巧求最值问题八种方法

如何求“最值”问题

求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。

一、 利用配方求最值

例1：若x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 。

分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。 原式=

1990)96(2

1)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x =1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 (x-y)2≥0, (x-3)2≥0, (y-3)2≥0,

所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小，最小是1990； 例2，设x 为实数，求y=312-+-x

x x 的最小值。 分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x 取值相同。由于y=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-x

x x ,要求y 的最小值，必须有x-1=0,且01

=-x x ，解得x=1,

于是当x=1时，y=312-+-x

x x 的最小值是-1。 二、 利用重要不等式求最值

例3：若xy=1,那么代数式4

4411y x +的最小值是 。 分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，44411y x +=2222222)

(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以：44411y

x +的最小值是1 三、 构造方程求最值

例4：已知实数a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4.求a 、b 、c 中的最大者的最小值. 分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。

解：设c 为最大者，由已知可知，c>0, 得：a+b=2-c, ab=

c

4,则a 、b 可以看作04)2(2=+--c x c x 的两根，因为 a 、b 是实数，所以04·4)2(2≥--c c ，即0164423≥-+-c c c , 0)4)(2)(2(≥--+c c c ,得,42≥≤c c 或因为c 是最大者,所以c 的最小值是4.

四、 构造图形求最值

例5:使16)8(422+-++x x 取最小值的实数x 的值为 .

分析:用一般方法很难求出代数式的最值,由于16)8(422+-+

+x x =2222)40()8()20()0(-+-+-+-x x ,于是可构造图形,转化为:在x 轴上求一点c(x,0),使它到两点A （0，2）和B （8，4）的距离和CA+CB 最小，利用对称可求出C 点坐标，这样，通过构造图形使问题迎刃而解。 解：16)8(422+-++x x =2222)40()8()20()0(-+-+

-+-x x . 于是构造如图所示。作A （0，2）关于x 轴的

对称点A ′(0,-2),,令直线A ′B 的解析式为y=kx+b,

则???=+-=+8820b k b k 解得?????-==2

43b k

所以24

3-=x y ,令y=0,得38=x . 即C 点的坐标是，x x ，　x 有最小值时所以当16)8(43

8),0,38(22+-++= 五、利用判别式求最值

例6::求y=1

556322++++x x x x 的最小值 解：去分母可以整理出关于x 的一元二次方程,

0)102()122()6(2=-+---y x y x y ,因为x 为实数,所以△≥0

得:4≤x ≤6,解得,故y 的最小值是4

六、消元思想求最值

例7：已知a 、b 、c 为整数，且a+b=2006，c-a=2005，a

分析由题：由于是求三个未知数的最大值，设法将其转化成一个未知数的形式，由题设可得b=2006-a ，c=2005+a ，将其代入原式得：

a+b+c=a+2006-a+2005+a=4011+a

又a+b=2006,a 、b 均为整数，a

所以当a=1002时，a+b+c 的最大值是4011+1002=5013.

七、利用数的整除性求最值

例8：已知a 、b 为正整数，关于x 的方程022

=+-b ax x 的两个实数根

21、x x ，关于y 的方程022=++b ay y 两个实数根为21、y y ，且满足,20082211=-y x 、y x 求b 的最小值。（《数学周报》杯2008年全国初中数学竞试题）

分析与解：因为方程022=+-b ax x 与022=++b ay y 有实根，所以有： 04)2(2≥-b a ,即b a ≥2，由根与系数的关系，得:

b x x

a x x ==+2121,2；

b y y a y y ==+2121,2 即???--=-+-=+-=-=+)

)(()()()(22121212121x x y y x x x x a y y

解得：11122221

y x y x y x y x =-=-????=-=-??或 把12,y y 的值分别代入，20082221=-y x y x 得

2008)()(2211=---x x x x ，或2008)()(1221=---x x x x （不成立）

即22212008x x -=，2121()()2008x x x x +-=

因为0,022121>=>=+b x x a x x 所以0,021>>　x x

于是有 20084422=-b a a 即251250212?=?=-b a a

因为a,b 都是正整数，所以

2222221505225150212514

a a a a a

b a b a b a b ====????????-=-=-=-=????或或或 分别解得：2222150222511502502122512514

a a a a

b b b b ====????????=-=-=-=-????或或或 经检验只有：22502

25150212514a a b b ==????=-=-??，　符合题意. 所以b 的最小值为：2251462997b =-最小值＝

八、利用函数的增减性求最值

例9：设21、x x 是方程0232422

2=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，

2221x x + 有最小值，并求这个最小值。

解：因为方程0232422

2=-++-m m mx x 有实根，所以 △=0)232{8)4(22≥-+-m m m ,解得3

2≤m 由根与系数的关系得：2

232,222121-+==+m m x x m x x ， 于是)232(42)(22212212221-+-=-+=+m m m x x x x x x =87)43(22+-

m 因为函数y=8

7)41(22+-m 在43 m ≤时的值y 随m 的增大而减少，即m 取最大值时y 取最小值，由于方程有实数根的条件是32≤m ，所以当3

2=m 时，2221x x + 有最小值，最小值为：2221x x + =87)43(22+-m =9

887)4332(22=+-.

去绝对值常用方法

. （初一）去绝对值常用“六招” （初一）六招”去绝对值常用“难度大，解绝对值问题要求高，绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。一、根据定义去绝对值的值-│c│c = - 8时，求3│a│-2│b│例1、当a = -5，b = 2，负数的绝所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，分析：这里给出的是确定的数，。代值后即可去掉绝对值。的绝对值是0对值是它的相反数，00 ＜ c = -8b =2＞0，解：因为：a = -5＜0，[ - ( - 8 ) ] = 7 2 ×2 --5）] –所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（”相关信息去绝对值二、从数轴上“读取c在数轴上的a、b、例2、有理数- │a│-a│+│c-b│+│a+b│位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对、a + bc - a、c-b分析：本题的关键是确定值。- a = b b 且＜c＜解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0 b ) ] + 0 - ( - a ) = b –故原式= c - a + [ - ( c c - b＜0，a + b = 0 从而 c –a ＞0 ，三、由非负数性质去绝对值22的值。= 0，求-25│+ ( b –2 )ab：已知例3│a 。分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”222 2 = 0 –由绝对值和非负数的性质：ab 解：因为│a-25 = 0 -25 │+ ( b – 2 )且= 0 ab = - 10 ab = 10或a = - 5 b = 2 故即a = 5 b = 2 或四、用分类讨论法去绝对值的值。abc≠0，求+ + 4例、若同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另、c，所以只需 考虑a、b分析：因abc≠0一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的 结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。异号。b、、c、b、c有同为正号、同为负号和aa 解：由abc≠0可知，= 3 + + + = + 、c都为“+”时，b当a、= - 3 ---”时，+ + = c当a、b、都为“-+ + = 1 时，“-”、a、bc中两“+”一当+ + = - 1 “+”时，中两“-”一ca 当、b、五、用零点分段法去绝对值的最小值。2│+│x -3│-例5：求│x + 1│+│x 的值的符号也在变化。关键是把各式绝对值x -3–x 2、、在有理数范围变化，分析：xx + 1解 这类问题的基本步骤是：的取值进行分段讨论，为此要对符号去掉。x然后选取其最小值。. . 求零点、分区间、定性质、去符号。即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间化简求值即可。。由绝对值意义分别讨论如下：，3可确定零点为- 1，2，解：由x + 1 = 0x - 2 = 0，x - 3 = 03 + 4 = 7 ＞– 3 ) ] = -3 x + 4 -1时，原式= -( x + 1 ) + [ - ( x –2 ) ] + [ - ( x 当x＜-2 + 6 = 4 3 ) ] = - x + 6 ＞时，原式= ( x + 1 ) + [ -( x –2 ) ] + [ - ( x –当-1 ≤x ＜2 2 + 2 = 4 x + 2 ≥= –2 ) + [ - ( x –3 ) ] 当2 ≤x ＜3时，原式= ( x + 1 ) + ( x - 4 = 5 4 ≥3×3 –2 ) + ( x 3 ) = 3x –x ≥3时，原式= ( x + 1 ) + ( x –当4。故所求最小值是六、平方法去绝对值-3│、解方程│x-1│=│x例6所以对所分析：对含有绝对值的方程，用平方法是去绝对值的方法之一，但可能产生增根，求解必须进行检验，舍去增根。22 x=2是原不等式的根。x=2 x经检验，- 2x +1= x - 6x + 9 有4x =8，得解：两边平方： c在数轴上的位置、b、练习1、已知实数a │a│=│c│，化简：如图，且- b│+│a││a+c

统计学计算题例题及计算分析

计算分析题解答参考 1.1．某厂三个车间一季度生产情况如下： 计算一季度三个车间产量平均计划完成百分比和平均单位产品成本。 解：平均计划完成百分比＝实际产量/计划产量＝733/（198/0.9+315/1.05+220/1.1） ＝101.81% 平均单位产量成本 X=∑xf/∑f=(15*198+10*315+8*220)/733 =10.75(元/件) 1.2．某企业产品的有关资料如下： 试分别计算该企业产品98年、99年的平均单位产品成本。 解：该企业98年平均单位产品成本 x=∑xf/∑f=(25*1500+28*1020+32*980)/3500 =27.83(元/件) 该企业99年平均单位产品成本x=∑xf /∑(m/x)=101060/(24500/25+28560/28+48000/32) =28.87(元/件) 年某月甲、乙两市场三种商品价格、销售量和销售额资料如下： 1.3．1999 解：三种商品在甲市场上的平均价格x=∑xf/∑f=(105*700+120*900+137*1100)/2700 =123.04(元/件) 三种商品在乙市场上的平均价格x=∑m/∑(m/x)=317900/(126000/105+96000/120+95900/137) =117.74(元/件) 2.1．某车间有甲、乙两个生产小组，甲组平均每个工人的日产量为22件，标准差为 3.5件；乙组工人日产量资料：

试比较甲、乙两生产小组中的哪个组的日产量更有代表性？ 解：∵X 甲=22件 σ甲=3.5件 ∴V 甲=σ甲/ X 甲=3.5/22=15.91% 列表计算乙组的数据资料如下: ∵x 乙=∑xf/∑f=(11*10+14*20+17*30+20*40)/100 =17(件) σ乙= √[∑(x-x)2 f]/∑f =√900/100 =3(件) ∴V 乙=σ乙/ x 乙=3/17=17.65% 由于V 甲＜V 乙,故甲生产小组的日产量更有代表性。 2.2．有甲、乙两个品种的粮食作物，经播种实验后得知甲品种的平均产量为998斤，标准差为162.7斤；乙品种实验的资料如下： 试研究两个品种的平均亩产量，确定哪一个品种具有较大稳定性，更有推广价值？ 解：∵x 甲=998斤 σ甲=162.7斤 ∴V 甲=σ甲/ x 甲=162.7/998=16.30% 列表计算乙品种的数据资料如下:

7种空手赚钱的方法

7种空手赚钱的方法 1、如何空手赚钱 你建两个群，一个群里都是搞摄影的，另一个群都是做模特的，然后你把这两个群相互交接，搞摄影的想证明他的摄影效果，必要要有模特作为摄影的对象。做模特想出名，想展现自己，所以需要摄影师，而你却是他们的推荐人，你可以从当中收取相应的中介费。一个群500人，你可以建10个群或许你可以想更多类似的模式去赚钱。 2、如何用思维赚钱 想在网上卖企业名录的人，你不用投资，你只需要先建一个卖全国企业名录的网站，然后标上价格直接推广，当有人要上海的企业名录时，你就在其他大公司的网站上买上海的企业名录，让他们发到你的邮箱里，然后你在发给买的客户，你没有花一分钱，得到了一份企业名录，就这样，一个月后，你一定开始盈利，当有人再要上海的企业名录时，你就净赚了。零成本零投入赚钱。 3、如何用想法赚钱 假如你要到一个展会或活动的场所去收集名片，最简单的方法你可以这样，你先找一个人，告诉他，你是不是想收集很多的名片，他一定说是，你告诉他这些人你是收集不完的，你跟他说，我想和你合作，你今天就收集你的名片，进你的努力，晚上你把你收集的名片复印发给我，我给你这里所有人的名片，他一定愿意。然后，你找上20个人说同样的话，晚上这个20个人每个人都发了一份自己收集好的名片给你，然后你把这些全部统计在一起，然后每人在全部复印一份给他们，你没有一点努力，便得到了场所的所有名片。 4、如何把1个两分钱的礼品如何卖1元钱

如果你就这样的摆地摊卖你一天也卖不掉一个，你可以转换一下思维，包装一下，做一个爱心箱，上面写一些感人的一段话，然后放到人多的商业街上，你自己身上带着爱心条，手里拿着一盒小礼品，在大街上免费送，当他手里拿着之后，你在告诉他这是我们的爱心小礼品，知道你很有爱心，所以你只要为这次爱心活动捐一元钱，多一份都不让你卷，然后登记一下你的信息，我们会把你的姓名登到网上，这样你的朋友都会看到你，这样一天你会成交1000个小礼品也不成问题。也就是一个两分钱的礼品一个卖一元，一天轻松卖1000个。 5、空手怎样套白狼 你什么也没有，什么也不懂，什么也不会，也照样可以轻松赚钱，你只要这样做，走到大街上看到一排排的内头店，你进去给他说，你的店面一天客户不是很多，假如我有一个方法能让你每天收入高一倍，高了之后你愿不愿意付给我高出的三分之一他一定愿意，然后你让他说出现在他最愁的问题，记下来，怎样做呢你去与他同行的门头店进去逛一逛，你作为一个客户进去问他这些问题，看他是如何回答的，然后去三家，你自己也就能总结出来一个新的经营之道，然后告诉那个门头店老板，这样你什么也不懂就轻松的赚到了钱。 6.没有网站、产品、客户如何赚钱 你到淘宝上找一款你认为好的产品，然后，你在到其他网站或站长或其他有客户资源的人，你告诉他，我这里有这样的产品，我不用你来促销，一切都有我来做，我来发货，我来服务，我来写文案，你只要提供你没有用的客户，赚了钱给你一半，然后，你在给淘宝的商家说我看好了你的产品，我要给你销售，你只要赚一点点的佣金就可以，因为我的量很大，遮这样你就轻松的进行了赚钱。 7、没有钱，没有客户，没有公司，让你的产品一天销售上百人到千人 这个方法很神奇，因为这个方法没有多少人知道，所以我不能在这里直接公布哦想知道也不要紧，只要加入旁边的QQ群就可以下载到了，你将会看到这个方法是如何没有公司，店面，客户快速成交赚钱的，当你使用了这个思维方法，你的产品从此不用为销路发愁，客户一定抢这要的，因为这个方法看似简单，但是里面夹杂了人性的弱点规律，你想不到的神奇，但可能我不会告诉很多人的，只让50个人知道的，你现在知道的不知晚不晚，只要加入旁边的QQ群看看，也许还有机会的，一定要抓住机会！因为你赚不到钱是因为你不

去绝对值符号的几种常用方法精编版

去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤?； |x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或

求最值问题的几种方法

浅谈求最值问题的几种方法 摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题, 也有一些小综合的中档题, 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求. 关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值 1. 常见函数的最值问题. 1.1 一次函数的最大值与最小值. 一次函数b kx y +=在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量 x 的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了. 例1. 设0>a 且 a ≠1,)1(1 x a ax y -+=,(0≤x ≤1),求y 的最大值与最小值. 解: )1(1x a ax y -+=可化为：.1 )1(a x a a y +-=下面对一次项系数分两种情况讨论： （1）当a ＞1时，a -a 1＞0,于是函数a x a a y 1 )1(+-=的函数值是随着x 的增加而增加的,所 以 当x =0时,y 取最小值 a 1; 当x =1时,y 取最大值a . （2）当0＜a ＜1时,01<-a a ,于是函数a x a a y 1 )1(+-=的函数值是随着x 的增加而减少的,所以 当x =0时,y 取最大值 a 1; 当x =1时,y 取最小值. 例2. 已知z y x ,,是非负实数,且满足条件 .503,30=-+=++z y x z y x 求z y x u 245++=的最大值和最小值. 分析： 题设条件给出两个方程,三个未知数z y x ,,，当然， z y x ,,的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个，不防固定x ，那么z y ,都可以用x 来表示，于是u 便是x 的函数了（需注意x 的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出u 的最大值与最小值.

地方时计算方法及试题精选(DOC)

关于地方时的计算 一．地方时计算的一般步骤： 1．找两地的经度差： (1)如果已知地和要求地同在东经或同在西经，则： 经度差=经度大的度数—经度小的度数 (2)如果已知地和要求地不同是东经或西经，则： 经度差=两经度和（和小于180°时） 或经度差=（180°—两经度和）。（在两经度和大于180°时） 2．把经度差转化为地方时差，即： 地方时差=经度差÷15°/H 3．根据要求地在已知地的东西位置关系，加减地方时差，即：要求点在已知点的东方，加地方时差；如要求点在已知点西方，则减地方时差。 二．东西位置关系的判断： （1）同是东经，度数越大越靠东。即：度数大的在东。 （2）是西经，度数越大越靠西。即：度数大的在西。 （3）一个东经一个西经，如果和小180°，东经在东西经在西；如果和大于180°，则经度差=（360°—和），东经在西，西经在东；如果和等于180，则亦东亦西。 三．应用举例： 1、固定点计算 【例1】两地同在东经或西经 已知：A点120°E,地方时为10：00，求B点60°E的地方时。 分析：因为A、B两点同是东经，所以，A、B两点的经度差=120°－60°=60° 地方时差=60°÷15°/H=4小时 因为A、B两点同是东经，度数越大越靠东，要求B点60°E比A点120°E小，所以，B点在A点的西方，应减地方时差。 所以，B点地方时为10：00—4小时=6：00 【例2】两地分属东西经 A、已知:A点110°E的地方时为10:00,求B点30°W的地方时. 分析:Ａ在东经，Ｂ在西经，110°+30°=140°＜180°，所以经度差=140°，且A点东经在东，B 点西经在西，A、B两点的地方时差=140°÷15°/H=9小时20分，B点在西方， 所以，B点的地方时为10：00—9小时20分=00：40。 B、已知A点100°E的地方时为8：00，求B点90°W的地方时。 分析：A点为东经，B点为西经，100°+90°=190°＞180°， 则A、，B两点的经度差=360°—190°=170°，且A点东经在西，B点西经在东。 所以，A、B两点的地方时差=170°÷15°/H=11小时20分，B点在A点的东方， 所以B点的地方时为8：00+11小时20分=19：20。 C、已知A点100°E的地方8：00，求B点80°W的地方时。 分析：A点为100°E，B点为80°W，则100°+80°=180°，亦东亦西，即：可以说B点在A 点的东方，也可以说B点在A点的西方，A，B两点的地方时差为180÷15/H=12小时。 所以B点的地方时为8：00+12小时=20：00或8：00—12小时，不够减，在日期中借一天24小时来，即24小时+8：00—12小时=20：00。 2、变化点计算 【例1】一架飞机于10月1日17时从我国上海（东八区）飞往美国旧金山（西八区），需飞行14小时。到达目的地时，当地时间是（） A. 10月2日15时 B. 10月2日3时 C. 10月1日15时 D. 10月1日3时

五个空手套白狼方法,暴利赚钱方法,你一定想知道

分享五个空手套白狼方法，暴利赚钱方法，一个月轻松赚几千元没问题 一、利用餐饮行业的空档赚钱 大家都知道一般的中餐馆是不做早餐的，一个人就看中这一餐饮行业的空档，去跟一家中餐馆老板合作，让老板把这间店面出租给他，并且每天付出一定的租金，从每天早上五点租到每天上午九点半，这样跟老板谈妥了。第二步，这人就去找一些愿意供应早餐的老板，让他们每天早上五点准时供应豆浆、包子之类，由于这家中餐馆面积挺大，座位多，他在店里低价销售各类早餐，尽可能满足更多的顾客的需求，顾客量大起来了，各项成本就低了。做好这一家之后，他就让自己的家人来照顾这家店的生意，又另外找了一家老板合作，干的是同样的事情。就这样一家一家地干下去，目前已经承包了五家餐馆的早餐销售。 总结：很多资源都是浪费的，利用这些浪费了的资源，就是一条财路。网吧的空位置是浪费，酒店的空房间是浪费，客车上的空座位是浪费，服务员的空闲时间是浪费……只要你去找，并且把这些浪费了的资源利用起来，形成一套可以不断盈利的商业模式，你就可以轻松赚钱。 二、整合资源赚钱

在旅游淡季，有很多环境很好的酒店生意都很差，那么你就可以找到酒店，跟老板谈合作， 你可以帮助老板带来很多吃饭和住宿的客户，只需免费提供会议场地。然后找保险公司，因为很多保险公司总在搞培训会议，或者户外集训之类的活动，而且他们也需要长期租赁培训场所，你可以将从酒店拿来的会议场所，以很低的价格卖给培训公司，当然前提是培训公司必须是2 天或者 3 天以上的培训，人数必须是 80—100 人以上！不仅能为保险公司省钱（只要培训就要吃饭，如果是几天的培训可能要住宿），而且能帮助酒店带来客源！ 如果你觉得这个不能理解，那我就举个最简单的例子！每个城市都有很多餐馆，那么是不是每个餐馆都有买菜的需求？是不是基本上是各买各家的菜？而餐馆需要的是什么？无非就是要便宜嘛……你可以找到各个餐馆的老板，将他们要买的菜集中统一采购，大家都知道，买菜这样的物品，肯定是量越大价格越低，那你是否能够花较低的价格买到相同品质的菜。接完餐馆的订单之后，你就可以去找菜市场的批发商，就可以以较低的价格拿到货，然后将货送到各个餐馆。你只赚取一个差价，你没有任何风险！而且是需要多少订多少货，餐馆能以较低的价格买到需要的菜，批发商也能出大量的货，你也能从中赚差价！ 总结：如果你把社会看作自己的企业，商品、人力等看作你企业里的现成资源，消费者都是你的客户，那么你作为老板完全可以指点江山。作为中间环节，利用好这些间接联系，理清市场需求，定位好产品和服务的卖点，做好嫁接，必定获利。

【新青岛版】八年级数学下册专题讲练：巧解最值问题试题(含答案)

巧解最值问题 利用函数性质求最值 1. 利用图象求最值： 如：若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降。当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水。那么政府应开始送水的最合适号数为几号？ 答案：24号。 2. 利用几何图形变化求最值： 如：在矩形ABCD 中，动点E 从点B 出发，沿BADC 方向运动至点C 处停止，设点E 运动的路程为x ，△BCE 的面积为y ，AB ＝4，AD ＝5时，则当x 的值在什么范围时，△BCE 面积最大？ 答案：49x ≤≤。 3. 根据实际问题中条件求最值： 如：某市出租车价格是这样规定的：不超过2公里，付车费5元，超过的部分按每千米 1.6元收费，已知李老师乘出租车行驶了x （x ＞2）千米，付车费y 元，则所付车费y 元与出租车行驶的路程x 千米之间的函数关系为 。如果李老师有22元，那么他所乘车的最远距离是多少？ 答案： 1.6 1.8y x =+，12.625千米。 4. 利用函数解析式中自变量的求值范围求最值： 如：某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元。 ⑴求y 关于x 的函数关系式？ ⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何才能获利最多？（注：利润＝售价－成本 答案：（1）y

（2）购进A 种饮料125箱，购进B 种饮料375箱。 总结： 从一次函数的基本性质来看，当自变量 ｘ取全体实数时，它没有最值，但如果自变量ｘ的取值不是全体实数，那么它可能有最值，因此，解决有关一次函数的最值问题时。关键是求出自变量ｘ的取值范围，然后用一次函数的性质去处理。 解析：弹簧在一定的称重范围内弹簧的长度与物体重量满足一次函数关系，设出一次函数关系式，根据图中提供的数据求得函数关系式，令x ＝10代入求得y 的值即可。 答案：由表中关系可以得到，弹簧长度y （厘米）与称重x （千克）的关系是一次函数关系， ∴设弹簧长度y （厘米）与称重x （千克）的关系式为y ＝kx ＋b ， 根据表格中提供的数据得当x ＝1时，y ＝4.5；当x ＝2时，y ＝5.5；∴ 4.52 5.5 ???k b k b ＋＝＋＝， 解得：13.5??? k b ＝＝，∴解析式为y ＝3.5＋x ，当弹簧最长时就是所挂重物最重时，此时x ＝10，∴y＝3.5＋10＝13.5，故弹簧最长为13.5厘米。故选B 。 点拨：本题考查了用待定系数法确定函数的解析式及如何求函数值的问题，把实际问题抽象成数学知识解决，是解决此类问题的关键。 利用自变量取值范围求最值 利用自变量取值范围求解最值问题，关键是正确寻找题目中的不等关系，列不等式组求得最佳方案。 例题 为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，请你设计一种组建方案，使总费用最低，最低费用是（ ） A. 22300元 B. 22610元 C. 22320元 D. 22650元 解析：设组建中型图书角x 个、小型图书角（30－x ）个，由于组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本。若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，因此可以列出不等式组80x ＋30（30?x ）≤1900 50x ＋60（30?x ）≤1620，解不等式组然后去整数即可求解。 答案：设组建中型图书角x 个、小型图书角（30－x ）个，

盈亏问题计算公式+例题分析(打印版)

数学运算:盈亏问题计算公式 把若干物体平均分给一定数量得对象，并不就是每次都能正好分完。 如果物体还有剩余，就叫盈; 如果物体不够分，就叫亏。 凡就是研究盈与亏这一类算法得应用题就叫盈亏问题。 盈亏问题得常见题型为给出某物体得两种分配标准与结果，来求物体数量与参与分配得对象数量。由于每次分配都可能出现刚好分完、多余或不足这三种情况，那么就会有多种结果得组合，这里以一道典型得盈亏问题对三种情况得几种组合加以说明。 注意：公司中两次每人分配数得差也就就是大分减小分 一、基础盈亏问题 1、一盈一亏（不够）【一次有余（盈），一次不够（亏）】可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数得差）=人数。例如，“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友与多少个桃子？” 解：（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数 10×8-9=80-9=71（个）………………………桃子 或8×8+7=64+7=71（个）（答略) 测试：如果每人分9 个苹果，就剩下10 个苹果;如果每人分12 个苹果，就少20 个苹果。 2、两次皆盈（余），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数得差）=人数。 例如，“士兵背子弹作行军训练，每人背45发，多680发；若每人背50发，则还多200发。问：有士兵多少人？有子弹多少发？” 解：（680-200）÷（50-45）=480÷5=96（人） 45×96+680=5000（发）或50×96+200=5000（发）（答略） 测试：如果每人分8 个苹果，就剩下20 个苹果;如果每人分7 个苹果，就剩下30 个苹果。 3、两次皆亏（不够），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数得差）=人数。 例如，“将一批本子发给学生，每人发10本，差90本；若每人发8本，则仍差8本。有多少学生与多少本本子？”解：（90-8）÷（10-8）=82÷2=41（人）10×41-90=320（本）（答略） 测试：如果每人分11 个苹果，就少10 个苹果;如果每人分13 个苹果，就少30 个苹果。 4、一盈一尽（刚好分完），可用公式：盈÷（两次每人分配数得差）=人数。 测试：如果每人分6 个苹果，就剩下40 个苹果;如果每人分10 个苹果，就刚好分完。 5、一亏一尽（刚好分完），可用公式：亏÷（两次每人分配数得差）=人数。 测试：如果每人分14 个苹果，就少40 个苹果;如果每人分10 个苹果，就刚好分完。 由上面得问题，我们归纳出盈亏问题得公式： 【提示】解决这类问题得关键就是要抓住两次分配时盈亏总量得变化，经过比对后，再来进行计算。 【例题1】某班去划船，如果每只船坐4 人，就会少3 只船;如果每只船坐6 人，还有2 人留在岸边。问有多少个同学? （） A、30 B、31 C、32 D、33 解析：此题答案为C。 设小船有x 只，根据人数不变列方程：4(x+3)=6x+2，解得x=5。 所以有同学6×5+2=32 人。 盈亏问题例题讲解：

自己当老板,赚钱最快的方法

自己当老板，赚钱最快的方法 自己当老板，赚钱最快的方法是什么？早教市场专家分析，早教产业虽然在短短十年内已迅速抢占全国各大城市，但由于市场利润空间足够强大，远远未达到饱和，因此投资者的赢利几率很高，风险少，之所以能在十年内得到如此飞跃的发展，原因在于家长们的强烈响应。尤其是如今年青一代的70后、80后妈妈，在孩子的教育方面从不吝啬花钱，早教市场甚至呈现供不应求的大好局面。自己当老板，赚钱最快的方法，知己知彼百战百胜，明白家长需要什么，再有的放矢地选择加盟产品，这是早教连锁加盟成功赢利的第一步。 赚钱最快的方法，目前什么生意好做？寻找与未来市场衔接点，无论世界怎么办，教育是永远不变的话题，我们可以在这个行业中寻找所需！我们知道纸质书籍不像电子显示器那样影响视力，同时也是一种对身心情操非常有益的优良习惯。但是，纸质书籍对孩子们的吸引，显然是无法与声光并茂的电子产品相比的，目前什么生意好做？平板电脑？是给孩子买纸质图书，还是直接让孩子玩平板电脑？成为了许多家长左右为难的问题。因此，如何将纸质图书的优势与电子书的优势结合起来，在传统与未来之间调和出最佳的化学反应，是目前儿童出版行业的首要难题。就在国内各大出版机构为此沸沸扬扬争论不休却始终没有拿出可行性方案的这几年里，有一家民营图书公司早已通过自身的积累与探索，借助电子行业的优势，为少儿图书的电子化找到了一个最佳的衔接点——点读笔。 教育行业中，赚钱最快的方法是加盟幼儿点读笔行业，数字化浪潮对传统文化信息产业的冲击是显而易见的，其中最严重的无疑是纸质图书，电子书的出现极大地撼动了传统出版行业的根基。但是在少儿领域，由于受到年龄、认知等条件因素的限制，纸质图书仍将占据主导地位。幼儿点读笔出现后，通过光学原理，使图书变成有声的图书，大大推动了早教行业。 读笔后来居上的早教投资“新宠”，与一般的早教相比，点读笔的快乐教育是一种潜移默化的教育。通过以游戏、唱歌、讲故事这样的快乐学习方式，让孩子建立各种优良品德乃至于做人做事的只是。有业内人士称，灌输填鸭式的方式已成为过去，现在的点读笔教育已经做到了与时俱进，不仅批判性地继承了传统文化，还在教材、课程、教学手段、教学方法、师资选拔和培训等方面进行了系列创新，使之更符合现代幼儿的学习方式。 点读笔代理选择什么品牌，在点读笔行业中，十佳品牌其中当选头的是小太阳点读笔品牌，遥遥领先于其它品牌。据了解，小太阳是点读笔行业中的后起之秀，图书资源丰富，有自己的工厂，对笔的品质控制力强大，价格又大众化。而小太阳点读笔，书很多，书的质量也不错，研发了世界第一本电视图书，而工程庞大的儿童版四大名著图书即将出售。小太阳

去绝对值常用方法

去绝对值常用“六招”（初一） 去绝对值常用“六招” （初一） 绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。 一、根据定义去绝对值 例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值 分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。代值后即可去掉绝对值。 解：因为：a = -5＜0，b =2＞0，c = -8＜0 所以由绝对值的意义，原式= 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7 二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值 例2、有理数a、b、c在数轴上的 位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│ 分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。 解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b 从而 c – a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式= c - a + [ - ( c – b ) ] + 0 - ( - a ) = b 三、由非负数性质去绝对值 例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0，求ab的值。 分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2 = 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且b – 2 = 0 即a = 5 b = 2 或a = - 5 b = 2 故ab = 10或ab = - 10 四、用分类讨论法去绝对值 例4、若abc≠0，求+ + 的值。 分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。 解：由abc≠0可知，a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。 当a、b、c都为“+”时，+ + = + + = 3 当a、b、c都为“-”时，+ + = - - - = - 3 当a、b、c中两“+”一“-”时，+ + = 1 当a、b、c中两“-”一“+”时，+ + = - 1 五、用零点分段法去绝对值 例5：求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。

求式子最值的几种常见的方法

求式子最值的几种常见的方法 我任教新教材已有二个轮回了，通过这几年教学和学习中，总结了几种求式子最值的常用方法，式子最值主要还是求函数最大值和最小值。 第一种方法是熟练利用基础函数的一些性质，基础函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，这此函数图像和性质，学生必须牢牢记住掌握。比如二次函数在实数内求最值，只求对称轴函数值即可。再加上开口方向就定出最大或最小值。比如：y=sinx 有实数内求最大或最小值，掌握正弦函数性质，直接指出最大值是1，最小值是-1。若求基础函数在定义域内某一个区间内最值，就得看此区间函数单调情况再求最值。 方法二：利用单调性求最值，比如：y=1x-2在区间[3，4]上最值，先证明y=1x-2在[3，4]上是单调递减的，所以x=3时，y最大1，x=4时，y最小1/2。 方法三：利用线性规划求最值 例如：若变量x，y满足y≤1x+y≥0x-y-2≤0 则z=x-2y取值范围点。 A.[-1，3） B.[-3，1）

C. [-3，3） D. [-1，1） 先画可行域，画直线x-2y=0，平移直线x-2y=0在可能域内求使，z= x-2y产生最值的最优解，代入z= x-2y，选C。 有些函数最值还可以把线性规划问题加深求非线性目标函数最值，常利用式子几何意义来求，如：已知实数x，y满足约束条件x≥-1y≥0x+y≥1 则（x+2）2+y2最小值是 解决这个问题利用几何意义在可行域内找一点到（-2，0）点距离平方最小，最后得9/2，这些类型还有利用斜率意义等。 方法四：利用不等式求最值 利用不等式求最值，常用基本不等式2，a>0，b>0，则a+b≥2ab这个式子必须有一个固定值，当a+b确定能求出，ab积最大值，当ab积固定时能求出a+b的最小值，但在a=b前提下。老师在教学中给同学总结一正、二定、三相等，例如：设a>b>c，n∈N且1a-b+1b-c ≥na-c恒成立，求n的最大值是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解决这道题实际上就是求（a-c）（1a-b+1b-c）的最小值，上式变形[（a-b）+（b-c）][ 1a-b+1b-c]展开后利用重要不等式求出选C，利用不等式2求最

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲

盘点10种在家赚钱的方法

盘点10种在家赚钱的方法 盘点10种在家赚钱的方法在家里赚钱方法一：网络主播 随着互联网的快速发展，电竞等行业得到进一步的扩大，从而诞生出了一个新的职业--网络主播。只要一台电脑，有良好的游戏操作技巧或者有一定的颜值，你就可以在一些直播平台(斗鱼直播、战旗直播等)进行直播，有了一定的粉丝量后，不仅可以得到高额的签约费，更有大量的粉丝打赏，月入过万是一件轻轻松松的事。 在家里赚钱方法二：写长微博、微信文章 只要你有出色的文笔，就可以在微博和微信上发表一些文章，优秀的文章能够得到网友的大量打赏，有时候一篇文章过千是有可能的事情。 在家里赚钱方法三：玩游戏 帮人升级，打装备，卖号，这就是代练，可以赚点小钱。 在家里赚钱方法四：威客网接任务 通过技术，在威客网接任务，作品投标赚钱。也可参加诸如标志设计之类的比这个要求比较高了通常是学计算机的广告设计，编程等。 在家里赚钱方法五：做网上兼职seo 做网上兼职seo，帮人推广网站，推广产品，这个需要你懂seo技术。

在家里赚钱方法六：有偿赚钱 就是网站付钱让你收邮件、做调查、试订住册和浏览网页。那些付钱让你完成住册的网站通常是靠抽成来盈利。 在家里赚钱方法七：开网店 在淘宝、拍拍等网站上开网店，只要有好的项目，或者推广做的不错。 在家里赚钱方法八：手工艺赚钱 手工艺赚钱，自产自销，能生产的产品包括：网站模版、音频片段甚至是你自己的电子书。 在家里赚钱方法九：发布资源赚钱 通过诸如百度文库，豆丁网，昵图网等发布资源赚钱，设计资源，文章资源都行。 在家里赚钱方法十：写小说 有较好的创作头脑，写一些悬疑、修仙类的小说，也就是写文章赚钱。像起点就成就了不少作者，写得好的话，年入百万也是有可能的。

去绝对值符号的几种常用方法

去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|或||||x a x b m -+-<(m 为正常数)类型不等式。对||||ax b cx d m +++>(或

精选初中数学常见8种最值问题

初中数学最值问题常见的8种解题方法一. 配方法 例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛） 可取得的最小值为_________。 解：原式 由此可知，当时，有最小值。 二. 设参数法 例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足。则的最大值为________。 解：设，易知 由，得

从而， 由此可知，是关于t的方程的两个实根。 于是，有 解得。故的最大值为2。 例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（） A. 3 B. C. D. 6 解：设，则 从而可知，当时，取得最小值。故选（B）。

三. 选主元法 例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数满足 。则z的最大值是________。 解：由得。 代入消去y并整理成以为主元的二次方程 ，由x为实数，则判别式。即， 整理得 解得。 所以，z的最大值是。 四. 夹逼法

例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足。设，记为m的最小值，y为m的最大值。则__________。 解：由得 解得 由是非负实数，得 从而，解得。 又， 故

于是， 因此， 五. 构造方程法 例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。 解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得。从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程 的两个实数根，则 因为， 所以， 解得

所以k的最小值是 四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值 例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知为整数，且 。若，则的最大值为 _________。 解：由得，代入得。 而由和可知的整数。 所以，当时，取得最大值，为。 七. 借助几何图形法 例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数 的最小值是________。 解：显然，若，则。因而，当取最小值时，必然有。