2. 4、如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 22 23 A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 24 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析
一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,
(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案
高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变(一) 原题:482++=x mx x f )( 的定义域为R ,求m 的取值范围 解:由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤,得4≥m 变1:4823++=x mx x f log )(的定义域为R ,求m 的取值范围 解:由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<,得4>m 变2:)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ,求m 的取值范围 解:令=t 482++x mx ,则要求t 能取到所有大于0的实数, ∴ 当0=m 时,t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时,0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3:182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,,求m,n 的值 解:由题意,令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ,得0-8--2=+n y x x m y )( m y ≠时,Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时,08 ==m n x - R x ∈ ,也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一:根据绝对值的定义,进行分类讨论求解
(1)当03-≥x 2时,不等式可化为53-<x x x x ?-3-或且 综上:解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三:利用等价命题法 原不等式等价于 -33-2x 5-53-<<<<或x 23,即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四:利用绝对值的集合意义 原不等式可化为 2 5 23<<23-x ,不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于 23,且小于2 5 ,由图得, 解集为} {0x 1-<<<<或43x x 一题多解 一题多变(二) 已知n s 是等比数列的前n 想项和,963s s s ,,成等差数列,求证: 852a a a ,,成等差数列 法一:用公式q q a s n n 一一111)(=,
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式: 如果事件A 、B 互斥, 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立, 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ={1.3. m }, B ={1, m} ,A U B =A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点, 焦距为 4 一条准线为x=-4 , 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 , AB=2, CC 1=22 E 为CC 1的中点, 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n , a 5=5, S 5=15, 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中, AB 边的高为CD , 若 a·b=0, |a|=1, |b|=2, 则 (A) (B ) (C) (D)
高考数学数列大题训练答案版
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III)
2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III) 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性;单调性;抽象函数;解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性,单调性以及简单的解不等式,属于简单题。 【解析】 解析二:(特殊函数法)由题意,不妨设()f x x =-,因为21()1x f --≤≤,所以121x -≤-≤,化简得13x ≤≤,故选D 。 解析三:(特殊值法)假设可取=0x ,则有21()1f --≤≤,又因为1(12)()f f ->=-,所以与21()1f --≤≤矛盾,故=0x 不是不等式的解,于是排除A 、B 、C ,故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数,且235x y z ==,则 A .235x y z << B .523z x y << C .352y z x << D .325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小;对数的运算;对数函数的单调性; 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小,其中运用到了对数的运算公式,对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一:令()2350x y z t t ===>,则2log x t =,3log y t =,5log z t =, 2lg 22log 1lg 22t x t ==,3lg 33log 1lg33t y t ==,5lg 5log 1lg55 t z t ==, 要比较2x 与3y ,只需比较1lg 22,1lg 33,即比较3lg 2与2lg3,即比较lg 8,lg 9,易知lg8lg9<,故23x y >.
高考理科数学《数列》题型归纳与训练
高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷:(本题满分18分) 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈,数列{}n b 满足()sin n n b a =,集合 {}*|,n S x x b n N ==∈. (1)若120,3 a d π ==,求集合S ; (2)若12 a π = ,求d 使得集合S 恰好有两个元素; (3)若集合S 恰好有三个元素:n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的 值. 二、2019年高考数学浙江卷:(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注: 2.71828e =为自然对数的底数.
设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. (1)求n 的值; (2)设(1n a =+*,a b ∈N ,求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷:(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ,若无穷数列{}n b 满足:对任意*n N ∈,都有1n n b a -≤,则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列,11n n b a +=+,*n N ∈,判断数列{}n b 是否与{}n a 接近,并说明理由; (2)设数列{}n a 的前四项为:12341,248a a a a ====,,,{}n b 是一个与{}n a 接近的数列,记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===,求M 中元素的个数m ; (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列,若存在数列{}n b 满足:{}n b 与{}n a 接近,且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数,求d 的取值范围.
2017年高考数学一题多解——江苏卷
江苏卷 2017年江苏卷第5题:若tan 1-=46πα?? ???,则tan α= 【答案】75 【知识点】两角和与差的正切公式 【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式,属于基础题。 解法一:直接法 由61)4tan(=-π α,得6 1tan 4tan 14tan tan =+-αππ α,故可知57tan =α 解析二:整体代换 11tan()tan 7644tan tan[()]1445 1tan()tan 1446 ππαππααππα+-+=-+===---. 解法三:换元法 令t =-4π α,则61tan =t ,t +=4πα.所以57tan 11tan )4tan(tan =-+=+=t t t πα 2017年江苏卷第9题(5分)等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项为S n ,已知S 3=,S 6= ,则a 8= . 法二:65436144 7463a a a s s ++==-=- 84 71433 21654===++++q a a a a a a
S 3=,∴ ,得a 1=,则a 8==32. 法三:9133 2165432136=+=+++++++=q a a a a a a a a a s s ∴q=2 ∴,得a 1=,则a 8==32. 2017年江苏卷第15题.(14分)如图,在三棱锥A ﹣BCD 中,AB ⊥AD ,BC ⊥BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证:(1)EF ∥平面ABC ; (2)AD ⊥AC . 法二: 在线段CD 上取点G ,连结FG 、EG 使得FG ∥BC ,则EG ∥AC , 因为BC ⊥BD ,所以FG ⊥BD , 又因为平面ABD ⊥平面BCD ,
2014年高考数学真题分类汇编理科-数列(理科)
1.(2014 北京理 5)设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2014 大纲理 10)等比数列{}n a 中,4525a a ==,,则数列{}lg n a 的前8项和等于( ). A .6 B .5 C .4 D .3 3.(2014 福建理 3)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ). A.8 B.10 C.12 D.14 4.(2014 辽宁理 8)设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列{}12 n a a 为递减数列,则( ). A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 5.(2014 重庆理 2)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ). A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列 二、 填空题 1.(2014 安徽理 12)数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q = . 2.(2014 北京理 12)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =________时,{}n a 的前n 项和最大. 3.(2014 广东理 13)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且5 10119122e a a a a +=, 则1220ln ln ln a a a +++= . 4.(2014 江苏理 7)在各项均为正数的等比数列{}n a 中,21a =,8642a a a =+,则6a 的值是 . 5.(2014 天津理 11)设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若 124,,S S S 成等比数列,则1a 的值为__________.
高考数学真题汇编数列理(解析版)
2012高考真题分类汇编:数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中,12=a ,54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ,54=a ,所以64251=+=+a a a a ,所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和,则下列命题错误的是 A.若d <0,则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项,则d <0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列,则对任意*N n ∈,均有0>n S D. 若对任意*N n ∈,均有0>n S ,则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,….满足数列{S n }是递增数列,但是S n >0不成立.故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=( ) ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列,所以87465-==a a a a ,又274=+a a ,所以2474-==a a ,或4274=-=a a ,.若2474-==a a ,,解得18101=-=a a ,,7101-=+a a ;若4274=-=a a ,,解得18110=-=a a ,,仍有7101-=+a a ,综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =,n n a a a S +++= 21,在
2018年高考数学一题多解——全国I卷
全国I 卷 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性;单调性;抽象函数;解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性,单调性以及简单的解不等式,属于简单题。 【解析】 解析二:(特殊函数法)由题意,不妨设()f x x =-,因为21()1x f --≤≤,所以121x -≤-≤,化简得 13x ≤≤,故选D 。 解析三:(特殊值法)假设可取=0x ,则有21()1f --≤≤,又因为1(12)()f f ->=-,所以与21()1f --≤≤矛盾,故=0x 不是不等式的解,于是排除A 、B 、C ,故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数,且235x y z ==,则 A .235x y z << B .523z x y << C .352y z x << D .325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小;对数的运算;对数函数的单调性; 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小,其中运用到了对数的运算公式,对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一:令()2350x y z t t ===>,则2log x t =,3log y t =,5log z t =, 2lg 22log 1lg 22t x t == ,3lg 33log 1lg33t y t ==,5lg 5log 1lg55 t z t ==, 要比较2x 与3y ,只需比较1lg 22,1 lg 33,即比较3lg 2与2lg3,即比较lg 8,lg 9,易知lg8lg9<, 故23x y >.
2019年高考理科数学分类汇编:数列(解析版)
题08 数列 1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =- C .2 28n S n n =- D .2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知,415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,2 4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断. 2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8 C .4 D .2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?, 解得11,2 a q =??=?,2 314a a q ∴==,故选C . 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2 +b ,n *∈N ,则 A . 当101 ,102 b a = > B . 当101 ,104 b a = > C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n * =∈N .
高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题
(重庆)22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分) 在数列{}n a 中,()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ (1)若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式; (2)若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明:01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】(1)132n n a -=?;(2)证明见解析. 试题分析:(1)由02λμ==-,,有212,(n N )n n n a a a ++=∈
若存在某个0n N +∈,使得0n 0a =,则由上述递推公式易得0n 10a +=,重复上述过程可得 10a =,此与13a =矛盾,所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈,即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-,,数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =,归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +,所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上:01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点:等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法.
高考数学典型题一题多解系列三
第11题 一道根式函数题的6种解法 设t t =求的取值范围(江苏高考解答题中的一个小题) 解法一:(平方化为二次函数)对t =两边平方得22t =+ 011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ , 故t 的取值范围是?? 解法二:(三角换元法)注意到 ))()211x + =-≤≤, 可用三角换元法,如下: 2sin ,0,2πααα??==∈???? 得 2sin 4t πααα? ?==+ ??? 由 32sin 24 4 424π π ππαα? ?≤+ ≤ ≤+≤ ?? ? t ∴的取值范围是?? 解法三:(三角换元法)[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令, 则有 cos sin cos sin 2222t θθ θθ??==+=+???? 以下解法同解法二,这两种换元法本质上是一样的,只不过是从不同角度看问 题的, 解法二,注意到了平方和为一个常数,解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手. 解法四:(双换元法),u v x ==消去得: 2 2 2u v +=,问题转化为方程组2 2 02 u v t u v u v +=?≤≤≤≤?+=?在条件下有解时, 求t 的取值范围,即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时, 求t 的取值范围,以下用数形结合法解(略)。
解法五:(构造等差数列)由t =22 t =?, 2t 成等差数列。 22 t t d d =-=+, 消去x 得2 22222,442t d t d =+=-,由20d ≥知 22444t d =-≤,得2t ≤。 0。 222 d d ≤≤- ≤≤ 221 444422 t d ∴=-≥-?=2t ≤≤ 解法六:(构造向量法)设向量(1,1),(1p q x ==+,两向量的夹角为α, 则112cos 2t p q t αα=?=+=∴≤ 由图像知:当点位于坐标轴上时,cos α取最小值。 01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思:上述六种解法一个共同特点,都是从函数式的结构特点出发,或变更形式,或巧妙换元,或数形结合,或构造向量,都是数学转化思想的有效应用,但对六种方法作一对比,不难看出,方法一最为简单,究其原因,仍是平方后的结构简洁的特点所致,因此,函数结构特征决定求解方法。 通过解一道高考题,探索其多种解法,体现了换元法、向量法、解析几何 法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值(值域)中的应用。 数学知识有机联系纵横交错,解题思路灵活多变,解题方法途径众多,但最终却能殊途同归,即使一次性解题合理正确,也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法,不能解完题就此罢手,应该进一步反思,探求一题多解,开拓思路,勾通知识,掌握规律,权衡解法优劣,培养学生发散思维能力;探求一题多变,做到举一反三,在更高层次更富有创造性地去学习,摸索总结,使自己的解题能力能更上一层楼。 第12题 特值压缩法求解参数取值范围 已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+。