相交、平行学案

10.1 相交线（1）

第一课时 相交线、对顶角

学习目标：

1. 在具体情境中了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,

2.理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题，

3.能根据对顶角、邻补角等知识进行角度的计算。

学习重点：

对顶角性质的理解。

学习难点：

对顶角和邻补角的应用

一、学前准备

【回顾】

(1)如图，∠AOB

(2)互余：如果两个角的和为 ，那么这两个角互余； 互补：如果两个角的和为 ，那么这两个角互补。 (3)角平分线：在角的内部，从角的顶点出发，把角分成 相等两个部分的一条射线。 【自学】认真阅读教材P113-114内容，然后解决以下问题： （1）画直线AB 、CD 相交于点O,并说出图中4个角。

两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?

根据不同的位置怎么将它们分类? 思考并在小组内交流.

（2）用量角器分别量一量各个角的度数,以发现各类角的度数有什么关系,根据观察和度量完成下表:

O B

43

21O

D

C B

A

二、探究活动

1.归纳定义： 如图，直线a ，b 相交 邻补角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做邻补角. 对顶角： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫对顶角. 2．判断下列图中∠1和∠2是否是对顶角.

（1） （2） （3） （4） 3．对顶角的性质：完成推理过程 如图，∵∠1+∠2 = ，

∠2+∠3 = 。（邻补角定义） ∴∠1=180°－ ， ∠3 =180°－ （等式性质） ∴∠1=∠3 (等量代换)

或者∵∠1与∠2互补，∠3与∠2

互补（邻补角定义）， ∴∠l ＝∠3（同角的补角相等）．

由上面推理可知，对顶角的性质：对顶角

。 4．归纳性质邻补角和对顶角的性质：

对顶角 ，邻补角 【例题分析】

例1．如图，直线a,b 相交，∠1=40°,

求∠2,∠3,∠4的度数.

例2．如图,直线AB 、CD 相交于点O.

(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.

(2)若∠BOC 比∠AOC 的2倍多33°,求各角的度数.

O

D C B A b a 4321

21212

121

例3．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，若∠AOD=80°，∠BOE-∠BOC=40°,求∠DOE 的度数．

【课堂练习】

1．两条直线相交,如果它们所成的一对对顶角互补, 那么它的所成的各角的度数是多少?

2．如图5-1-23所示，∠1=70°，OE 平分∠AOC ． 求∠EOC 和∠BOC 的度数．

三、自我测试

1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形是( )

A. B. C. D.

2.如图(1),三条直线AB,CD,EF 相交于一点O, ∠AOD 的

对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______，若∠AOC=50°, 则∠BOD=______,∠COB=_______，

∠AOE+∠DOB+∠COF=___ __。

3.如图,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=68°,求∠4的度数

c

b

a

3

4

1

2

1

2121221O

F E

D C

B

A

四、应用与拓展

1.若4条不同的直线相交于一点,图中共有 对对顶角?若n 条不同的直线相交于一点呢? 有 对。

2. 如图，直线AB,CD 相交于O,OE 平分∠AOC,若∠AOD-∠DOB=50°,?求∠EOB 的度数.

O

E D C

B

A

10.1 相交线（2）

第二课时 垂线

学习目标：

1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。

学习重点：

垂线和垂线段的定义及性质。

学习难点：

垂线段的性质理解与应用

一、学前准备

【回顾】

1．填空：对顶角 ，邻补角 。

2．直线AB,CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠BOD －∠BOC=80°，求∠EOC 的度数。

B

C

O

D

E

A

【自学】

1．认真阅读教材P115-116页内容(时间3分钟)

A

B

C

D

O A B

C

D O 2．自学检测：

（1）举出一些生活中“直线垂直”的例子；

（2）如图，若∠BOC=90o，则直线AB 与CD ， 记作： 。垂足为 点。

二、探究活动

【探究一：垂线及其性质】

1.明确定义：如果两条直线相交时，有一个夹角为直角（90o），那么这两条直线互相垂直，

其中一条直线是另一条直线的垂线。

如图，直线AB ⊥CD ，垂足是O 点。

2．垂线的画法： （1）用三角尺画

（2）用折纸方法画 （3）尺规作图（略）

3．动手操作

（1）如图，过点P 作直线a ⊥AB ；

P

B

A

〖小结〗

过直线上．一点，只能作 条直线与已知直线垂直。

（2）如图过点Q 作直线b ⊥AB

Q

B

A

〖小结〗

过直线外．一点，只能作 条直线与已知直线垂直。

〖总结〗

垂线性质：过一点有且只有 垂直于已知直线。（课本P116） 4．例题分析

例1．如下图，P 是∠AOB 的OB 边上的一点，

请分别过P 点画OA 、OB 的垂线；

例2．已知:如图，直线AB 、OC 交于点O ，OD 平分

∠BOC ，OE 平分∠AOC ，试判断OD 与OE 的 位置关系.

【探究二：垂线段】

1．观察：点P 在直线l 外，在直线l 上任意取一点A 、B 、C 、O ，分别与点P 连接，其中PO

⊥l ，观察这些线段，哪条最短？

2．垂线段：过直线外一点作直线垂直于已知直线，该点与垂足之间的线段。 如上图，线段PO 为点P 到直线l 的垂线段。

3．垂线段的性质：直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．．．．．。 4．想一想：

如图，点P 为一个村庄，直线AB 表 示一条公路，问村庄P 点到公路的距离是 多少？请画出来。

E D

C B

A

O

B C

O

B

A

l

B

A

P

E (3)O D C B A (2)O D C B A (1)O D C B A O

F E

D

C

B

A

5．归纳：点到直线的距离--------直线外一点到直线的 的长度。

6．练习： （1）点P 为直线m 外一点,点A,B,C 为直线m 上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到 直线m 的距离为( )

A.4cm

B.2cm;

C.小于2cm

D.不大于2cm （2）如图，AC ⊥BC ，C 为垂足，CD ⊥AB ， D 为垂足，BC=8，CD=4.8，BD=6.4， AD=3.6，AC= 6，那么点C 到AB 的距离 是_______,点A 到BC 的距离是______， 点B 到CD 的距离是_____， A 、B 两点的距离是_________.

三、自我测试

1．如图(1)，OA ⊥OB,OD ⊥OC ，O 为垂足，若∠AOC=35°,则∠BOD=________.

2．如图(2)，AO ⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O ，且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.

3.如图(3)，直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________.

4．如图，直线AB,CD 相交于O,OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数。

C

B

A

A B

C

D

O 四、应用与拓展

1.如图所示，在线段AB 、AC 、AD 、AF 中AD 最短， 小明说垂线段最短，因此AD 的长是点A 到BF 的距离， 对小明的说法你认为 .

10.2 平行线的判定（1）

第一课时 “三线八角”

学习目标：

1、使学生掌握平行线的四种判定方法，并初步运用它们进行简单的推理论证。

2、初步学会简单的论证和推理，认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。

学习重点：

理解同位角、内错角、同旁内角的含义

学习难点：

区别同位角、内错角、同旁内角

一、学前准备

【回顾】

1．如图，两条直线相交时，如图四个角中， ∠2的邻补角有： ∠2的对顶角是： 2．垂线性质：

平面内，过一点有且只有 垂直于已知直线。 【自学】

认真阅读教材P119-120内容，然后解决以下问题： 1．平行线： 如图，直线AB 与CD 平行

B

C

D E

F

A

D

C

B

A

E

F

记作，

2．平面内，两条直线的位置关系有 和 两种。

二、探究活动

（一）平行线的性质

1.画一画：如图，过点P 画直线l 的平行线，怎么画？

2.想一想：过点P 你能作几条直线与直线l 平行？

3.归纳性质：过直线外一点，

（二）“三线八角” 1、同位角：

如图1，∠1和∠5，分别在直线AB 、CD 的 ，在直线EF 的 。具有这种位置关系的一对角叫做同位角。

（1）请你找出图中还有哪几对角构成同位角。

（2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有 对同位角。

2．内错角：

如图，∠3和∠5，分别在直线AB 、CD 的 ， 在直线EF 的 。具有这种位置关系的一对角 叫做内错角。

（1）请你找出图中还有哪几对角构成内错角。

（2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有 对内错角

3．同旁内角

如图，∠3和∠6，分别在直线AB 、CD 的 ，

在直线EF 的 。具有这种位置关系的一对角

E

F

叫做同旁内角。 （1）请你找出图中还有哪几对角构成同旁内角。

（2）两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有 对同旁内角

4．归纳：

【例题分析】

例1．如图，直线DE 、BC 被直线AB 所截，

（1）∠l 与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么关系的角？

（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？

例2．找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。

三、自我测试

1．说出下列各对角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的什么角？

（1）∠1与∠2 （2）∠5与∠7 （3）∠9与∠10

2、如图，(1)直线 、 被

所截，∠1与∠2是内错角，

(2)直线 、 被 所截， ∠1与∠B 是同位角；

(3)直线 、 被 所截， ∠3和∠B 是同位角。

3、如右图所示：

（1）∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直线 、

被第三条直线 所截而成的。

（2）∠2的同位角是 ，∠1的同位角是 。 （3）∠3的内错角是 ，∠4的内错角是 。 （4）∠6的同旁内角是 ，∠5的同旁内角是 ， （5）∠4与∠A 是同旁内角吗？为什么？

10.2 平行线的判定（2）

第二课时 平行线的判定

学习目标：

B A C

D E

1

2 3

4

B

C

A

B

C E

1 3 4 5 6 2

1．使学生掌握平行线的几种判定方法，并初步运用它们进行简单的推理论证。 2．初步学会简单的论证和推理，认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。

学习重点：

平行线判定的理解和应用

学习难点：

几何推理过程的书写

一、学前准备

【回顾】 1．平行线性质：

过一点有且只有 平行于已知直线。 2．如图，（1）∠4的同位角有

内错角有 同旁内角有 （2）∠1和∠14是同位角吗? 为什么？ 【自学】

认真阅读教材P121内容，然后解决以下问题： 1．如图，直线a 、b 被直线c 所截，

∠1和∠2是一对 角，

若∠1=∠2，则a b

2．平行线判定一：两条直线呗第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：

二、探究活动

（一）同位角

1.判定一：同位角相等，两直线平行。

2.几何语言：

理由： ∵∠1=∠2 （已知）

∴ a ∥b (同位角相等，两直线平行)

3．练习：

如图，已知∠1=∠2=∠3=50o

图中有哪些直线平行？说说你的理由。

16

15

14131211

10

9

8

7

654

3

212

1

c b

a

2

1

c

b

a

H

G

F E

D

C

B

A

4

3

2

1

（二）内错角

1．想一想：如图，∠2=∠3

你能说明AB ∥CD 吗？

2．归纳

判定二： 3．几何语言

如图，直线a 、b 被直线c 所截，

∵∠1=∠2 （已知）

∴ a ∥b (内错角相等，两直线平行) （三）同旁内角

1．想一想：如图， ∠1+∠2=180o 你能说明AB ∥CD 吗？

2．归纳

3 ∵∠1+∴ a ∥b (同旁内角互补，两直线平行) 【例题分析】

例1．看图填空： (1)若∠1=∠5，可以得到 ∥ ， 理由是： (2) 若∠2=∠6，可以得到 ∥ ， 理由是：

(3)若∠9= ，可以到AD ∥BC ，理由是同位角相等，两直线平行。

例2．如图，如果∠1=47o，∠2=47o，∠3=47o，可以判定哪些直线平行？依据分别是什么？

3

F E D

C B

A 2

1

c

21b

a

3

2

1E D

A

9

65

4

3

2

1D C

B A

例3．如图所示,已知直线EF 和AB,CD 分别相交于K,H,且EG ⊥AB, ∠CHF=600,∠E=?30°,试说明AB ∥CD.

例4．如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a 与c 平行吗??为什么?

d e

c

b a 34

12

三、自我测试

1．下列说法错误的是( )

A.同位角不一定相等

B.内错角都相等

C.同旁内角可能相等

D.同旁内角互补,两直线平行 2．如左下图所示,下列条件中,能判断AB ∥CD 的是( )

A.∠BAD=∠BCD

B.∠1=∠2;

C.∠3=∠4

D.∠BAC=∠ACD

（第2题） （第3题）

3．如图所示,如果∠D=∠EFC,那么( ) （第5题） A 、AD ∥BC B 、EF ∥BC C 、AB ∥DC D 、AD ∥EF

4．如图，直线a,b 被直线c 所截,现给出下列四个条件： ①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a ∥b

的条件序号为( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 5. 已知直线a 、b 被直线c 所截,且∠1+∠2=180°,试判断直线a 、b 的位置关系。并说明理由.

G H K E

D

C B

A 34D C

B A 21F

E D C B A 876

5

432

1

10.2 平行线的判定（2）

第二课时平行线的判定

学习目标：

1．使学生掌握平行线的几种判定方法，并初步运用它们进行简单的推理论证。2．初步学会简单的论证和推理，认识几何证明的必要性和证明过程的严密性。

学习重点：

平行线判定的理解和应用

学习难点：

几何推理过程的书写

一、学前准备

【回顾】

1．平行线性质：

过一点有且只有平行于已知直线。

2．如图，（1）∠4的同位角有

内错角有

同旁内角有

（2）∠1和∠14是同位角吗? 为什么？

【自学】

认真阅读教材P121内容，然后解决以下问题：1．如图，直线a、b被直线c所截，

∠1和∠2是一对角，

16

15

1413

12

11

10

9

8

7

65

4

3

2

1

2

1

c

b

a

若∠1=∠2，则a b

2．平行线判定一：两条直线呗第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：

二、探究活动

（一）同位角

1.判定一：同位角相等，两直线平行。

2.几何语言：

理由： ∵∠1=∠2 （已知）

∴ a ∥b (同位角相等，两直线平行)

3．练习： 如图，已知∠1=∠2=∠3=50o

图中有哪些直线平行？说说你的理由。

（二）内错角

1．想一想：如图，∠2=∠3 你能说明AB ∥CD 吗？

2．归纳

判定二： 3．几何语言

如图，直线a 、b 被直线c 所截，

∵∠1=∠2 （已知） ∴ a ∥b (内错角相等，两直线平行)

（三）同旁内角

1．想一想：如图， ∠1+∠2=180o 你能说明AB ∥CD 吗？

2．归纳

3 2

1

c

b

a

H

G F E D

C

B A 4321

3

F E D

C B

A 2

1

c

2

1b a

∵∠1+∠2=180o （已知）

∴ a ∥b (同旁内角互补，两直线平行) 【例题分析】 例1．看图填空：

(1)若∠1=∠5，可以得到 ∥ ， 理由是： (2) 若∠2=∠6，可以得到 ∥ ， 理由是：

(3)若∠9= ，可以到AD ∥BC ，理由是同位角相等，两直线平行。

例2．如图，如果∠1=47o，∠2=47o，∠3=47o，可以判定哪些直线平行？依据分别是什么？

例3．如图所示,已知直线EF 和AB,CD 分别相交于K,H,且EG ⊥AB, ∠CHF=600,∠E=?30°,试说明AB ∥CD.

例4．如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a 与c 平行吗??为什么?

d e

c

b a 34

12

三、自我测试

1．下列说法错误的是( )

A.同位角不一定相等

B.内错角都相等

C.同旁内角可能相等

D.同旁内角互补,两直线平行 2．如左下图所示,下列条件中,能判断AB ∥CD 的是( )

3

21F

E D

C

B A

9

65

4

321D

C

B A

G H K E

D

C B

A

A.∠BAD=∠BCD

B.∠1=∠2;

C.∠3=∠4

D.∠BAC=∠ACD

（第2题） （第3题）

3．如图所示,如果∠D=∠EFC,那么( ) （第5题） A 、AD ∥BC B 、EF ∥BC C 、AB ∥DC D 、AD ∥EF

4．如图，直线a,b 被直线c 所截,现给出下列四个条件： ①∠1=∠5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a ∥b

的条件序号为( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 5. 已知直线a 、b 被直线c 所截,且∠1+∠2=180°,试判断直线a 、b 的位置关系。并说明理由.

10.4 平 移

学习目标：

1. 通过回忆生活中物体（图形）的平行移动，经历物体（图形）平移的操作，理解平移的性质。

2.能够按要求对一个图形进行平移，并运用平移的知识解决问题。

学习重点：

平移的概念、平移的性质

学习难点：

平移性质的运用，找对应点和对应线段。

一、学前准备

【回顾】 1、填表

34

D

C B A

21

F

E D

C B A 876

5432

1

2、如图，已知：21∠∠＝， 50＝D ∠，求B ∠的度数。

【自学】

1.认真阅读教材128-129页内容，完成下列问题：

2.在平面内， ，这种图形的变换叫做平移。

二、探究活动

1.观察：

2.特点归纳

3．平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向＿＿＿一定的距离，这样的图形运动称为

平移。

※注意：①图形的平移是由＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿决定的。

②平移的方向不一定水平。

4.平移时，原图形上的所有点都沿同一个方向移动相同的距离，原图形上的一点A 平移后成为点A ’，这样的两点叫做 ，线段AB 和线段A ’B ’叫做对应线段，∠A 和∠A ’叫

H

G 2

1

E

D

C B

A

A

B C

A’

B’

C’

A’

B’

C’

O

F

E

C

B

C

A

F

图　2

F E D

A 做 。

5．平移性质：

①平移不改变图形的＿＿＿＿和＿＿＿＿。 ②经过平移所得的图形与原来的图形的 对应线段＿＿＿＿且＿＿＿， 对应角＿＿＿＿，

对应点所连的线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

【例题分析】

例1．如图,平移三角形△ABC,使点A 运动到A`,画出平移后的△A`B`C`.

·A

例2．把一个△ABC 沿东南方向平移3cm ，则AB 边上的中点P 沿＿＿＿方向平移了＿＿cm 。

例3．如图，△ABC 是由四个形状大小相同的三角形拼成的，则可以看成是△ADF 平移得到的小三角形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

例4．如图，△DEF 是由△ABC 先向右平移＿＿格，再向＿＿＿平移＿＿＿格而得到的。

例5．如图，有一条小船，若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船。

例6．如图所示,平移△ABC 可得到△DEF,如果∠A=50°, ∠C=60°,那么∠E=?____度,∠EDF=_______度, ∠F=______度,∠DOB=_______度.

三、自我测试