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与三角形有关的线段基础知识讲解

与三角形有关的线段（基础）知识讲解

【学习目标】

1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；

2. 理解并会应用三角形三边间的关系；

3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；

4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．

【要点梳理】

要点一、三角形的定义及分类

1. 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

要点诠释：

（1）三角形的基本元素：

①三角形的边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.

（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.

(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．

2．三角形的分类

(1)按角分类：

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直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释：

①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;

②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

(2)按边分类：

要点诠释：

①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;

②等边三角形：三边都相等的三角形.

要点二、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边的和大于第三边.

推论：三角形任意两边的差小于第三边.

要点诠释：

（1）理论依据：两点之间线段最短.

（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．

（3）证明线段之间的不等关系.

要点三、三角形的高、中线与角平分线

1、三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

三角形的高的数学语言：

如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°.

注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；

要点诠释：

（1）三角形的高是线段；

（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；

（3）三角形的三条高：

(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；

(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；

(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.

2、三角形的中线

三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．

三角形的中线的数学语言：

如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝2

1BC.

要点诠释：

（1）三角形的中线是线段；

(2)三角形三条中线全在三角形内部；

(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；

(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

3、三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

三角形的角平分线的数学语言：

如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.

注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝2

1∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：

（1）三角形的角平分线是线段；

（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；

（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；

（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.

要点四、三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.

要点诠释：

（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．

（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．

【典型例题】

类型一、三角形的定义及表示

1．如图所示．

(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；

(2)线段AE是哪些三角形的边?

(3)∠B是哪些三角形的角?

【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．

【答案与解析】

解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．

(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．

(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．

【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．

举一反三：

【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．

【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.

类型二、三角形的三边关系

2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )

【答案】D.

【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．

【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②

看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．

【高清课堂：与三角形有关的线段例1】

举一反三：

【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.

(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.

【答案】（1）能；（2）不能；（3）能.

3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.

【答案】59c <<

【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│

【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│

举一反三：

【变式】（2015春?盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．

【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB

在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，

在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，

在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，

∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA

即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，

即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．

类型三、三角形中重要线段

4. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )

【答案】C

【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂

线即得到三角形的高．

【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．

举一反三：

【变式】（2015?长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A ． 5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．

【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．

【答案与解析】

解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，

故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．

又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，

∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．

又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．

答：AC 的长为5cm ．

【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．

举一反三：

【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．

【答案】1.

类型四、三角形的稳定性

6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木

板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?

【答案与解析】

解：三角形的稳定性．

【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质（基础）知识讲解【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法． 2. 理解三角形内角和定理的证明方法； 3. 掌握并会把三角形按边和角分类 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系． 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. 2.按边分类：

三角形有关的角知识点总结与随堂练(基础篇)

三角形有关的角知识点总结与随堂练（基础篇）知识点一：三角形内角和定理? 定理：三角形三个内角的和等于180°．? 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角．? ②在三角形中，已知三个内角的比或它们之间的关系，求各内角．? ③三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角．? 知识点二：直角三角形的性质与判定性质：直角三角形的两个锐角互余。? 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。知识点三：三角形的外角? 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．? 性质：?①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．? ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．? 三角形的外角和为360度．?三角形的外角最少两个钝角随堂练一、选择题: 1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛

A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 2.下列说法正确的是( ) A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60° 3.已知三角形的一个内角是另一个内角的 ,是第三个内角的 ,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D .40°,50°,90° 4.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ 中 ( ) A.有两个锐角、一个钝角 B.有两个钝角、一个锐角 C.至少有两个钝角 D.三个都可能是锐角

几何初步与三角形知识点与对应习题

初三数学寒假课程（6）教案编写日期:2012.01.11 课程教授日期:2011.01.29 应到人数: 18 实到人数: 授课课题: 几何初步与三角形授课人：教学目标:掌握几何基本概念以及三角形的相关内容教学重难点: 重点：三角形的性质难点：特殊三角形的综合运用教学过程：一、知识点例题讲解一、相交线与平行线 1.线段，射线，直线，延长线（1）两点之间，线段最短. （2）把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线. （3）把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线.经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线. 提示：直线、射线、线段的区别主要看端点个数，直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点. （4）过N个点可以最多画几条直线（5）无图线段长度的两边两种情况，例，线段AB长5，AC=2,则CB=多少，两种情况2.角有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角；平角的一半叫直角；大于直角小于平角的角叫做钝角；大于00小于直角的角叫做锐角. 提示： 1周角=2平角=4直角=360°； 1平角=2直角=180°；1直角=90°； 1度=60分=3600秒（即：1°=60ˊ=3600"）； 1分=60秒（即：1ˊ=60"）. 1．时钟的分针从3点整的位置起，经过多长时间时针与分针第一次重合？ 3.角的特殊关系互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角. 互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角. 互为邻补角：两条直线相交得到的四个角中，有一条公共边的两个角，叫做互为邻补角. 提示：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等. 4.角平分线 5.对顶角 6.平行线概念，平行的判定，性质 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.判定：（1）同位角相等，两直线平行。

三角形的初步认识知识点梳理

三角形的初步认识知识点梳理考点一、判断三条线段能否组成三角形考点二、求三角形的某一边长或周长的取值范围考点三、判断一句话是否为命题，以及改成“如果……那么……”的形式考点四、利用角平分线、垂线（90°角）、三角形的外角、内角和、全等三角形来计算角度考点五、利用垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形来计算线段长度考点六、证明三角形全等，以及在三角形全等的基础之上进一步证明线段、角度之间的数量关系考点七、画三角形的高线、中线、角平分线，以及基本图形的尺规作图法考点八、方案设计题，求河宽等问题例1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多少厘米 1、某一三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长的取值范围为（） A、10≤a＜16 B、10＜a≤16 C、10＜a＜16 D、2＜a＜8 2、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形的（） A、中线 B、高线 C、角平分线 D、过一边的中点且和这条边垂直的直线 3、已知一个三角形的三条高的交点不在这个三角形的内部，则这个三角形（）

A. 必定是钝角三角形 B. 必定是直角三角形 C. 必定是锐角三角形 D. 不可能是锐角三角 4、△ABC的三个不相邻外角的比为2：3：4，则△ABC的三个内角的度数分别为。例2、如图，已知△ABC中，BE和CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且BD=CE，∠1=∠2。说明BE=CD的理由 3、已知AE，AD分别为△ABC中BC边上的中线和高线，且AB=7cm，AC=5cm，则△ACE 和△ABE的周长之差为多少厘米？△ACE和△ABE的面积之比为多少？（【设计意图】本例主要考察了三角形中线、高线的性质，重在格式的书写上。）如图，在某市效的空旷平地上有一个较大的土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，请你应用所学的知识设计一种方案，能用尺量出不能达到的A、B两点的距离。（只要求说明设计方案和这种方案设计的根据，并画出草图，不要求数据计算）

初中三角形知识点总结

图形的初步认识：三角形考点一、三角形 1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。 2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 4、三角形的面积 1×底×高三角形的面积= 2 考点二、全等三角形

1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 3、全等变换只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

三角形的初步知识

三角形的初步知识三角形的初步知识班级_________ 姓名__________学号_______得分一．填空题（每题3分，共30分） 1．如图（1）∠A ＝80o，∠2＝130o，则∠1＝ ; 2. 如图（2）已知AC ＝ BD ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是 ; 3．如图（3）在△ABC 中，∠BAC ＝80o，∠B ＝40o，AD 是△ABC 的角平分线，则∠ADB ＝ o; 4. 已知△ABC 中，∠C ＝4∠A,∠A ＋ ∠B ＝100o，那么∠A ＝度； 5．三角形的两边长分别为2cm, 5cm ，第三边长x cm 也是整数，则当三角形的周长取最大值时 x 的值为； 6．四条线段的长分别是5 cm ，6 cm ，8 cm ，13 cm ，则以其中任意三条线段为边能够构成个三角形。 7．如图（4），在△ABC 中，已知AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80o，则∠CED ＝。 (2) (3) (4) (5) (6) A C B ( 1 ) 2 1

8．如图（5）△ABC的高AD和CE相交于点H，若∠B＝40o，则∠AHC＝ o ； 9 ．如图（ 6）在△ABC中，AD是高，E是AB上一点，AD与CE相交于点P，已知∠APE=50o,∠AEP=80o, 则∠B＝o 10．在Rt△ABC中，∠C＝90o，CE是△ABC的中线，若AC＝2.4cm, BC ＝1.5cm, 则△AEC的面积为。二．选择题（每题3分，共24分） 11．在下列各组图形中，是全等的图形是（） A B C D 12．在下列长度的四根木棒中，能与4 cm, 9 cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（） A. 4 cm B. 5 cm C. 9 cm D. 13 cm 13．如图，PD⊥AB, PE⊥AC, 垂足分别为D , E，且AP平分∠BAC，则△APD与△APE全等的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 14．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点O，且∠A＝α，则∠BOC的度数是（） B C A P D E A B C O

解三角形知识点及题型总结复习过程

基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-bB>C 则6090,060A C ?≤

初中三角形有关知识点总结及习题大全带答案

一、三角形内角和定理一、选择题 1.如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于（） A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角α等于（）A ．75o B ．60o C ．45o D ． 30o 3.如图，直线m n ∥，?∠1=55，?∠2=45，则∠3的度数为（） A ．80? B ．90? C ．100? D ．110? 【解析】选C. 如图，由三角形的外角性质得0001004555214=+=∠+∠=∠，由m n ∥，得010043=∠=∠ 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠的度数等于（） A ．50° B ．30° C ．20° D ．15° 【解析】选C 在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB ∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于（）. A.20° B. 35° C. 45° D.55° 【解析】选D 因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB ＝55o，又因为AB ∥CD,所以∠C ＝∠EFB ＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC 的一个外角为50°，则△ABC 一定是（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形或锐角三角形【解析】选B 因为△ABC 的一个外角为50°，所以与△ABC 的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. A B C D 40° 120° α

三角形基础知识及习题

三角形的三线一、定义三角形三条中线的交点叫做三角形重心。三角形的中线平分三角形的面积。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形三条高线的交点叫做三角形垂心。三角形三条角平分线线的交点叫做三角形内心。注意：三角形的中线，角平分线，高线均为线段二、灵活运用中线篇 1.如图7-11所示，在△ABC中，∠1=∠2，点G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F 为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中正确的是( ) （1）AD是△ABE的角平分线；(2)BE是△ABD边AD上的中线；(3)CH是△ ACD边AD上的高. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图，BM是△ABC的中线，若AB=5 cm，BC=13cm，那么△BCM的周长与△ABM的周长差是多少?

3. 能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（） A ．中线B ．高C ．角平分线 D ．以上三种情况都正确 4. 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形是__________ 5. 如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为B C 、AD 、CE 的中点，且S △ABC =4c m 2 ，则S 阴影=__________. 6. 如图，BD= 1 2 BC ，则BC 边上的中线为______，△ABD 的面积=_____的面积. 7. 在△ABC 中,D 是BC 上的点,且BD:DC=2:1,S △ACD =12,那么S △ABC 等于( ) A.30 B.36 C.72 D.24 8. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2 ，求S △ABE ． 9. 探索在如图7-23至图7-25中，△ABC 的面积为a. (1)如图7-23，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD=BC ，连接DA.若△ACD 的面积为S 1，则 S 1=__________(用含a 的代数式表示)；图7-23 图7-24 图7-25 (2)如图7-24，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD=BC ，AE=CA ，连接DE. 若△DEC 的面积为S 2，则S 2=________(用含a 的代数式表示)，并写出理由； (3)在图7-25的基础上延长AB 到点F ，使BF=AB ，连接FD ，FE ，得到△DEF(如图7-25).若阴影部分的面积为S 3,则S 3=__________(用含a 的代数式表示). （4）像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF(如图7-25)，此时，我们称△ABC 向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的__________倍. 应用去年在面积为10 m 2 的△ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH(如图7-26).求这两次扩展的区域(即阴影部分)面积共为多少平方米?

三角形基础知识归纳总结

三角形基础知识归纳总结一、知识归纳： 1、三角形的三边关系任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 . 2、三角形的高、中线、角平分线（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段 . （2）交点情况： ①三条高所在的直线交于一点：三角形是锐角三角形时交点位于三角形的内部；三角形是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点；三角形是钝角三角形时，交点位于三角形的外部 . 三角形的高

②三角形的三条中线交于一点，交点位于三角形的内部，每条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形 . 三角形的中线 ③三角形的三条角平分线交于一点，交点位于三角形的内部 . 3、三角形的内角和三角形内角和定理：任何三角形的内角和都等于180° . 三角形的三个内角用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° . 4、三角形的外角与内角的关系（1）等量关系：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角和为360° . （2）不等量关系：三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角 . 5、多边形多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形 . 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 .

六边形多边形对角线条数探索：归纳总结：（1）n 边形的内角和是（n - 2）180°，外角和是360°；正n 边形的每个内角是：

（2）从n 边形的一个顶点出发，可做( n - 3 )条对角线，把n 边形分成( n - 2 ) 三角形，所以n 边形的内角和是( n - 2 )180°；一个n 边形一共有n ( n - 3 ) / 2条对角线( n ≥3 ) . （3）如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两个角相等或互补；如果一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补. 二、习题练习【三角形定义】 1．如图，图中直角三角形共有（C） A．1个B．2个C．3个D．4个【三边关系】 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（B） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm

初中三角形有关知识点总结及习题大全-带答案

. A一、三角形内角和定理一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100，由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°，则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°，所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 .

. 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=．【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度．

特殊三角形基本知识点整理讲解学习

特殊三角形的定义、性质及判定

等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3. 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。 5. 等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。等边三角形（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形. （2）等边三角形的性质： ①等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°； ②等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且每一条边上都有三线合一，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；而等腰三角形只有一条对称轴.（3）等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角都等于60°的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）两个重要结论 ①在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半. ②在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°. 两个重要结论的数学解释：Array已知：如图4，在△ABC中，∠C＝90°，则： ①如果AB＝2BC，那么∠A＝30°； ②如果∠A＝30°，那么AB＝2BC. 直角三角形 1. 认识直角三角形。学会用符号和字母表示直角三角形。按照角的度数对三角形进行分类：如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形叫直角三角形。通常用符号“Rt△”表示“直角三角形”，其中直角所对的边称为直角三角形的斜边，构成直角的两边称为直角边。如果△ABC是直角三角形，习惯于把以C为顶点的角当成直角。用三角A、B、C对应的小写字母a、b、c分别表示三个角的对边。如果AB＝AC且∠A＝90°，显然这个三角形既是等腰三角形，又是直角三角形，我们称之为等腰直角三角形。 2. 掌握“直角三角形两个锐角互余”的性质。会运用这一性质进行直角三角形中的角度计算以及简单说理。 3. 会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形。 4. 掌握“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”性质。能通过操作探索出这一性质并能灵活应用。 5在直角三角形中如果一个锐角是30°，则它所对的直角边等于斜边的一半”。难点： 1在直角三角形中如何正确添加辅助线通常有两种辅助线：斜边上的高线和斜边上的中线。

认识三角形(基础)知识讲解

认识三角形（基础）知识讲解【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并能够证明三角形内角和定理； 3. 掌握并会把三角形按角分类； 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系； 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．要点二、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系．要点三、三角形的分类【高清课堂：与三角形有关的线段三角形的分类】 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形　锐角三角形斜三角形　钝角三角形要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.

北京课改版-八年级上-三角形的初步知识知识点+练习

a 三角形的初步知识一、三角形的基本概念： 1、三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。三角形ABC 记作：△ABC 。 2、相关概念：三角形的边、三角形的内角 3、三角形的分类： ? ? ? ?????等边三角形一般等腰三角形等腰三角形不等腰三角形按边分：三角形)1( ?? ? ? ? ???? ?钝角三角形等腰直角三角形一般直角三角形直角三角形锐角三角形按角分：三角形)2( 二、三角形三边关系： 1、三角形任何两边的和大于第三边。（运用）几何语言：若a 、b 、c 为△ABC 的三边，则a+b>c,a+c>b, b+c>a. 2、三边关系也可表述为：三角形任何两边的差都小于第三边。三、三角形的内角和定理：（定理、图形、数学语言、证明）三角形三个内角的和等于1800 。（证明方法）三角形的外角定理以及证明方法四、三角形的三线：问题1、如何作三角形的高线、角平分线、中线？问题2、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条，它们的交点在什么位置？问题3、三角形的中线有什么应用？问题4、高有什么应用？(等面积法) 五、三角形的稳定性 C B A

例题与练习例1、如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 、AC 上的两点，连接BE 、AD 交于点F 。问：（1）、图中有多少个三角形？把它们表示出来。（2）、△AEF 的三条边是什么？三个角是什么？练习：1右图中有几个三角形 2.对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高. 例2、已知线段a b c 满足a+b+c=24cm, a:b=3:4, b+2a=2c ,问能否以a 、b 、 c 为三边组成三角形，如果能，试求出这三边，如果不能，请说明理由。练习 1、四组线段的长度分别为2，3，4；3，4，7； 2，6，4；7，10，2。其中能摆成三角形的有（） A ．一组 B ．二组 C ．三组 D ．四组 2、已知三角形两条边长分别为13厘米和6厘米，那么第三边长应是多少厘米？ 3、已知三角形两条边长分别为19厘米和8厘米，第三边与其中一边相等，那么第三边长应是多少厘米？ 4.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( ) A 、13 B 、17 C 、13或17 D 、不能确定 5.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是 6.已知a,b,c 是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|. 例3、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，求三角形各角的度数，并判断它是什么三角形。 (1)C B A C B A (2)C B A (3)

三角形及其性质(基础)知识讲解

三角形及其性质(基础）知识讲解【学习目标】 1、理解三角形及与三角形有关得概念,掌握它们得文字、符号语言及图形表述方法、 2、理解三角形内角与定理得证明方法; 3、掌握并会把三角形按边与角分类 4、掌握并会应用三角形三边之间得关系、 5、理解三角形得高、中线、角平分线得概念，学会它们得画法、【要点梳理】要点一、三角形得定义由不在同一条直线上得三条线段首尾顺次相接所组成得图形叫做三角形、要点诠释: (1)三角形得基本元素: ①三角形得边：即组成三角形得线段; ②三角形得角:即相邻两边所组成得角叫做三角形得内角,简称三角形得角； ③三角形得顶点:即相邻两边得公共端点、（2）三角形得定义中得三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”、(3)三角形得表示:三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C得三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABＣ”,注意单独得△没有意义；△ABC得三边可以用大写字母AB、BC、ＡC来表示，也可以用小写字母ａ、b、c来表示，边BＣ用a表示,边AC、AB分别用b、c 表示、要点二、三角形得内角与三角形内角与定理：三角形得内角与为180°、要点诠释:应用三角形内角与定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角得度数可以求出第三个角得度数; ②已知三角形三个内角得关系,可以求出其内角得度数； ③求一个三角形中各角之间得关系、要点三、三角形得分类１、按角分类: 要点诠释: ①锐角三角形：三个内角都就就是锐角得三角形； ②钝角三角形：有一个内角为钝角得三角形、 2、按边分类: 要点诠释: ①不等边三角形:三边都不相等得三角形； ②等腰三角形:有两条边相等得三角形叫做等腰三角形,相等得两边都叫做腰,另外一边叫做底边，两腰得夹角叫顶角,腰与底边夹角叫做底角; ③等边三角形：三边都相等得三角形、要点四、三角形得三边关系

《三角形的初步知识》测试卷

______cm 2；第3题图 C 1 1 《三角形的初步认识》测试卷姓名___________ 一、填空题 (30 分) ： 1、在 △R t ABC 中,一个锐角为 250, 则另一个锐角为________； 2、在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝7，则 AC 的长 x 的取值范围是________； 3、如图 ,AD 是△ ABC 的中线 , △ABC 的面积为 100cm 2,则△ ABD 的面积是 A A A E F B D B D 第4题图 C B 第5题图 C 4、如图, △ABC 中, ∠ABC=740,AD 为△ABC 的高,则∠BAD=_______； 5、如图 , △ABC 中,AB=12,EF 为 AC 的垂直平分线 ,若 EC=8,则 BE 的长为 _______； 6 、如图 , △ A BC 中 , ∠ A BC 和∠ ACB 的平分线交于点 O, 若∠ A=700, 则∠ BOC=_______； 7、如图, △ABC 中,高 BD 、CE 相交于点 H,若∠A=60 0,则∠BHC=_____； A O E A H D B 第6题图 C B 第7题图 C 8、如上右图，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3，则∠4＝________； △9、已知 ABC 中, ∠A= ∠B= ∠△C 则 ABC 为___________ 三角形； 2 3 10、如图，四边形 ABCD 是一防洪堤坝的横截面，AE⊥CD，BF⊥CD，且 AE=BF ， ∠D=∠C，问 AD 与 BC 是否相等？说明你的理解：在△ADE 和△BCF 中， ∠D=∠C ( ) ∠AED=∠ (垂直的意义) 由。

三角形基础知识练习

三角形知识梳理一、知识框架：二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对

角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数： ① n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形. ②n 边形共有(3) 2 n n -条对角线. 一、选择题(每小题3分，共30分） 1、三角形的三边分别为3，1+2a ，8，则a 的取值范围是（） A 、﹣6＜a ＜﹣3 B 、﹣5＜a ＜﹣2 C 、2＜a ＜5 D 、a ＜﹣5或a ＞﹣2 2、适合条件C B A ∠= ∠=∠2 1 的三角形是（） A 、锐角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形 3、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（） A 、8 B 、9 C 、10 D 、11 4、在等腰三角形ABC 中，它的两边长分别为8cm 和3cm ，则它的周长为（） A 、19cm B 、19cm 或14cm C 、11cm D 、10cm 5、一个三角形的两边长分别为3和7,且第三边的边长为整数,这样的三角形的周长的最小值是

三角形初步认识知识点及习题【最新】

三角形的初步认识知识重点透视一在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 1.在三角形ABC中，AB=8，AC=7，则BC边长的取值范围为______________. 2.在一个三角形中，在边长分别为：5，2m-1, 7则m的取值范围为_____________. 3.在三角形ABC中，AB=6，AC=12，AD是BC边上的中线，则AD的长的取范围是_______________. 4.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（） A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm 5.用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 知识重点透视二角平分线的性质 .用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（） A、SSS B、ASA C、AAS D、角平分线上的点到角两边距离相等 2.如图所示，D是⊿ABC的角平分线BD和CD的交点，若∠A=50°，则∠D=（） A.120° B.130° C.115°D110° 3.如图，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，CD=4，则点D到AB

的距离是_____ 4.如图，已知⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15，则⊿DEB 的周长为_______ 5.如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，则P到AC边的距离是______cm。知识重点透视三线段垂直平分线的性质 1. .如图，已知DE⊥BC于E，BE=CE， AB+AC=15，则⊿ABD的周长（） A.15 B.20 C.25 D.30 2.如图，△ABC中，∠C=90°，AB的

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