD=1:2 ,且CM=2，则线段DG=_______．
8．（2015·山东威海，第23题10分）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．
9.（2015?江苏徐州,第25题8分）如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm
（1）若OB=6cm．
①求点C的坐标；
②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（2）点C与点O的距离的最大值=cm．
13. （2015?浙江省绍兴市，第24题，14分）
在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。