函数定义域、值域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1
(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)图象法(数形结合)(3)函数单调性法
(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法(9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等
三、典例解析 1、定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
①
21)(-=
x x f ;②23)(+=x x f ;③x
x x f -++=21
1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21
-x 无意义,
而2≠x 时,分式21
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .
②∵3x+2<0,即x<-3
2
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式
x
-21
同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解:要使函数有意义,必须:???≠-≥+0201x x ????≠-≥2
1
x x
例2 求下列函数的定义域:
①
14)(2
--=x x f ②2
143)(2-+--=
x x x x f ③
=
)(x f x
11111++
④
x
x x x f -+=
0)1()(⑤
3
7
3132+++-=
x x y
解:①要使函数有意义,必须:142
≥-x 即: 33≤≤-x
∴函数
14)(2--=
x x f 的定义域为: [3,3-
]
②要使函数有意义,必须:??
?≠-≠-≤≥??
??≠-+≥--131
40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义,必须:011110110≠++≠+≠? ?? ? ? ? ? ? ?x x x ?2 110-≠-≠≠?????x x x ∴函数的定义域为:}2 1 ,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ? ??≠-≠+001x x x ?? ?<-≠?01 x x ∴定义域为: {}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ?? ?? ?-≠∈?37x R x 即 x<37-或 x>37-∴定义域为:}3 7 |{-≠x x 例3 若函数 a ax ax y 1 2+ -=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立, 01 2 ≥+ -a ax ax ∴?? ??? ≤≤?-=?>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数 )(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)4 1(+=x f y )41 (-?x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须: 4343454 34345 14111411≤≤-??????≤ ≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x 第一页 ∴函数 )41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为:? ?? ??? ≤ ≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2 )的定义域。 例5分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值, 即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2 )的定义域。 答案:-1≤x 2≤1? x 2 ≤1?-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴220+≤≤ x 2460+≤≤x ∴ 函数 )2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。 练习:已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5 -) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 练习: 【练1】已知f(x 2 )的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 【练2】若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( ) A.[]1,1- B??? ?? ?- 21,21 C.?? ????1,2 1 D.10,2 ?????? 【练3】已知函数()11x f x x += -的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则 ( ) A.A B B = B.B A ∈ C.A B B = D. A B = 2、求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 第二页 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数 )0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤ }. 例1 求下列函数的值域 ①y=3x+2(-1≤x ≤1) ②) (3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 + =(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略 ③当x>0,∴ x x y 1 + ==2)1(2+- x x 2≥, 当x<0时, )1 (x x y -+ --==-2)1(2--- -x x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数 x x y 1 + =的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① 142+-=x x y ; ②;]4,3[,142 ∈+-=x x x y ③ ]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R , ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上, min y =-2,m ax y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, 第三页