2016届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学(文)试题 word版

2016届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试数学

（文）试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求的．

1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，

,{}=23B ，,则 )(B A C u ＝ ( ) A.{}134，

， B.{}34， C. {}3 D. {}4 2．已知是虚数单位，则

31i

i

+-= ( ) A . 12i - B. 2i - C. 2i + D . 12i + 3．若条件:12p x +>，条件:q x a >，且p q ??是的充分不必要条件，则a 的取值范 围 ( ) A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤-

4.下列关系式中正确的是 （ ）

A ．000sin11cos10sin168<<

B ．000sin168sin11cos10<<

C ．000sin11sin168cos10<<

D ．000sin168cos10sin11<<

5．=

+==y x y

x

1

1,19672则

( ) A ．2 B ．

21 C ．3 D ．3

1 6.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥??

+-≤??≥?

，则z=-2x+y 的最大值是 ( )

A .-1 B.-2 C.-5 D.1 7．若02

π

θ-

<<，且sin 3

P θ

=，()3

sin Q θ=，()1

3

sin R θ=，则,,P Q R 大小关系为

A. R Q P <<

B. Q R P <<

C. P Q R <<

D. R P Q << 8．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )

A.245

B.28

5

C ．5

D ．6

9. e 1、e 2是不共线的向量，a ＝e 1＋k e 2，b ＝k e 1＋e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 （ ） A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．±1

10.将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π

8个单位，得到

的函数的一个对称中心是 ( ) A ．(π2，0) B ．(π4，0) C ．(π9，0) D ．(π

16

，0)

11．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ?为锐角三角形，则下列结论一定成立的是 ( A ．()()sin cos f A f B > B ．()()sin cos f A f B < C. ()()sin sin f A f B > D ．()()cos cos f A f B <

12．已知直线)0)(1(>+=k x k y 与函数x y sin =的图象恰有四个公共点),(11y x A ，

),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ．其中4321x x x x <<<，则有 ( )

A.1sin 4=x

B.444cos )1(sin x x x +=

C.44cos sin x k x =

D.444tan )1(sin x x x +=

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题--第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.))4

f(,4(,tan 2)(π

π

在x x f +=处的切线方程 14．)23(log 2x y -=

的单调递增区间 ．

15.边长为1的正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，则=?

16．下面有五个命题：

①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π

2

，k ∈Z }；

③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点； ④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π

6得到y ＝3sin2x 的图像；

⑤函数y ＝sin(x －π

2

)在[0，π]上是减函数．

其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本题满分12分)在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c

已知b a

c B C A -=

-2cos cos 2cos ． （Ⅰ）求A C sin sin 的值； （Ⅱ）若cosB=4

1

，b =2，ABC ?的面积S 。

18．(本题满分12分)已知单调递增的等比数列{}n a 满足：28432=++a a a ，且23+a

是2a 和4a 的等差中项．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（Ⅱ） 令n n n a a b 2

1log =，n n b b b S +++= 21，求使5021>?++n n n S 成立的最小

的正整数n ．

19.(本题满分12分)已知函数)2

cos(sin 2)sin (cos )(2x x x x x f --+=π

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;

（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合； （Ⅲ）求函数()f x 单调递增区间。

20(本题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC ＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1. （Ⅰ）求证：BB 1⊥平面ABC ； （Ⅱ）求证：BC 1∥平面CA 1D ； （Ⅲ）求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．

21．（本小题满分12分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈． （Ⅰ）当2a =时，求曲线f （x ）在x=1处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()a

h x f x x

+=+

，求函数h （x ）的单调区间；

（Ⅲ）若1()a

g x x

+=-

，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x 0，使得f （x 0）≤g （x 0）成立，求a 的取值范围．

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如 果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方 框涂黑。

22（本小题满分10分）.如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦， 且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F . （Ⅰ）求证：四边形ACBE 为平行四边形； （Ⅱ）若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．

23（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程为?

????

x ＝－2＋t cos α，

y ＝t sin α(t 为参数)，

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

ρ＝2sin θ－2cos θ.

（Ⅰ）求曲线C 的参数方程；

（Ⅱ）当α＝π

4时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标．

24．（本小题满分10分）设函数f(x)＝|x－1|＋1

2|x－3|.

（Ⅰ）求不等式f(x)>2的解集；

（Ⅱ）若不等式f(x)≤a(x＋1

2)的解集非空，求实数a的取值范围．

吉林省实验中学2015-2016届高三年级第四次模拟考试

数学试卷（文科）答案

DDACB ，AACDA ，AB

二、填空题： 13.)4(23π

-

=-x y 14单调递增区间 )23

,1( 15.=?BD AE 2

16． ①④ 三、． 17．略

18.(1) 设{}n a 的公比为q ，由已知，得

???+=+=++423432)2(228a a a a a a ????=+=208423a a a ????=+=20

83

1121q a q a q a ????==22

1q a ， ∴ n n n q a a 211==-；

(2) n

n

n

n n b 22log 22

1?-==，

设 n n n T 223222132?++?+?+?= ……………………… ① 则 13222)1(22212+?+?-++?+?=

n n n n n T ……… ②

①－② 得 22)1(2)222(112-?--=?-+++=-++n n n n n n T ∴ 22)1(1-?--=-=+n n n n T S 故 5021>?++n n n S ∴ 50222)1(1

1

>?+-?--++n n n n ， 即262>n ， ∴ 满足不等式的最小的正整数n 为5． 19.略

20解析 (1)证明：∵AC ＝

BC ，D 为AB 的中点，

∴CD ⊥AB .

又∵CD ⊥DA 1， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1. ∴CD ⊥BB 1.

又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ，

∴BB 1⊥平面ABC .

(2)证明：连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1. 又DE ?平面CA 1D ，BC 1?平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .

(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ， 故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高． 在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2， ∴AB ＝22，CD ＝ 2.又BB 1＝2，

∴VB 1－A 1DC ＝VC －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD ＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝4

3.

21. 解：（Ⅰ）当a=2时，f （x ）=x ﹣2lnx ，f （1）=1，切点（1，1）， ∴

，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，

∴曲线f （x ）在点（1，1）处的切线方程为：y ﹣1=﹣（x ﹣1），即x+y ﹣2=0． （Ⅱ）

，定义域为（0，+∞），

，

①当a+1＞0，即a ＞﹣1时，令h′（x ）＞0，

∵x ＞0，∴x ＞1+a 令h′（x ）＜0，∵x ＞0，∴0＜x ＜1+a ． ②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x ）＞0恒成立，

综上：当a ＞﹣1时，h （x ）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增． 当a≤﹣1时，h （x ）在（0，+∞）上单调递增． （Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x 0，使得f （x 0）≤g （x 0）成立， 即在[1，e]上存在一点x 0，使得h （x 0）≤0， 即函数

在[1，e]上的最小值[h （x ）]min ≤0．

由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e ，即a≥e ﹣1时，h （x ）在[1，e]上单调递减， ∴

，∴

，∵

，∴

；

②当a+1≤1，即a≤0时，h （x ）在[1，e]上单调递增，

∴[h （x ）]min =h （1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，

③当1＜a+1＜e ，即0＜a ＜e ﹣1时，∴[h （x ）]min =h （1+a ）=2+a ﹣aln （1+a ）≤0， ∵0＜ln （1+a ）＜1，∴0＜aln （1+a ）＜a ，∴h （1+a ）＞2 此时不存在x 0使h （x 0）≤0成立． 综上可得所求a 的范围是：或a≤﹣2．

22．

解析 (1)证明：因为AE 与圆相切于点A ， 所以∠BAE ＝∠ACB .

因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠ACB . 所以∠ABC ＝∠BAE .

所以AE ∥BC .

因为BD ∥AC ，所以四边形ACBE 为平行四边形． (2)因为AE 与圆相切于点A ， 所以AE 2＝EB ·(EB ＋BD )． 即62＝EB ·(EB ＋5)，解得BE ＝4. 根据(1)有AC ＝BE ＝4，BC ＝AE ＝6. 设CF ＝x ，由BD ∥AC ，得

AC BD ＝CF

BF

. 即45＝x 6－x ，解得x ＝83，即CF ＝83

. 23．解析 (1)由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ. 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ， 标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.

曲线C 的极坐标方程化为参数方程为???

x ＝－1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ

(φ为参数)．

(2)当α＝π

4时，直线l 的方程为???

x ＝－2＋2

2t ，y ＝2

2t ，

化成普通方程为y ＝x ＋2.

由????? x 2＋y 2

＝2y －2x ，y ＝x ＋2，解得?????

x ＝0，y ＝2或?

????

x ＝－2，y ＝0. 所以直线l 与曲线C 交点的极坐标分别为(2，π

2)，(2，π)．

24．答案 (1)(－∞，13)∪(3，＋∞)(2)(－∞，－32)∪[4

7

，＋∞)

解析 (1)原不等式等价于????? －32x ＋52>2，x ≤1或????? 12x ＋12>2，1

32x －52>2，

x >3，

解得不等式的解集为(－∞，1

3

)∪(3，＋∞)．

(2)f (x )＝|x －1|＋1

2

|x －3|＝?????

－32x ＋5

2

，x ≤1，12x ＋1

2，1

32x －5

2，x >3.

f (x )图像如图所示，其中

A (1,1)，

B (3,2)，直线y ＝a (x ＋12)绕点(－1

2

，0)旋转，

由图可得不等式f (x )≤a (x ＋12)的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－32)∪[4

7

，＋∞)．