17.(本小题满分12分)
已知函数2()sin sin()(3)()2
f x x x x x R π
π=?+
+∈.
(1)求)(x f 的最小正周期; (2)求)(x f 的单调递增区间;
(3)求)(x f 图象的对称轴方程和对称中心的坐标.
18.(本小题满分12分)
一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正
四面体面朝下的数字分别为12,x x ,记22
12(3)(3)x x ξ=-+-.
(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率; (2)求ξ的分布列及数学期望.
19.(本小题满分12分)如图,多面体AEDBFC 的直观图及三视图如图所示,N M ,分别
为BC AF ,的中点.
(1)求证://MN 平面CDEF ; (2)求多面体CDEF A -的体积; (3)求证:AF CE ⊥.
20.(本小题满分12分)已知数列}{n a 的各项均为正数,n S 是数列}{n a 的前n 项和,且
3242
-+=n n n a a S .
(1)求数列}{n a 的通项公式;
(2)n n n n
n b a b a b a T b +++==Λ2211,2求已知的值.
21.(本小题满分13分)已知椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的
连线构成等腰直角三角形,直线0=+-b y x 是抛物线x y 42
=的一条切线.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点)3
1
,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一
N
M
F
E
D C
B
A
直观图
俯视图正视图
侧视图
2
22
2
2
2)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C
个定点T ,使得以AB 为直径的圆恒过点T ?若存在,求出点T 的坐标;若不存在, 请说明理由.
22.(本小题满分13分)已知函数
R x f f 在且0)(',0)1('≥=上恒成立.
(1)求d c a ,,的值; (2)若;0)()(',4
1
243)(2<+-+-=
x h x f b bx x x h 解不等式 (3)是否存在实数m ,使函数]2,[)(')(+-=m m mx x f x g 在区间上有最小值-5?若 存在,请求出实数m 的值;若不存在,请说明理由.
,
0)0(),,(4
131)(2
3=∈++-=f R d c a d cx x ax x f 满足
17.解:32
1212cos 32sin 21)(++-=x x x f
=???
?
??-x x 2cos 232sin 21=)32sin(π-x (1)T=π; (2)由)(22
3
222
z k k x k ∈+≤
-
≤+-
ππ
π
ππ
可得单调增区间]12
5
,12
[πππ
π+
-
k k ()z k ∈. (3)由ππ
π
k x +=
-2
3
2得对称轴方程为)(2
125z k k x ∈+=
ππ,
由ππ
k x =-
3
2得对称中心坐标为))(0,2
6
(
z k k ∈+
π
π
. 18.解:(1)掷出点数x 可能是:1,2,3,4. 则3x -分别得:2,1,0,1.--于是2
(3)x -的所有取值分别为:0,1,4. 因此ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8. 当11x =且21x =时,()()2
2
1233x x ξ=-+-可取得最大值8, 此时,()111
84416
P ξ==
?=; 当13x =且23x =时,()()2
2
1233x x ξ=-+-可取得最小值0.
此时,()111
04416
P ξ==
?=. (2)由(Ⅰ)知ξ的所有取值为:0,1,2,4,5,8. ()()10816
P P ξξ====
; 当ξ=1时,()21,x x 的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4).即()4116
P ξ==;
当ξ=2时,()21,x x 的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4).
F
D
A 即()4216
P ξ==
; 当ξ=4时,()21,x x 的所有取值为(1,3)、(3,1).即()2216
P ξ==
; 当ξ=5时,()21,x x 的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1).即()4216
P ξ==.
19.(1)证明:由多面体的三视图知, 三棱柱BFC AED -中,底面DAE 是等腰直
角三角形,2==AE DA ,⊥DA 平面ABEF ,
侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的正方形.
连结EB ,则M 是EB 的中点, 在△EBC 中,EC MN //,
且EC ?平面CDEF ,MN ?平面CDEF ,
∴MN ∥平面CDEF .
(2) 因为⊥DA 平面ABEF ,EF ?平面ABEF , AD EF ⊥∴,
又EF ⊥AE ,所以,EF ⊥平面ADE , ∴四边形 CDEF 是矩形,
且侧面CDEF ⊥平面DAE 取DE 的中点,H Θ⊥DA ,AE 2==AE DA ,2=∴AH ,
且⊥AH 平面CDEF .
所以多面体CDEF A -的体积3
8
3131=??=?=
AH EF DE AH S V CDEF . (3)∵⊥DA 平面ABEF ,DA ∥BC , ∴⊥BC 平面ABEF , ∴AF BC ⊥,
∵面ABFE 是正方形, ∴AF EB ⊥,
∴BCE AF 面⊥,
∴AF CE ⊥.(本题也可以选择用向量的方法去解决)
20.解(1)当n = 1时,21111113
,424
a s a a ==+-解出a 1 = 3,
又4S n = a n 2
+ 2a n -3 ①
当2n ≥时 4s n -1 = 2
1-n a + 2a n-1-3 ②
①-② 22
1142()n n n n n a a a a a --=-+-, 即0)(21212=+----n n n n a a a a ,
∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ,
2011=-∴>+--n n n n a a a a Θ(2≥n ),
}{n a 数列∴是以3为首项,2为公差的等差数列,
12)1(23+=-+=∴n n a n .
(2)123252(21)2n n T n =?+?+++?L ③ 又23123252(21)2(21)2n n n T n n +=?+?+-?++L
④
④-③ 1
3212)12()222(223++++++-?-=n n n n T Λ
11
2)12(2286+-?++?-+-n n n =
221+?=+n n
21.解:(1)由0)42(:40222
=+-+???==+-b x b x y x
y b y x 得消去 因直线x y b x y 42
=+=与抛物线相切,04)42(2
2
=--=?∴b b
1=∴b ,
∵圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形,∴22==
b a
故所求椭圆方程为.12
22
=+y x (2)当L 与x 轴平行时,以AB 为直径的圆的方程:2
2
2
)3
4()3
1(=++y x
当L 与x 轴平行时,以AB 为直径的圆的方程:12
2
=+y x
由??
?==??
???=+=++101
)34()31(22222
y x y x y x 解得 即两圆相切于点(0,1)
因此,所求的点T 如果存在,只能是(0,1)
事实上,点T (0,1)就是所求的点,证明如下.
当直线L 垂直于x 轴时,以AB 为直径的圆过点T (0,1)
若直线L 不垂直于x 轴,可设直线L :3
1-
=kx y
由01612)918(:12
312222
=--+???????
=+-=kx x k y y x kx y 得消去
记点),(11y x A 、???
???
?
+-=+=+9181691812),,(22122122k x x k k x x y x B 则
)
3
4)(34()1)(1()
1,(),1,(212121212211--+=--+=?-=-=kx kx x x y y x x TB TA y x y x 所以又因为
916
)(34)1(21212++-+=x x k x x k
09
16
918123491816)1(222=++?-+-?+=k k k k k
所以TA ⊥TB ,即以AB 为直径的圆恒过点T (0,1)
所以在坐标平面上存在一个定点T (0,1)满足条件.
22.解:(1),0)0(=f Θ0=∴d 2
1
,0)1('21)('2=+=+-
=∴c a f c x ax x f 有及 02
1
,0)('2≥+-≥c x ax R x f 即上恒成立在Θ恒成立
即02
1212
≥-+-a x ax 恒成立
显然0=a 时,上式不能恒成立
a x ax x f a -+-='≠∴21
21)(,02函数是二次函数
由于对一切,0)(,≥'∈x f R x 都有于是由二次函数的性质可得
?????≤--->.0)21(4)2
1(,02a a a 即4
1:,0)41(,
0,
016121,022=
??
???≤->?????≤+->a a a a a a 解得即
4
1
=
=c a .
(2).41==c a Θ.4
12141)(2+-='∴x x x f 04
1
243412141,0)()(22<-+-++-<+'∴b bx x x x x h x f 即由
即0)21)((,02)21(2
<--<++-x b x b x b x 即
当)21,(,21),,21(,21b b b b 解集为时当解集为时<>,当?解集为时,2
1
=b .
(3),41==c a Θ4
1
2141)(2+-='∴x x x f
.4
1
)21(41)()(2++-=-'=∴x m x mx x f x g
该函数图象开口向上,且对称轴为.12+=m x
假设存在实数m 使函数4
1
)21(41)()(2++-=-'=x m x mx x f x g 区间]2.[+m m 上
有
最小值-5. ①当]2,[)(,12,1+<+- .541 )21(41,5)(2-=++--=∴m m m m g 即 解得.3 73=-=m m 或,137->Θ37 =∴m 舍去 ②当]12,[)(,212,11++<+≤<≤-m m x g m m m m 在区间函数时上是递减的,而在 区间]2,12[++m m 上是递增的, .5)12(-=+∴m g 即 54 1 )12)(21()12(412-=+++-+m m m 解得均应舍去或,212 1 21212121+-=--=m m ③当1≥m 时,]2,[)(,212++≥+m m x g m m 在区间函数上递减的 5)2(-=+∴m g 即 .54 1 )2)(21()2(412-=+++-+m m m 解得221.221221--+---=m m m 其中或应舍去. 综上可得,当2213+-=-=m m 或时, 函数.5]2,[)()(-+-'=上有最小值在区间m m mx x f x g