任意角的三角函数 刘云丹教案

《任意角的三角函数》教案

一、教材分析

“任意角的三角函数”是人民教育出版社（A 版）普通高中标准实验教科书数学必修4

第一章第二节的内容，是第一章“任意角和弧度制”的后继内容。

1、主要教学内容：

?????????=?+=?+=?+符号；域和函数值在各象限的、三种三角函数的定义

、公式一义弦、余弦、正切）的定、任意角三角函数（正知识结构图：利用单位圆理解任意角的三角函数3tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(:2;1)(απααπαα

παk k k 2、教材的地位与作用：“任意角的三角函数”是高中数学十分重要的内容，本节是三角函数第一章第二节第一课时，主要学习任意三角函数的定义，它是这一章也是整个三角函数部分的重要基础知识，在教材内容结构上起到一个承上启下的作用，对三角函数的整体学习也至关重要。同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。最后对任意角的三角函数的探究过程中，使学生经历了观察、归纳、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，提高了他们探究问题、分析问题、解决问题的能力，帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，为以后的学习奠定了扎实的基础。所以这个内容要认真探讨教材，精心设计过程。

二、学情分析

1、知识基础：在初中时，学生已经学了“锐角三角函数”为本节理解三角函数的几何意义有帮助，以及在本章第一节“任意角与弧度制”的内容中学生用坐标不仅找出来任意角与象限角，而且还了解了它们的含义与性质，对角的范围和表示方法有所了解，学习了弧度制，学生能够把以前所学过的角度都在弧度制下表示出来。

2、能力基础：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，相对于初中学生来说已经相对成熟，能在教师的引导下独立的解决问题。

3、习惯情况：班级学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好的应用数形结合解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

三、教学重难点

1、重点：①任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法；②终边相同角的诱导公式（一）；

2、难点：从函数角度理解以实数为自变量的任意角的三角函数，以及单位圆、有向线段的应用。

四、教学目标

1、知识与技能目标：

借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：

①能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；

②能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；

③知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

2、渗透数学的思想方法：

①学生的积极参与，亲身经历，通过观察，利用几何画板让同同学们进一步理解任意角在坐标系中的几何样貌，体验坐标的优越性，数形结合思想的运用；

②老师引导学生回忆初中锐角三角函数的知识内容，提出猜想，运用几何画板，验证任意角的几何性质，提出单位圆的思想，感受计算机科技工具的快捷方便性，培养学生利用多媒体解决问题的方法；

③推导任意角的三角函数的过程类似于数学建模的过程，它贯穿了解析几何的始终，通过适当的建立坐标系与构造单位圆的方法，回忆以往三角函数的性质带入坐标系中，让学生有一种回忆旧知的习惯。总结规律，掌握方法，为后面三角函数的诱导公式等学习提供示范。

3、情感态度与价值观：

①通过培养学生主动探究、合作交流的过程，加强了学生团队协作意识，感受探索的乐趣和成功的喜悦；

②养成实事求是的科学态度和锲而不舍的精神；

③激发学生的学习兴趣、增强数学应用和创新意识，体会数学的美感，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；

④应用多媒体、几何画板等教学，提高学生的活跃性，让知识具有科学依据。

五、教学教法

1、教法：数学是集抽象与实践为一体的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状，主要采取“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，在学习中，得到体验。通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义？进一步扩展所学内容，发展新知识，从而激起学生探求新知的欲望，调动学生参与学习的积极性。教学中运用多媒体工具提高直观性增强趣味性，并注意用新课程理念处理传统教材，使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流，教师发挥引导者、合作者的作用，引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。主要以“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学。

2、学法：在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为真正的学习的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳法、自主探究法、总结

反思法。同时学生具备一定的自学能力，教学中通过学生对已掌握的知识进行拓展,既培养学生从现有知识探索新知识的能力,又提高了学生解决问题的数学思想与数学意识。

六、教学准备

1、常规媒体（黑板）；

3、“几何画板”、ppt 课件制作。

（为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维。）

七、教学程序

1、设立情景、引入课题

A 、提问形式：上节课已经学习了角的推广，我们推广到了任意角，那么任意角给你留下印象最深的是什么？

（预测答案：1、一个角可以表示出无数个角[补充：这些角就是在直角坐标系中与它终边相同的角，也就是相差360度整数倍是吧]；

2、角度可以是正角、负角、零角；

3、能够用角度表示它对应的弧长[补充：那么这个就是用弧度制来度量是

吧，这样一个角就可以弧度数来表示它]

4、如果把角放在直角坐标系中，当它终边一圈一圈转时，可以看见一种

周而复始的现象[演示几何画板：以原点为顶点，x 轴非负半轴为始点，绕着顶点转动，角周而复始的现象，补充：其实最关键的是这个角是由旋转生成的]）

任意角的三角函数多媒体展示图片让学生举出实例函数？圆周运动引入：任意角转动??

????→???→?)()( （圆周运动时生活一个非常重要的运动，函数是数学当中用来刻画客观世界变化规律的一个数学模型，那就产生了这样一个问题：任意角的这种圆周运动应该用什么样的函数来刻画它呢？）

2、启发诱导，探索新知

A 、 【启发诱导】：在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为

自变量，以比值为函数值的函数。上节课老师给大家布置了一个课后作业就是

去复习锐角三角函数的定义，初中学的三角函数是在什么图形中定义的？（直

角三角形），那么现在我们的角放在直角坐标系里面，我们要定义三角函数是

不是同样需要一个直角三角形？

B 、 【学生探索】：现在同学们结合所学的知识在纸上用直角坐标系来表示出锐

角三角函数，老师等一下要抽同学来展示自己的成果。（抽同学将成果贴在黑

板上，并讲解自己的思路。）

（总结补充：设锐角α的顶点与原点O 重合，始边以x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离

022>+==y x r OP ，根据初中学过的三角函数我们有：x

y r x r y ===αααtan ,cos ,sin 。） （1）锐角三角函数定义：

A 、【老师启发】： 【问题1】这个就是锐角三角函数，它反映的是直角三角形中边角的关系，那么锐

角三角函数它是不是真的函数呢？从高中函数定义这个角度你能不能解释一下呢？

（预测回答1：r

y =αsin 是函数，因为每一个y 都有唯一的x 与之对应（那这就涉及到一个问题了：这里自变量是（α）谁是函数值呢（y ））

（预测学生纠正：函数值应该是r

y ） 【问题2】那么按照高中函数的定义你怎么来解释它就是函数？

（预测答案2：y 取一个值时都有唯一的α与之对应）

（预测学生纠正：应该是取定一个α值，有唯一的r

y 与它对应的） B 、【老师总结】：唯一确定的定任取r

y ?→?α（那么只要满足这样一个关系就是一个函数是吧，于是x y r x ==

ααtan ,cos 同理） 2

2y x r +=

(2)、单位圆思想：

A 、【老师启发】：（任取α，r

y 这个比值是唯一确定，那这个比值是不是和P 点的位置有关呢（是的）这个比值是随着P 点的变化而变化吗？那我角给定的情况下会不会改变它的比值呢？（不会），为什么（因为角给定了，sin(α)是定的所有比值是不变的））（几何画板播放）当角α给定时，P 在终边上运动，坐标变化，但是比值不变，这是为什么呢？依据是

什么（相似），所以有了相似的比可以保证我们的

r

y 这个比值并不是随着终边上点的位置变化而变化的，只要角给定了这个比值也是给定了的。既然 r y 这个比值与点在终边上的位置无关，那这个点可以在终边上位置随意取吧（可以），那么一般我们取什么地方比较好呢（r=1），那r=1时有什么好处？是不是直接可以写出：

???????===?→?????

?????====x y x y x y r x r y r ααααααtan cos sin tan cos sin 1 那么此时x 、y 对应的几何含义是什么？如果把x 、y 看成一个点P(x,y)这个点是一个怎样的点？

B 、【老师总结】：P(x,y)是单位圆与角α终边的交点。当角α是锐角时，就可以得到一个结论 x

y x y ===αααtan ,cos ,sin ,找到了这个边和角的关系。 （3）、利用单位圆与锐角三角函数的定义，定义任意角的三角函数：

A 、【老师引导】：而且我们发现当α是锐角的时候，r

y =αsin 就是一个函数，是以角为自变量，y 为函数值得一个函数，那我们能不能用它来刻画整个圆周运动呢？刚才呢角是锐角的时候，我们找到了这些量之间的关系，那如果这个角是钝角呢？这个关系还有没有呢？（几何画板）我把它变为钝角，大家发现钝角现在不好放在直角三角形中了，但是给你一个角是不是依然有一个x 、y 与它对应啊？（是），那如果我把它变成第三象限角，是不是仍然有个x 、y 与它对应啊？（是），也就是无论角怎么改变，那么就有一个结论，任给一个角都有一唯一的x 、y 与它对应是吧（是），利用之前锐角三角函数的定义，那同样我们也可以说明，就把这个y 叫做α的正弦，x 就叫它的余弦：

;tan tan )3(;

cos ,cos )2(;

sin ,sin )1(),,(x

y x y x x y y y x P ===αααααααααα，即的正切，记做叫做即的余弦，记做叫做即的正弦，记做叫做那么：边与单位圆交于点是一个任意角，它的终设任意角三角函数定义：

那么这三个以角为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，我们就把它称作是任意角的三角函数。

那么从函数的角度分析一下，函数应该有个三要素，那这些函数的定义域是什么呢？ （预测答案：因为它是任意角，所有它的定义域应该是()+∞∞-,）也就是实数R 。 那吗？中R x y ∈=ααtan （r

y 是个比值，所有x ≠0）那也就是说对点P 的位置有要求是吧（OP 不能与x 轴垂直）也就是角α不能落在y 轴上，那么对角α也应该是有条

件的α≠Z k k ∈+π，π2，可以看出，当α=)(2

Z k k ∈+ππ时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以tan α=r

y 无意义。

B 、【 老师总结】： 。π，π且其中，，即的正切，记做叫做，其中即的余弦，记做叫做其中即的正弦，记做叫做那么：

边与单位圆交于点是一个任意角，它的终设任意角三角函数定义：

Z k k R x

y x y R x x R y y y x P ∈+≠∈=∈=∈=2

tan tan )3(;cos ,cos )2(;

,sin ,sin )1(),,(αααααααααααααα

对于确定的α，上述三个值都是唯一确定的，所以正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，所以我们将它们统称为三角函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

3、随堂练习，巩固新知

例1（1）、任给一个角，“口算”它的三角函数值：(配合几何画板解决问题)

)4

(tan 13cos )1(270sin π）（π-==-=αo （2）如果角α的正弦值为sin α=-1,你能写出其中的一个角吗？

（270度，应为sin α=y=-1就是单位圆与Y 轴的交点在y 轴的负半轴上，所以点p 的坐标为（-1、0）所以角α的终边是y 轴的负半轴，α=270度）

推广：其实还有没有啊（有……）很多很多，能不能表示啊？

就是α=）π（πR k k ∈+22

3 （那为什么他们的正弦值都为-1呢，（因为他们的终边都相同，都是y 轴的负半轴）那对于任意的角α，只要与它终边相同的角的正弦值都相同吗？（几何画板演示）），我们就可以表示为：ααsin )2sin(=+πk ，那么对于余弦值，正切值也一样吗（几何画板演示）。总结结论：由三角函数定义，可以知道终边相同的角的同一三角函数的值相等

.

,tan )2tan()(,

cos )2cos(,

sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+其中π公式一ππαααααα （由公式一可知，三角函数值有“周而复始”变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，所以利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π（或0~360度）角的三角函数值。）

探究（p13）符号判定，形象记忆

那么刚刚所给的角都是特殊的角，如果我任取一个角，如391.11度，那这个角有些特点还是可以把握的，比如说，这个角终边现在这里，那么这个角的正弦值、余弦值、正切值的符号你能确定吗？根据什么来确定呢？（象限）为什么根据象限就可以判定它的符号呢？假设这个点在第一象限呢？

（预测答案：因为在第一象限，x 、y 的值都是正的，于是比值也是正的，而：x

y x y ===αααtan ,cos ,sin ，所以这个角的正弦、余弦、正切值也都是正的）其实根据坐标的符号就可以断定三角函数值得符号有没有道理啊？（有）

那么总结不同象限的函数值，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

（同好得正、异号得负）

sin α= y/r ：上正下负横为0 cos α=x/r ：左负右正纵为0 tan α=y/x ：交叉正负

－ y － ＋ ＋ x － y ＋ － ＋ x ＋ y － － ＋ x

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

（设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. ）现在我们就应用这个道理大家算算看：

变式练习：

例2、不求值你是否能判断下列三角函数值的符号？

)6

11tan()54cos()5050sin(π- 例3、已知角α的终边过点)2

3,21(-P ，求α的正弦、余弦、正切值？（几何画板）

（因为r=1所以可以看做是单位圆与α的终边的交点那么x y x y ===αααtan ,cos ,sin ） （那么通过刚才的这些例题，就是为了巩固三角函数定义的认识）

4、形成测试，评价回授

思考题：一个质点从点（1、0）出发，在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，若经过弧长为x ，试用x 表示质点所在位置P 点的坐标。（配合几何画板质点运动讲解）

（这样来看，三角函数确实能够很好的表示圆周运动是吧）

课堂练习（p15题3）

填表： 角α（角度）

0° 90° 180° 270° 360° 角α（弧度）

sin α

cos α

tan α

处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义。

强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2 、π、3π/2 等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值。

（设计意图：及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终。）

5、小结

（1）利用单位圆定义三角函数的定义：

锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？

师生活动：在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点。

（2）公式一、三角函数符号：

今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用．你能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？

师生活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想。

6．布置作业

教科书P.20习题1.2A组第1，2，3（1）、（3），4（1）、（3），5，6（1）、（2）、（3），7（1）、（3），8（1）、（3），9题．

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．

八、板书设计

1.2.1任意角的三角函数

一、三角函数的定义

回顾

三角函数定义推导过程

二、公式一

锐角三角函数贴图三、三角函数在不同象限的符号

九、教学反思

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。

任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是

一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<

关于规范教案 讲稿 的指导意见

关于规范教案（讲稿）的指导意见 各教学单位： 为提高教学质量，相对规范教案（讲稿）格式，迎接明年的本科水平评估，经专家讨论并参照兄弟院校的经验，对我校的教案（讲稿）的编写提出以下意见，请各单位结合自己的实际情况参照执行。 教务处 2007．3．30 一、关于教案编写的基本要求 1．教案是教师以课次为单位编写的教学具体方案，是上课的重要依据，是保证教学质量的必要措施。 2．教案既不同于教学大纲，也不是教材的翻版。教案是实现教学大纲的具体细化并精心设计的授课框架。编写教案应以课程的教学大 纲为依据，在充分占有资料，深入钻研教材，了解学生基本情况，熟悉教学设施、条件的基础上，根据每门课程的内容和特点，结 合教师的教学经验和形成的教学风格，充分发挥教师个性、特点 和才华，编写出具有自身特色的教案。 3．教案中的“基本内容”部分是丰富和内化教案中的具体要求并实现这些设想的实质内容和书面台词（若另有详细的讲稿，此部分可 为提纲，即约案），要充分考虑如何实现教案中所要求达到的教学目的和效果。 4．教案一般以每次课为一编制单位。 5．教案安排的课次、时间、主要教学方法、教学场所应与教学进度表

相一致。 二、教案参考格式 第次课学时授课时间 第页

（注：根据需要可多页）第页 三、说明 1．“教学目的与要求”一般分为了解、理解和掌握三个层次。根据教学大纲确定本次课相应的目的和要求，根据具体需要，还可以增加“识记”，

如识记某些重要的概念、公式、定理、结论等。 2．“教学重点”一般为1-2个，也就是要求学生掌握的内容。属于重点的教学内容，应该在教案和教学中体现出来。如：在教案中所占的篇幅应相对较多，讲授时所花的时间最多，投入的精力最大，采用的方法最为恰当，等等。这就是我们平时所说的“突出重点”。 3．“教学难点”也就是本次课教学中学生最难理解和掌握的内容。属于难点的教学内容，也应该在教案和教学中体现出来。如：在教案中应体现出方法的针对性、灵活性和有效性，在讲授时所花的时间相对较多，投入的精力相对较大。 4．“时间分配”是指完成本次课各部分所需的大致时间。 5．“教学方法及师生互动设计”。常用的教学方法一般有讲授法、谈话法（提问、问答）、案例分析法、演示法、实验法、参观法、练习法等。虽说“教学有法，但无定法”，但本次课教学准备常用哪种（或哪些）主要方法，应该在教案中体现出来。为了提高课堂教学效果，提高学生学习的积极性、建议设计师生互动环节。 课堂上应有一定时间检查学生作业和学习情况，给学生表达思想展示成果的机会。 6．“作业”：给学生布置作业是教学工作的一项基本环节，目的是帮助学生进一步消化和巩固课堂所学的知识，掌握相应的技能，养成运用知识的能力和习惯。作业分建议性的和规定性的。作业的类型主要有：阅读参考书和专业文献；背诵需要熟记的定义、公式或词句等；熟记有关事实、概念、定理、公式和法则；演算习题，解答问题，完成作文或实

高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案

1.2.1任意角的三角函数（A 层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的________，记作______，即sin α＝y ； ②x 叫做α的________，记作______，即cos α＝x ； ③ y x 叫做α的________，记作______，即tan α＝y x (x ≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为： sin α＝ cos α＝ tan α＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀： 。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k ·2π)＝________，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z . 4.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角α 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 3 2 π 2π sin α cos α tan α

二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.

讲稿和教案的区别

讲稿和教案的区别 讲稿，有的教师也叫备课笔记。它属于教师备课工作的文字结果之一，是个人一种最基本的教学文件。讲稿一般以课程教学大纲确定的教材为基本线索，按篇、章、节逐一书写，但它决不是教材本身的全文照录，而是根据教学对象、教学时数、经过适当梳理确定的基本教学内容。从这个意义上说，讲稿有点像一本简化了的讲义。当然，讲稿在教学内容的取舍、讲法、编排顺序上也不一定完全拘泥于原教材的格局；也就是说，教材上的内容不是必须纳入讲稿，而教材以外的内容也不是不能纳入讲稿。另外，当原教材存在某些缺陷时，还应遵循科学的原理作必要的纠正，记录在讲稿上，适时告诉学生，如某些概念的偏差和某些数据的偏差。可见，讲稿是经过教师本人多方学习、深刻理解教材后确定的教学内容，涵盖较广，文字较多。有同志形容讲稿是个人讲课的资料库，这个比喻很好。 教案，按字面可理解为授课的方案。它大致包含以下要素：学科名称、授课时间、授课题目、教学目的、授课类型、重点、难点、教具、教学进程和教学方法。 教学进程和教学方法是教案的关键，因为在这一部分，要写出教学内容的安排和时间分配，还要写出教学方法的具体运用，尤其对如何突出重点，分解难点，都应有一定的说明和交待；另外，对板书布置、例子选择、教具

展示、作业数量，以及如何引导、教育学生等等，都要作出考虑。 归结起来，讲稿与教案的主要区别在于：讲稿侧重教学内容上的选择与撰写，而教案则偏于教学方法、教学安排、教学效果上的设想与构思。倘若从影视艺术的角度打比方，讲稿类似于剧本，而教案则犹如策划，像导演的分镜头脚本。 讲稿和教案，其实是密不可分的。因为一定的教学内容，必须通过恰当的方法和形式，才能收到较好的效果。为了达到良好的教学效果．实现内容与形式的统一，既要有讲稿，又要有教案。 讲稿与教案的区别 1.教案是依据教学内容、教学方法、教学对象、教学设施等特点，以课题为单位对教学进程进行的设计组织，它所承载的基本是课堂教学的组织管理信息，涉及的是组织性项目，而讲稿主要是依据教学大纲对教学内容进行的阐述，它所承载的基本是知识信息，涉及的是知识性项目。 2.教案的思路形成，主要受教学过程的管理逻辑支配，而讲稿的思路形成，主要受教学过程的知识逻辑支配。 3.教案形成的基础和前提必须是科学性与思想性兼

2020年普通高考数学一轮复习第22讲任意角的三角函数及诱导公式精品学案

2020年普通高考数学科一轮复习精品学案 第22讲任意角的三角函数及诱导公式 一?课标要求： 1 .任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2.三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（n /2 ±a , n±a的正弦、余弦、正切）。 二.命题走向 从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。 预测2020年高考对本讲的考察是： 1.题型是1道选择题和解答题中小过程； 2 .热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。 三.要点精讲 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射 线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。 为了区别起见，我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在 第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角，它们彼此相差2k n （k € Z），即 { 3 | 3 =2k n +a, k€ Z},根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角，女口a€ { a| — WaW—}=[_,—]。 6666 3 .弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作 1 rad , 或1弧度，或1（单位 可以省略不写）。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-n, -2n等等，一般地，正角 的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋 转方向来决定。 角的弧度数的绝对值是：丄，其中，|是圆心角所对的弧长，r是半径。 r 角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad。 180

任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域． 2．过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一 般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力． (2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． (3)通过对定义域介绍，提高学生分析、探究、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的 一种联系方式． (2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神． 重点、难点 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)． 教学难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义． 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 新知探究 一、三角函数的定义： 提出问题 问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题 问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

《演讲》教案全面版

《演讲》教案 教学目标: 1.理解什么是演讲，把握演讲的要求。 2.培养学生语言流畅、主题明确、感情真挚地进行演讲的能力。 3.培养学生正确的人生观、价值观以及自信的态度和勇气。 教学重点: 培养学生在演讲中自然流畅、清楚明白、感情真挚地表达自己的观点、看法和感情。 教学难点: 培养学生用自己的眼光去看待社会和人生，有自己正确的见解和立场。 教法:情景模拟法、案例分析法 学法:分组讨论法 教学过程: 课前准备 1．提前预习《演讲》。 2．准备以“感恩”为主题的演讲稿。 3．制作好教学课件。 4．全班分成四个小组，确立出评委。 5．组织一名摄影小记者、三名文字小记者，借好摄像设备。 一、导入新课： 1．学生朗读生活情境。 2．教师导入本节内容：同学们，你有过当众发言时吞吞吐吐的尴尬吗？你有过面试时两脚发抖的紧张吗？记得西方国家有人这样说：“世界上有两样东西最令人害怕，一个是原子弹——另一个是什么？（可让同学们七嘴八舌地回答）另一样就是演讲！演讲，真的那么令人害怕吗？今天我们就来学习一下演讲吧。 二、精彩赏析，借鉴学习： （一）同学们已经进行了预习，请快速回答下列问题。 1．演讲的定义 演讲，又称讲演、演说，是指对听众讲述有关某一事物的知识或对某一问题

阐述见解的口语交际形式。 2．演讲的特点：针对性、鼓动性和艺术性 3．演讲的基本要求： （1）学生快速浏览文本，整体把握演讲的基本要求，然后师提问：演讲的基本要求有哪些？ ①主题明确，内容充实 ②感情充沛，张弛有度 ③神情自信，仪表端庄 ④语言丰富，表达流利 （二）下面是几段精彩的演讲，大家思考，这几段演讲的精彩之处在哪里，体现了哪些演讲的技巧？ 1、案例一 在华盛顿的某个口才训练班里有位福林先生，他刚参加训练时，从一家报社所发行的一本小册子里仓促且大略地搜集了一些关于美国首都的资料，然后向众人演讲。他虽然在华盛顿住了许多年，却没能举出一个亲身的经历来说明自己为什么会喜欢这个地方，只是一味陈述着这个城市的妥善建设，所以听起来就让人感到枯燥、生硬，大家听得不耐烦，他自己也讲得痛苦。 出人意料，在两星期后发生了一件事情：他的新车停放在街上，竟有人开车把它撞个稀烂，并且逃逸无踪。这可把福林先生害惨了，这件事是他切身的经验，所以当他说起这辆撞的稀烂的汽车时，异常激动，说起话来滔滔不绝，怒气冲天，好像维苏威火山在眼前爆发了。两星期前，同学们听他的演讲时还觉得烦躁无聊，时常在椅子上扭动，现在却给了福林先生热烈的掌声。 思考：为什么前后两个星期，听众的反应会如此不同？福林先生学到任何独特的演讲技巧了吗？ 师生讨论分析：福林先生第二个周的演讲之所以会赢得观众的热烈掌声，最关键的一条是他讲了自己的亲身经历，内容清楚，感受深刻，这是他熟悉的主题，自然而然，语言就充满了热度，听众很容易就被感染。著名的演讲家卡耐基先生认为，谈论熟悉而确信的主题，主题明确，内容充实，是精彩演讲的一个重要条件，如果只是罗列口号或资料，很难引起听众兴趣。

2018版高中数学三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

巩固练习_任意角的三角函数_基础

【巩固练习】 1．角θ的终边经过点12? ? ? ??? ，那么tan θ的值为（ ） A ．12 B ．- C ． D ．2．若角0420的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ） A ．34 B ．34- C ．34± D ．3 3．下列三角函数值结果为正的是（ ） A ．cos100° B ．sin700° C ．2tan 3π??- ??? D ．9sin 4π??- ??? 4．化简0sin 390的值是（ ） A ． 12B ．12-C ．5．若42π π θ<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．sin θ＞cos θ＞tan θ B ．cos θ＞tan θ＞sin θ C ．sin θ＞tan θ＞cos θ D ．tan θ＞sin θ＞cos θ 6．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7．若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4 8．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。 10．若α为第二象限角，则|sin |cos sin |cos | αααα-=________。 11．已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ，则cos α=。 12．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin α=。

教案讲稿讲义的区别

教案、讲稿、讲义的区别与编写 一、关于教案、讲稿、讲义的内涵 教案：是依据教学日历的进度要求，为完成教学大纲所规定的教学任务而准备的教学工作计划，是教师以课时为单位编写的供教学用的实施方案。教学方案是落实教育思想、教学方法、教学手段和考试方法改革的具体措施，是指导具体教学实践的重要依据。一般应包括以下内容：授课的题目（教学章、节标题）、教学目标、教学的重点与难点、授课的方式、方法和手段、教学的基本内容、课后小结、作业、讨论、辅导答疑等课后延伸、参考资料。 讲稿：也叫讲课稿，是对全部讲授内容的具体组织和表达，是讲授内容的文字描述，要求尽可能详细、全面。讲稿可以摘录教材，但不能是教材的翻版。教师在编写讲稿时，可根据学生的层次、专业、知识面、知识的连续性对教材内容进行必要的增删，同时应加进学科前沿的知识。 讲义：为讲课教师自己编写的未正式出版的、可供学生使用的教材。 二、教案和讲稿的区别 1、二者的关系 教案和讲稿均是教师教学思维与教材结合的具体化过程，是教师课堂教学的依据，反映教师讲授的内容和不同特色。 2、二者的区别教案和讲稿的区别： （1）教案的基本内容体现的是教学的组织管理信息，讲稿的基本内容体现的是教学的知识信息；即教案解决的是“怎么教”的问题，讲稿解决的是“教什么”的问题。 （2）教案是骨架，讲稿是血肉，二者是决定与被决定的关系。 （3）在表现形式上，教案字少，显得简单，讲稿篇幅则较长。 三、教案和讲稿的编写 1．教案的编写 （1）教案编写要根据教学大纲、教材和教学进度表来编写，通过教案的基本构成要素来体现授课的详细实施步骤和主要内容。 （2）撰写教案首先要钻研教学大纲和教材，弄清本课程的教学目的、具体章节的具体内容和要求，了解课程体系、结构、重点章节以及各章节的重点、难点。其次要注意广泛阅读本门课程的相关资料，了解本学科、专业发展的发展方向，对课程有关内容作必要的补充。第三，要了解教育对象的知识结构、理解能力，对讲授内容进行合理安排和设计。 （3）教案是授课教师教学思想、教学方法和教学水平的重要体现之一，它反映教师的自身素质、

数学人教A版高中必修1任意角的三角函数导学案

2.2.2任意角的三角函数（1） 【学习目标】 1．掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2．会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】 一、复习旧知，导入新课 在初中，我们已经学过锐角三角函数： 角的范围已经推广，那么对任意角是否也能定义其三角函数呢？ 二、建构数学 1．在平面直角坐标系中，设点是角终边上任意一点，坐标为,它与原点的距离，一般地，我们规定： ⑴比值___________叫做的正弦,记作___________,即___________=___________； ⑵比值___________叫做的余弦,记作___________,即___________=___________； ⑶比值___________叫做的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当=___________________时, 的终边在轴上,这时点的横坐标等于____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数值的函数,我们将它们统称为___________________. 3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数. 4.其中，和的定义域分别是________________；

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4） 第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 【教学重点与难点】： 重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)

任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ） A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中，角 3πα+ 的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ） 3.若5sin 13α=- ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??，则 sin(12)α?-=（ ） A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 0>θ B ．cos 0<θ C ．tan 0>θ D ．sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知tan 2α ，其中α为三角形内角，则cos α=（） A. 5 - D.

二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3，则 sin β=_________． 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度． 15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54，5 3-)． (1)求 sin α的值． (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的 半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为 9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最 大值？

高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案

高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案 一、角的概念的推广 1．与角α终边相同的角的集合为 ． 2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角） 终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ． 4．象限角是指： ． 5．区间角是指： ． 6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 7．弧度与角度互化：180o＝ 弧度，1o＝ 弧度，1弧度＝ ≈ o． 8．弧长公式：l ＝ ； 扇形面积公式：S ＝ . 二、任意角的三角函数 9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ； 10．三角函数的符号与角所在象限的关系： 12解析式 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义 域 值 域 13．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线． － ＋ － + cos x , ＋ ＋ － － sin x , － ＋ ＋ － tan x , x y O x y O x y O αx y O

例1. 若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3α 的终边所在位置. 解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z ）. （1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z ）， ∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上. （2）∵k·180°+45°＜2α ＜k·180°+90°（k∈Z ）， 当k=2n （n∈Z ）时， n·360°+45°＜2α ＜n·360°+90°； 当k=2n+1（n∈Z ）时， n·360°+225°＜2α ＜n·360°+270°. ∴2α 是第一或第三象限的角. （3）∵k·120°+30°＜3α ＜k·120°+60°（k∈Z ）， 当k=3n （n∈Z ）时， n·360°+30°＜3α ＜n·360°+60°； 当k=3n+1（n∈Z ）时， n·360°+150°＜3α ＜n·360°+180°； 当k=3n+2（n∈Z ）时， n·360°+270°＜3α ＜n·360°+300°. ∴3α 是第一或第二或第四象限的角. 变式训练1：已知α是第三象限角，问3α 是哪个象限的角？ 解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k∈Z ）， 60°+k·120°＜3α ＜90°+k·120°. ①当k=3m(m∈Z )时，可得 典型例题

人教版高中数学必修四学案 任意角的三角函数(1)

一、复习：锐角三角函数的定义： 如图：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，P Ｍ⊥x 轴，∣ＯＰ∣＝r ， 当α为锐角时sin α= ;cos α= ;tan α= . P αr y x y x O M 二、自主学习：自学14P -16P 完成下面的填空： １。三角函数的定义：设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点，∣ＯＰ∣＝r ，(r= 22y x +，r ＞0) 则：sin α= ;cos α= ;tan α= . sec α= ;csc α= ;cot α= . 思考：三角函数是函数吗？ 2. 三角函数的定义域：完成下表 三角函数 定 义 域 sin α cos α tan α ３。三角函数符号： sin α= r y ：若y ＞0，则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上；若y ＜0,则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上.若y=0,则sin α 0;此时α的终边在 轴上。 cos α= r x ：若x ＞0，则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上； 若x<0，则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限

或在 上.若x=0,则cos α 0;此时α的终边在 轴上。 tan α= x y ，若x 、y 号，则tan α＞0，此时α的终边在第 象限或第 象限 若x 、y 号，则tan α＜0. 此时α的终边在第 象限或第 象限 若y=0, 则tan α 0;此时α的终边在 轴上。 若x=0, 则tan α不存在，此时α的终边在 轴上。 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 四、小结： 五、作业： 1.已知α的终边过点P （4，－3），则下面各式中正确的是（ ） A.sin α= 5 3 B.cos α=- 5 4 C.tan α=- 4 3 D.cot α=- 4 3 2.若角α的终边上有一点P （k k 54 ,53-）（0?k ），则sin α·tan α的值是（ ） A. 15 16 B.－1516 C.1615 D.－16 15 3.已知角α的终边经过点P （a ，b ），其中a ＜0，b ＜0,在α的六个三角函数中，符号为正的是（ ） A.sin α与csc α B.cos α与sec α C.tan α与cot α D.sec α与csc α 4.若角α的终边与直线y=3x 重合，且sin α＜0，又P （m ，n ）是α终边上一点，且 10=OP ，则m －n ＝（ ） A.2 B.－2 C.4 D.－4 5.已知点P （3，y ）在角α的终边上，且满足y ＜0，cos α=5 3 ，则tan α的值为（ ） A.4 3 - B. 3 4 C. 4 3 D.－3 4 6若sin θcos θ＞0，则θ在第 象限。

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数 课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解： 任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等 于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出： 当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 （Ⅳ） （Ⅲ）