模糊聚类分析例子1
1. 模糊聚类分析模型
环境区域的污染情况由污染物在4个要素中的含量超标程度来衡量。设这５个环境区域的污染数据为1x =(80, 10, 6, 2), 2x =(50, 1, 6， 4)， 3x =(9０, 6, 4， 6), 4x ＝(40, 5, 7, 3), 5x =(１0, １, 2, ４). 试用模糊传递闭包法对X 进行分类。 解 ：
由题设知特性指标矩阵为： *
80106250164906464057310124X ??
??????=????????
数据规格化:最大规格化'
ij ij
j
x x M =
其中: 12max(,,...,)j j j nj M x x x =
00.8910.860.330.560.1
0.860.671
0.60.5710.440.510.50.11
0.1
0.290.67X ????????=??
??????
构造模糊相似矩阵： 采用最大最小法来构造模糊相似矩阵55()ij R r ?=,
1
0.540.620.630.240.5410.550.700.530.62
0.5510.560.370.630.700.5610.380.240.530.370.381R ??
???
???=??
??????
利用平方自合成方法求传递闭包t (R )
依次计算248,,R R R ， 由于84R R =,所以4()t R R =
2
10.630.620.630.530.6310.560.700.530.62
0.5610.620.530.630.700.6210.530.530.530.530.531R ??
??????=??
??????,
4
10.630.620.630.530.6310.620.700.530.62
0.6210.620.530.630.700.6210.530.53
0.530.530.531R ????????=??
??????
＝8R
选取适当的置信水平值[0,1]λ∈, 按λ截矩阵进行动态聚类。把()t R 中的元素从大到小的顺序编排如下: 1>０.70＞0.6３>0６2＞05３. 依次取λ＝1, 0.7０, 0．６3, ０6２， 05３，得
11
000001000()0
010*******
0001t R ?????
?
??=??
??????,此时X 被分为5类:{1x ｝,{2x },{3x }，
｛4x }，{5x } 0.7
1000001010()001000101000001t R ??????
??=??
??????,此时X 被分为４类：{1x }，{2x ，4x },{3x }，{5x ｝
0.63
1101011010()001001101000001t R ??????
??=??
??????，此时Ｘ被分为3类:{1x ,2x ，4x ｝
，{3x ｝，{5x } 0.62
1111011110()11110111100
0001t R ??????
??=??
??????
，此时X 被分为2类:{1x ，2x ,4x ，3x },{5x }
0.53
1111111111()11111111111
1111t R ??
????
??=??
??????
，此时X 被分为1类:{12345,,,,x x x x x }
M ａtl ａb 程序如下： %数据规格化MATL ＡB 程序 a=[８0 １0 6 2
５0 1 6 ４ 90 6 4 6 40 5 7 ３ １0 1 2 4]; m ｕ＝max(a) for ｉ=1:5 for j=1:4
r(i,ｊ)=a(i,ｊ)/ｍu(ｊ); end ｅｎｄ ｒ
%采用最大最小法构造相似矩阵
r=［０.8889 1.0００0 0.8571 0.3３３３ ０．5556 ０.1000 ０.８5７1 0.6667 1.00０0 0．6000 0．5714 1.0０00 0．4４44 0.５0０0 １．000０ 0．５０00 ０.1１11 0.10０0 ０.2８57 0.666７]; b=r ＇; for i=1:5 ｆo ｒ j=1：５
R(i ，j)=sum(ｍｉn([r(i,:);b （:，j ）']))/sum(max([r(i ，：);b(：,ｊ)＇］)）； e ｎd end R
%利用平方自合成方法求传递闭包ｔ(R ) 矩阵合成的ＭATLAB 函数
f ｕnc ｔion r ｈａt=he ｃh(r ）; n ＝l ｅn ｇth （r ）; ｆｏr i ＝1：n f ｏr j=１：n
r ｈat(ｉ,j)=ｍax （m ｉn(［r(i ，:）;r(:,j)'])); end ｅnd
求模糊等价矩阵和聚类的程序
R ＝[ 1．0000 0.5４09 ０.6２06 0．62９9 0.２432 0.５４09 1.０0００ 0.5478 0.69８5 0.5339 ０.620６ ０.5478 1.０00０ 0.5５９9 0.366９ 0.6299 ０.6985 0.559９ 1.00０0 ０.3818 0.2４32 0．5３3９ ０．366９ ０.3８18 １.0000]； R １=he ｃｈ (R) Ｒ2＝h ｅch （R1） R3=ｈech (Ｒ2) ｂh=ｚeros(５); bh(fi ｎd （R2＞0.7))=1
2. 模糊综合评判模型
某烟草公司对某部门员工进行的年终评定,关于考核的具体操作过程，以对一名员工的考核为例。如下表所示，根据该部门工作人员的工作性质,将18个指标分成工作绩效(1U ）、工作态度（2U )、工作能力(3U )和学习成长(4U ）这4各子因素集。
员工考核指标体系及考核表
技能提高 0.1 0.４ ０.3 ０．1 0.1 培训参与 0.2 0.3 0.4 ０.1 0 工作提供
0.4
0.3
0.２
0．1
请专家设定指标权重，一级指标权重为:
()0.4,0.3,0.2,0.1A =
二级指标权重为：
()10.2,0.3,0.3,0.2A =
()20.3,0.2,0.1,0.2,0.2A = ()30.1,0.2,0.3,0.2,0.2A = ()40.3,0.2,0.2,0.3A =
对各个子因素集进行一级模糊综合评判得到:
()1110.39,0.39,0.26,0.04,0.01B A R == ()2220.21,0.37,0.235,0.125,0.06B A R == ()3330.15,0.32,0.355,0.125,0.06B A R ==
()4440.27,0.35,0.24,0.1,0.02B A R ==
这样，二级综合评判为:
()
0.390.390.26
0.04
0.010.210.370.2350.1250.060.4,0.3,0.2,0.10.150.320.3550.1250.060.27
0.350.240.10.2B A R ??
????==??
??
??
()0.28,0.37,0.27,0.09,0.04=
根据最大隶属度原则,认为该员工的评价为良好。同理可对该部门其他员工进行考核。 3． 层次分析模型
你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种,你选择的标准主要有：价格、耗油量大小、舒适程度和外观美观情况。经反复思考比较，构造了它们之间的成对比较判断矩阵。
A=1
3781155311137511118
53??
????
??????
????????
三种车型（记为a,ｂ，c)关于价格、耗油量、舒适程度和外表美观情况的成对比较判断矩阵为
价格 a b ｃ 耗油量 a b c
1231/2121/31/21a b c ?????????? 11/51/251721/71a b c ??
????
????
舒适程度 a b c 外表 ａ ｂ c
1351/3141/51/41a b c ?????????? 11/535171/31/71a b c ??
????
????
根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的，请按由重到
轻顺序将它们排出。 解:用m ａtlab 求解 层次总排序的结果如下表
Mａｔlａb程序如下:
cｌc,ｃlear
n1=4；
ｎ２=3;
a=［１３7 8
1/３ 1 5 ５
1/７１/5 1 3
１/8 1/5 1/3 1］;
ｂ1=[１ 2 3
1/2 1 ２
１/3 1／2 １］;
b2＝[1 1/5 1/2
5 1 ７
２ 1／7 １］;
ｂ3＝［1 3 ５
1／3 １ 4
１/５１/４ 1 ]；
b4=[1 1/5 3
5 １ 7
1/3 1/7 1];
rｉ=[0,０，0.58,０.9０,1.12,1.24,１．３2,1.41，1.４5]; % 一致性指标ＲＩ［x，ｙ］=eig(a); %x为特征向量,ｙ为特征值
ｌamdａ=maｘ（ｄiag(y));
nuｍ=fｉnd（ｄｉａg(ｙ)＝=ｌamｄａ）；
w0=x(：，nuｍ)/suｍ(ｘ(:，ｎuｍ));
w0 %准则层特征向量
CR0=(ｌamda－n1)/(n1-1)/ri(ｎ1) %准则层一致性比例
forｉ=1：ｎ１
[x,y]=eig（ｅval(ｃhaｒ(['b＇,int2str(i）］))）；
lamda=ｍaｘ(dｉaｇ(ｙ)）;
num=fｉnd(diag(y)==ｌaｍda);
ｗ1(:,i)=x（:,num)/sum(x（:，num)); %方案层的特征向量
CR1（ｉ)＝（lamda-ｎ2)/（n2-1）/ｒi(ｎ2）; %方案层的一致性比例
end
w1
C Ｒ1, ｔｓ=ｗ1*ｗ0, CR ＝CR1＊w0 %ts 为总排序的权值,C Ｒ为层次总排序的随机一致性比例
% 当C Ｒ小于0.1时，认为总层次排序结果具有较满意的一致性并接受该结果，否则对判断矩阵适当修改
4． 灰色预测ＧM （1,1)模型 某地区年平均降雨量数据如表 某地区年平均降雨量数据
规定hz=３20，并认为(0)()x i <=hz 为旱灾。预测下一次旱灾发生的时间 解：
初始序列如下
(0)x =(3９0.６,412，３２0，559.2,3８0.８,５42.4，55３，31０,５6１,300，
632,540,4０6.2,313.8,５76,5８7.6,３１8.５）
由于满足(0)()x i <=320的(0)()x i 为异常值，易得下限灾变数列为
hz x ＝ （320,３10,3０0，313.8,318.5）
其对应的时刻数列为
t = (3,8,1０,14,１7）
建立ＧＭ(1,１）模型
（1） 对原始数据t 做一次累加，即
t(１) = （３,11,21,35,５2) （2） 构造数据矩阵及数据向量 （3） 计算a,b
a=-0.2５３６,b=6.２585 （4） 建立模型
y=-2４.6774＋２７.6774＊exp(.25３61０*t)
（5）模型检验
（6）通过计算可以预测到第六个数据是２２．０3４０
由于 22.034 与1７相差5.０3４,这表明下一次旱灾将发生在五年以后。
计算的 MATLＡＢ程序如下:
ｃlｃ，clｅar
a=[390．6,４1２,320，５59.2，３80.８,５42.4,5５3,3１0,561,300,632,54０,406.2,313.８，５76,587.６,3１8.5］';
x0＝find(a＜＝320);
x０=x0';
ｎ=ｌｅｎgｔh(x0)
lamdａ＝x０（1:ｎ-1)./ｘ0(２:n)
rangｅ＝miｎmax(laｍda)
x１＝cumsｕｍ(x0)
for i=2:n
z(i)=０.5*（x１(i）+x1(i－1));
ｅnd
B=[－z(2:ｎ）'，onｅs(n-1，1)];
Ｙ=ｘ0(2:n）'；
ｕ＝Ｂ＼Ｙ
x=dｓolve('Dx+a*x＝b','x(0)＝x0＇);
x＝ｓｕbｓ（x,{'a＇,'b',＇x0'},｛u(１),u(２）,x１（1)}）;
yｕce１=sｕbs（x，＇t',[０:n－1]);
digitｓ（6），ｙ=ｖpa(x)
yｕce=[x0（1),diff(ｙuce１)]
ｅpsilｏn=ｘ0-yucｅ
ｄeｌta=aｂｓ(ｅpsｉlｏn./ｘ０)
rｈｏ=１-（１-０.5*u(1）)／(1+0.5*u（1)）*laｍｄa
yｕce１=subs(x,'t＇,[０:n]);
yuｃe=[x０(１),diff(yuce1)]
5. Ｖeｒｈuｌｓｔ预测模型
在实际问题中，常遇到原始数据本身呈S形的过程,这时,可取原始数据为(1)
x，其一次累减生成(1—IAGO)为(0)
x,建立Verhｕｌｓt模型,直接对(1)
x进行预测（模拟）。现以中国道路交通事故死亡人数为例,建立交通事故死亡人数Veｒｈualst 预测模型。由《中国交通年鉴》、《中国汽车工业年鉴》等可得近年来中国道路交通事故死亡人数统计资料，见表14。
解:1990~２００3 年中国道路交通事故死亡人数曲线见图2,可见曲
线呈S 形，故可建立Veｒｈｕlst 模型进行预测，其建模过程如下。
(1）设(1)x 为１990～2003 年死亡人数的原始数据序列,即
(1)(1)(1)(1)(1)
12314(,,...)(4.93, 5.33, 5.87, 6.35, 6.63, 7.15,7.37, 7.39, 7.81, 8.35, 9.39,10.59,10.94,10.44)
x x x x x == （2）对x(１)作一次累减生成（1—ＩAGO ），由
(0)(1)(1)
1,2,3,...14k k k x x x k -=-=
得
(0)(0)(0)(0)
1214(,,...)(4.93, 0.4, 0.54, 0.48, 0.28, 0.52, 0.22,0.02, 0.42, 0.54,1.04,1.2, 0.35, -0.5)
x x x x == (3) 对(1)x 作紧邻均值生成，令
(1)(1)(1)
10.5(),2,3,...14k k k z x x k -=+=
得
(1)(1)(1)(1)
2314(,,...)(5.13, 5.6, 6.11, 6.49, 6.89, 7.26, 7.38,7.6, 8.08, 8.87, 9.99,10.765,10.69)
z z z z == （4) 对参数列
(,)T a b α∧
= 进行最小二乘估计,得