第10章 曲线积分与曲面积分
1.计算下列对弧长的曲线积分:
(1) sin d C x y s ?,其中C 为3x t
y t =??=?
,(0≤t ≤1);
(2)22()d C
x y s +??,其中C 为圆周cos sin x a t y a t =??=?,(0≤t ≤2π); (3)2d C y s ?,其中C 为摆线(sin )
(1cos )x a t t y a t =-??=-?
的第一拱(0≤t ≤2π);
(4)d C
y s ?,其中C 为抛物线y 2=2x 上由点(0,0)到点(2,2)之间的一段弧;
(5)()d C
x y s +?,其中C 为以O (0,0),A (1,0),B (0,1)为顶点的三角形的边界;
(6)s ?
,其中C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0);
(7)d C
z s ?,其中C 为圆锥螺线cos sin x t t
y t t z t =??
=??=?
从t =0到t =1的一段;
(8)2
d C
x s ?,其中C
为圆周2224x y z z ?++=??=??
解答:
(1)
1
1
1
1
sin d 3sin sin cos cos )C
x y s t t tdt t t tdt ===-+?
??
cos1)=-;
(2)2223
0()d 2C
x y s a a π
π+==???;
(3)222
2
3500d (1cos )
16sin 2C
t
y s a t a dt π
π
=-=???
353
025632sin 15
a d a πθθ==?;
(4)3
2
222
11
d (1)
1)3
3
C
y s y
y ==+=??; (5)C 可以分割为三条直线:0(01)OA y x =≤≤,
:0(01)OB x y =≤≤,
:1(01)BA y x x =-≤≤
()d C
x y s +?
=()d OA
x y s +?+()d OB
x y s +?+()d AB
x y s +?
1
1
1
(1xdx ydy x x =+++-???
1=;
(6)C 为圆周x 2+y 2
=ax (a >0);化为参数方程cos 22sin 2
a a x t a y t ?=+????=??,(0≤t ≤2π),
2
22220
0cos
cos 22222
a a t t
s dt dt a dt a π
π
π====?
?
?
?;
(7)1
d C
z s =??
3
1
21
2
011
(2)33
t ==+=?; (8)C
可以表示为参数方程[]cos sin ;0,2x y z θθθπ?=?
=∈??
=?
2220
d cos C
x s π
θπ==?
?.
所属章节:第十章第一节 难度:一级
2.已知半圆形状铁丝cos sin x a t
y a t =??=?(0≤t ≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标,求此铁丝
的质量
解答:20
d sin 2C
m y s a a π
===??
所属章节:第十章第一节
难度:一级
3.已知螺旋线cos sin x a t y a t z bt =??
=??=?
(b >0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方,试求t 从0到
2π一段弧的质量
解答:22222222
320
8()d (ππ)3
C m x y z s a b t a b π=++=+=+?? 所属章节:第十章第一节 难度:二级
4.求摆线(sin )
(1cos )x a t t y a t =-??=-?的第一拱(0≤t ≤2π)关于Ox 轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点
到x 轴的距离成正比,比例系数为k )
解答:7
223
3
2
d (1cos )
(1cos )C
I ky s k t t dt π
π
==-=-???
23
740
102464sin 235
t ka
dt ka π
==? 所属章节:第十章第一节 难度:二级
5.计算下列对坐标的曲线积分:
(1)d d C y x x y +?,其中C 为圆弧cos π
,(0)sin 4x a t t y a t =?≤≤?=?,依参数t 增加方向绕行;
(2)(2)d ()d C
a y x a y y ---?,其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-??=-?自原点起的第一拱;
(3)d C
x y ?,其中C 为x +y =5上由点A (0,5)到点B (5,0)的一直线段;
(4)C
xydx ??,其中C 为圆周222
()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)
解答:(1)()2
2
4
40
d d sin (cos )cos sin cos 22
C
a y x x y a td a t a td a t a tdt ππ+=+==???????
(2)(2)d ()d C
a y x a y y ---?
220
[(2cos )(sin )(cos )((1cos ))a a a t d at a t a a a t d a t a π
π=-+---+-=?
(3)5
25d (5)2
C
x y xd x =-=-
?? (4)C 分成两部分在2122()(0):x a y a a C -+=>在x 轴的上部逆时针方向,2C 是从原点
指向(2,0)a ,则120
23
20
π02
a
C
C C a xydx xydx xydx x dx a =
+=+?=-?????蜒? 所属章节:第十章第二节 难度:一级
6.计算22()d d OA
x y x xy y -+?,其中O 为坐标原点,点A 的坐标为(1,1):
(1) OA 为直线段y =x ; (2) OA 为抛物线段y =x 2; (3) OA 为y =0,x =1的折线段
解答:(1)1
2
2
201
()d d 3
OA x y x xy y x dx -+==??;
(2)()1222432
08()d d ()15OA x y x xy y x x dx x d x ??-+=--=?
???; (3)设点B 的坐标为(1,0),则OA 分为两段
11
2220
5
()d d 6
OA
OB
BA
x y x xy y x dx ydy -+=+=+=
?
?
?
??. 所属章节:第十章第二节 难度:一级
7.计算22d d AB
xy x x y +?,其中点A 、B 的坐标分别为A (0,0),B (1,1):
(1) AB 为直线段y =x ; (2) AB 为抛物线段y =x 2; (3) AB 为y =0,x =1的折线段 解答:(1)
1
2
2202d d (2)1AB
xy x x y x dx x dx +=+=?
?;
(2)123220
2d d [2()]1AB
xy x x y x dx x d x +=+=??;
(3) 设点C 的坐标为(1,0),则AB 分为两段
11
20
2d d 011AB
AC
CB
xy x x y dx dy +=+=+=?
?
?
??.
所属章节:第十章第二节 难度:一级
8.计算下列曲线积分:
(1)222()d 2d d L
y z x yz y x y -+-?,其中L 依参数增加方向绕行的曲线段23x t y t z t =??
=??=?
(0≤t ≤1);
(2)d d (1)d L
x x y y x y z +++-?,L 为从点A (1,1,1)到点B (2,3,4)的一直线段;
解答:(1)1
22246640
1()d 2d d (43)35
L
y z x yz y x z t t t t dt -+-=-+-=
??; (2)此时L 写作参数方程12 1 (01)31x t y t t z t =+??
=+≤≤??=+?
1
d d (1)d (14293)13L
x x y y x y z t t t dt +++-=+++++=?
?.
所属章节:第十章第二节 难度:一级
9.一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成。试求当一质量为m 的质点沿圆周x 2+y 2=a 2(a >0)按逆时针方向移过位于第一象限那一段圆弧时场力所作的功
解答:20
d cos L
x da t a π
==-??F F F .
所属章节:第十章第二节 难度:一级
10.设有力场的力,其大小与作用点到Oz 轴的距离成反比(比例系数为k ),方向垂直且朝着
Oz 轴,试求当一质点沿圆周cos 1sin x t y z t =??
=??=?
从点(1,1,0)到点(0,1,1)时力所作的功.
注:本题已改动,否则点不在圆周上. 解答:
由题目可知F =
.当一质点沿圆周cos 1sin x t
y z t
=??
=??=?
从点(1,1,0)
到点(0,1,1)时,y 为常数,0dy =,此时力所作的功为:
020
2
1220
1cos 11cos ln(1)ln 21cos 122
k t kt x d t dt k t k t t π
==-=-+=++?
??. 所属章节:第十章第二节
难度:三级
11.把对坐标的曲线积分(,)d (,)d C
P x y x Q x y y +?化成对弧长的曲线积分,其中C 为:
(1) 在xOy 平面内沿直线y =x 从点(0,0)到点(1,1); (2) 在xOy 平面内沿抛物线y =x 2从点(0,0)到点(1,1);
解答:(1)(,)d (,)d C
C
P x y x Q x y y ds +=???F n ,n 为y =x
的单位法向量,=n ,
(,)d (,)d (,)(,))ds C
C
P x y x Q x y y ds P x y Q x y +=?=+?
??
F n ; (2)n 为2y x =
的单位法向量,=n ,
(,)d (,)d C
C
C
P x y x Q x y y ds +=?=?
??
F n .
所属章节:第十章第二节 难度:二级
12.设L 为曲线23x t y t z t =??
=??=?
上相应于t 从0到1的曲线段,试把对坐标的曲线积分d d d L
P x Q y R z
++?化成对弧长的曲线积分
解答:n 为曲线L 23x t y t z t =??
=??=?的单位法向量,
2==
n L
d d d L
P x Q y R z ds S ++=?=?
??
F n .
所属章节:第十章第二节 难度:二级
13.设闭曲线C 为正向圆周x 2+y 2=4,试就函数P =2x –y ,Q =x +3y 验证格林公式的正确性 解答:格林公式(,)d (,)d (
)C
D
Q P
P x y x Q x y y dxdy x y
??+=-?????, 由于220
(2(4cos 2sin )(2-)cos 2(2cos 6sin )sin 3)C
dx dy d y d x x y π
πθθθθθθ+=-+-+???
20
2(210sin cos )8d π
θθθπ=-=?,
(
)28D
D
Q P
dxdy dxdy x y π??-==??????, 所以格林公式正确.
所属章节:第十章第三节 难度:一级
14.试利用格林公式计算下列曲线积分:
(1)2
31(2)3C
x y y dx x x dy ??-+- ???
??,其中C 以x =1、y =x 及y =2x 为边的三角形正向边界; (2)22C
xy dy x ydx -??,C 为正向圆周x 2+y 2=a 2
;
(注:本题已改动,否则结果为0)
(3) ()d ()d C x y x x y y +--? ,C 为椭圆周22
221x y a b +=,取正向
解答:(1)231111(2)12113222C D
x y y dx x x dy dxdy ??-+-==??-??= ???????,D 为C 所围区域; (2)222223
4
1()π2
a
C
D
xy dy x ydx x y dxdy d d a π
θρρ-=+==
??????,D 为C 所围区域; (3)
()d ()d 22C
D
x y x x y y dxdy ab π+--=-=-????,D 为C 所围区域.
所属章节:第十章第三节
难度:一级
15.利用曲线积分,求下列曲线所围图形的面积:
(1) 星形线3
3
cos sin x a t
y a t
?=??=??; (2) 椭圆9x 2+16y 2=144;
(3) 圆x 2+y 2=2ax
解答:(1)2222333322
20001133d d {cos sin sin cos }sin cos 2228
C x y y x a td t td t t tdt a ππππ-=-==?????; (2) 椭圆9x 2+16y 2=144化为参数方程4cos 3sin x t
y t
=??=?,
2220001
d d 6{cos sin sin cos }6122C x y y x td t td t dt ππππ-=-==?????
; (3) 圆x 2+y 2=2ax 化为参数方程cos sin x a t a
y a t
=+??=?,
2
2222000
1d d {(cos )sin sin (cos )}(1cos )222
C a a x y y x a t a d t a td a t a t dt a πππ
π-=+-+=+=????
?.
所属章节:第十章第三节
难度:二级
16.验证下列曲线积分在xOy 平面内与路径无关,并计算它们的积分值: (1)(2,2)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-?
;
(2)(3,4)
2322(1,2)
(6)d (63)d xy y x x y xy y -+-?; (3)
(1,2)
423(0,0)
(21)d (4)d xy y x x xy y -++-?
解答:(1)因为
1Q P
x y
??==??,
则曲线积分在xOy 平面内与路径无关,此时可选取,[1,2],y x x =∈ (2,2)
2(1,1)
1
()d ()d 23x y x x y y xdx ++-==?
?;
(2)因为
2123Q P
xy y x y
??==-??,则曲线积分在xOy 平面内与路径无关,此时可选取1,[1,2],
y x x =+∈ (3,4)
2
23222322(1,2)
1
(6)d (63)d {6(1)(1)6(1)3(1)}xy y x x y xy y x x x x x x x dx -+-=+-+++-+?
?
2
221
(1){63(1)(1)}236x x x x x dx =+++-+=?;
(3)因为
324Q P
x y x y
??==-??,则曲线积分在xOy 平面内与路径无关,此时选取2,[0,1],y x x =∈ (1,2)
14232424(0,0)
(21)d (4)d {4161264}15xy y x x xy y x x x x dx -++-=-++-=-?
?.
所属章节:第十章第四节 难度:二级
17.利用格林公式计算下列曲线积分:
(1)(24)d (356)d C
x y x x y y -+++-? ,其中C 为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)三角形正
向边界;
(2) 32
(3e )d sin d 3x
C x x y x x y y y ??++- ????,其中C 是沿摆线sin 1cos x t t
y t =-??=-?
从点(0,0)到点(π,2)的一段弧;
(3)(e sin )d (e cos )d x x C
y my x y m y -+-?,其中C 为上半圆周22x y ax +=,取逆时针方向.
注:本小题已加了条件. 解答:
(1)D
(24)d (356)d 412C
x y x x y y dxdy -+++-==????,D 为C 所围区域;
(2) 32
(3e )d sin d 3x
C
x x y x x y y y ??++- ???
?
11
332
2(3e )d sin d (3e )d sin d 33x
x
C C C x x x y x x y y y x y x x y y y +????=++--++- ? ?????
???, 其中1:,[0,2]2
C x y y π
=
∈方向从点(π,2)到点(0,0),由格林公式前一积分为零,故
原积分1
33322232
03(3e )d sin d {()sin }3
8244
x C
x x y x x y y y x e y y dy π
πππ??=-++-=++- ???
?? π32
3e (π1)3π2cos 2sin 23
=-+++-;
(3)
(e sin )d (e cos )d x x C
y my x y m y -+-?
1
1
(e sin )d (e cos )d (e sin )d (e cos )d x x x x
C C C y my x y m y y my x y m y +=-+---+-???
其中1:0,[0,2]C y x a =∈方向从点[2,0]a 到点(0,0),记D 为1C C +所围区域,则由格林公式
原积分220
108
a D
mdxdy dy m a π=+=???.
所属章节:第十章第三节 难度:二级
18.计算曲线积分22
d d C y x x y
x y -++?
:
(1) C 为任一按段光滑的、不包含原点的闭曲线;
(2) C 为椭圆2
214
x y +=,取正向;
解答:(1)由于当220x y +≠时,
2222
()()y x y x x y x y ?-?=??++,故由格林公式 22d d 00C D
y x x y
dxdy x y -+==+???? (2)11122222222d d d d d d d d C C C C C y x x y
y x x y y x x y y x x y
x y x y x y x y +-+-+-+-+=
-=-++++????蜒蜒,
其中2221:C x y ε+=取负向,由于1:cos ,sin C x t y t εε==,所以
22d d C y x x y
x y -++? 2222
220
sin cos 2t t dt πεεπε
+==?. 所属章节:第十章第三节 难度:三级
19.验证下列P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在全平面内是某个函数u (x ,y )的全微分,并求此原函数u (x ,y ):
(1)(2)d (2)d x y x x y y +++;
(2)2222(2)d (2)d x xy y x x xy y y +-+--; (3)43224(4)d (65)d x xy x x y y y +++;
注:本小题已作改动,原来题中4
3
2
2
4
(4)d (65)d x xy x x y y y ++-,与参考答案5
23525
x x y y C
+++不相符.也可以改动答案为5
23525
x x y y C +-+.
(4)e cos d e sin d x x y x y y -; 解答:(1)
2Q P
x y
??==?? , P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在全平面内是u (x ,y )的全微分. 22
0(,)(2)2(),2()2,()22
x
x u y u x y x y dx xy y x y x y y C y ????'=+=++=+=+=+??
则221
(,)()22
u x y x y xy C =+++
(2)
22Q P
x y x y
??==-?? , P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在全平面内是u (x ,y )的全微分. 32
2
2
22220(,)(2)(),2()23x
x u
u x y x xy y dx x y xy y x xy y x xy y y
???'=+-=+-+=-+=--??,
3
()3
y y C ?=-+,则
331
(,)()()3
u x y x y xy x y C =-+-+;
(3)
212Q P
xy x y
??==?? , P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在全平面内是u (x ,y )的全微分. 54
3
2
3
2222450(,)(4)2(),6()65,()5x
x u
u x y x xy dx x y y x y y x y y y y C y
????'=+=++=+=+=+??
则5
235(,)25
x u x y x y y C =+++;
(4)
sin x Q P
e y x y
??==-?? , P (x ,y )d x +Q (x ,y )d y 在全平面内是u (x ,y )的全微分.
(,)cos cos (),
sin ()sin ,()x
x x x x u
u x y e ydx e y y e y y e y y C y
????'==+=-+=-=?? 则(,)e cos x u x y y C =+.
所属章节:第十章第四节 难度:二级
20.设有力场F =(x +y 2)i +(2xy –8)j ,证明质点在此力场内移动时,场力所作的功与路径无关,只与起终点有关 解答:由于
2Q P
y x y
??==??,利用格林公式知场力所作的功与路径无关, 只与起终点有关. 所属章节:第十章第四节 难度:二级
21.计算下列曲面积分
(1)d S
xyz S ??,其中S 为平面12
z
x y ++
=在第一卦限的部分; (2)d S
x S ??,其中S 为球面2222x y z R ++=在第一卦限的部分;
(3)S
S ,其中S 为单位球面2221x y z ++=;
(4)()22d S
x y S +??,其中S
为锥面z =及平面z =1所围区域的整个边界曲面;
解答:(1)222,2,2,{(,)1,0,0}x y xy z x y z z D x y x y x y =--=-=-=+≤≥≥
110
1d 3(222)6(1)20
xy
x
S
D xyz S xy x y dxdy dx xy x y dy -=--=--=
??????
;
(2)
222{(,),0,0}x y xy z z z D x y x y R x y ==
=
=+≤≥≥,
24
20
d 4
xy
R
S
D R x S R d π
πθρ===
????
??
;
(3)22{(,)1}x y xy z z z D x y x y ==
=
=+≤
2
212
00
22
xy
S D
S dπθρπ
===
????;
(3)将S分为两个曲面
12
,S S.
1
S
为锥面z=
22
{(,)1}
x y xy
z z z D x y x y
====+≤
(
)(
)
1
21
22223
00
d
xy
S D
x y S x y dxdy d d
π
θρρ
+=+==
???
2
S为平面z=1,22
1,0,0,{(,)1}
x y xy
z z z D x y x y
====+≤.
()()
1
21
22223
00
1
d
2
xy
S D
x y S x y dxdy d d
π
θρρπ
+=+==
??????
(
)
22
1
d1)π
2
S
x y S
+=
??.
所属章节:第十章第五节
难度:二级
22.设半径为R的球面上每点的密度等于该点到某一定直径的距离的平方,求此球面的质量解答:将直径设为Z轴, 球心为原点,
球的方程为z=
x y
z z
==,
球面的质量为()
22d
S
x y S
+
??,
(
)223
2
224
00
8
d22π
3
xy
R
S D
x y S R R d R
π
θρ
+===
??????.
所属章节:第十章第五节
难度:二级
23
.求球面z=220
x y ax
+-=内部的面积
解答:
x y
z z z
===22
{(,)}
xy
D x y x y ax
=+≤
cos2
2
2
d(2)
xy
a
S D
S a d a
π
θ
π
θρπ
-
===-
??????.
第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ,等加速度a 出站,当速度达到1v 后,火车按等速运动前进;从 出站经过T 时间后,又以等减速度a 2进站,直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式; (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f 1sin )(2= ; (2)1 212)(+-=x x x f ; (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明:若)(x f 为奇函数,且在0=x 有定义,则0)0(=f 。
§2 初等函数 必作习题 P31-33 1,8,9,10,16,17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[,求下列函数的定义域: (1))(x e f ; (2))(ln x f ; (3))(arcsin x f ; (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=,求)(x e f -; (2)设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f ; (3)设x x f -= 11)(,求)]([x f f ,})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数,且1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ,???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ,求)]([x g f 。
2011年普通专升本高等数学真题一 一. 选择题(每个小题给出的选项中,只有一项符合要求:本题共有5个小题,每小题4分,共20分) 1.函数()() x x x f cos 12 +=是( ). ()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数 2.设函数()x x f =,则函数在0=x 处是( ). ()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导 ()C 连续且可导 ()D 连续但不可导 3.设函数()x f 在[]1,0上,02 2>dx f d ,则成立( ). ()A ()()010 1 f f dx df dx df x x ->> == () B ()()0 1 10==> ->x x dx df f f dx df ()C ()()0 1 01==> ->x x dx df f f dx df ()D ()()1 01==> > -x x dx df dx df f f 4.方程2 2y x z +=表示的二次曲面是( ). ()A 椭球面 ()B 柱面 ()C 圆锥面 ()D 抛物面 5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内,曲线()x f y =上平 行于x 轴的切线( ). ()A 至少有一条 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 不存在 二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分) 1.计算_______ __________2sin 1lim 0=→x x x 报考学校:______________________报考专业:______________________姓名: 准考证号: ---------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------
高等数学 第一部分函数·极限·连续性 题型一:考查函数的各种特性问题 函数复合问题 题型二:考查极限概念及性质问题关于 题型三:求极限问题 1.未定式极限问题(型,型,型,型,型) 2.非未定式极限问题(递归数列极限,n项和式极限,n项 积的极限,含参变量的极限,) 3.关于无穷小阶的问题 4.连加或者连乘求极限问题 5.极限存在性问题 6.含参数的极限问题 7.中值定理求极限问题 8.含变限积分的函数极限问题 9.左右极限问题 题型四:判断函数在某点的连续与间断问题,间断点分类问题 题型五:利用闭区间上连续函数性质的证明问题 题型六:分析极限,求参数问题
第二部分导数与微分 题型一:考查导数·微分概念的问题 题型二:导数与微分的计算问题 题型三:求高阶导数的问题(简单初等函数的n阶导数,参数方程确定的函数的二阶导数,隐式方程F(x,y)=0确定的隐函数y=y(x)的二阶导数) 题型四:利用导数求平面曲线的切线方程·法线方程的问题 题型五:基本求导类型,显函数·隐函数·参数方程·分段函数·复合函数 题型六:导数的几何应用 题型七:分段函数可导性的判断:分段函数·含绝对值的函数·带极限的函数
第三部分中值定理及一元函数微分学的应用 题型一:利用罗尔中值定理证明中值问题 题型二: 利用拉格朗日中值定理证明中值问题 题型三:利用柯西中值定理证明中值问题 题型四: 利用泰勒公式证明中值问题 题型五:函数的单调性,单调区间及极值问题 题型六:函数曲线的凹凸区间,拐点及渐近线问题 题型六:方程实根(函数零点,两个曲线交点)问题 题型七:不等式的证明问题 题型八:证明()=0()的问题 题型九:特征结论中只有一个中值,不含其它字母 题型十:结论中含,含a,b(a,b与可分离;a,b与不可分离) 题型十一:结论中含两个或两个以上中指的问题 情形一:结论中只含(),(); 情形二:结论中含两个中值,但是关于两个中值的项复杂程度不同 情形三:结论中含中值(不仅仅含(),()),两者对应的项完全对等
习题七 1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A (1,2,3); B (-2,3,4); C (2,-3,-4); D (3,4,0); E (0,4,3); F (3,0,0). 解:点A 在第Ⅰ卦限;点B 在第Ⅱ卦限;点C 在第Ⅷ卦限; 点D 在xOy 面上;点E 在yOz 面上;点F 在x 轴上. 2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz 面上的呢?zOx 面上的呢? 答: 在xOy 面上的点,z =0; 在yOz 面上的点,x =0; 在zOx 面上的点,y =0. 3. x 轴上的点的坐标有什么特点?y 轴上的点呢?z 轴上的点呢? 答:x 轴上的点,y =z =0; y 轴上的点,x =z =0; z 轴上的点,x =y =0. 4. 求下列各对点之间的距离: (1) (0,0,0),(2,3,4); (2) (0,0,0), (2,-3,-4); (3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3). 解:(1 )s = (2) s == (3) s == (4) s ==5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解:点(4,-3,5)到x 轴,y 轴,z 轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5). 故 02 s = x s == y s == 5z s ==. 6. 在z 轴上,求与两点A (-4,1,7)和B (3,5,-2)等距离的点. 解:设此点为M (0,0,z ),则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149z = 即所求点为M (0,0,14 9). 7. 试证:以三点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明:因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证:()()++=++a b c a b c . 证明:利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.u v =-+=-+-a b c a b c 试用a , b , c 表示23.u v -
高等数学下册练习题汇总(例64个习题176个小题)第八章(例13个习题28个小题) 8-1:例4、5、6、7;P12:4,5,12,13,15; 8-2:例2、4 ;P22:1,3,6,7,9; 8-3:例1、2、3、4、5 ;P31:1,2,5,6,7,8,9,11(3); 8-4:例4、5 ;P37:1(1)(2),2,7,8; 第九章(例19个习题52个小题) 9-1:P62:2,4,5; 9-2:例1、2、3、4、6、7;P69:1、2、3、4、6、7、8、9; 9-3:例1、2、3;P75:1,2,3,4; 9-4:例1、2、3、4;P82:1、2、3、4、5、6、7、8、9、10; 9-5:例1、2 ;P89:1、2、3、4、5、8(改为1阶)、9(改为1阶); 9-8:例4、5、7、8;P118:2、3、4、5、6、7、9、10;
第十章(例7个习题31个小题) 10-2:例1、2、3、5 ;P154:1(1)(2)(3),2,6(1)(2)(3)(4),10,13(2)(3)(4),14,15(1)(4);10-3:例1、2、3;P164:5,6,7,8,9,11(1)(3), 12(1)(3)(4). 第十一章(例11个习题30个小题) 11-1:例1、3;P190:3(1)---(8); 11-2:例1、2、3、4;P200:3(1)(3)—(8), 4; 11-3:例1、3、4;P213:1,4,5; 11-5:例1;P229:3(1)(4); 11-5:例1;P236:1(1)(4)(5); 第十二章(例14个习题35个小题) 12-2:例2、3、5、7,9;P268: 1(1)(2)(3)(4),2,4(1)(2)(3)(4)(5),5; 12-3 : 例1、2、3、5、6;P277: 1(1)(2)(3)(4)(5)(6), 2(1)(2)(3); 12-4 : 例3、4、5、6;P285: 2(2)(3)(4)(5)(6),4,5,6.
.求证:存在,且,=时,设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(1 1110x x x x x x o o x x 答( ) .. . . .是等价无穷小,则与时,若当2 32123211cos )(1)1()(0312--= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x ( ) 答 阶的是 时,下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→ []之值.求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n .求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n .求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→ _____________sin 1lim 3202=--→的值x x x e x x .及求证:,,设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞ →+∞→∞→++-=+= ≠==lim )(lim lim 2)( 11221 .及,求记:, .,设n n n n n n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+= >>==lim lim 11 2)0(111221 求极限之值.lim ()cos sin x x x x x →+-02 12 设,;且试证明:.lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==00 00 [] 答( ) . . . .2 ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞= +-→
(一)函数、极限、连续 一、选择题: 1、 在区间(-1,0)内,由( )所给出的函数是单调上升的。 (A) ;1+=x y (B) ; 2x x y -= (C) 34+-=x y (D)25-=x y 2、 当+∞→x 时,函数f (x )=x sin x 是( ) (A )无穷大量 (B )无穷小量 (C )无界函数 (D )有界函数 3、 当x →1时,31)(,11)(x x x x x f -=+-=?都是无穷小,则f (x )是)(x ?的( ) (A )高阶无穷小 (B )低阶无穷小 (C )同阶无穷小 (D )等阶无 穷小 4、 x =0是函数 1 ()arctan f x x =的( ) (A )可去间断点 (B )跳跃间断点; (C )振荡间断点 (D )无穷间断点 5、 下列的正确结论是( ) (A ))(lim x f x x →若存在,则f (x )有界; (B )若在0x 的某邻域内,有()()(),g x f x h x ≤≤且),(lim 0 x g x x →),(lim 0 x h x x →都存在,则 ),(lim 0 x f x x →也 存在; (C )若f(x)在闭区间[a , b ]上连续,且f (a ), f (b )<0则方程f (x )=0,在(a , b )内有唯一的实根; (D ) 当∞→x 时,x x x x x a sin )(,1) (== β都是无穷小,但()x α与)(x β却不能比. 二、填空题: 1、 若),1(3-=x f y Z 且x Z y ==1 则f (x )的表达式为 ; 2、 已知数列n x n 1014- =的极限是4, 对于,101 1=ε满足n >N 时,总有ε<-4n x 成立的最小N 应是 ; 3、 3214 lim 1 x x ax x b x →---+=+(b 为有限数) , 则a = , b = ; 4、 设 ,)(a x a x x f --=则x =a 是f (x )的第 类 间断点; 5、 ,0 , ; 0, )(,sin )(?? ?>+≤-==x n x x n x x g x x f 且f [g (x )]在R 上连续,则n = ; 三、 计算题:
第一章函数及其图形 例1:(). 1} A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤ 注意,单选题的解答,有其技巧和方法,可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学(一)单项选择题的解题策略与技巧》,这里为说明解题相关的知识点,都采用直接法。 例2:函数的定义域为() . 例3:下列各组函数中,表示相同函数的是() 解:A中的两个函数是不同的,因为两函数的对应关系不同,当|x|>1时,两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立,故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1,而y=x的定义域为(-∞,+∞)。 D中的两个函数也是不同的,因为它们的定义域依次为(-∞,0)∪(0,+∞)和(0,+∞)。例4:设 解:在令t=cosx-1,得 又因为-1≤cosx≤1,所以有-2≤cosx-1≤0,即-2≤t≤0,从而有 。 例5:
f(2)没有定义。 注意,求分段函数的函数值,要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6:函数是()。 A.偶函数 B.有界函数 C.单调函数 D.周期函数 解:由于,可知函数为一个奇函数而不是偶函数,即(A)不正确。 由函数在x=0,1,2点处的值分别为0,1,4/5,可知函数也不是单调函数;该函数显然也不是一个周期函数,因此,只能考虑该函数为有界函数。 事实上,对任意的x,由,可得,从而有。可见,对于任意的x,有 。 因此,所给函数是有界的,即应选择B。 例7:若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是()。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数D.奇偶性不确定 解:因为f(x+y)=f(x)+f(y),故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0),可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x,得0 = f(0) = f(x-x) = f[ x+(-x) ] = f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x),即f(x)为奇函数,故应选 A 。 例 8:函数的反函数是()。 A.B. C.D. 解: 于是,是所给函数的反函数,即应选C。
第七章习题答案 习题7.0 1.下列各种情形中,P 为E 的什么点? (1)如果存在点P 的某一邻域()U P ,使得()?c U P E (c E 为E 的余集); (2)如果对点P 的任意邻域()U P ,都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠ ; (3)如果对点P 的任意邻域()U P ,都有. 解 (1)P 为E 的外点;(2)P 为E 的边界点;(3)P 为E 的聚点。 2.判定下列平面点集的特征(说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等?)并分别求出它们的导集和边界. (1) (){} ,0≠x y y ; (2) (){} 22,620≤+≤x y x y ; (3) (){} 2,≤x y y x ; (4) ()(){ }()(){ } 2 2 22,11,24+-≥?+-≤x y x y x y x y . 解 (1) 是开集,是半开半闭区域,是无界集,导集为2R ,边界集为 (){},0=x y y ;(2)既不是开集也不是闭集,是半开半闭区域,是有界集,导集 为(){} 22,620≤+≤x y x y ,边界集为(){} 2222,=6=20++,x y x y x y ;(3) 是闭集,是半开半闭区域,是无界集,导集为集合本身,边界集为(){} 2,=x y y x ;是闭集,是闭区域,是有界集,导集为集合本身,边界集为 ()() (){ } 2 2 22,11,24+-=+-=x y x y x y 习题7.1 1. 设求 1. 解 令 ,=-= y u x y v x ,解得,11= =--u uv x y v v ,故 ()22 ,11????=- ? ?--???? u uv f u v v v ,即()()21+,1=-u v f u v v ,所以,()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ? ?-=- ???(,).f x y
【最新整理,下载后即可编辑】 .求证:存在,且,=时,设当βα=β+βα+αβαβ=βαα→→→→000lim lim lim )()(1 1110x x x x x x o o x x 答( ) .. . . .是等价无穷小,则与时,若当2 32123211cos )(1)1()(0312--= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x ( ) 答 阶的是 时,下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→ []之值.求)12ln()12ln(lim --+∞→n n n n .求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞→n n n n .求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→ _____________sin 1lim 3202 =--→的值x x x e x x .及求证:,,设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞→+∞→∞→++-=+= ≠==lim )(lim lim 2)( 11221 .及,求记:, .,设n n n n n n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=+= >>==lim lim 11 2)0(111221 求极限之值.lim ()cos sin x x x x x →+-0212 设,;且试证明:.lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==00 00 [] 答( ) . . . .2 ln 01)1ln(lim 2)1(11D C B A x x x ∞= +-→ 答( ) . . . .2 1)21(lim 2sin 0D e C e B A x x x x = +→
习题7.1 1.在空间直角坐标系中,指出下列各点位置的特点. ()0,5,0-A ;()0,3,3-B ;()3,0,6-C ;()0,0,4D ;()7,5,0-E ;()9,0,0F . 【解】A 点在y 轴上;B 点在xoy 坐标面上;C 点在zox 坐标面上;D 点在x 轴上;E 点在yoz 坐标面上;F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限. ()1,3,2-A ;()2,1,7--B ;()1,3,2---C ;()3,2,1--D . 【解】A 点在第五卦限;B 点在第三卦限;C 点在第七卦限;D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标,并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离. 【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为 ()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--; ()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂 足为()2,0,0-; ()2,3,1--M 到x 轴的距离为()13232 2=-+; ()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-; ()2,3,1--M 到z 轴的距离为 ()10312 2=+-. 3.已经点()2,1,3--M .求:(1)点M 关于各坐标面对称点的坐标;(2)点M 关于各坐标轴对称点的坐标;(3)点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】(1)()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-; ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---; ()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-. (2)()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3; ()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--; ()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.
高等数学(本科)第七章课后习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
习题7.1 1.在空间直角坐标系中,指出下列各点位置的特点. ()0,5,0-A ;()0,3,3-B ;()3,0,6-C ;()0,0,4D ;()7,5,0-E ;()9,0,0F . 【解】A 点在y 轴上;B 点在xoy 坐标面上;C 点在zox 坐标面上;D 点在x 轴上;E 点在yoz 坐标面上;F 点在z 轴上. 2.指出下列各点所在的卦限. ()1,3,2-A ;()2,1,7--B ;()1,3,2---C ;()3,2,1--D . 【解】A 点在第五卦限;B 点在第三卦限;C 点在第七卦限;D 点在第六卦限. 3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线,写出各垂足的坐标,并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离. 【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--; ()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂足为()2,0,0-; ()2,3,1--M 到x 轴的距离为()13232 2=-+; ()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-; ()2,3,1--M 到z 轴的距离为()103122=+-. 3.已经点()2,1,3--M .求:(1)点M 关于各坐标面对称点的坐标;(2)点M 关于各坐标轴对称点的坐标;(3)点M 关于坐标原点的对称点的坐标. 【解】(1)()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-; ()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---; ()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-. (2)()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3; ()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--; ()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.
南京邮电大学 《高等数学》(下册) 习题参考答案 第七章 习题7.1 2.(1);)() (32 ????+≥+D D d y x d y x σσ (2) ;)() (23 ????+≥+D D d y x d y x σσ (3) ;1 ??????Ω Ω>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222 ??????Ω Ω ++≤++dv z y x dv z y x 3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I (3);3 3323323 ππ≤≤-I 习题7.2 1.(1) ;),(),(44 20 4 2?? ? ? - y y x dx y x f dy dy y x f dx 或 (2) ;),(),(2 22 22 20 ? ?? ?-----y r y r r x r r r dx y x f dy dy y x f dx 或 (3) ;),(),(),(2 2 1 2 112 112 1 ?????? +y y x x dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx 或 (4)1 1 1 2 112 1 (,)(,)(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy ----++ + ???? ?或 . ),(),(),(),(2 2 2 2 2 2 2 2 41.1 1 141 1 441 2 442 1 ? ? ? ? ? ?? ? ----------------+ + +y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2.(1) ;),(1 1 ?? x dy y x f dx (2) ;),(2 4 ?? x x dy y x f dx (3) ;),(2 101 1 ? ?--x dy y x f dx (4) ;),(212 11 1 ? ? +--y y dx y x f dy (5) ;),(1 ?? e e y dx y x f dy (6) .),(),(arcsin arcsin 1 arcsin 20 1 ? ?? ? ---+y y y dx y x f dy dx y x f dy ππ 3.(1) ;320 (2);23π- (3);556 (4);1--e e (5);49 (6).12-π 4. .3π 5. .2 7 6. .617 9.(1) ;)sin ,cos (20 ?? b a d f d ρρθρθρθπ (2) ;)sin ,cos (cos 20 22 ? ?-θ π πρρθρθρθd f d (3) .)sin ,cos (1 )sin (cos 0 21 ? ? -+θθπρρθρθρθd f d 10.(1) ;)sin ,cos ()sin ,cos (csc 0 24 sec 0 40 ? ?? ? +θ π πθ π ρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ). (A )4 24arctan 1x dx x π π-+? (B )44 arcsin x x dx ππ-? (C )112x x e e dx --+? (D )()121sin x x x dx -+? 10.设() f x 为连续函数,则()1 2f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B ) ()()11102f f -????(C )()()1 202 f f -????(D )()()10f f - 二.填空题(每题4分,共20分) 1.设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = . 2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '=. 3.21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4. ()21ln dx x x = +?. 5. ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.
. 求证:存在,且,=时,设当βα =β+βα+αβ α β=βαα→→→→000 lim lim lim )()(1 1110x x x x x x o o x x 答( ) .. . . .是等价无穷小,则与时,若当2 32123211cos )(1) 1()(03 1 2--= -=β-+=α→D C B A a x x ax x x ( ) 答 阶的是时,下述无穷小中最高当x x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→ []之值. 求)12ln()12ln(lim --+∞ →n n n n .求极限)2sin()1(lim 2+π-+∞ →n n n n .求极限)1 1ln()21(lim n n n ++∞ → _____________sin 1lim 32 02 =--→的值x x x e x x . 及求证:,,设有数列n n n n n n n n n n a a a y a a a a b b a a a ∞ →+∞ →∞ →++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221 . 及,求记:, .,设n n n n n n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-= +=>>==lim lim 112)0(1 1 1 221 求极限之值.lim ()cos sin x x x x x →+-0212 设,;且试证明:. lim ()lim ()lim () () x x x x x x v x B u x A A v x B u x A →→→=>==0 [] 答( ) . . . .2 ln 01)1ln(lim 2)1(1 1 D C B A x x x ∞= +-→
11. ?、单项选择题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 1 设 f ( x) (A ) f (0) 2. 设 (x) sin x ),则在x 0处有( (B ) f (0) 1 (C ) f (0) 0 (D ) -—-, (x) 3 33 x ,则当 x 1时( 1 x cos x(x (x)与(x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (A ) 等价无穷小; (C ) (x)是比( x)高阶的无穷小; 无穷小. (D ) f (x)不可导. (B ) (x)与( x)是 (x)是比( x)咼阶的 x 3.若F(x) 0 (2t x)f(t)dt ,其中f (x)在区间上( 1,1)二阶可导且 f (x) (A ) (B ) (C ) 0,则(). 函数F (x) 必在x 0处取得极大值; 函数F (x)必在x 0处取得极小值; 函数F(x)在x °处没有极值,但点(0,F (0))为曲线y F(x)的拐点; 4. (D)函数F (x)在x 0处没有极值,点(0,F(0))也不是曲线y F(x)的拐点。 设f (x) 是连续函数,且 f (x) 2 —2 2 (C ) x 4小题,每小题 ,则 f(x)( 5. 2 x (A ) 2 (B ) 填空题(本大题有 2 lim (1 3x)K x 0 1 4分,共16分) (D ) x 2 6. 已知■co 空是f(x)的一个原函数 x 则 f (x) 7. lim n —(cos 2 — n n cos 2 j L n 2 n cos - n 8. 9. 10. 2 x arcsin x 1 dx —丄 $1 x 2 2 解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 设函数y y (x) 由方程e x y 求— x(1 sin( xy) 1 确定,求y (x)以及y (o ). 设 f (x) 7 x . 厂dx. x 7 ) xe x , ,2x x 2 , 、 1 求 3 f (x)dx ?
高等数学,课后习题答案,第七章,高分必备 习题七 1. 在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限; 点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点?yOz面上的呢?zOx面上的呢? 答: 在xOy面上的点,z=0; 在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点?y轴上的点呢?z轴上的点呢? 答:x轴上的点,y=z=0; y轴上的点,x=z=0; z轴上的点,x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离: (1)(0,0,0),(2,3,4);(2)(0,0,0),(2,-3,-4); (3)(-2,3,-4),(1,0,3);(4)(4,-2,3),(-2,1,3). 解:(1 ) s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点(4,-3,5)到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5). 故 2 s= x s== y s== 5 z s== . 6. 在z轴上,求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距离的点. 解:设此点为M(0,0,z),则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z= 即所求点为M(0,0,14 9). 7. 试证:以三点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明:因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证:()() ++=++ a b c a b c. 证明:利用三角形法则得证.见图 7-1
2010年省《高等数学》竞赛试题(本科二级) 一 填空题(每题4分,共32分) 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+,/ y = 3.2cos y x =,()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-,f 可微,//12(3,2)2,(3,2)3f f ==,则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.(10分) 设()f x 在[],a b 上连续,且()()b b a a b f x dx xf x dx =??,求证:存在点(),a b ξ∈,使 得()0a f x dx ξ =?. 三.(10分)已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,E 为11D C 的中点,F 为侧面正方形11BCC B 的中点,(1)试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。(2)试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四(12分)已知ABCD 是等腰梯形,//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长,使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五(12分)求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??,其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥
高等数学方明亮版第七章 习题7-1 1.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集?并指出集合的边界. (1){}(,)0,0x y x y ≠≠; (2){}22(,)14x y x y <+≤; (3){}2(,)x y y x >; (4){}2222(,)(1)1(2)4x y x y x y +-≥+-≤且. 解 (1)集合是开集,无界集;边界为{(,)0x y x =或0}y =. (2)集合既非开集,又非闭集,是有界集;边界为 2222{(,)1}{(,)4}x y x y x y x y +=+=U . (3)集合是开集,区域,无界集;边界为2{(,)}x y y x =. (4)集合是闭集,有界集;边界为 2222{(,)(1)1}{(,)(2)4}x y x y x y x y +-=+-=U 2.已知函数(,)v f u v u =,试求(,)f xy x y +. 解 () () (,)x y f xy x y xy ++=. 3. 设(,)2f x y xy =,证明: 2(,)(,)f tx ty t f x y =. 解 ) 222 (,)222f tx ty t xy t t xy t xy = == 2(,)t f x y = . 4.设y f x ??= ??? (0)x >,求()f x . 解 由于y f x ?? = = ? ?? ,则()f x =. 5.求下列各函数的定义域:
(1)2222x y z x y +=-; (2)ln()arcsin y z y x x =-+; (3)ln()z xy =; (4 )z = (5 )z = (6 )u =. 解 (1)定义域为{}(,)x y y x ≠±; (2)定义域为{}(,)x y x y x <≤-; (3)定义域为{}(,)0x y xy >,即第一、三象限(不含坐标轴); (4)定义域为22 22(,)1x y x y a b ??+≤????; (5)定义域为{}2(,)0,0,x y x y x y ≥≥≥; (6)定义域为{}22222(,,)0,0x y z x y z x y +-≥+≠. 6.求下列各极限: (1)22 (,)(2,0)lim x y x xy y x y →+++; (2 )(,)(0,0)lim x y →; (3) 22(,)(0,0) 1lim ()sin x y x y xy →+; (4)(,)(2,0)sin()lim x y xy y →; (5)1 (,)(0,1) lim (1)x x y xy →+; (6) 22(,)(,) lim ()x y x y x y e --→+∞+∞+. 解:(1)22(,)(2,0)4 lim (2,0)22 x y x xy y f x y →++===+; (2 )(,)(0,0)001 12lim lim 2 x y u u u u →→→===; (3)因为 22(,)(0,0) lim ()0x y x y →+=,且 1 sin 1xy ≤有界,故22(,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y xy →+=;
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题(本科二级) 一 填空题(每题4分,共32分) 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+,/ y = 3.2cos y x =,()()n y x = 4.2 1x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-,f 可微,//12(3,2)2,(3,2)3f f ==,则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.(10分) 设()f x 在[],a b 上连续,且()()b b a a b f x dx xf x dx =??,求证:存在点(),a b ξ∈,使得()0a f x dx ξ =?. 三.(10分)已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,E 为11D C 的中点,F 为侧面正方形11BCC B 的中点,(1)试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。(2)试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四(12分)已知ABCD 是等腰梯形,//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长,使得梯形绕 AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。 五(12分)求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??,其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、(12分)求()()21x x y e dx x y dy Γ ++++?,其中Γ为曲线22201 212 x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -. 七.(12分)已知数列{}n a 单调增加,123111,2,5, ,3n n n a a a a a a +-====-