高数2习题册

2016～2017 学年第一学期

高等数学Ⅱ-1 练习册高等数学Ⅲ-1 练习册

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第一章 函数与极限

§ 映射与函数 一、本节学习目标：

1.掌握常见函数的定义域，函数的特性。掌握将一般初等函数拆成几个简单函数的复合。

2.熟悉基本初等函数的类型、性质及图形,了解初等函数的概念。 二、本节重难点:

1.a 的δ邻域：(,){}{}(,)U a x x a x a x a a a δδδδδδ=-<=-<<+=-+

2.构成函数的要素: 定义域及对应法则。函数相等：函数的定义域和对应法则相同。

3.1

,-f

f 互为反函数，且有()1

f f

f x x x D -≡∈????，，()1

f f f y y y R -??≡∈??，.

1f -的定义域为f 的值域。

练习题

1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）

A. ()()f x g x x =

= B. 2()ln ,()2ln f x x g x x ==

C. 2

()()f x g x ==

D.2(),()f x g x x == 2.下列函数中为偶函数的是（ ）

A. cos 2x x

B. 3

cos x x + C. sin x x D. 2

sin x x

3. 下列函数中，奇函数是( )．

A. 31y x =+

B. ln y x =

C. +sin y x x =

D. 2+cos y x x =

4.下列函数中不是初等函数的是（ ）

A.0

00x x y x x x >??

==??-

B.ln sin(1)y x =+

C.y 21

11

01x x y x x ?-≠?

=-??=?

5.凡是分段函数都不是初等函数。（ ）

6.复合函数[g()]y f x =的定义域即()u g x =的定义域。（ ）

7.函数1

ln(1)

y x =

+的定义域是(1,)-+∞。（ ）

8.满足32x +<的全体实数，称以 为中心， 为半径的邻域。 9.设2

1

(),[()]1f x f f x x =

=- 。10.arcsin(1)y x =+的定义域 。

11.指出函数y =的复合过程。 12. 指出函数2

1sin 2x

y =的复合过程。

§ 数列的极限

一、本节学习目标： 1.理解数列极限的概念。 二、本节重难点:

1.-N ε“”语言：0,.lim .n n n N N n N x a x a εε+

→∞

?>?∈>-<=，使得当时，有记作

注：（1）ε的任意性。（ε的作用在于衡量n x 与a 的接近程度） （2）N 的选取是与ε有关的。

2.如果数列{}n x 收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 。

3.推论：如果数列中两个子列的极限存在不相等，则这个数列发散。

4.常用结论: (1)212lim lim lim k k n k k n x x a x a -→∞

→∞

→∞

==?=

(2)若212lim ,lim k k k k x x -→∞

→∞

至少有一个不存在，或212lim ,lim k k k k x x -→∞

→∞

存

在，但212lim lim k k k k x x -→∞

→∞

≠，则lim n n x →∞

不存在。

练习题

1. 设数列{}n x ，当n 越来越大时，n x a -越来越小，则lim .n n x a →∞

= （ ）

2. 设数列{}n x ，对0,N N n N ε+

?>?∈>，当时,有无穷多个n x 满足,n x a ε-<

则lim n n x a →∞

=. （ ）

3. 数列{}n x ,对0ε?>，{}n x 中仅有有限个n x 不满足,n x a ε-<则lim .n n x a →∞

=（ ）

4. 有界数列{}n x 必收敛.（ ）

5. 无界数列{}n x 必发散。（ ）

6. 发散数列{}n x 必无界.（ ）

7. 若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界。（ ）

8.*

用数列极限的定义证明下列极限：

（1）212lim 313

n n n →∞+=+ （2）sinn

lim 0n n →∞=

§ 函数的极限

一、本节学习目标：

1.理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质。 二、本节重难点:

1. 自变量趋于有限值时函数的极限：0

0lim (x)A (x)A x x f f x x →=→→或（当）

2. 自变量趋于无穷大时函数的极限: lim (x)A x f →∞

=或(x)A(x )f →→∞当

3.(1)0

lim ()x x f x A

→=00

lim ()lim ()A x x x x f x f x -

+→→==.

(2)0

lim ()x x f x →不存在

00

lim (),lim ()x x x x f x f x -

+→→中至少有一个不存在,或0

lim ()x x f x +→，

lim ()x x f x -→存在但00

lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠.

(3)lim ()x f x A

→∞

=lim ()lim ()A x x f x f x →-∞

→+∞

==.

(4)lim ()x f x →∞

不存在

lim (),lim ()x x f x f x →-∞

→+∞

中至少有一个不存在,或lim ()x f x →+∞

，

lim ()x f x →-∞

存在但lim ()lim ()x x f x f x →-∞

→+∞

≠.

4. 对于分段函数在其定义域内的分界点处的极限一定要讨论左、右极限。

练习题

1. 当1x →时，函数312y x =-→，问δ等于多少时，能使1x δ-<时，20.01y -<

2.当x →∞时，函数21

2x y x

-=→，

问X 等于多少时，能使x X >时，20.01y -<

3.设3()313x

x f x x x

，讨论当3x →时，()f x 的左右极限.

4.设+13

()213x x f x x x

，讨论当3x →时，()f x 的左右极限，并说明3lim ()x f x →是否

存在。

5.对函数()x

f x x

=

，回答下列问题： （1）函数()f x 在0x =处的左右极限是否存在

（2）函数()f x 在0x =处是否有极限为什么

(3)* 函数()f x 在1x =处是否有极限

§ 无穷小与无穷大

一、本节学习目标：

1.熟悉无穷小，无穷大的概念。

2.掌握无穷小的性质，会利用无穷小量的性质求极限。

3.知道无穷小量与无穷大量之间的关系。 二、本节重难点:

1. 无穷小量是一个变量.

2.任何很小很小的非零数都不是无穷小量，常量中只有0是无穷小.

3.无穷小量的性质：(1)两个无穷小的和是无穷小。 (2)有界量与无穷小的乘积是无穷小。 (3)常数与无穷小的乘积是无穷小。

4. 无穷大量是无界变量。

5. 无穷小量和无穷大量的关系：

在自变量的同一变化过程,（1）如果()x f 为无穷大，那么

1

()

f x 为无穷小；

（2）如果()x f 为无穷小，且()0f x ≠，那么

1

()

f x 为无穷大。 练习题

1. 0

lim x

x e →= 2.lim x x e →+∞

=

3.lim x

x e →-∞

= 4. 10

lim x

x e -

→= 5.无穷多个无穷小量的和是无穷小量。（ ） 6.两个无穷小量的商是无穷小量。（ ） 7.两个无穷大的和也是无穷大。（ ） 8.无穷大与无穷大的积也是无穷大。（ ） 9.无穷小与无穷大的和一定是无穷大。（ ）10.无穷小与无穷大的积一定是无穷大。（ ） 11.非零常量与无穷大量的乘积是无穷大。（ ）

12. 求极限0

1

lim(sin )x x x → 13. 求极限20

1lim(cos )x x x

→

14.求极限1lim(sin )x x x →∞

15. 求极限arctan lim

x x

x

→∞

§ 极限运算法则

一、本节学习目标：

1.理解并熟练掌握极限的运算法则 二、本节重难点:

1.函数的和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商 注意运用上述法则有前提条件：

(1)函数的个数有限 （2）每个函数都有极限 （3）有分母时，分母的极限值不为0 2.0

0lim ()()n n x x P x P x →=,其中()n P x 为n 次多项式。

3.（1）0()lim

()x x P x Q x →是0

0型（(),Q()P x x 同时有极限为零的因式），求极限的方法：

一般地分子分母同除以为零的因式。

（2）()lim

()n x m

P x Q x →∞是 ∞

∞型，求极限的方法：分子分母同除以x 的最高次幂。

练习题

1. 数列{}n x 和{y }n 都收敛，则数列{y }n n x +必收敛。（ ）

2.数列{}n x 和{y }n 都发散，则数列{y }n n x +必发散。（ ）

3.若数列{}n x 收敛，而{y }n 发散，则数列{y }n n x +必发散。（ ）

4.若lim()0n n n a b →∞

?=，则必有lim 0n n a →∞

=或lim 0n n b →∞

=. （ ）

5.222lim 41n n n

n →∞++ 6.2

(1)(2)lim 5n n n n →∞++

7.3(1)(2)(3)lim 21

n n n n n →∞++++ 8.11

1

lim[++

+

]1335(21)(21)

n n n →∞??-+

9.13

2lim 32n n

n n

n +

→∞-+ 10.n

11.2

2

lim 21x x x →++ 12.225

lim 3x x x →+-

13. 2226lim 4x x x x →+-- 14. 22234

lim 4

x x x x →---

15.22121lim 1x x x x →-+- 16.22468

lim 54

x x x x x →-+-+

17.2231lim 41x x x x x →∞+++- 18.22131lim 2

x x x x →-+-

19.35231lim 427x x x x x →∞++++ 20.32251

lim 465

x x x x x →∞-+++

21

x → 22*. 3113lim()11x x x →---

23*

2030

50(23)(32)lim (51)

x x x x →∞-++ 24*

.已知,a b 为常数，21lim()1x x ax b x

→∞+--=，则a = ，b =

25*.,a b 为常数，已知1lim

21

x ax b

x →+=-，则a = ，b = .

§ 极限存在准则 两个重要极限

一、本节学习目标：

1.理解极限存在的两个准则。

2.会用重要极限来计算其他函数的极限。 二、本节重难点:

1.夹逼准则判别数列或函数的极限，适用于一些特定的形式，需要对数列或函数适度放大，缩小。

2.单调有界准则：单调有界数列必有极限。 单调有界准则是证明数列极限存在常用的形式。

3.两个重要极限公式 :.1sin lim

0=→x

x x e x x x =+∞→)1

1(lim

推广形式：()

()0sin lim 1()x x x μμμ→=，()()e x x x =+→)(10

)(1lim μμμ

练习题

1.0sin 3lim sin5x x x →

2.0tan 5lim x x

x

→

3.1

lim sin

x x x

→∞

4.0lim cot x x x →

5.10

lim(13)x

x x →+ 6.2lim(1)x x x

→∞

-

7.52lim(1)x x x +→∞

+ 8.21lim(

)1

x

x x x →∞

-+

9.利用极限收敛准则求极限

(1)22211

1

lim (

)2n n n n n n ππ

π

→∞

+++

+++

(2)2

33314

lim()12

n n n n n n

→∞++

++++

（3）22

2

11

1lim[

](1)(2)

(2)

n n n n →∞

+++

++

(4)数列123x x x ===的极限存在并求lim n n x →∞

.

10. 一投资者欲用1000元投资5年，设年利率为6%，试分别按单利、复利、每年按4次复利付息方式计算，到第5年末，该投资者应得的本利和A.

§ 无穷小的比较

一、本节学习目标：

1.理解无穷小量的阶的概念。 二、本节重难点:

1.常用的等价无穷小代换: 当0x →时，sin x x ，ln(1)x x +，tan x x ,1x e x -,arctan x x

211cos 2x x -11x n

练习题

1.0sin 3lim 2x x x →

2.0tan 2lim sin 3x x

x

→

3.201cos 2lim x x x →-

4.30tan sin lim x x x

x

→-

5.201lim x x e x →-

6.0arcsin lim 5x x

x

→

7.0

limsin5cot 3x x x → 8. 0x →

9.20ln(13sin )lim tan x x x x →+ 10.2

0(1)arcsin lim ln 12)(1cos 2)

x x e x x x →-+-（

§ 函数的连续性与间断点

§ 连续函数的运算与初等函数的连续性

§ 闭区间上连续函数的性质

一、学习目标：

1.理解函数连续的概念.

2.理解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

3.理解连续函数的运算.

4.理解并熟练掌握闭区间上连续函数的性质 二、重难点:

1.函数()y f x =在点0x 处连续?000

lim lim[()()]0x x y f x x f x ?→?→?=+-=

?0

0lim ()()x x f x f x →=

?

0lim ()()lim ()x x x x f x f x f x +

-

→→==

即000()()()f x f x f x +-==

2. 间断点的分类:

()()????

??

???

????

左右极限都存在左右极限至少有一个不存在左右极限相等（可去间断点）

第一类左右极限不相等（跳跃间断点）间断点无穷间断点第二类震荡间断点

3.复合函数的极限法则

4.一切初等函数在其定义区间内都是连续的。

5.幂指函数)1)(,0)(()

()

(≠>x u x u x u x v ，若b x v a x u =>=)(lim ,0)(lim ,

那么b x v a x u =)

()

(lim .

练习题

1.设函数0

()0x e x f x x a x ?≤=?+>?

，试确定常数a ，使函数()y f x =连续。

2.设函数301

()112

x b x f x a

x x b x +≤

==??-<≤?

，试确定常数,a b ，使函数()y f x =在1x =处连续。

3.研究函数201

()212

x x f x x x ?≤≤=?-<≤?的连续性。

4.指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型。

（1）221()3+2x f x x x -=- （2）1

211()1

x x f x e x --=-

5.0

x → 6.0

sin lim ln

x x

x

→

7.22

cot 0

lim(13tan )

x

x x →+

8.证明方程3

31x x -=至少有一个根介于1和2之间。

第一章 测验题

1.下列函数中，表示同一函数的是( )．

A. ()()sin(arcsin )f x x g x x ==，

B. 22

()1()sin cos f x g x x x ==+，

C. ()()f x x g x ==

，2()2lg ()lg f x x g x x ==，

2. 若lim ()0x a

f x →=，limg()0x a

x →=，则下列结论中不正确的是（ ）

A. lim[()()]0x a

f x

g x →+= B. lim[()()]0x a

f x

g x →-=

C. lim[()()]0x a

f x

g x →= D.()

lim

0()

x a

f x

g x →=

3. 若lim ()x a

f x →=∞，limg()x a

x →=∞，则下列结论中正确的是（ ）

A.lim[()()]x a

f x

g x →+=∞ B. lim[()()]x a

f x

g x →-=∞

C. lim[()()]x a

f x

g x →=∞ D.()

lim

()

x a

f x

g x →=∞ 4.当0x →时，下列变量中与2

sin x 为等价无穷小的是（ ）

x C. 2x D.3

x

5. 若()lim x f x →=2

3，则(2)3f =．( )

6. 若()lim x f x →=2

3，则()f x 在2x =处连续．( )

7.若()f x 在0x 无定义，则0

lim ()x x f x →必不存在．( )

8.

函数()f x =

的定义域为 .

9.

函数y e =是由 复合而成的.

10.1

lim

arctan x x x

→∞= . 11.函数 2

1

()2f x x =+（）的间断点是 ，是 间断点。 12.*

.若21+lim

51x x ax b

x

→+=-，则a = ，b = . 13.*

若2+1

lim(

)01+x x ax b x

→∞--=，则a = ，b = . 14.设210

()2

01113

x x f x x x x ?-<

=≤

，求1

(2)()2

f f -，。

15.2323

lim 51x x x x x →∞-+++ 16.224lim 2x x x →-- 17.0ln(12)lim sin 3x x x

→+

18.2

0lim(13)x

x x →+ 19.1lim(1)1

x

x x →∞+

+ 20.sin 0lim x

x x e →

21.lim x 22.220ln(2)

lim sin(1)

x x x →++

23.设2tan 0()0

ax

x f x x

x x

x ?

=??+≥?，已知0

lim ()x f x →存在，求a 的值。

24.某厂生产某产品，每日最多生产100单位，它的日固定成本为130元，生产一个单位的

可变成本为6元，求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。

25.已知某工厂每批生产某种商品q 单位的总费用为()6400C q q =+,得到的收益是

2()100.01R q q q =-，求利润函数，并问每批生产多少单位时能使生产者保持盈亏平衡

第二章 导数与微分

§ 导数的概念 一、本节学习目标：

1.理解导数概念，理解导数的几何意义。

2. 掌握函数的可导性与连续性之间关系。 二、本节重难点:

1.函数)(x f y =在点0x 处可导?()0x f '000

()()

lim h f x h f x h →+-=

?0

000

()()

()lim x x

f x f x f x x x →-'=-

?()()()000f x f x f x +-'''==

2.()0x f '的几何意义：曲线)(x f y =在00(,())x f x 点处的切线的斜率。

3.函数可导性与连续性的关系:()x f y =在0x 处可导?

??→←??()x f y =在0

x 处连续 练习题

1.下列各题中均假定()0x f '存在，按照导数的定义观察下列极限，指出A 表示什么 (1)000

(+)()

lim 4x f x x f x A x

?→?-=? （2） 000()()lim

2x f x x f x A x ?→-?-=? (3)000

()(2h)lim

h f x h f x A h →+--= （4）000()(h)

lim h f x h f x A h

→+--=

2.设函数()f x 可导，且()32f '=，求0(3)(3)lim 2x f x f x

→--?.

3.求下列函数的导数:

(1)4y x = (2)y =y =

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最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

武大《高等数学》期末考试试题

2000～2001学年第二学期《 高等数学 》期末考试试题（180学时） 专业班级 学号_______________ 姓名 一、 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程有相等的实根a ，试写出此微分方程及通解。 （8分） 二、 设幂级数∑∞=?0 )1(n n n x a 在x =3处发散，在x =1处收敛，试求出此幂级数的收敛半径。（8分） 三、 求曲面323 =+xz y x 在点（1，1，1）处的切平面方程和法线方程 。（10分） 四、 设)(,0x f x >为连续可微函数，且2)1(=f ，对0>x 的任一闭曲线L，有0)(43=+∫L dy x xf ydx x ，求)(x f 。 （10分） 五、 设曲线L （起点为A ，终点为B ）在极坐标下的方程为36(,2sin πθπθ≤≤= r ，其中θ=6π 对应起点A ，3 π θ=对应终点B ，试计算∫+?L xdy ydx 。（10分） 六、 设空间闭区域Ω由曲面222y x a z ??=与平面0=z 围成，其中0>a ，Σ为Ω的 表面外侧，且假定Ω的体积V 已知，计算： ∫∫Σ=+?.)1(2222dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x 。（10分） 七、 函数),(y x z z =由0),(=z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。 （12分） 八、 计算∫∫∫Ω +,)(22dxdydz y x 其中Ω是由平面z =2与曲面2222z y x =+所围成的闭区域。（12分） 九、 已知级数 ∑∞=1n n U 的部分和arctgn S n =，试写出该级数，并求其和，且判断级数∑∞=1n n tgU 的敛散性。（12分） 十、 设)(x f 连续，证明∫∫∫??=?A A D dt t A t f dxdy y x f |)|)(()(，其中A 为正常数。D ：2||,2||A y A x ≤≤ 。（8分）

高数典型例题解析

第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

高等数学学期期末考试题(含答案全)

05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为

大一第二学期高数期末考试题(含答案)

大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 　求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x

高数下典型习题及参考答案

第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知　，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>?

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22l n l n l n (1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分

最新高数期末考试题.

往届高等数学期终考题汇编 2009-01-12 一．解答下列各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim 1 x x e x ++ →. 2.设?? ? ??++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d . 3.设?????-=-=3 232t t y t t x ，求22d d x y . 4.判定级数()()0!1 2≥-∑∞ =λλλn n n n n e 的敛散性. 5.求反常积分() ?-10 d 1arcsin x x x x . 6.求?x x x d arctan . 7.?-π 03d sin sin x x x . 8.将?????≤≤<=ππ πx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间. 9.求微分方程0d )4(d 2=-+y x x x y 的解. 10.求曲线1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域. 三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点() ()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴及曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 及曲线 ()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值. 四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比,已知空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间? 五.(8分)(学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2）) （1）证明级数∑∞ =-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛. （2）求幂级数()∑ ∞ =-----1 221 21212)1(n n n n x n 的收敛域及和函数. 六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()?''-+ ??? ??+-=b a f a b b a f a b dx x f ξ324 1 2

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

(精选)大一高数期末考试试题

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim() x x x e x →-= .2． ()()1 2005 1 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程 2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导，且1 ()()x tf t dt f x =?，1)0(=f ， 则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数 k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分 方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ） x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积, 则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0 x t f t dt ?也为奇函数.4. 设 ()x x e e x f 11 321++= , 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1． 计算定积分 2 30 x e dx - 2．2．计算不定积分dx x x x ? 5cos sin . 求摆线???-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在 2π= t 处的切线的方程.

大一下学期高等数学考试题

大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值

C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。

四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则

《高等数学B》本科期末考试试卷A卷

西南科技大学2013-2014-2学期 《高等数学B2》本科期末考试试卷（A卷） C.6 D.8 1 1)n的敛散性为（）

4、求函数3u xy z =在点(1,1,2)-处的梯度__________。 5、设,αβ为有向曲线弧L 在点(,)x y 处的切向量的方向角，则平面曲线L 上的两类曲线积分的关系(________________)L L Pdx Qdy ds +=??。 三、解答题（1-2小题每题8分，3-8小题每题9分，共70分） 1、求曲面22214x y z ++=上平行于平面2320x y z ++=的切平面方程。 2、设2 2 (,),z f x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2z x y ???。 3、求函数4242z x xy y =-+的极值。 4、计算|1|D I x y dxdy =+-??，其中[0,1][0,1]D =?。 5、把二次积分4 2200 )dx x y dy +?化为极坐标形式，并计算积分值。 n n 的收敛半径与收敛域。的一段弧。西南科技大学《高等数学B2

000 123 x y z k ===令 ，代入方程22214x y z ++=中可得1k =±---————--4分， 在点（1，2，3）处的切平面为2314x y z ++=-————----2分， 在点（-1，-2，-3）处的切平面为23140x y z +++=----————-2分。 2、解：122(3)z xf yf x ?'' =+?分。 3、解：3440,440x y z x y z x y =-==-+=求得驻点为（0，0），（1，1），（-1，-1）。（3分） 212,4,4xx xy yy A z x B z C z ====-==，在点（0，0）处2160AC B -=-<没有极值，（3分） 在点（1，1）和（-1，-1）处2320,0AC B A -=>>，所以有极小值(1,1) 1.z ±±=-（3分） 4、解： 5 、解3334 4cos 22 3 4 2200 )64cos 12dx x y dy d r dr d π π θ θθθπ+===??? ?分 分 分 。 6、解：131lim 3 31n n n n n ρ+→∞==+，所以收敛半径为3，收敛区间为323x -<-<，即15 x -<<（3分） 当5x =时11313n n n n n n ∞ ∞===∑∑发散（2分），当1x =-时11 (3)(1)3n n n n n n n ∞∞ ==--=∑∑收敛，（2分） 因此原级数的收敛域为[1,5)-。（2分） 7、解：42332,4,24Q P P xy y Q x xy x y x y ??=-=-==-??，所以该曲线积分和积分路径无关。（4分） 11 4 2 3 30 (23)(4)314)=3L xy y dx x xy dy dx y dy -++-=+-???（（5分） 8、解：由高斯公式得22322()2=()xy dydz x y z dzdx xydxdy x y dxdy ∑ Ω +-++?????（4分） 由柱面坐标2 24 2230028()3 r x y dxdydz d r dz ππ θΩ +== ?????（5分）

高等数学试题库

高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .