新人教版八数人教上全册教案

第十一章三角形

11．1与三角形有关的线段

11．1.1三角形的边

知识与技能

1．结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．

2．会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．

3．理解三角形任何两边之和大于第三边的性质，并会初步运用这一性质来解决问题．

过程与方法

在探索三角形三边关系的过程中，让学生经历观察、实验、推理、交流等活动，培养学生的空间观念和推理能力．

情感、态度与价值观

在学习过程中，培养学生的学习兴趣和良好的与他人沟通的能力．

重点

三角形的三边关系．

难点

三角形的三边关系．

一、创设情境，导入新课

教师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：

小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？

教师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义．

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．

[教学说明]通过小学知识，引入新的知识，温故而知新．通过教具观察，引起学生的注意，引发学生的学习兴趣．

二、合作交流，探究新知

(一)探究三角形的有关概念

1．三角形的顶点及符号表示方法．

2．三角形的内角．

3．三角形的边．

教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念．

学生注意记忆相关的概念．

然后教师出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才所讲的有关概念．

[教学说明]直截了当地向学生指明相关的概念，之后借助练习巩固． (二)探究三角形的分类

问题1：小学中已经学过，如何将三角形进行分类？ 问题2：如何将三角形按边分类？ 教师提出问题，学生举手回答． 教师提示，分类的标准是什么？ 学生回答：按角进行分类．

教师进一步提出新的问题，并进一步讲解，等边三角形，等腰三角形的有关概念．然后给出三角形的按边分类方法：

三角形????

?不等边三角形

等腰三角形?

????底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形

之后师生共同归纳三角形的分类方法．按不同的标准分类，可以有不同的分法．

[教学说明]在三角形的分类学习过程中，让学生体会分类的思想，即：统一标准，不重不漏． (三)探究三角形的三边关系

探究：画出一个△ABC ，假设有一只小虫要从B 点出发，沿三角形的边爬到C ，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？

教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题． 1．小虫从B 出发沿三角形的边爬到C 有如下几条路线． a ．从B →C b ．从B →A →C

2．从B →C 路线短．

然后教师进一步提出问题：这条路径为什么是最短的？ 学生举手回答：“两点之间，线段最短．” 然后师生共同归纳得出： AC ＋BC ＞AB AB ＋AC ＞BC AB ＋BC ＞AC

即：三角形的两边之和大于第三边． 教师出示教材P3例题．

分析：(1)“用一条长18 cm 的绳围成一个等腰三角形”这句话有什么含义． (2)有一边长为4 cm ，是什么意思，哪一边的长度是4 cm? 师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程．

[教学说明]借助旧的知识，解决新的问题，从学生的探究入手，得出三角形的三边之间的关系．

问题的解题思路，一方面涉及方程思想的运用，另一方面涉及分类讨论的思想，故教师的讲解与点拨是必要，也是必需的．逐步向学生渗透数学中的思想方法，教给学生解决问题的技能是教学过程中更应该关注的问题．

三、运用新知，深化理解

练习：教材P4练习第1，2题．

教师布置练习，学生举手回答即可．第2题注意让学生说明理由． 解决完以后，教师利用投影出示补充练习，学生独立完成．

补充练习：一个三角形有两条边相等，周长为20 cm ，一边长是6 cm ，求其他两边长． [教学说明]补充练习的安排是为了检测学生对本课例题的掌握情况．这是本节课的重点，也是本节课的难点．应当通过练习达到掌握的目的．

四、课堂练习，巩固提高

请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”部分．

五、反思小结，梳理新知

小结：谈谈本节课的收获．

教师引导学生主要从对三角形的分类和三边关系的认识方面进行小结．

[教学说明]回顾本节课的知识，形成知识网络．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材习题11.1第1，2，7题．

11．1.2三角形的高、中线与角平分线

11．1.3三角形的稳定性

知识与技能

1．掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质．

2．会画三角形的高、中线、角平分线．

3．了解三角形的稳定性．

过程与方法

经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线．

情感、态度与价值观

培养学生乐于动手，肯于实践的精神．

重点

了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．难点

1．三角形的角平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．

2．钝角三角形高的画法．

3．不同的三角形三条高的位置关系．

一、创设情境，导入新课

生活实例演示：

人字型屋顶钢架、风筝骨架，并从中抽象出数学图形，引出三角形中的特殊线段．

二、合作交流，探究新知

(一)探究高的概念及画法

问题1：如何求三角形的面积？

问题2：什么是三角形的高，怎样画三角形的高？教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出问题2，引入本节课的第一个概念．

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图：AD是△ABC的边BC上的高．

想一想，一个三角形有几条高？

然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，之后要求学生作出它们的高．然后同学间进行交流．

[教学说明]通过三角形的面积自然引入高的概念，然后步步紧扣，提出如何画高的问题．过程显得自然，紧凑．指出直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点，通过学生的动手操作，交流探讨．使学生掌握高的画法，尤其是钝角三角形的高的画法．

观察：每一个三角形的三条高有什么位置关系？

教师提出问题：各种三角形的三条高都分别交于一点吗？

学生讨论，交流，然后归纳结果．

三条高交于一点．

[教学说明]通过学生的观察，发现三角形的三条高交于一点，培养学生的观察发现能力．从中体验数学的研究方法．

练习：教材P5练习第1题．

学生独立观察，然后交流，归纳．

[教学说明]边讲边练，提高课堂效率．

(二)探究三角形的中线与角平分线的概念及画法

1．三角形的中线及其画法．

2．三角形的角平分线及其画法．

教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义．然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．

[教学说明]将三角形的中线，角平分线与高类比来学习，有助于提高学生对这三个概念的认识与掌握．便于学生理解概念，掌握性质．

学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结．

三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点．

三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点．

三角形的三条高线不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．

三角形的高、中线、角平分线都是线段．

[教学说明]通过归纳总结，认识高、中线、角平分线间的相同与不同之处．

(三)了解三角形的稳定性

教师利用折尺让学生先折成三角形的样子，然后折成四边形的样子，认识三角形的稳定性．

学生认识到三角形的稳定性以后，让学生找出几个生活中利用三角形的稳定性的例子，并完成教材P7练习．[教学说明]通过动手操作，感受三角形的稳定性．

感受生活中的数学现象，体验生活中的数学．

三、运用新知，深化理解

练习：教材P5练习第2题．

思考：如图，AD是△ABC的BC上的中线．△ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？

教师布置，学生练习，学生独立完成练习，然后举手回答．

教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进行归纳．

[归纳总结]三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

思考：高和角平分线是否也有这样的性质呢？

[教学说明]通过练习，使学生在图形中认识中线和角平分线的定义，并从中认识相关线段，角之间的关系．拓展学生对中线的认识．

四、课堂练习，巩固提高

请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”部分．

五、反思小结，梳理新知

小结：谈谈你对三角形的高、中线、角平分线的认识．

教师引导学生从概念、图形中归纳高、中线、角平分线的相关性质．

[教学说明]形成知识网络，加深理解与认识，培养学生的空间观念．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材习题11.1第3，4，8题，选做题：第9题．

11．2与三角形有关的角

11．2.1三角形的内角

知识与技能

理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题．

过程与方法

经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理．

情感、态度与价值观

在动手操作、活动探究中培养学生的学习兴趣．

重点

三角形内角和定理．

难点

三角形内角和定理的推理过程．

一、创设情境，导入新课

我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？

教师提出问题，引发学生思考．

[教学说明]通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有的三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法．为后面的证明作准备．

二、合作交流，探究新知

1．在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．

图①图②

2．让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处(如上图)，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.

3．把∠B和∠C剪下按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果．

图③

教师在学生完成后，提出问题：

在图②中直线CM与AB是什么关系？

在图③中直线MN与BC是什么关系？

你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？

[教学说明]通过动手操作，使学生从中体验数学学习的乐趣，并在教师的引导下，从动手操作中发现三角形内角和定理的证明方法．

通过问题引导，使学生在操作中发现三角形内角和定理的证明方法．

证明三角形内角和定理

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

已知，如图，△ABC.

求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.

教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法，然后规范地写出证明过程．注意向学生提示辅助线要用虚线．

这一过程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程．教师可以采取示范一个，练习一个的方式．用如上图的方法进行教师示范，用如下图的方法让学生进行练习．

想一想，还有没有其他的方法？(利用同旁内角互补)

[教学说明]使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚开始接触证明，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．

三、运用新知，深化理解

例：C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

教师利用投影出示例题，学生先读题，弄懂题意，然后师生共同分析解题．

和上边的定理证明过程一样，教师也要给出完整的解答过程，在本问题的分析过程中，教师应当着重于思路的讲解，在角的求值问题中，常常利用平行线进行转化，利用内角和定理来具体求值．要将这里的思想方法逐步向学生渗透．

之后教师可进一步向学生提问：“还有没有其他的方法来解决．”

本题的难点是要让学生观察到直线AD与BE的关系，进而转化为与平行线有关的问题解决．

[教学说明]通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用，注意向学生分析解决问题的思路和方法．

逐步向学生渗透数学中的思想方法，这里体现了数学中的转化思想．这一点一定要让学生体会．

练习：教材P13练习第1，2题．

补充练习：

1．三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形．()

2．一个三角形中最多只有一个钝角或直角．()

3．等腰三角形一定是锐角三角形．()

4．一个三角形最少有一个角不大于60°.()

教师布置学生练习，可以先处理补充练习，再处理教材练习．在教材的练习处理中，应注意仰角概念和左右对称这两个词意义的解释．最好安排学生上台板演，以便于发现学生的问题，及时纠正和解决．[教学说明]先处理补充练习，目的是遵循由易到难的原则．安排学生上台板演，便于教师掌握学生对本节课知识的掌握情况，也有利于教师因题取材讲解推理解答的过程．

四、课堂练习，巩固提高

请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”部分．

五、反思小结，梳理新知

小结：谈谈本节课的收获．

教师引导学生从定理的证明过程和对例题中解题的思路方法的角度进行小结．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材习题11.2第1，2，3，7题，选做题：第9题．

11．2.2三角形的外角

知识与技能

1．了解三角形的外角．

2．知道三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．学会运用简单的说理来计算三角形的相关的角．

过程与方法

培养学生的实践能力和观察总结能力．

情感、态度与价值观

在学习过程中，体验主动探究的成功与快乐．

重点

三角形外角的性质．

难点

运用三角形外角性质进行有关计算时能准确地推理．

一、创设情境，导入新课

什么是三角形的内角？它是由什么组成的？

三角形的内角和定理的内容是什么？

教师提出问题，学生举手回答问题．

[教学说明]为本节课进一步学习与三角形有关的角作准备．

二、合作交流，探究新知

探究三角形外角的概念和性质

问题1：如右图，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？练习：

如图，∠ADB，∠BPC，∠BDC，∠DPC分别是哪个三角形的外角？

问题2：观察问题1图，∠ACD与∠ACB是什么关系，由此你能得到什么结论？

教师利用投影出示图形，并提出问题．

教师指出像这样的角叫做三角形的外角，它是由三角形的一边和另一边的延长线组成的．

然后教师利用投影出示练习，安排学生举手回答，并按照外角的定义一一指明这些角分别由哪些边组成．完成以后，教师提出问题2，并让学生进行讨论．然后师生共同归纳总结，得出结论：

1．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

2．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

归纳总结的过程就是让学生说理证明的过程，教师要让学生说一说，练一练．

[教学说明]教师指明外角的定义以后，马上进行练习，便于巩固学生对概念的理解．结合图形，培养学生的图形变换能力．

通过学生的归纳、总结、证明，让学生自己去发现结论，让学生体验主动探究的成功与快乐．

通过观察、讨论等一系列活动，再让学生进行证明，由于准备进行得比较充分，学生能够较顺利地说出证明的过程，培养学生的推理论证能力．

三、运用新知，深化理解

如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

教师出示教材例4，先让学生进行分析，教师可以适当加以引导学生，将三角形的外角转化为三角形的内角，然后师生共同写出规范的解答过程．

思考：还有没有其他的方法可以证明？

[教学说明]先让学生分析，培养学生的图形分析能力，然后师生共同解决，规范学生的解答过程．

继续提出新的问题，培养学生的发散思维和创新能力．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P15练习．

2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”部分．

[教学说明]巩固练习，使学生形成技能．

五、反思小结，梳理新知

小结：谈谈你对三角形的外角的认识．

教师引导学生谈谈对三角形外角的认识．主要从定义和性质两个方面．

[教学说明]帮助学生形成知识体系，前后联系，领悟方法．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材习题11.2第5，6，8题，选做题：第11题．

11．3多边形及其内角和

11．3.1多边形

知识与技能

了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念．

过程与方法

通过对多边形概念的探究，使学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．

情感、态度与价值观

通过对多边形的学习，感受数学与生活的联系．

重点

多边形及有关概念．

难点

区分凸凹多边形．

一、创设情境，导入新课

问题：什么是三角形，什么是三角形的边、内角？

教师提出问题，学生举手回答．

[教学说明]通过三角形的概念引入多边形的概念，通过类比学习多边形．让学生感受类比的学习方法．

二、合作交流，探究新知

(一)探究多边形的有关概念

问题1：观察下列图片，它们由哪些基本图形组成？

问题2：你能说出生活中的多边形吗？

教师利用投影出示图片，学生观察图片，并进行讨论、交流，之后学生自由发言．

这一过程中教师应当关注学生能否积极地参与到活动中．是否能认真观察、敢于积极发言．

然后教师指明相关的概念．

多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．按组成多边形线段的条数分为三角形，四边形、五边形……如果一个多边形由n条线段组成，这个多边形叫n边形．

教师进一步提出问题：

根据三角形的内角、外角的概念，你能说出多边形的内角和外角的概念吗？

之后教师提出问题2让学生多举几个例子，然后教师给出凸凹多边形、正多边形的概念．

要点：

1．多边形的概念与三角形相比，多了“在平面内”．

2．正多边形是各边相等，各角也相等，二者缺一不可．

3．凸、凹多边形的区别．

[教学说明]让学生认识生活中的多边形形状，感受数学与生活的联系．

让学生自由发言，培养学生敢于展示自我，敢于自我肯定的意识．

对比三角形的概念，让学生说一说多边形的相关概念，培养学生的类比学习方法．

通过举例让学生体会到，数学与生活是息息相关的，感受生活中的数学实例．

(二)探究多边形的对角线的条数

问题：什么是多边形的对角线？三角形有几条对角线，四边形呢？五边形，六边形，n 边形呢？

教师给出多边形对角线的概念，然后提出问题．组织学生进行讨论，探究．

教师可以根据图形适当向学生提示：过四边形的一个顶点可以画几条对角线，四边形一共有几条对角线？ 过五边形的一个顶点可以画几条对角线，五边形一共有几条对角线？ 六边形呢？这里有什么规律吗？

归纳：多边形的对角线的条数是：n （n －3）

2

，

这里，n 是多边形的边数．

(三)探究凸、凹多边形及正多边形的概念

如图①，画出四边形ABCD 的任何一条边(例如CD )所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形．而图②中的四边形ABCD 就不是凸四边形，因为画出边CD (或BC )所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧．类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形．本节只讨论凸多边形．

图① 图②

我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等，像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．下图是正多边形的一些例子．

教师要求学生自己去解决图①、图②是否为凸多边形，可以通过讨论、交流的形式去解决，完成以后，教师可以随机地画几个多边形让学生进行凸、凹多边形的区分．对于正多边形的概念，关键让学生掌握住各边都相等，各角都相等，二者缺一不可．

[教学说明]从特殊到一般进行分析，让学生体会从特殊到一般的分析问题的方法．

师生共同探究，教师注意多让学生活动，不要急于得出结论．在学生充分讨论的基础上再给出结论．有利于培养学生的探究精神，从而让学生从中感受成功的乐趣．

三、运用新知，深化理解

练习：教材P21练习第1，2题． 教师布置学生练习，然后举手回答．

[教学说明]巩固本节课所学知识，帮助学生加深对多边形相关概念的理解与掌握． 四、课堂练习，巩固提高 请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”部分．

五、反思小结，梳理新知

小结：谈谈你对多边形的认识．

教师引导学生从概念，相关知识等方面进行小结．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材习题11.3第1题．

11．3.2多边形的内角和

知识与技能

1．掌握多边形外角和及内角和公式．

2．通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．3．了解平面镶嵌的条件，会用简单的平面图形进行平面镶嵌．

过程与方法

1．让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法．

2．通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．情感、态度与价值观

通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质．

重点

探索多边形的内角和公式及外角和．

难点

如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和．

一、创设情境，导入新课

问题：你知道三角形的内角和是多少度吗？

1．教师提问，学生思考作答．

2．教师总结：三角形的内角和等于180°.

3．引出课题：你想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和与外角和．[教学说明]回顾已学知识：三角形的内角和等于180°，为后续问题的解决作铺垫．利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去．

二、合作交流，探究新知

(一)探究四边形的内角和

问题：你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？

学生展示探究成果．

分割成2个三角形，

180°32＝360°.

分割成4个三角形，

180°34－360°＝360°.

分割成3个三角形

180°33－180°＝360°.

1．引导学生猜想：四边形的内角和等于360°.

2．学生分小组交流与探究，进一步来论证自己的猜想．

3．由各小组成员汇报探索的思路与方法，讲明理由．

4．教师汇总学生所探索出的不同方法，除测量与拼凑法外，并提出疑问：你们添加辅助线的目的是什么？说一说你的想法．

5．教师在学生回答的基础上小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和．

教师可点拨学生从正方形、长方形这两个特殊的多边形的内角和，进而猜测出四边形的内角和等于360°.

[教学说明]“解放学生的手，解放学生的大脑”，鼓励学生积极参与，合作交流，用自己的语言表达解决问题的方式方法，发展学生的语言表达能力与推理能力．

鼓励学生寻找多种分割形式，深入领会转化的本质——将四边形转化为三角形问题来解决．

(二)探究五边形的内角和

问题1：你知道五边形的内角和是多少度吗？

问题2：你知道n边形的内角和吗？

(n－2)·180°

180°n－360°

180°(n－1)－180°

板书：

多边形内角和公式：(n－2)·180°.

补充例题：求15边形内角和的度数．

1．教师提出问题，学生思考后分组活动．

2．教师深入小组，参与小组活动，及时了解学生探索的情况．

3．教学生归纳借助辅助线将五边形分割成三角形的不同分法．

4．探究五边形的边数与所分割的三角形个数间的关系，进而得出五边形内角和与边数的关系．

5．根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳多边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n－2)2180°这个公式．

6．通过计算让学生巩固并掌握n边形内角和公式．

[教学说明]通过增加图形的复杂性，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解，在探索过程中进一步体现新课标“以人为本”的思想，再一次发展学生的推理能力和语言表达能力．

通过四边形、五边形、特殊多边形内角和的探索，让学生从特殊到一般归纳总结出多边形内角和公式，体会数形间的联系，感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法．

(三)探究多边形的外角和

问题1：小明家有一张六边形的地毯，小明绕各顶点走了一圈，回到起点A，相对他出发时的方向，他的身体旋转了多少度？

例：六边形外角和等于多少度？

问题2：n边形外角和等于多少度？

n边形外角和等于360°.

1．学生思考作答，教师作适当点拨．通过课件演示，由学生发现：

六边形的外角和等于360°.

2．教师引导学生利用多边形的内角和公式，进一步论证六边形外角和等于360°.即：六个平角减去六边形内角和等于六边形外角和360°.

3．进行类比推理并小结：n边形外角和等于n个平角减去n边形内角和，与边数无关．

180°n－(n－2)·180°＝360°.

[教学说明]经历现实情况引出六边形的外角和等于360°，从学生已有的生活经验出发，更能激发学生的学习兴趣．

通过类比和扩展方法的使用，使学生掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法．

三、运用新知，深化理解

1．教材P24练习第1，2，3题．

2．补充练习：

问题：一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？

探究题：小明有一个设想：2008年奥运会在北京召开，他设计一个内角和是2008°的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？

学生独立完成教材练习，然后教师利用投影展示补充练习．

学生讨论完成补充练习．

[教学说明]学生自主探索巩固知识和获得技能，掌握基本的数学思想．

教师及时了解学生的学习效果，让学生经历用知识解决问题的过程．

同时激发学生的学习和积极性，建立学好数学的自信心．学生巩固、发展、提高．

四、课堂练习，巩固提高

请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”部分．

五、反思小结，梳理新知

问题：谈谈本节课你有哪些收获？

1．学生反思学习和解决问题的过程．

2．鼓励学生大胆表达，并对学生的进步给予肯定，树立学生学好数学的自信心．

[教学说明]通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生自己在今后的学习中会不断进步，提高学生的学习热情．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材习题11.3第2，4，5，6，7，8题，选做题：第9，10题．

第十二章全等三角形

12．1全等三角形

知识与技能

1．了解全等形及全等三角形的概念．

2．理解全等三角形的性质．

过程与方法

在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉．

情感、态度与价值观

1．让学生观察、发现生活中的全等三角形并在实际操作中获得全等三角形的体验．

2．在运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣．

重点

探究全等三角形的性质．

难点

掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素．

一、创设情境，导入新课

一位哲人曾经说过，“世界上没有两片完全相同的叶子”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的

图案．你能举出这样的例子吗？

教师用投影片展示教材中的图案．

学生列举生活中的例子．

二、合作交流，探究新知

1．动手做

(1)同桌将数学教材叠放在一起，观察它们能重合吗？

(2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？

得出概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．

进而得出全等三角形的概念：能够完全重合的三角形叫做全等三角形．

2．观察

观察△ABC与△A′B′C′重合的情况．

总结知识点：

对应顶点、对应角、对应边．

全等的符号：“≌”，读作：“全等于”．

如：△ABC≌△A′B′C′.

3．探究

(1)在全等三角形中有没有相等的角、相等的边呢？

通过以上探索得出结论：

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

(2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．

得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置而不能改变图形的大小和形状．

把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角．

教师利用投影演示两个长方形重合的过程和两个三角形重合的过程．

观察两个长方形的重合情况和两个三角形的重合情况．

学生指出重合的顶点，重合的边．师生共同总结对应顶点、对应角、对应边的概念，并强调全等三角形的写法．[教学说明]借助两个三角形三个顶点重合这一事实，引导学生发现三角形的边角关系．

三、运用新知，深化理解

例：如图△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长．

分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可．

教师引导学生分析已知条件，观察所求线段与对应线段的位置关系．

学生思考全等三角形的性质，并口答，最后写出解题过程．

练习：

教材P32练习第1题．

教材习题12.1第1题．

补充练习：

(1)全等三角形是()

A．三个角对应相等

B．周长相等的三角形

C．面积相等的两个三角形

D．能够完全重合的三角形

(2)下列说法正确的个数是()

①全等三角形的对应边相等；

②全等三角形的对应角相等；

③全等三角形的周长相等；

④全等三角形的面积相等．

A．1B．2C．3D．4

(3)如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE与DE. 补充题答案：

(1)D；(2)D；(3)∠DFE＝35°，DE＝8.

学生独立完成教材练习，然后教师利用投影展示补充练习．

引导学生分析，明确关键是利用全等三角形的对应角相等、对应边相等．

四、课堂练习，巩固提高

请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”部分．

五、反思小结，梳理新知

1．全等形及全等三角形的概念．

2．通过观察试验发现了全等三角形的性质．

3．应用全等三角形的性质解决了一些简单问题．

教师点评：全等三角形是证明线段和角相等的工具．关键要掌握好对应边、角的找法．

学生归纳总结、反思，可以提出疑问．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材习题12.1第2，3，4，5，6题．

12．2三角形全等的判定

第1课时运用“边边边”证三角形全等

知识与技能

1．掌握“边边边”条件的内容．

2．能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等．

3．会作一个角等于已知角．

过程与方法

使学生经历探索三角形全等的过程，体验用操作、归纳得出数学结论的过程．

情感、态度与价值观

通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探索的良好品质以及发现问题的能力．

重点

“边边边”条件．

难点

探索三角形全等的条件．

一、创设情境，导入新课

多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性质．思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等吗？

得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．

根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？

组织学生进行讨论交流．经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．对学生的良好的表现进行鼓励．

分组讨论交流，考虑不同的情况逐一分析比较．

二、合作交流，探究新知

出示探究 1.先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个．你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？

引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．

出示探究2.先任意画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA，把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，作出△A′B′C′，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．

强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS”．

让学生按照下面给出的条件作出三角形．

(1)三角形的两个角分别是30°、50°.

(2)三角形的两条边分别是4 cm，6 cm.

(3)三角形的一个角为30°，一条边为3 cm.

学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和原三角形重合．

学生发表看法．

学生练习已知三边画三角形．

三、运用新知，深化理解

教材例1：如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证△ABD≌△ACD.

引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条件，学会观察隐含条件．

让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．

口答两个三角形中，已经有哪些元素是相等的．

观察教师的证明过程．

学习：已知∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.

讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什么？

学生讨论方法，并自学作法．

教师归纳：(1)什么是尺规作图；(2)作已知角的依据是“边边边”公理．

四、课堂练习，巩固提高

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂测评”部分．

2．教材P37练习第1，2题．

五、反思小结，梳理新知

回顾反思本节课对知识的研究探索过程、小结方法及结论，提炼数学思想，掌握数学规律．

进一步明确：三边对应相等的两个三角形全等．

口头小结，回顾问题的探索过程．

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

2．教材习题12.2第1，9题．

第2课时运用“边角边”证三角形全等

知识与技能

1．掌握“边角边”条件的内容．

2．能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等．

过程与方法

使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的过程．

情感、态度与价值观

通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力．

重点

“边角边”条件． 难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．

一、创设情境，导入新课

从上一节课我们知道，三边对应相等的两个三角形全等．由“两边及其夹角对应相等”能判定两个三角形全等吗？

想一想，我们是怎样探究“SSS ”条件的呢？

回忆两个三角形中满足三个条件对应相等的四种情况． 二、合作交流，探究新知 1．多媒体出示教材探究3：

教师点拨：要画三角形就是要先确定三角形的三个顶点．

肯定学生中好的画法，并让学生与教材中的画法比较，确定正确的画法． 2．引导学生剪下三角形，看是不是与原三角形全等．

得到结论：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简写成“边角边”或“SAS ”．

3．提出问题：如果把“两边及夹角对应相等”改为“两边及邻角对应相等”，即：“两边及其中一边的对角相等”，两个三角形还全等吗？

学生小组讨论，可以让学生画三角形．学生把画好的△A ′B ′C ′剪下放在△ABC 上，观察这两个三角形是否全等． 根据学生讨论情况，教师应该及时点拨，必要时可以画出反例图形． 学生根据自己的理解举出反例．

通过反例证明：已知两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等不成立． 三、运用新知，深化理解 多媒体出示教材例2.

例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B .连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA .连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB .连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离，为什么？

分析：如果证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE . 证明：在△ABC 和△DEC 中， ????

?CA ＝CD ，∠1＝∠2，CB ＝CE ，

∴△ABC ≌△DEC (SAS)． ∴AB ＝DE .

归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法． 四、课堂练习，巩固提高