搜档网
当前位置:搜档网 › 函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结(精彩)
函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。

(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1

(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠

二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法

(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法(9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域:

21)(-=

x x f ;②23)(+=x x f ;③x

x x f -++=21

1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21

-x 无意义,

而2≠x 时,分式21

-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0,即x<-3

2

时,根式23+x 无意义,

而023≥+x ,即3

2

-≥x 时,根式23+x 才有意义,

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式

x

-21

同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }

另解:要使函数有意义,必须:???≠-≥+0201x x ????≠-≥2

1

x x

例2 求下列函数的定义域:

14)(2

--=x x f ②2

143)(2-+--=

x x x x f ③

=

)(x f x

11111++

x

x x x f -+=

0)1()(⑤

3

7

3132+++-=

x x y

解:①要使函数有意义,必须:142

≥-x 即: 33≤≤-x

∴函数

14)(2--=

x x f 的定义域为: [3,3-

]

②要使函数有意义,必须:??

?≠-≠-≤≥??

??≠-+≥--131

40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

∴定义域为:{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义,必须:011110110≠++≠+≠?

??

?

?

?

?

?

?x x x ?2

110-≠-≠≠?????x x x ∴函数的定义域为:}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义,必须: ?

??≠-≠+001x x x ??

?<-≠?01

x x ∴定义域为:

{}011|<<--

⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ??

??

?-≠∈?37x R x 即 x<37-或 x>37-∴定义域为:}3

7

|{-≠x x

例3 若函数

a

ax ax y 1

2+

-=的定义域是R ,求实数a 的取值范围

解:∵定义域是R,∴恒成立,

01

2

≥+

-a

ax ax ∴??

???

2001402a a a a a 等价于

例4 若函数

)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)4

1(+=x f y )41

(-?x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:

4343454

34345

14111411≤≤-??????≤

≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x 第一页

∴函数

)41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为:?

??

???

≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2

)的定义域。

例5分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,

即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2

)的定义域。

答案:-1≤x 2≤1? x 2

≤1?-1≤x ≤1

练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x

x ≥0 ∴220+≤≤

x 2460+≤≤x

∴ 函数

)2(-x f 的定域义为:{}

2460|+≤≤x x

例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域

因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。

练习:已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2

5

-)

(提示:定义域是自变量x 的取值范围)

练习:

【练1】已知f(x 2

)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域

【练2】若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( )

A.[]1,1-

B???

??

?-

21,21

C.??

????1,2

1

D.10,2

??????

【练3】已知函数()11x

f x x

+=

-的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则

( )

A.A

B B = B.B A ∈ C.A B B = D. A B =

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求(直接法)

第二页

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数

)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,

当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≤

}.

例1 求下列函数的值域

①y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)

(3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③

x

x y 1

+

=(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,

∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略

③当x>0,∴

x x y 1

+

==2)1(2+-

x x 2≥, 当x<0时,

)1

(x x y -+

--==-2)1(2---

-x

x -≤

∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法)

函数

x

x y 1

+

=的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值):

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:

142+-=x x y ; ②;]4,3[,142

∈+-=x x x y

]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ;

①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R ,

∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4],

当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上,

min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1].

③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2,

第三页

相关主题