07第七章 测量误差的基本知识(张)
第七章测量误差的基本知识
第一节测量误差的来源及其分类
一、测量误差的定义
观测对象客观存在的量，称为真值。每次观测所得的数值，称为观测值。设观测对象的真值为X，观测值为L i（i=1、2、……、n），则其差数
△i＝L i– X （i＝1、2、……、n）（7—1）
称为真误差。
二、测量误差的来源
在测量工作中，当对某一确定的量进行多次观测时，所测得的结果总是存在一些差异。例如，对某一段距离用钢卷尺进行往返丈量，两次丈量的结果往往是不一样的；又如数学上平面三角形三个内角之和应是180°，但用经纬仪观测三角形的三个内角，其和经常不等于180°。由此可见在测量工作中，各观测值之间或观测值与其真值之间总是存在着差异，产生这种差异的原因，是由于观测值中包含有测量误差，测量误差产生的主要原因有：所用的仪器和工具不尽完善；观测者感觉器官的鉴别能力有限，操作技术水平各有差别，观测方法也不能完美无缺；外界条件如温度、湿度、风向，风力、大气折光等因素在观测过程中随时发生变化。上述仪器、人、外界条件三方面的因素综合起来称为观测条件。观测条件相同的各次观测称为等精度观测。观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。不难想象，观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系，当观测条件好一些时，观测中所产生的误差一般说来就可能相应地小一些，反之，观测条件差一些时观测成果的质量就要低一些。所以，观测成果的质量高低也就客观地反映了观测条件的优劣。
在测量工作中，还可能产生错误。必须指出：误差和错误其性质是根本不同的，误差是不可避免的，而错误往往是由于测量工作人员的粗枝大叶造成的，在测量成果中是不允许存在的，本章研究的测量误差，显然不包括错误在内。
三、测量误差的分类
根据对观测成果影响的不同，测量误差可分为系统误差和偶然误差两种。
1．系统误差
在相同的观测条件下对某量进行多次观测，如果误差在大小和符号上按一定规律变化，或者保持常数，则这种误差称为系统误差。例如，用一把具有尺长误差为△L的钢卷尺量距时，每丈量一尺段就包含有△L的距离误差，丈量的距离愈长，所积累的误差
也就愈大；又如水准仪校正不完善，水准管轴和视准轴不平行时，在水准测量中，距离愈长，水准尺上的读数与正确读数相差就愈大。这些都是由于仪器不完善而产生的误差，有时也可能由于温度和大气折光等的影响而产生系统误差。此外有些观测者在照准目标时，习惯把望远镜的十字丝照准目标中央的某一侧，也会使观测值带有系统误差。
系统误差对观测值有累积的影响，有时会相当显著。在测量工作中，必须掌握它的规律，设法消除或削弱它对观测成果的影响。如在量距前，对钢卷尺进行检定，求出尺长改正，对所量得的距离加入尺长改正数即可消除尺长误差对所测距离的影响；对于水准管轴和视准轴不平行的误差，可以采用前后尺等距离的方法加以消除。总之，经过一定的观测手段或加改正数的方法，系统误差基本可以消除。
2．偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，其误差在大小和符号上都具有偶然性，从表面上看，误差的大小和符号没有明显的规律，这种误差称为偶然误差。例如在水准测量读数时，对于毫米位的估读；在经纬仪测量中，用十字丝瞄准目标产生的瞄准误差；仪器受温度风力等外界条件的影响，对测量结果可能产生符号不同、大小不等的误差，这些都属于偶然误差。
在测量工作中，偶然误差是无法消除的，因此观测成果的精度与偶然误差有密切的关系。本章主要对偶然误差进行分析。
第二节偶然误差的特性及算术平均值原理
一．偶然误差的特性
少数几个偶然误差的出现，好象没有什么规律性，但实践证明，大量的偶然误差呈现出一定的统计规律。例如，在相同的观测条件下，对174个三角形的全部内角进行了观测，由于观测值带有误差，各三角形内角和L不等于180°，真误差为△＝180°－L，现将误差按大小和正负分类列于表7—1。
表7-1 误差分布表
为了更清晰地表达误差分布的情况，除了采用误差分布表的形式外，还可以利用图形来表达。如在图7－1中，横坐标表示误差出现的大小，纵坐标表示各区间内误差出现的相对个数除以区间的间隔值（此处间隔值均为10″），这样每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间的相对个数，如划有斜线长方条面积代表的相对个数为0.184，这种图称为直方分布图。当误差个数无限增加，而误差区间无限缩小时，图中各长方形顶边所形成的折线将变成一条光滑的曲线，这种曲线称为误差分布曲线，在数理统计中，称为正态分布曲线。
由表7-1和图7-1可以看出：（1）小误差出现的个数比大误差多。（2）绝对值相等的正负误差的相对个数基本相等；〔3〕最大误差不超过60″。
人们通过反复的实践和研究，总结出偶然误差具有如下特性： 1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会多； 3、绝对值相等的正误差和负误差出现的机会几乎相等；
4、当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋向于零。即：
[]0lim
=?∞
→n
n
式中n 为观测次数，[]n ?++?+?=? 21
显然，第四个特性是由第三个特性导出的。第三个特性说明在大量的偶然误差中，正负误差有互相抵消的性能，因此当n 无限增大时，真误差的简单平均值必然趋向于零。
图7-1 直方分布图
如果在某组观测成果中，出现了个别的大误差，且超出了一定的限度，则根据特性1，可判断其属于错误，应该删去，并决定该次观测予以重测或补测。如果在一组测量误差中，正误差远比负误差多或少，由特性3可知：在这组误差中，可能存在明显的系统误差，应分析原因，设法消除系统误差的影响。特性4说明：在测量工作中，增加观测次数，可以减少偶然误差对测量成果的影响，所以在实际工作中为了提高观测的精度和进行校核，总是进行多次观测，当然，多次观测需要较长的时间，耗费较多的人力物力，其次在较长的时间内，观测条件容易发生变化，因此观测次数的选择适当与否，在一定程度上决定着观测成果的质量。 二．算术平均值原理
设对某个量X （真值）进行了n 次等精度观测，得观测值L 1、L 2、…、L n ，则其算术平均值x 为：
[]n
L n L L L x =+++=
111 （7-2）
算术平均值原理认为：观测值的算术平均值是真值的最可靠值。推导如下： 以n ???、、、 21分别表示L 1、L 2、……L n 的真误差，则
???
?
???
-=?-=?-=?n n L X L X L X 2211 （7-3）
将（7－3）各式相加：
[]][L nX -=? （7-4）
式（7-4）两边同除以n ：
[]n
L X n
][-=? （7-5）
将（7－2）式代入上式得：
n
L X x ]
[-
= （7-6） （7－6）式说明，观测值的算术平均值等于观测值的真值减去真误差的算术平均值。 由偶然误差特性4可知，当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零，此时观测值的算术平均值x 将趋近于真值X 。
但在实际工作中，对某一个量观测的次数总是有限的，因此，可以认为算术平均值是一个近似的真值，是一个比较可靠的结果，通常称它为真值的最或然值。
第三节 衡量精度的标准
研究测量误差的目的之一，就是衡量测量成果的精度。所谓精度，是指误差分布的密集或离散的程度。在一定的观测条件下对某一量进行一系列观测，它对应着一种确定不变的误差分布，图7－2是两种不同精度的误差分布曲线，从图7—2中可以看出，第一组的误差较集中于零的附近，曲线形状较为陡峭，我们说这一组误差分布较为密集；而第二组的误差对称于零分布的范围较宽，曲线形状较为平缓，我们说这一组误差分布较为离散。由此我们可以判断：前者观测质量较好，观测精度较高，后者观测质量较差，观测精度较低。但用误差曲线衡量精度的高低较为麻烦，只能得到一个定性的结论，测量学上一般应用中误差来衡量精度。
图7-2 两种误差正态分布曲线的比较
一、中误差
设对一个未知量X 进行多次等精度观测，其观测值为L 1、L 2、…、L n ，其真误差为
n ???、、、 21，我们取各个真误差平方和的平均值的平方根，定义为中误差m ，即：
1
2
[]n
m ??±
= （7-7）
这里必须指出中误差m 与每一个观测值的真误差Δ不同，它只是表示该观测列中每个观测值的精度，由于是等精度观测，故每个观测值的精度均为m ，但是等精度观测值的真误差彼此并不相等，有的差异还比较大，这是由于真误差具有偶然误差的性质。 [例7－1]设有甲、乙两组观测值，其真误差分别为： 甲组：-3″、- 2″、0″、＋1″、＋3″ 乙组：＋3″、-4″、0″、＋1″、-2″ 则两组观测值的中误差分别为：
1.259
1049''±=++++±
=甲m
4.25
4
10169''±=++++±
=乙m
由此可以看出甲组观测值比乙组观测值的精度高。
应该再次指出，中误差m 是表示一组观测值的精度。例如，m 甲是表示甲组观测值中每一观测值的精度，而不能用每次观测所得的真误差(-3″、- 2″、0″、＋1″、＋3″)与中误差（±2.1″）相比较，来说明这一组中哪一次的精度高或低。
二、容许误差
偶然误差的第一个特性告诉我们：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，如果在测量工作中，某一观测值的误差超过这个限值，就认为这次观测的质量不好，该观测结果就应该舍去。那么应当如何确定这个限值呢？实践证明，等精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差的偶然误差，其出现的可能性为5％；大于三倍中误差的偶然误差，其出现的可能性仅有0.3％，因此在实际工作中，常采用二倍中误差作为限值，也称为容许误差，即：
Δ容＝2m （7-8）
当要求较低时，也可采用三倍中误差作为容许误差，即： Δ容＝3m （7-9） 容许误差又称极限误差或最大误差。 三、相对误差
在很多情况下，观测值的误差和观测值本身的大小有关，仅用中误差来衡量精度，
还不能完全表达观测质量的好坏。例如我们丈量两段长短不等的距离，一段长100米，中误差为±0.1米，另一段长1000米，中误差为±0.2米，若以中误差来衡量精度，就会得出第一段比第二段的丈量精度要高的错误结论。因为量距误差与距离本身的长短有关，此时应用中误差与观测值之比来衡量丈量的精度，中误差与观测值之比称为相对中误差。
前一段的相对中误差为：
1000
1
1001.01111=
==m m L m N 后一段的相对中误差为：
5000
1
1002.01222=
==m m L m N 这说明第二段距离比第一段距离丈量的精度高。
相对误差是一个无名数，在测量工作中，通常以分子为1的分数表示，分母越大精度越高。
第四节 观测值函数的中误差 —— 误差传播定律
有些未知量往往不能直接测得，而是由某些直接观测值通过一定的函数关系间接计算而得。例如在水准测量中，高差是由前、后视读数求得，即h ＝a －b 。又如两点间的坐标增量是由直接测得的边长D 及方位角α，通过函数关系（△x=Dcosa ，△y ＝Dsina ）间接算得的。前者的函数形式为线性函数，后者为非线性函数。
由于直接观测值含有误差，因而它的函数必然要受其影响而存在误差，阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。下面阐述观测值函数的中误差与观测值中误差的关系。 一、观测值和或差函数的中误差
设有函数
y x z ±= （7—10）
式中z 是x 、y 的和或差的函数，x 、y 为独立观测值。如果观测值x 和y 各产生真误差
△x 和△y ，则函数z 也产生真误差△z ，即：
)()(y x z y x z ?+±?+=?+ （7—11） （7—11）式减去（7—10）式，得：
y x z ?±?=? （7—12） 假如对x 和y 分别以同精度各观测了n 次，则：
yi xi zi ?±?=? （i ＝1，2……n ） 将上述n 个公式两边平方，然后相加得： ][2][][][222
y x y x z ??±?+?=?
将上式两边除n ，得：
n
n n n y x y x z ][2
]
[][][2
22??±?+?=? （7—13） 式（7-13）中，△x 和△y 均为相互独立的偶然误差，则][y x ??也具有偶然误差的特性。由偶然误差特性4可知，当n →∞时，
n
y x ][??趋近于零。
式（7-13）中：
22][z z m n =? ，22][x x m n =? ，2
2
][y
y m n
=? 故可将式（7—13）写成：
2
22y
x z m m m += 或 2
2y x z m m m +±= （7—14）
当函数z 为n 个独立观测值的代数和时，即：
n x x x z ±±±= 21 （7—15） 按上述的推导方法，可得出函数z 的中误差为：
2
2221n z m m m m +++±= （7—16）
式中i m 是观测值i x 的中误差。
当观测值i x 为同精度观测时，即各观测值的中误差均为m ，n m m m === 21，则（7—16）式可写成：
m n m z = （7—17）
例1：设在两点间进行水准测量，已知一次读数的中误差mm m 2±=读，求观测n 站所
得高差的容许误差（取m 2=?容）为多少？
解：水准测量一站的高差
b a h -=站
则一站高差的中误差为：
mm m m m m 8.22222
2±=?±=±=+±=读读读站
观测n 站所得总高差Σh 为：
n h h h h +++=∑ 21 观测n 站所得高差Σh 的中误差为：
mm n m n m h 8.2±=±=站
观测n 站所得高差Σh 的容许误差为：
mm n n m h h 6.58.222±≈?±=±=?
需要指出的是：上述分析仅仅考虑了读数误差，不能作为实际测量中的限差要求。 二、观测值倍数函数的中误差
设有函数
z ＝kx （7—18）
式中z 为观测值x 的函数，k 为常数。当观测值x 含有真误差△x ，则函数z 也将会有真误差△z ，即：
z+△z ＝k (x+△x ) （7—19） （7—19）式减去（7—18）式，得：
△z ＝k △x （7—20） 若对x 共观测了n 次，则：
△zi ＝k △xi （i ＝1，2……n ） 将上述n 个公式两边平方，然后相加得：
][][222x z k ?=? 上式两边除n 得：
n
k n x z ][]
[2
22?=? （7—21）
按中误差定义，将上式写成： 2
22
x
z
m k m = 或 x z m k m = （7—22）
例2：在1：1000比例尺地形图上，量得某直线长度d ＝234.5mm ，中误差m d =±0.1mm ，求该直线的实地长度D 及中误差m D 。
解： 实地长度 D ＝1000×d =1000×234.5mm ＝234.5m 中误差 m D ＝1000×m d ＝1000×(±0.1mm)= ±0.1m 最后结果 D=234.5m ±0.1m 三、线性函数的中误差
设有线性函数
n n x k x k x k z ±±±= 2211 （7—23）
式中n x x x 21、均为独立观测值，n k k k 21、为常数，则按推求（7—14）式和（7—21）式相同的方法，可以得到：
2
2222221212
n
n z
m k m k m k m +++= 2
222222121n n z m k m k m k m +++±= （7—24）
式中i m 是观测值i x 的中误差。 例3：设有某线性函数
3216
1
5141x x x z ++=
式中：1x 、2x 、3x 分别为独立观测值，中误差分别为1m 、2m 、3m ，求函数z 的中误差。
解： 由线性函数中误差的关系式有：
2
3222136
1251161m m m m z ++±
= 四、一般函数的中误差
设有函数
),,,(21n x x x f z = （7—25）
式中i x （i =1，2……n ）为独立观测值，中误差为m i （i ＝1，2……n ），现在求函数
z 的中误差m z 。
上述函数的全微分表达为： n n
dx x f
dx x f dx x f dz ??++??+??=
2211 （7—26） 由于真误差△均为小值，故可用真误差替代微分量，得：
n n
x x f
x x f x x f z ???++???+???=
? 2211 式中
i
x f
??（i =1、2、……、n ）是函数对各个变量的偏导数，将观测值i x （i =1，2……n ）代入可算出其数值。因此上式相当于线性函数真误差的关系式，按（7—24）式可得：
222
22221212)()()(
n n
z m x f m x f m x f m ??++??+??= 2
222222121)()()(
n n
z m x f m x f m x f m ??++??+??±= (7—27) 式（7—27）为误差传播定律的一般形式。而式（7—16）、（7—22）、（7—24） 都可以看成是上式的特例。 例4：设有某函数
αcos D Z =
式中D ＝20.000m ，中误差mm m D 2±=；000060'''?=α，中误差02''±=αm ；求Z 的中误差Z m 。
解：根据函数式αcos D Z =，Z 是D 及 α的一般函数。其真误差的关系式为：
αα
???+???=?)()(
z
D z D Z 将上式转化为中误差关系式：
22
222
α
αm z m D z m D Z ??? ????+??? ????=
式中：
αcos =??D z ，αα
sin D z -=?? 故：
22
22
2)()sin (cos ρααα
'
'''-+=m D m m D
Z
=2
2
322)206265
20()866.01020()2()5.0(??-+±
=1+2.82=3.82
mm m Z 95.1±=
在以上计算中，
ρ
α
''''m 是将角值化成弧度，又因D m 是以毫米为单位，所以D 也应以毫米为单位，以使整个式子的单位统一。
应用误差传播定律求观测值函数的精度时，可按下列步骤进行： （1） 根据要求列出函数式
)(21n x x x f z 、=
（2） 对函数式求全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式
n n
x x f x x f x x f z ???++???+???=? 2211
（3） 写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式
2
222222121)()()(
n n
z m x f m x f m x f m ??++??+??±= 将数值代入上式计算时，必须注意各项的单位要统一。
必须指出，在由真误差关系式写成中误差关系式之前，必须首先判断式中各变量是否误差独立。所谓误差独立，是指各变量间不包含有共同的误差。如有误差不独立的情况，则应通过误差代换，同类项合并或移项等方法，使所求量的误差表达成独立误差的函数，再应用误差传播定律，转换成中误差关系式。
例5：设有函数y x z +=，式中x y 5=，已知x 的中误差为x m ，求y 和z 的中误差。 解1: 由x y 5=可得：x y m m 5=；
由y x z +=可得z 的中误差为x x x y x
z m m m m m m 26252222=+±=+±= 解2：由x y 5=可得：x y m m 5=；
由y x z +=及x y 5=可得：x z 6=
z 的中误差为：x y m m 6=
分析：上述解2正确。由于x 与 y 不是独立观测值，必须合并后求z 的中误差。因为它们的真误差之间不能满足下式：
[]0lim
=??∞
→n
y
x
n
不管n 值如何，恒有
2
25][5]5[][x x x x y x m n
n n =?=???=??
第五节 等精度直接平差
我们知道，为了较精确地确定某个未知量的值，必须进行多余观测。根据多余观测，通过平差计算，求得该未知量的最或是值，同时评定观测值及最或是值的精度，这就是平差的目的。对于一个未知量的平差称为直接观测平差，或称直接平差。直接平差分等精度直接平差和不等精度直接平差两种。本节主要介绍等精度直接平差。因为本章第二节已经讲述了如何求等精度观测条件下未知量的最或是值，因此以下将介绍如何评定观测值及最或是值的精度
1、根据改正数确定观测值中误差m
在§7-3中，曾给出了用真误差求一次观测值中误差的公式：
[]n
m ??±
=
其中X L i i -=? （i =1、2……n ）
而在测量工作中，由于观测量的真值往往是不知道的，因而无法应用上式来计算观测值的精度。下面介绍用改正数计算中误差。
观测量的算术平均值x 与观测值L i 的差数称为改正数，用v i 表示：
i i L x v -= （i ＝1、2……n ） （7—28）
为了导出由改正数v i 来计算观测值中误差的公式，我们进一步来研究改正数v 和
真误差?之间的关系。
将式（7—1）加式（7—28）式得
)(X x v i i -+-=? （i ＝1、2……n ） （7—29）
将上述n 个公式两边平方，然后相加得：
[][][]2
)
()(2X x n X x v vv -+--=??
将上式两边各除以n 得：
[][][]2
)
()(2X x n
X x v n
vv n
-+--=?? （7—30）
由（7—28）式得：
[][][][]0=-=-=L n
L n L nx v （7—31）
将（7—31）式代入（7—30）式得 [][]2
)
(X x n
vv n
-+=?? （7—32）
式中
[][]2
22
2)(1)
(
)(nX L n
X n
L X x -=
-=- =
2212)(1
X L X L X L n
n -++-+- =
2
212)(1n n
?++?+? =
)22(131212
22212 +??+??+?++?+?n n
=2
312122
22212n
n n +??+??+?++?+? 当n 无限增大时，上式右边第二项趋于零，于是有：
[]2
2)(n X x ??=
-
将上式代入（7—32）式得：
[][][]2
n n
vv n
??+=??
将（7—7）式代入上式得：
[]221m n
n
vv m +=
[]n vv m n m =-
221 []n vv n n m =-)1(2 []1
2-=
n vv m
故
[]
1
-±
=n vv m （7—33）
上式就是用改正数v 来计算观测值中误差的公式。 2、算术平均值中误差M
设对某量进行n 次等精度观测，得观测值L 1、L 2、……、L n ，各观测值的中误差均为m ，算术平均值的中误差以 M 表示。现推导算术平均值中误差M 的计算公式如下：
由公式（7—2）得：
[]n L n
L n L
n
n
L x 1
1121 ++
==
上式为线性函数，且各项的系数与观测精度均相同。故按（7—24）式即可得算术平均值的中误差为：
n m m n m n m n M 2
22
22
22
2
111=??
? ??++??? ??+??? ??=
故
n
m
M ±
= （7—34） 分析（7—34）式可以得出以下几点结论： （1）算术平均值中误差为观测值中误差的n
1
倍，因此，增加观测次数可以提高算术平均值的精度。
（2）在观测值中误差一定时，设m ＝1，那么观测次数n 增加多少，才是既合理又
经济呢？为了对以增加观测次数来提高观测结果的精度有个数量的概念，现用不同的观测次数n 代入（7—34）式，其计算结果列于表7—2。
表7—2 观测次数与算术平均值中误差关系表
从表7—2可以看出，随着观测次数n 的增加，M 值随之减小，因此，算术平均值x 的精度就随之提高。但当观测次数增加到一定的值后，再增加观测次数时，精度提高较慢。因此，单纯用增加观测次数来提高算术平均值x 的精度不理想，此时应从改进观测方法，选用高精度的仪器，以使观测值中误差m 减小来达到减小M 的目的。
例6：设对某一水平角进行五次等精度观测，其观测值列于表7—3，试求其观测值的最或然值、观测值中误差及算术平均值（最或是值）中误差。 解：
1、计算最或然值
[]603452'''?==
n
L X
2、计算观测值中误差 []
5.91
5360
1
''±=-±
=-±=n vv m 3．计算算术平均值中误差
2.45
5.9''±'
'±=±=n m M
表7—3 例5计算表
第六节 测量精度分析示例
前面已经简单地介绍了观测误差的基本知识，现在应用它来分析测量中的一些实际问题。
一、 有关水准测量的精度分析 1．一个测站的高差中误差
在水准测量中，产生误差的因素很多，如仪器与工具的误差，观测的误差和外界条件变化而产生的误差等等。现就仪器误差和观测误差对水准测量的影响分析如下。 （1） 望远镜的照准误差
实践证明，人肉眼的分辨力一般是60″，就是说两个点子到达眼睛的夹角如果小于60″时，则眼睛就无法分辨，就会把它们看成是一个点子。如果采用放大倍率为V 的望远镜去瞄准，则分辨力就提高了V 倍。设水准尺离开仪器的距离为S ，则用望远镜观测时的最大照准误差为：
ρ
S
v ?''±
=?06照 （7—35） 如果取中误差为最大误差的1/2倍，则用望远镜观测所产生的照准中误差为： ρ
S v m ?''±=?±
=0321照 （7—36） 设望远镜的放大倍率V=30倍，水准仪到水准尺的最大距离S=100米，带入（7-36）式得：
在水准测量中，所使用的区格式木质水准尺是按厘米分划的，估读将带来较大的误差，顾及估读误差在内，照准误差可达±1.00毫米。 （2） 水准管气泡居中的误差
在调节水准管气泡居中时，实践证明，气泡偏离水准管中点的中误差为τ15.0±（τ是水准管的分划值），用符合棱镜装置的符合气泡居中，对于普通水准仪，其提高精度可设为三倍，则水准管气泡居中的中误差可取τ05.0±，普通工程水准仪的τ为20″/2mm ，取最大视距S=100米，则水准管居中误差对读数的影响为：
mm m 50.0206265
101002005.03
2±=???±
= 在两点间进行水准测量时，前视或后视读数的中误差为
mm m 12.15.000.122±=+±=读
故一个测站的高差中误差为
mm m m 57.12±=±=读站
若采用双面水准尺施测，则
mm m 12.12
57
.1±=±
=站 2．测站校核限差的规定
（1） 黑面读数与红面读数之差的限差
黑面读数一次的中误差为读m ，同样红面也是一样，故其差数的中误差应为 mm m m 57.12±≈±=-读红黑 取其中误差的两倍作为限差
mm m 14.32±≈=?--红黑红黑
因为红黑面观测时的条件基本相同，故规定其限差为3毫米。 （3） 黑面高差和红面高差之差的限差
因为黑面高差的中误差黑h m 等于红面高差的中误差红h m ，且都等于读m 2±，即
读红黑m m m h h 2±==
故黑面高差和红面高差之差的中误差为 mm m m h 24.222±=?±=-读红黑 取中误差的两倍作为限差，则为 mm m h h 48.42±==?-红黑 故规定其限差为5毫米。
3．水准路线的高差中误差及允许误差
设在两点间进行水准测量，共测了n 个测站，求得高差为
n h h h h +++= 21
设n h h h 21、的中误差均为站m ，按等精度和差函数的公式，h 的中误差为
mm m m h n 12.1n ±==站
因为在施测整条水准路线时，观测的条件比较复杂，外界影响也较大，水准路线的高差允许闭合差作了适当放宽，一般规定
mm h n 5±=?允
对于平坦地区来说，一般1km 水准路线不超过15站，如用公里数L 代替测站数n ，则
mm h L 20±=?允
式中L 以公里为单位。
二、 有关水平角观测的精度分析
用DJ 6型经纬仪观测水平角，一个方向一个测回（望远镜在盘左和盘右位置观测一个测回）的中误差为±6″。设望远镜在盘左（盘右）位置观测该方向的中误差为方m ，按等精度算术平均值的公式，则有2
6方m =
''，即
5.862''±=''?±=方m
1. 半测回所得角值的中误差
半测回的角值等于两方向之差，故半测回角值的中误差为
21625.82''±=''?''±==方半m m β
2. 上、下两个半测回的限差
上、下两个半测回的限差是以两个半测回角值之差来衡量。两个半测回角值之差β?的中误差为
712122''±=±=±=?半ββm m
取两倍中误差为允许误差，则
43712''±=''?±=?允βf （规范规定为36″）
3. 测角中误差
因为一个水平角是取上、下两个半测回的平均值，故测角中误差为
5.82
212
''±=''±
=±
=半
ββm m
4. 测回差的限差
两个测回角值之差为测回差，它的中误差为
2125.82''±=''±=±=ββm m 测回差
取两倍中误差作为允许误差，则测回差得限差为
42212''±=''?±=测回差βf
复习思考题
1. 什么叫系统误差？什么叫偶然误差？偶然误差有哪些特性？
2. 什么叫“一次观测值中误差”、“算术平均值中误差”、“相对中误差”？试举例说明。
3. 应用误差传播定律时，等式右边是否要求各项误差必须线性无关？
4. 什么叫一测回一方向的中误差？如一测回一方向的中误差为±6″，则一测回测角中误差为多少？若要求测角中误差小于±3″，需测几个测回？
5. 水平角测量，正倒镜观测主要是为了消除系统误差还是偶然误差？增加测回数是为了消弱系统误差还是偶然误差？
6. 在相同的观测条件下，观测了10个三角形，其闭合差为：＋2″、＋4″、－5″、一5″、＋8″、－4″、＋7″、－8″、－9″、＋8″，试计算一次观测值中误差m 并回答如下问题：
（1）这10个三角形的每个三角形，其闭合差的中误差m 是否相同？
（2）根据中误差m 计算极限误差Δ，这10个三角形中是否有超过极限误差的三角形？
（3）由三角形的一次观测中误差，计算一个角的测角中误差。
7. 假若规定红黑面高差之差的极限误差为±5.6mm ，计算红面高差、黑面高差、红黑面读数差及红黑面一站高差平均数的中误差。
8. 在视距测量中，高差的计算公式为s i kl h -+?=
α2sin 2
1
或s i tg D h -+?=α，能否将后式微分后换成中误差关系式计算高差中误差m h ？为什么？
误差理论试卷及问题详解
《误差理论与数据处理》试卷一 一．某待测量约为 80m，要求测量误差不超过 3％，现有 1.0 级 0－300m 和 2.0 级 0－100m 的两种测微仪，问选择哪一种测微仪符合测量要求？ （本题 10 分） 二．有三台不同的测角仪，其单次测量标准差分别为： 1＝0.8′， 2＝1.0′， 3＝0.5′。若每一台测角仪分别对某一被测角度各重复测量 4 次，并根据上述测得值求得被测角度的测量结果，问该测量结果的标准差为多少？ （本题 10 分） 三．测某一温度值 15 次，测得值如下：（单位：℃） 20.53, 20.52, 20.50, 20.52, 20.53, 20.53, 20.50, 20.49, 20.49, 20.51, 20.53, 20.52, 20.49, 20.40, 20.50 已知温度计的系统误差为-0.05℃,除此以外不再含有其它的系统误差，试判 断该测量列是否含有粗大误差。要求置信概率 P=99.73%，求温度的测量结 果。（本题 18 分） 四．已知三个量块的尺寸及标准差分别为： l 1 1 (10.000 0.0004) mm; l 2 2 (1.010 0.0003) mm; l 3 3 (1.001 0.0001) mm 求由这三个量块研合后的量块组的尺寸及其标准差（ ij 0 ）。（本题 10 分）五．某位移传感器的位移 x与输出电压 y的一组观测值如下：（单位略） x y 1 0.1051 5 0.5262 10 1.0521 15 1.5775 20 2.1031 25 2.6287 设 x无误差，求 y对 x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。 （附：F0。10(1，4)=4.54，F0。05(1，4)=7.71，F0。01(1，4)=21.2）（本题 15 分） 六．已知某高精度标准电池检定仪的主要不确定度分量有： ①仪器示值误差不超过 0.15v，按均匀分布，其相对标准差为 25%； ②电流测量的重复性，经 9 次测量，其平均值的标准差为 0.05 v; ③仪器分辨率为 0.10v，按均匀分布，其相对标准差为 15% 。
测绘学基础知识要点与习题答案
《测绘学基础》知识要点与习题答案 Crriculum architecture & answers to exercise of Fundamentals of Geomatics 总学时数：测绘64；地信、规划48实验学时：12，计4次学分：6/4 课程性质：专业基础课先修课程：高等数学，专业概论，概率统计学 教学语言：双语教学考核方式：考试实习：3周计3学分 平时成绩: 20％(实验报告、提问、测验、课堂讨论及作业) 1.课程内容 测绘学基础是测绘科学与技术学科的平台基础课。该分支学科领域研究的主要内容是小区域控制测量、地形图测绘与基本测绘环节的工程与技术，即：应用各类测绘仪器进行各种空间地理数据的采集包括点位坐标与直线方位测定与测设、地形图数字化测绘等外业工作和运用测量误差与平差理论进行数据处理计算、计算机地图成图等内业工作。授课内容主要包括地球椭球与坐标系、地图分幅、空间点位平面坐标与高程及直线方位测定与测设、误差理论与直接平差、大比例尺地形图数字成图等基本理论与方法。 2.课程特色 测绘学基础为测绘学科主干课程，为学生进一步学习以“3S”为代表的大地测量学、摄影测量学、工程测量学等专业理论与技术奠定基础。同时，该课程本身也是测绘学的一门分支学科──地形测量学（Topographical Surveying）。该门课程具有理论、工程和技术并重、实践性强等特点，其教学水平和教学质量是衡量测绘学科教育水准的关键要素，实施多样化课堂教学，注重培养学生动手能力和创新能力，以达到国家级精品课的要求为建设目标。 3.课程体系 第一章绪论Chapter 1 Introductory 内容：⑴了解测绘学科的起源、发展沿革与分支学科的研究领域；⑵测绘学的任务与作用。 重点：大地测量学与地形测量学的研究领域和工作内容。 难点：无。 §1-1测绘学的定义DEFINITION OF GEOMATICS 研究测定和推算地面点的几何位置、地球形状及地球重力场，据此测量地球表面自然形态和人工设施的几何分布，并结合某些社会信息和自然信息的地球分布，编制全球和局部地区各种比例尺的地图和专题地图
误差理论与数据处理答案
《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试 问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
测量误差理论的基本知识习题参考答案
5 测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次,由观测结果算得观测值中误差为± 20″, 则该角的算术平均值中误差为___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200, 则该线段中误差为__9.4 mm___。 12、设观测一个角度的中误差为± 8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856 ″。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为± 3mm，若1km观测了15 个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面 综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K 是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测是指观测条件不同的各次观测。 5、权是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性 3、衡量精度高低的标准有（ABC）。 A、中误差 B、相对误差 C、容许误差 D、绝对误差
4、测量误差基本知识
四、测量误差基本知识 1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？ 2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？ 3、何谓标准差、中误差和极限误差？ 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=α+β+γ-180?，其结果如下：?1=+3"，?2=-5"，?3=+6"，?4=+1"，?5=-3"，?6=-4"，?7=+3"，?8=+7"，?9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。 图4-1 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。 15
16 7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m = m = m = m =±25mm ；按 S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。 （2）已知a m =m =±6"，β=a -c ，求βm 。 （3）已知a m =b m =m ，S=100(a -b) ，求s m 。 （4）已知D=( ) h S -，s m =±5mm ，h m =±5mm ，求D m 。 （5）如图4-2，已知x a m =±40 mm ，y a m =±30 mm ； S=30.00m ，β=30? 15'10"，s m =±5.0mm ，βm =±6"。求P 点坐标的中误差x p m 、y p m 、M （M=m m + ）。
咨询工程师继续教育测量基础知识试题及答案
一、单选题【本题型共15道题】 ? 1.某工程施工放样误差限差为±20mm，则该工程放样中误差为（?）mm。 A．±5 B．±10 C．±15 D．±20 用户答案：[B] ??得分：2.00 2.地下通道的施工测量中，地下导线为（?）。 A．闭合导线 B．附和导线 C．支导线 D．任意导线都可 用户答案：[D] ??得分：0.00 3.下列测量方法中，最适合测绘建筑物立面图的是（?）。 A．三角高程测量 B．地面激光扫描 C．精密水准测量 D．GPS—RTK测量
用户答案：[B] ??得分：2.00 4.水准测量时，应使前后视距尽可能相等，其目的是减弱（? ）的误差影响。 A．圆水准器轴不平行于仪器数轴 B．十字丝横丝不垂直于仪器竖轴 C．标尺分划误差 D．仪器视准轴不平行于水准管轴 用户答案：[D] ??得分：2.00 5.GPS的大地高H、正常高h和高程异常ζ三者之间正确的关系是（? ?）。 A．ζ=H-h B．ζ
D．反比 用户答案：[D] ??得分：2.00 7.布测C、D、E级GPS网时，可视测区范围的大小实行分区观测，分区观测时，相邻分区的公共点至少应有（? ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 用户答案：[C] ??得分：2.00 8.在进行高差闭合差调整时，某一测段按测站数计算每站高差改正数的公式为（? ）。 A．Vi=fh/N(N为测站数) B．Vi=fh/S(S为测段距离) C．Vi=-fh/N(N为测站数) D．Vi=fh/S(S为测段距离) 用户答案：[C] ??得分：2.00 9.我国城市坐标系是采用（?）。 A．高斯正形投影平面直角坐标系 B．大地坐标系
测量误差理论的基本知识习题答案.doc
5测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原 因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差 ___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于 1 的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为 112.329m，则相对误差为 1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次, 由观测结果算得观测值中误差为±20″, 则该角的算术平均值中误差为 ___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为 1/3200, 则该线段中误差为 __9.4 mm ___。 12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±″ 。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测 15 个测站，则1km 了 的高差观测中误差为11.6mm，1 公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件 ----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏， 通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差 K---- 是误差 m的绝对值与相应观测值 D 的比值。它是一个不名数， 常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测 ----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。 4、非等精度观测 ----是指观测条件不同的各次观测。
最新工程测量学基础知识总结
1 （1）工程建设的三个阶段1规划设计阶段2建筑施工阶段3运营管理阶2 段 3 （2）工程测量学就是研究各项工程在规划设计、施工建设和运营管理阶4 段虽进行的各种测量工作的学科。主要任务就是解决工程建设中规划设计所需5 各种比例尺地形图这个问题。 6 （3）数字地面模型（DTM）是表示地面起伏形态和地表景观的一系列离散7 点或规则点的坐标值集合的总称。 8 （4）在测绘领域，用一系列地面点的x,y坐标及其相联系的高程表示区9 域地面形状的模型，称为数字高程模型（DEM）。 10 （5）铁路、公路、输电线路以及输油（汽）管道等均属于线性工程，它11 们的中线通称线路。 12 （6）铁路勘测设计的过程：1方案研究2初测3初步设计4定测5施工13 设计 14 （7）初测是初步设计阶段的勘测工作，其主要任务是提供沿线大比例尺15 带状地形图以及地质和水文方面的资料（纸上定线）。 16 （8）定测的主要任务是把初步设计中选定的线路中线测设到实地上。17 （9）勘测设计阶段的测量工作有草测、初测和定测工作。 18 （10）公路的结构组成：路基，路面，桥涵，隧道，路线交叉和沿线设施19 等。 20 （11）根据线路工程的作业内容，线路测量具有全线性，阶段性和渐近性21 的特点。
22 （12）导线点的布设要求：1导线点宜选在地势较高的地方，且前后相互23 通视。2导线点应选在开阔的地方，以便作为图根控制，进行地形测量。3导线24 点间的距离要适中。4导线点应尽可能接近将来的线路的位置，以便为定测时所25 利用。5桥梁及隧道两端附近，严重地质不良地段以及越岭垭口处应设置导线点。 26 （13）基平测量是沿线路布设水准点。2中平测量是测定导线点及中桩高27 程。 28 （14）将纸上线路测设到实地上的工作称为中线测量。 29 （15）线路纵断面的测绘： 30 （16）水下地形测绘技术说明书的内容为：1任务的来源、性质、技术要31 求，测区的自然地理特点，技术设计的依据及原有测量成果的采用情况。2各施32 测控制点的等级，标石及造埋数量，水深测量图幅，测深面积及障碍物的大致33 分布情况。3作业所需的各种主要仪器、器材、船只类型和数量。4根据测区地34 理气象及技术装备条件，确立的不同测区的作业率，计算的各种测量作业的工35 作量和工作天数及时间安排。5根据测区特点和作业技术水平，重点提出的适当36 的作业方法和注意事项，以及一些具体技术指示。 37 （17）检查线的方向应尽量与主测线垂直，分布均匀，并要求布设在较平38 坦处，能普遍检查主测深线。检查线一般应占主测线总长的5%~10%。 39 （18）编绘竣工图的目的：1在施工过程中可能由于设计时没有考虑到的40 问题而使设计有所变更，这种临时变更设计的情况必须通过测量反映到竣工图41 上，以竣工图作为检验设计的正确性，阐明工程竣工最终成果的技术资料。2为42 改建扩建提供原有各项建筑物，构筑物，地上和地下各种管线及交通线路的坐43 标，高程等资料，作为改建扩建设计的依据。3便于工程交付使用后进行生产管44 理和各种设施的维护检修工作，特别是地下管线等隐蔽工程的检查和维修工作。
测量误差理论的基本知识
测量误差理论的基本知识 1.研究测量误差的目的是什么？ 2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？ 3.偶然误差有哪些特征？ 4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？ 5.什么是极限误差？什么是相对误差？ 6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法 钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。 7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。 8.什么是观测量的最或是值？ 9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。 10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？ 11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问 两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？ 12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？ 为什么？ 13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。 14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？ 15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米， 中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。 16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中 误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。 17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm， 求该二点的实地距离L及其中误差m L。 18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得 倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？ 19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′ 55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误 差。 20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546， 346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。 21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测 多少次？ 22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？ 23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为 ±5毫米，问全长之中误差为多少？ 24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的 中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？
工程测量学基础知识总结讲课稿
工程测量学基础知识 总结
（1）工程建设的三个阶段1规划设计阶段2建筑施工阶段3运营管理阶段（2）工程测量学就是研究各项工程在规划设计、施工建设和运营管理阶段虽进行的各种测量工作的学科。主要任务就是解决工程建设中规划设计所需各种比例尺地形图这个问题。 （3）数字地面模型（DTM）是表示地面起伏形态和地表景观的一系列离散点或规则点的坐标值集合的总称。 （4）在测绘领域，用一系列地面点的x,y坐标及其相联系的高程表示区域地面形状的模型，称为数字高程模型（DEM）。 （5）铁路、公路、输电线路以及输油（汽）管道等均属于线性工程，它们的中线通称线路。 （6）铁路勘测设计的过程：1方案研究2初测3初步设计4定测5施工设计（7）初测是初步设计阶段的勘测工作，其主要任务是提供沿线大比例尺带状地形图以及地质和水文方面的资料（纸上定线）。 （8）定测的主要任务是把初步设计中选定的线路中线测设到实地上。 （9）勘测设计阶段的测量工作有草测、初测和定测工作。 （10）公路的结构组成：路基，路面，桥涵，隧道，路线交叉和沿线设施等。 （11）根据线路工程的作业内容，线路测量具有全线性，阶段性和渐近性的特点。 （12）导线点的布设要求：1导线点宜选在地势较高的地方，且前后相互通视。2导线点应选在开阔的地方，以便作为图根控制，进行地形测量。3导线点间的距离要适中。4导线点应尽可能接近将来的线路的位置，以便为定测
时所利用。5桥梁及隧道两端附近，严重地质不良地段以及越岭垭口处应设置导线点。 （13）基平测量是沿线路布设水准点。2中平测量是测定导线点及中桩高程。 （14）将纸上线路测设到实地上的工作称为中线测量。 （15）线路纵断面的测绘： （16）水下地形测绘技术说明书的内容为：1任务的来源、性质、技术要求，测区的自然地理特点，技术设计的依据及原有测量成果的采用情况。2各施测控制点的等级，标石及造埋数量，水深测量图幅，测深面积及障碍物的大致分布情况。3作业所需的各种主要仪器、器材、船只类型和数量。4根据测区地理气象及技术装备条件，确立的不同测区的作业率，计算的各种测量作业的工作量和工作天数及时间安排。5根据测区特点和作业技术水平，重点提出的适当的作业方法和注意事项，以及一些具体技术指示。 （17）检查线的方向应尽量与主测线垂直，分布均匀，并要求布设在较平坦处，能普遍检查主测深线。检查线一般应占主测线总长的5%~10%。（18）编绘竣工图的目的：1在施工过程中可能由于设计时没有考虑到的问题而使设计有所变更，这种临时变更设计的情况必须通过测量反映到竣工图上，以竣工图作为检验设计的正确性，阐明工程竣工最终成果的技术资料。2为改建扩建提供原有各项建筑物，构筑物，地上和地下各种管线及交通线路的坐标，高程等资料，作为改建扩建设计的依据。3便于工程交付使用后进行生产管理和各种设施的维护检修工作，特别是地下管线等隐蔽工程的检查和维修工作。
测量误差及数据处理的基本知识
第一章 测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N ，相应的真值为N 0，测量值与真值之差ΔN ΔN ＝N －N 0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。 相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示： %1000 ??=N N E 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替0N 。在这种情况下，Ｎ可能是公认 值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。 1.1.3 误差的分类
测量误差及数据处理的基本知识(精)
第一章测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就 是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N，相应的真值为N0，测量值与真值之差ΔN ΔN＝N－N0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》 第一章绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到 更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经 济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 1-9、解： 由2122 4() h h g T π+=，得 21802000180' '=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案
《误差理论与数据处理》(第七版) 习题及参考答案
第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o
测量误差理论的基本知识习题答案(2)
5 测量误差的基本知识 一、填空题: 1真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因 产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差_来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为_误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m,返测为112.329m,则相对误差为1/7488。 10、用经纬仪对某角观测4次,由观测结果算得观测值中误差为土20〃,则该角的算术 平均值中误差为10〃? 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200,则该线段中误差为9.4 mm 。 12、设观测一个角度的中误差为土8〃，则三角形内角和的中误差应为土13.856 〃。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为土3mm若1km观测了15个测站，则1km 的高差观测中误差为11.6mm 1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K----是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示。 3、等精度观测----是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测----是指观测条件不同的各次观测。 5、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC ）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD ）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性
测量误差理论的基本知识答案.
测量误差理论的基本知识答案 第13题答案：90°±3.6″ 第15题答案： 1.258±0.0036 第16题答案： S S1S2S342.74148.3684.75275.85 m mS mS1mS2mS3254 6.7 cm 第17题答案： 该二点间的实地距离为L：L=500×I=500×0.0234=11.70 m L的中误差为：mL5000.2100 mm0.1 m 实地距离最后结果为：11.70.1 m 第18题答案： 水平距离为：d=S×cosa=247.50×cos(10o34)=243.303 m 水平距离的中误差为： 222222 m2md(cosa)2mS(S sina)2a3438 2223[cos(1034)]0.005[247.50sin(1034)]3438 4.0 cm22 第19题答案： 该角度的最或然值为： [L]452954.0452955.0452955.7452955.4 452955.02 x n4 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=1.02, v2=x-L2=0.02, v3=x-L3=-0.68, v4=x-L4=-0.38 角度观测中误差为：m[vv]0.74 n 1 m0.37 n该角度最或然值的中误差为：mx 第20题答案： 该距离的算术平均值（最或然值）为： x[L]346.535346.548346.520346.546346.550346.573346.545 m n6 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=+0.0103, v2=x-L2=-0.0027, v3=x-L3=+0.0253, v4=x-L4=-0.0007 v5=x-L5=-0.0047, v6=x-L6=-0.0277 距离观测中误差为：m[vv] 1.8 cm n 1 m n7.3 mm 该距离最或然值的中误差为：mx 第23题答案：10mm 第24题答案：20mm
4测量误差基本知识.
四、测量误差基本知识 1测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么? 3、何谓标准差、中误差和极限误差? 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值 一测回的中误差m及算术平均值的中误差 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差 结果如下：1=+3 , 2=- 5 , 3=+6 , 4=+1 , 5=- 3 , 6=- 4 , 7=+3 , 8=+7 , 求此三角 形闭合差的中误差m以及三角形内角的测角中误差 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）a和B,其测角中误差均为20，根据角 a和角B可以计算第三个水平角丫，试计算丫角的中误差 2、产生测量误差的原因有哪些? 偶然误差有哪些特性? m x。 X、 + + -180 ，其 9=-8 ； m= ±
已知 m a = m b = m , S=100(a- b)，求 m s 。 7、量得某一圆形地物直径为 64.780m ，求其圆周的长 S 。设量测直径的中误差为± 其周长的中误差m s 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长 a =100m ，m a = 25mm ；按S=4a 计算周长和 P= a' 计算周长的中误差 m s 和面积的中误差 m p 。 计算面积, 9、某正方形测量了四条边长 S=a i + a 2+ a 3+ a 4计算周长和 的中误差m p 。 a i =a 2=a 2=a 4=l00m , m a = m ^ = m a i = m a J = 25mm ； P= ( a a 2+ a 3 a 4) /2计算面积，求周长的中误差 按 m s 和面积 10.误差传播定律应用 （1） (1)已知 m a =m c = m , h=a-b ，求 m h 。 (2) 已知 m a = m c = 6 =a-c ,求 m 。 (4)已知 D= s' h ， m s = 5mm , m h = 5mm ，求 m D 。 （5）如图 4-2，已知 m xa = 40 mm ， m = 6。求P 点坐标的中误差 m xp 、 m ya = m yp 、 30 mm ；S=30.00m, =30 15 10 , m s = 5.0mm , M ( M= J ￡ 3 \ m xp m yp )。 (3)
误差理论及数据处理-复习题及答案
《误差理论与数据处理》 一、填空题（每空1分，共20分） 1．测量误差按性质分为_____误差、_____误差和_____误差，相应的处理手段为_____、_____和_____。 答案：系统，粗大，随机，消除或减小，剔除，统计的手段 2．随机误差的统计特性为________、________、________和________。 答案：对称性、单峰性、有界性、抵偿性 3. 用测角仪测得某矩形的四个角内角和为360°00′04″，则测量的绝对误差为________，相对误差________。 答案：04″，3.1*10-5 4．在实际测量中通常以被测量的、、 作为约定真值。 答案：高一等级精度的标准给出值、最佳估计值、参考值 5．测量结果的重复性条件包括：、、 、、。 测量人员，测量仪器、测量方法、测量材料、测量环境 6. 一个标称值为5g的砝码，经高一等标准砝码检定，知其误差为0.1mg，问该砝码的实际质量是________。 5g-0.1mg 7．置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用_________和
_________来表示。 标准差 极限误差 8．指针式仪表的准确度等级是根据_______误差划分的。 引用 9．对某电阻进行无系差等精度重复测量，所得测量列的平均值为100.2Ω,标准偏差为0.2Ω，测量次数15次，则平均值的标准差为_______Ω，当置信因子K ＝3时，测量结果的置信区间为_______________。 0.2/sqrt(15),3*0.2/sqrt(15) 10．在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是_________ 。 平均值 11．替代法的作用是_________，特点是_________。 消除恒定系统误差，不改变测量条件 12.对某电压做无系统误差等精度独立测量，测量值服从正态分布。已知被测电压的真值U 0 ＝79.83 V ，标准差σ（U ）＝ 0.02V ，按99%（置信因子 k = 2.58）可能性估计测量值出现的范围： ___________________________________。 79.830.02 V*2.58 13．R 1 ＝150 ， R 1 ＝ 0.75 ；R 2 ＝100 ， R 2 ＝ 0.4 ，则两电阻并联后总电阻的绝对误差为_________________。 36.0)100150(150)(16.0)100150(100)(222212122 2 221221=+=+=??=+=+=??R R R R R R R R R R R=R1*R2/(R1+R2), R=264.04.0*36.075.0*16.022 11±=+=???+???R R R R R R