所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a 0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以[f (x )]min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3，解得a ＝e
2
2
(舍去)．
③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以[f (x )]min ＝f (e)＝1＋2a
e
＝3，得a ＝e.适合题意． 综上a ＝e.
17、已知函数()ln f x x x ．
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程． 解答：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+ '()0f x ∴<得ln 1x <- 2分
10x e ∴<<
∴函数()f x 的单调递减区间是1
(0,)e
； 4分 （Ⅱ） 2()6f x x ax ≥-+-即6
ln a x x x
≤++
设6
()l n g x x x x =++则222
6(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-== 7分
当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增； ∴()g x 最小值(2)5l n 2
g =+∴实数a 的取值范围是(,5l n 2]-∞+； 10分 （3）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00
002
ln ln 11x x x x e
=++即200ln 10e x x ++=
设2
()l n 1h x e x x =++，当0x >时'()
0h x >∴()h x 是单调递增函数 13分 ∴()0h x =最多只有一个根，又2
222111()l n 10h e e e e =?++=
∴021x e = 由0'()1
f x =-得切线方程是21
0x y e ++=. 16分 18、设函数x x f ln )(=，)()(R ∈--+=a x
a ax x g 31
． （1）当2=a 时，解关于x 的方程0=)(x
e g （其中e 为自然对数的底数）；
（2）求函数)()()(x g x f x +=?的单调增区间；
（3）当1=a 时，记函数)()()(x g x f x h ?=，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式
)(x h ≥λ2有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．
（参考数据：693102.ln ≈，098613.ln ≈）
解：（1）当2a =时，方程()0x
g e =即为1
230x x
e e +
-=，去分母，得 22()310x x e e -+=，解得1x e =或1
2
x e =
， ……………2分 故所求方程的根为0x =或ln 2x =-. ……………4分
（2）因为1
()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x x
?-=+=++
->， 所以2222
11(1)((1))(1)
()a ax x a ax a x x a x x x x ?-+----+'=+-==（0x >）， 6分
①当0a =时，由()0x ?'>，解得0x >；②当1a >时，由()0x ?'>，解得1
a x a
->；
③当01a <<时，由()0x ?'>，解得0x >；④当1a =时，由()0x ?'>，解得0x >；
⑤当0a <时，由()0x ?'>，解得1
0a x a -<<
. 综上所述，当0a <时，()x ?的增区间为1
(0,)a a
-；当01a ≤≤时，()x ?的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ?的增区间为1
(,)a a
-+∞. .……………10分 （3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，
所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3
(2)ln 2102h '=+->，
所以存在唯一03(,2)2x ∈，使得0()0h x '=，即00
3
ln 10x x +-=，.………12分
当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，
所以20min 00000000
(3)39
()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+，
记函数9()6()r x x x =-+，则()r x 在3
(,2)2
上单调递增， .……………14分
所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--，由3
22
λ≥-，且λ为整数，得0λ≥，
所以不等式2()h x λ≥有解时的λ的最小整数为0. .……………16分 方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-，
由(1)0h =得，当0λ=时，不等式2()h x λ≥有解， .……………12分 下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立. 显然当(0,1][3,)x ∈+∞ 时，不等式恒成立， 只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立.
即证明2ln 03x x +<-.令2()ln 3m x x x =+-， 所以222
1289
()(3)(3)
x x m x x x x x -+'=-=--，由()0m x '=
，得4x = …14分
当(1,4x ∈，()0m x '>
；当(4x ∈，()0m x '<；
所以max 21
()(4ln(4ln(42)ln 2103
m x m +==<--=-<. 所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立.
综上所述，不等式2()h x λ≥有解时的λ的最小整数为0. .……………16分
导函数（二）
1、若曲线1sin )(+=x x x f 在2
π=x 处的切线与直线012=++y ax 垂直，
则实数a 等于 ．2
2、若函数x ax x x f ln 21)(2+-=存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 _.
答案 [2，＋∞)
解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1
x .
∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，
x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1
x
≥2.
3、已知函数32()2f x x x mx =-++，若对任意12,x x ∈R ，均满足[]1212()()0x x f x f x -->（），则实数m 的取值
范围是 ．1+3??∞????
， 4、已知)(x f 是可导的函数，且)()('x f x f <对于R x ∈恒成立，则f (2 014)与e
2 014
f (0)的大小关系为________.
f (2 014)令g (x )＝
f x
e
x
，则g ′(x )＝(
f x
e
x
)′＝
f ′ x e x －f x e x e
2x
＝
f ′ x －f x
e
x
<0，
所以函数g (x )＝f x
e
x
是单调减函数，所以g (2 014)f 2 014 e
2 014
<
f 0
1
，
故f (2 014)2 014
f (0).
5、 设函数()()ln m f x x m R x
=+
∈，若对任意0b a >>，
()()
1f b f a b a
-<- 恒成立，
则m 的取值范围是 ．【答案】[1
4，＋∞）．
对任意的b ＞a ＞0，
f （b ）－f （a ）
b －a
＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立．函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x
＋m x
－x 在(0，＋∞)是单调减函数，
即h ′(x )＝1x －m x 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2
＋x ＝－(x －12)2＋14（x ＞0）恒成立，解得：m ≥14．所
以m 的取值范围是[1
4
，＋∞）．
6、已知函数()为自然对数的底数）e x e x f x (21-+=-，3)(2
+--=a ax x x g ，若存在实数21,x x ，使得
()()021==x g x f ，且121≤-x x ，则实数a 的取值范围是_[]2,3________.
7、已知函数(
)f x b =
，如对任意的1,33a ??
∈????
，总存在01,14x ??∈???? ，使得()03f x >，则b 的取值范围是 ．7,3
?
?+∞ ?
??
8、 已知函数2()2e x
f x x =与()3e x
g x x a =+的图象有且只有两个交点，则实数a 的取值范围
是 ．
(]32,09e e -??
-??
?? 9、 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足
1
(ln )(ln )2(1)f t f f t
+<时，那么t 的取值范围是 . 1(,)e e
10、 设函数()1
,1,x x x a f x e x x a
-?≥?=??--
取值范围为 ． 如右图，对于函数1
()x
x f x e
-=
在2x =
处取得极大值，2()f x e -=极大值. 所以函数g (x )恰有3个零点，只需函数f (x )的图象与垂直于y 轴的直线有三个交点，故2
1a e ---<，且2a <，即212e a ---<<.
11、已知函数()32
2,1
=ln ,
1x x x x f x x x ?--+
≥??，对于任意的(),t R f t kt ∈≤恒成立，则实数k 的取值范围是 .
【解】令y=x 3-2x 2+x ，x<1，则y'=3x 2-4x+1=(x-1)·(3x-1)，令y'>0，即(x-1)(3x-1)>0，解得x<
1
3
或x>1.又因为x<1，所以x<
13.令y'<0，得13，，所以y 极大值=4
27.根据图
象变换可作出函数y=-|x 3-2x 2+x|，x<1的图象.又设函数y=ln x (x ≥1)的图象经过原点的切线斜率为k 1，切点(x 1，ln x 1)，因为y'=
1x ，所以k 1=11x =11ln -0-0
x x ，解得x 1=e ，所以k 1=1e .函数y=x 3-2x 2+x 在原点处的切线斜率k 2=1.因为对任意的t ∈R，f (t )≤kt ，所以根据f (x )的图象，数形结合可得1
e
≤k ≤1.
12、若函数()3
112x f x e x x =+--的图象上有且只有两个点12,P P 2，使得函数()3m g x x x
=+的图象上存在两个点12,Q Q ，且1P 与1Q ，2P 与2Q 分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是 .
x e x -
12
x 2
-x=m 在(-∞，0)∪(0，+∞)上有两解，即函数h (x )=x e x -
12
x 2
-x (x ≠0)的图象与y=m 的图象有两个交点.令h'(x )=(e x -1)(x+1)=0，得x=0(舍去)或x=-1，作出函数h (x )的大致图象如图所示，当且仅当x=-1时有两解，所以m=h (-1)=e-2
2e
.
13、 已知函数()x
f x e =，()
g x x m =-，m R ∈.
（1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()h x f x g x =?，求()h x 在[]01，上的最大值；
解：（1）设曲线()x f x e =与()g x x m =-相切于点()00,P x y ，由()x f x e '=，知0=1x e ，解得00x =， 又
可求得点P 为()01，，所以代入()g x x m =-，得1m =-.
（2）因为()()x
h x x m e =-，所以()()()(1),[0,1]x
x
x
h x e x m e x m e x '=+-=--∈.
最新导函数图像与原函数图像关系(我)
导函数图像类型题 类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。 1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导 函数 ()y f x '=的图象可能是 ( ) 2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函 数y=f (x )的 图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是 （ ） 4. 若 函 数 2()f x x bx c =++的图象的顶点在第 四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ） 类型二：已知导函数图 像，判断原函数图像。 5. (2007年广东佛山)设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图 象如右图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ） 知函数 象可能是 7. 函数)(x f 的定 义域 为开区间( ,3)2 - ，导函数) (x f '在 3 (,3)2 -内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增区间是_____________ 类型三：利用导数的几何意义判断图像。 8. （2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的 图象可能是 ( ) A ． B ． C ． D ．
9.若函数)(' x f y =在区间),(21x x 内是单调递减函数，则函数)(x f y =在区间),(21x x 内的图像可以是（ ） A B C D 10.（选做）已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是 （ ） 类型四：根据实际问题判断图像。 9. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水， 容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ） 10.如图，直线l 和圆c ，当l 从0l 开始在平面上绕点o 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过? 90）时，它扫过的园内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图 像大致是（ ） 11.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图 象. 10. 已知函数 )(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下， 则（ ） 函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点 函数 )(x f 有2个极大值点，2个极小值点 函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点 11. (2008珠海质检理)函数)(x f 的定义域为 ),(b a ， 其导函数),()(b a x f 在'内的图象如图所示，则函数)(x f 在区间),(b a 内极小值点的个 数 是（ ） (A).1 (B).2 (C).3 (D).4 12. 已知函数3 2 ()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5， 其 导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求： （Ⅰ）0x 的值； （Ⅱ）,,a b c 的值. 13. 函数()y f x =在定义域3 (,3)2 - 内可导， 其图象如图，记 ()y f x =的导函数为/()y f x =，则不等式 /()0 f x ≤的解集为_____________ 14. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象， '()f x 为函 数()f x 的导函数，则不等式'()0x f x ?<的解集为_____ _ 15. 【湛江市·文】函数2 2 1ln )(x x x f - =的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 16. 【珠海·文】如图是二次函数a bx x x f +-=2 )(的部分图象，则函数)(ln )(x f x x g '+=的零点所在的区 间是 （ ）
导函数图像与原函数图像关系(我)
导函数图像类型题 类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。 1. （福建卷11）如果函数)(x f y =的图象如右图，那么导 函数()y f x '=的图象可能是 ( ) 2. 设函数f (x )在定义域内可导，y=f (x )的图象如下左图所示，则导函数y=f '(x )的图象可能为( ) 3. 函数()y f x =的图像如下右图所示，则()y f x '=的图像可能是 （ ） 4. 若函数2 ()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数'()f x 的图象是（ ） 类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。
5.(2007年广东佛山)设) (x f'是函数) (x f的导函数,) (x f y' =的图 象如右图所示，则) (x f y=的图象最有可能的是（） 6.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已 知函数f x ()的导函数2 f x ax bx c '=++ ()的图象如右图，则 f x()的图象可能是( ) 7.函数) (x f的定义域为开区间 3 (,3) 2 -，导函数) (x f'在 3 (,3) 2 -内的图象如图所示，则函数) (x f的单调增区间是_____________ 类型三：利用导数的几何意义判断图像。 O 1 2 x y x y y O 1 2 y O 1 2 x O 1 2 x D O 1 2 x y ) (x f y' = x o y
8.（ 2009湖南卷文） 若函数() y f x =的导函数 ．．．在区间[,] a b上是增函数，则函数() y f x =在区间[,] a b上的图象可能是( ) A ．B．C．D． 9.若函数) ('x f y=在区间) , ( 2 1 x x内是单调递减函数，则函数) (x f y=在区间) , ( 2 1 x x内的图像可以是（） A B C D 10.（选做）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （） 类型四：根据实际问题判断图像。 9.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器 中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（） o x o x y b a o x y o x y b y
原函数与导函数的关系
课题:探究原函数与导函数的关系 首师大附中 数学组 王建华 设计思路 这节课就是在学完导数与积分之后,学生从大量的实例中对原函数与导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有,但数学内部的联系规律与对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料,但需要做更深入地思考这些命题间的联系,以什么方式展开更利于学生拾级而上,最终登上高峰体会一览众山小的乐趣与成就感。教师实际上就是在引导学生进行一次理论的探险,大胆地猜,小心地证,谨慎地修改条件,步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要,重要的就是研究相互关联的事物的一般思路与方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1、 从经验观察发现,猜想得命题p,q 、 这两个命题为真命题,证明它们的方法用复合函数求导,比较容易上手。 2、 学生自然会想到这个命题的逆命题就是否成立,尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定,有上下平移的可能,这样关于y 轴对称的性质能够保持,但关于原点对称的性质就不能保证了。 3、 函数的平移不改变函数图象的对称性,因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称,将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称,研究前面的四个命题还就是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明,不能成立的举出反例,并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4、已有成果的应用:利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1、加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解; 2、增强学生对函数对称性的理解与抽象概括表达能力; 3体验研究事物的角度,一个新定理就是怎样诞生的,怎样才就是全面地认识了一个事物。4、培养学生的思辨能力,分析法解决问题的能力,举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图,您能根据原函数的图像画出导函数的示意图不？ 一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 问题1 已知函数()y f x =的图像,请尝试画出其导函数的图像示意图。 3()f x x = 2'()3y f x x ==
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函数可积与存在原函数的关系
函数可积与存在原函数的关系 本文在区间[a,b]上讨论函数存在定积分与存在原函数的关系。得出的结果是两者之间没有必然联系，存在定积分不一定存在原函数，存在原函数也不一定存在定积分。本文主要给出两个反例。 一、 存在定积分但不存在原函数的例子 定义函数如下： ???=?∈=2 /1,1]1,2/1()2/1,0[,0)(x x x f 该函数显然有界，x =1/2为其唯一的间断点（而且是第一类的），因而可积，0d )(1 0=?x x f 。但因为其有第一类间断点，所以不存在原函数（这个结论是利用 导函数连续性定理得出来的，关于这个定理见本文附录）。 可能有人会想到积分上限函数，它的积分上限函数不是原函数吗？我们看看它的积分上限函数，容易求得 0d )()(0≡=?x t t f x F 显然它的导数并不是f (x )，而是f (x )在x =1/2处作连续开拓后的函数。关于积分上限函数和原函数之间的关系问题，在学了实变函数这门课后将会变得很简单，这里不再深入讨论。 二、 存在原函数但不存在定积分的例子。
定义函数如下： ?????=≤<-=0 ,010,1cos 21sin 2)(22x x x x x x x f 首先证明，这个函数存在原函数，我们指出，下面这个函数就是它的原函数： ?????=≤<=0 ,010,1sin )(22x x x x x F 为此目的，只需证明)()('x f x F =对任何x ∈[0,1]成立，而0δ，函数)(x f 在区间(0,δ)无界，在这个区间上，21sin 2x x 是无穷小量和有界量的乘积，是无穷小量，但21cos 2x x -这一项却是在正无穷与负无穷之间反复振动的量，例如取πn x x n 21 ==，则其值为πn 22 1-，但若取π)12(1 +==n y x n ，则其值为π)12(2 1+n ，只要n 充分大，便可使),0(,δ∈n n y x ，同时)(,)(n n y f x f 却可以大于任何预先给定的正数。这就是说，任意0>δ，函数)(x f 在区间(0,δ)无界，从而在闭区间[0,1]无界，而我们知道闭区间上的无界函数是不可积的，所以)(x f 的定积分不存在。 综合上面的结果，函数在闭区间上存在定积分与存在原函数没有必然联系。
原函数与导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系 首师大附中 数学组 王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y 轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶函数的性质拓展为关于直线x a =对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。 4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。 教学目标 在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解； 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力； 3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。 4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原函数的图像画出导函数的示意图吗？ 一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 问题1 已知函数()y f x =的图像，请尝试画出其导函数的图像示意图。 3()f x x = 2'()3y f x x ==
关于导函数与原函数的若干性质
关于导函数与原函数的若干性质 摘要 本文主要讨论有关导函数、原函数的若干性质:导函数具有介值性、导函数无第一类间断点,进而说明在区间I 上不具介值性或具有第一类间断点的函数必定不存在原函数;具有第二类间断点的导函数可能存在原函数也可能不存在原函数。同时根据原函数的定义,讨论了函数f(x)存在原函数的充分条件与必要条件，与此同时对一元函数的原函数和一元函数的定积分之间的关系也作了一定的探讨,说明二者是既有联系又有区别的两个概念。 关键词：导函数；原函数；存在性；定积分； 1、相关知识 (l)定义1 若函数()F x 在区间I 上处处可导，x I ?∈，()()F x f x '= 对区间端点，仅考虑相应的单侧导数)，则称()f x 为I 上()F x 的导函数。 定义2 若函数()f x 与()F x 在区间I 上都有定义，若()()F x f x ='，,x I ∈则称 ()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。 (2)原函数存在定理 若f 在[],,a b 上连续，则由式子[]()(),,b a x f t dt x a b Φ=∈? 所定义的函数F 在[],a b 上处处可导，且 []()()(),,b a d x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈? 即()x Φ是[],a b 上的()f x 的一个原函数。 这个定理也说明了:在区间[],a b 上连续函数必是某函数的导函数。 (3)函数的介值性 设函数()f x 在区间I 上有定义，对任意的[],a b I ?，c 为介于()f a 与() f b 之间的任何实数()()f a c f b <<或()()f a c f b >>，若至少存在一点(,)a b ξ∈使得 ()f c ξ=，则称()f x 在区间I 上有介值性。
原函数与导函数的关系
原函数与导函数的关系 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
课题：探究原函数与导函数的关系 首师大附中数学组王建华 设计思路 这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。 整个教学流程 1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。 2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。 3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将 对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可偶函数的性质拓展为关于直线x a 以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
