立体几何综合题及答案

1.（2009全国卷Ⅰ）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 （I ）证明：是侧棱的中点；

求二面角的大小。

2.（2009全国卷Ⅱ）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

4.（2009北京卷）如图，四棱锥的底面是正方形，，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.

6.（2009四川卷）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（I ）求证：；

（II ）设线段、的中点分别为、，求证： ∥

（III ）求二面角的大小。

立体几何答案

1、【解析】

法二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，取SA 的中点

A C

B A 1 B 1

C 1

D E

G，连GF，易证，则即为所求二面角.

解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz，则。

x

（Ⅰ）设，则

，

，由题得

，即

解之个方程组得即

所以是侧棱的中点。

法2：设，则

又

故，即

，解得，

所以是侧棱的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，

设分别是平面、的法向量，则

且，即且

分别令得，即

，

∴

二面角的大小。

2、解法一：解法二：

（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.

于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以AB=AC。（Ⅱ）设平面BCD的法向量则

又=（-1，1， 0），

=（-1，0，c）,故

令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).

又平面的法向量=（0，1，0）

由二面角为60°知，=60°，

故°，求得

于是，

，

°

所以与平面所成的角为30°

4、【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，

设

则，

（Ⅰ）∵，

∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，

设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，

∵，

∴，

∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.多面体ABCDEF的体积为V E—ABCD＋V E—BCF=

6、【解析】

解法二: 因等腰直角三角形，，所以

又因为平面，所以⊥平面，

所以

即两两垂直；如图建立空间直角坐标系,

(I) 设，则，

∵，∴，

从而

，

于是，

∴⊥,⊥

∵平面，平面，

∴

（II），从而

于是

∴⊥，又⊥平面，直线不在平面内，

故∥平面

（III）设平面的一个法向量为，并设＝（即

取，则，，从而＝（1，1，3）

取平面D的一个法向量为

故二面角的大小为