力学常见模型归纳

、力学常见模型归纳

一．斜面问题

在每年各地的高考卷中几乎都有关于斜面模型的试题.在前面的复习中，我们对这一模型的例举和训练也比较多，遇到这类问题时，以下结论可以帮助大家更好、更快地理清解题思路和选择解题方法．

1.自由释放的滑块能在斜面上(如图9-1 甲所示)匀速下滑时，m与M之间的动摩擦因数μ＝gｔan θ．

2．自由释放的滑块在斜面上(如图９－１甲所示）：

(１)静止或匀速下滑时,斜面M对水平地面的静摩擦力为零;

（２)加速下滑时,斜面对水平地面的静摩擦力水平向右;

（３）减速下滑时，斜面对水平地面的静摩擦力水平向左．

3.自由释放的滑块在斜面上(如图9-1乙所示)匀速下滑时，M对水平地面的静摩擦力为零，这一过程中再在m上加上任何方向的作用力,(在m停止前)Ｍ对水平地面的静摩擦力依然为零(见一轮书中的方法概述）．

4．悬挂有物体的小车在斜面上滑行(如图9-2所示):

(１)向下的加速度ａ=ｇｓin θ时，悬绳稳定时将垂直于斜面;

(2)向下的加速度ａ>ｇｓin θ时，悬绳稳定时将偏离垂直方向向上;

(3)向下的加速度ａ＜ｇsiｎθ时,悬绳将偏离垂直方向向下．

５.在倾角为θ的斜面上以速度v0平抛一小球(如图9-3所示):

(１）落到斜面上的时间ｔ=＼f(2v０ｔan θ,ｇ）;

(2)落到斜面上时，速度的方向与水平方向的夹角α恒定,且tan α=2taｎθ，与初速度无关;

(3)经过tc ＝ｖ0ｔan θｇ 小球距斜面最远，最大距离d ＝(ｖ0sin θ)22gcos θ

． 6.如图9－4所示,当整体有向右的加速度ａ＝gtan θ时,m 能在斜面上保持相对静止．

7.在如图9－5所示的物理模型中，当回路的总电阻恒定、导轨光

滑时,ab 棒所能达到的稳定速度vm=错误!．

8．如图9－６所示，当各接触面均光滑时，在小球从斜面顶端滑下的过程中,斜面后退的位移s ＝＼f(m,m ＋M) L ．

●例1 有一些问题你可能不会求解，但是你仍有可能对这些问题的解是否合理进行分析和判断．例如从解的物理量单位,解随某些已知量变化的趋势,解在一些特殊条件下的结果等方面进行分析,并与预期结果、实验结论等进行比较,从而判断解的合理性或正确性．

举例如下：如图9-7甲所示,质量为M 、倾角为θ的滑块Ａ放于水平地面上.把质量为m 的滑块B 放在A 的斜面上．忽略一切摩擦,有人求得B 相对地面的加速度a=＼f(M+m,M ＋ｍsin2 θ) gsin θ,式中g 为重力加速度.

对于上述解，某同学首先分析了等号右侧的量的单位,没发现问题.他

进一步利用特殊条件对该解做了如下四项分析和判断,所得结论都是“解可能是对的”．但是，其中有一项是错误的，请你指出该项( )

Ａ.当θ＝0°时，该解给出a=0,这符合常识，说明该解可能是对的

B ．当θ＝９0°时，该解给出a ＝ｇ,这符合实验结论，说明该解可能是对的

C.当Ｍ?m 时，该解给出a≈gsin θ，这符合预期的结果,说明该解可能是对的

D.当ｍ?Ｍ时,该解给出ａ≈错误!,这符合预期的结果，说明该解可能是对的

【解析】当A 固定时，很容易得出a=gs ｉn θ;当A 置于光滑的水平面时,B 加速下滑的同时A 向左加速运动，B 不会沿斜面方向下滑,难以求出运动的加速度．

设滑块A 的底边长为L ，当B 滑下时A 向左移动的距离为x ，由动量守恒定律得：

M ＼f(ｘ,ｔ)＝m Ｌ-x t

解得:x=m ＬM ＋ｍ

当m ?M 时,x≈L，即B 水平方向的位移趋于零,B 趋于自由落体运动且加速度a≈g． 选项D 中,当ｍ?Ｍ时，ａ≈＼f(g,si ｎ θ)＞g 显然不可能．

D

【点评】本例中,若m 、M 、θ、L 有具体数值,可假设B 下滑至底端时速度v １的水平、竖直分量分别为ｖ1x 、v1y ，则有:

错误!＝错误!=错误!

错误!mv １ｘ2＋错误!ｍv １y2＋错误!Ｍv2２=m ｇh

mv1x ＝Ｍｖ2

解方程组即可得v １x 、ｖ1y 、v １以及v1的方向和m 下滑过程中相对地面的加速度.

●例2 在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相同的匀强磁场,其方向一个垂直于斜面向上,一个垂直于斜面向下(如图９－8甲所示)，它们的宽度均为L ．一个质量为m 、边长也为L 的正方形线框以速度v 进入上部磁场时，恰好做匀速运动．

(1)当a ｂ边刚越过边界ff′时,线框的加速度为多大,方向如何?

(２)当ａb 边到达ｇｇ′与ff′的正中间位置时,线框又恰好做匀速运动，则线框从开始进入上部磁场到a ｂ边到达gg′与f ｆ′的正中间位置的过程中，线框中产生的焦耳热为多少？（线框的ab 边在运动过程中始终与磁场边界平行,不计摩擦阻力)

【解析】（1)当线框的a ｂ边从高处刚进入上部磁场(如图９-8 乙中的位置①所示)时，线框恰好做匀速运动，则有:

ｍｇsin θ=BI1L

此时I １＝＼ｆ(BL ｖ,R)

当线框的ab 边刚好越过边界ff′(如图９－８乙中的位置②所示)时，由于线框从位置①到

位置②始终做匀速运动，此时将ａb 边与ｃd 边切割磁感线所产生的感应电动势同向叠加，回路中电流的大小等于２I1.故线框的加速度大小为：

ａ=错误!=3gsi ｎ θ,方向沿斜面向上.

（2)而当线框的ａb 边到达gg′与ｆf′的正中间位置（如图９-8 乙中的位置③所示）时,线框又恰好做匀速运动，说明ｍgsin θ=4ＢI ２Ｌ

故I ２＝错误!I1

由I1=错误!可知,此时v′=错误!v 从位置①到位置③,线框的重力势能减少了32mgLsin θ 动能减少了＼f(1,2)mv2-12

m(错误!)2＝错误!m ｖ2 由于线框减少的机械能全部经电能转化为焦耳热，因此有：

Q=３2

mgLsin θ+＼f(15,32）mv ２. (１)３g ｓｉn θ，方向沿斜面向上

（２)３2mgLs ｉn θ＋1532

mv2 【点评】导线在恒力作用下做切割磁感线运动是高中物理中一类常见题型，需要熟练掌握各种情况下求平衡速度的方法．

二、叠加体模型

叠加体模型在历年的高考中频繁出现，一般需求解它们之间的摩擦力、相对滑动路程、摩擦生热、多次作用后的速度变化等，另外广义的叠加体模型可以有许多变化，涉及的问题更多． 叠加体模型有较多的变化，解题时往往需要进行综合分析(前面相关例题、练习较多),下列两个典型的情境和结论需要熟记和灵活运用．

1．叠放的长方体物块A 、B 在光滑的水平面上匀速运动或在光滑的斜面上自由释放后变速运动的过程中（如图9-９所示),Ａ、B 之间无摩擦力作用.

2．如图9－10所示,一对滑动摩擦力做的总功一定为负值,其绝对值等于摩擦力乘以相对滑

动的总路程或等于摩擦产生的热量，与单个物体的位移无关,即Ｑ摩=ｆ·s 相．

●例3 质量为M 的均匀木块静止在光滑的水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同的步枪和子弹的射击手．首先左侧的射击手开枪,子弹水平射入木块的最大深度为d １,然后右侧的射击手开枪,子弹水平射入木块的最大深度为d2,如图9－１1所示.设子弹均未射穿木块，且两子弹与木块之间的作用力大小均相同.当两颗子弹均相对木块静止时,下列说法正确的是（注:属于选修3-５模块)( )

A.最终木块静止,ｄ１=ｄ2

B ．最终木块向右运动,ｄ１

C.最终木块静止，ｄ1

Ｄ．最终木块静止,d1＞ｄ2

【解析】木块和射出后的左右两子弹组成的系统水平方向不受外力作用,设子弹的质量为m ，由动量守恒定律得:

ｍｖ0-mv0＝(M+２ｍ)v

解得：v=０,即最终木块静止

设左侧子弹射入木块后的共同速度为ｖ１，有：

m ｖ0=(m+M)ｖ１

Q1=f·ｄ1=12

mv02－＼f(1,2)（ｍ＋M ）v １2 解得:ｄ1=mM ｖ0２2(m+Ｍ)f

对右侧子弹射入的过程,由功能原理得:

Q2＝f·d 2=＼f （1,2)mv02＋错误!（m ＋Ｍ)v １２－０

解得：d ２＝错误!

即ｄ１

C

【点评】摩擦生热公式可称之为“功能关系”或“功能原理”的公式，但不能称之为“动能定理”的公式，它是由动能定理的关系式推导得出的二级结论.

三、含弹簧的物理模型

纵观历年的高考试题,和弹簧有关的物理试题占有相当大的比重．高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等，几乎贯穿了整个力学的知识体系.为了帮助同学们掌握这类试题的分析方法，现将有关弹簧问题分类进行剖析．

对于弹簧，从受力角度看,弹簧上的弹力是变力；从能量角度看,弹簧是个储能元件．因此，弹簧问题能很好地考查学生的综合分析能力,故备受高考命题老师的青睐．

1.静力学中的弹簧问题

（1)胡克定律：Ｆ=ｋx,ΔＦ＝k·Δx．

（2)对弹簧秤的两端施加(沿轴线方向）大小不同的拉力，弹簧秤的示数一定等于挂钩上的拉力．

●例4 如图9-12甲所示，两木块A 、B 的质量分别为ｍ1和m ２,两轻质弹簧的劲度系数分别为ｋ１和k2，两弹簧分别连接Ａ、B ，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提木块Ａ，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A 和Ｂ的重力势能共增加了( )

A.错误!

B.＼f((m1＋ｍ2)2g ２,2(ｋ１＋k2））

C.(m1＋ｍ２)2g2(＼ｆ(k1+k2,k1ｋ2）) Ｄ．(m1+m2)2g2k ２

＋＼f(m1（m1＋m2）g2,k1) 【解析】取Ａ、B 以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，则当下面的弹簧对地面的压力为零时,向上提A 的力F 恰好为：

F=(m1＋m ２)g

设这一过程中上面和下面的弹簧分别伸长x １、ｘ２,如图9－12乙所示，由胡克定律得：

x1=错误!,x2=错误!

故A 、Ｂ增加的重力势能共为：

ΔEp=m1ｇ(ｘ1＋x2)+m2gx2

=＼f （（m1＋m2）2g2，k ２）+m １(m １＋m2)g ２ｋ1

. D

【点评】①计算上面弹簧的伸长量时，较多同学会先计算原来的压缩量,然后计算后来的伸

长量,再将两者相加,但不如上面解析中直接运用Δx＝ΔＦk

进行计算更快捷方便. ②通过比较可知,重力势能的增加并不等于向上提的力所做的功W ＝错误!·x 总=错误!＋(m1＋m2)2g2２k1k2

. 2.动力学中的弹簧问题

(1）瞬时加速度问题(与轻绳、轻杆不同）：一端固定、另一端接有物体的弹簧，形变不会发生突变，弹力也不会发生突变.

（2)如图9－13所示,将A、B下压后撤去外力,弹簧在恢复原长时刻B与Ａ开始分离.

图9－1３

●例5 一弹簧秤秤盘的质量m1=１.5 ｋg,盘内放一质量ｍ2＝10.5 kｇ的物体P,弹簧的质量不计，其劲度系数k＝８００Ｎ/m，整个系统处于静止状态，如图9－14 所示.

现给P施加一个竖直向上的力Ｆ,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在最初０.2 s内F是变化的，在０.2 ｓ后是恒定的,求F的最大值和最小值.(取ｇ=１０ m／s２）

【解析】初始时刻弹簧的压缩量为:

x0＝错误!＝0．15 m

设秤盘上升高度x时P与秤盘分离,分离时刻有：

k(x０－x)-m1g

＝a

m1

又由题意知,对于0~0.２s时间内P的运动有：

错误!ａt2＝x

解得:x＝０.1２m，ａ＝６ m/ｓ２

故在平衡位置处,拉力有最小值Fmin＝(ｍ1＋ｍ２)a＝72 Ｎ

分离时刻拉力达到最大值Fmax=m2g＋m2a＝１68 N.

72 Ｎ 168 N

【点评】对于本例所述的物理过程，要特别注意的是：分离时刻ｍ１与m２之间的弹力恰好减为零，下一时刻弹簧的弹力与秤盘的重力使秤盘产生的加速度将小于ａ,故秤盘与重物分离．

四、传送带问题

皮带传送类问题在现代生产生活中的应用非常广泛.这类问题中物体所受的摩擦力的大小和方向、运动性质都具有变化性,涉及力、相对运动、能量转化等各方面的知识,能较好地考查学生分析物理过程及应用物理规律解答物理问题的能力．

对于滑块静止放在匀速传动的传送带上的模型，以下结论要清楚地理解并熟记:

(1)滑块加速过程的位移等于滑块与传送带相对滑动的距离;

(２)对于水平传送带，滑块加速过程中传送带对其做的功等于这一过程由摩擦产生的热量,即传送装置在这一过程需额外（相对空载)做的功W=mv2＝2Ek＝2Q摩.

●例9 如图9-18甲所示,物块从光滑曲面上的P点自由滑下,通过粗糙的静止水平传送带后

落到地面上的Ｑ点．若传送带的皮带轮沿逆时针方向匀速运动(使传送带随之运动)，物块仍从P点自由滑下，则（ )

图9-１８甲

A．物块有可能不落到地面上

B.物块仍将落在Q点

Ｃ.物块将会落在Q点的左边

Ｄ．物块将会落在Ｑ点的右边

【解析】如图9-18乙所示，设物块滑上水平传送带上的初速度为v0,物块与皮带之间的动摩擦因数为μ，则：

物块在皮带上做匀减速运动的加速度大小a＝错误!=μｇ

物块滑至传送带右端的速度为：

ｖ=错误!

物块滑至传送带右端这一过程的时间可由方程s＝v0t－错误!μgｔ2解得.

当皮带向左匀速传送时，滑块在皮带上的摩擦力也为:

ｆ＝μｍg

物块在皮带上做匀减速运动的加速度大小为：

a1′＝错误!=μg

则物块滑至传送带右端的速度v′＝＼r(v02－２μgs)＝v

物块滑至传送带右端这一过程的时间同样可由方程s＝v0t－错误!μgｔ2 解得.

由以上分析可知物块仍将落在Q点,选项Ｂ正确．

B

【点评】对于本例应深刻理解好以下两点：

①滑动摩擦力f=μFN，与相对滑动的速度或接触面积均无关；

②两次滑行的初速度(都以地面为参考系）相等,加速度相等,故运动过程完全相同.

我们延伸开来思考,物块在皮带上的运动可理解为初速度为ｖ0的物块受到反方向的大小为μｍｇ的力F的作用,与该力的施力物体做什么运动没有关系．

●例１0 如图９-19所示,足够长的水平传送带始终以v=3 m／s的速度向左运动,传送带上有一质量M=2 kg 的小木盒Ａ,A与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.3.开始时，A与传送带之间保持相对静止.现有两个光滑的质量均为ｍ＝1 kg 的小球先后相隔Δt=3 ｓ自传送带的左端出发,以v０=15 m/ｓ的速度在传送带上向右运动.第１个球与木盒相遇后立即进入盒中并与盒保持相对静止；第2个球出发后历时Δt1＝＼f（１，３) ｓ才与木盒相遇．取g=1０ｍ／s2，问:

(1）第１个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度为多大？ (2)第1个球出发后经过多长时间与木盒相遇？

(3）在木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的过程中,由于木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是多少？

【解析】(1)设第１个球与木盒相遇后瞬间,两者共同运动的速度为v1，根据动量守恒定律得:

mv0-Mv ＝（m+M)v １

解得:ｖ1＝3 m/s,方向向右.

(２)设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s,第1个球经过时间t0与木盒相遇,则有:

t0=s v0

设第１个球进入木盒后两者共同运动的加速度大小为ａ，根据牛顿第二定律得: μ(ｍ＋M)g=(m+M)a

解得:a=μｇ＝3 m/s2，方向向左

设木盒减速运动的时间为t1,加速到与传送带具有相同的速度的时间为t2,则:

t1＝t ２=Δｖa

＝1 s 故木盒在２ ｓ内的位移为零

依题意可知:s ＝ｖ０Δｔ1+ｖ(Δｔ＋Δt1-ｔ１-t ２－t0)

解得：s ＝7．５ ｍ,t0＝０.5 s.

(３)在木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的这一过程中,设传送带的位移为s′,木盒的位移为s1，则:

s′=v(Δt+Δt１-ｔ０)=8.5 m

s １=v(Δt＋Δｔ１-t １-t2-t ０)＝2．5 m

故木盒相对于传送带的位移为:Δｓ＝ｓ′－s １=6 m

则木盒与传送带间因摩擦而产生的热量为:

Q=fΔs=54 J.

(1)３ m ／ｓ (2)0．5 s (３)54 Ｊ

【点评】本题解析的关键在于:①对物理过程理解清楚;②求相对路程的方法.