一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴,y轴于A(a,0),B(0,b),且满足a2+b2+4a﹣8b+20=0.
(1)求a,b的值;
(2)点P在直线AB的右侧;且∠APB=45°,
①若点P在x轴上(图1),则点P的坐标为;
②若△ABP为直角三角形,求P点的坐标.
【答案】(1)a=﹣2,b=4;(2)①(4,0);②P点坐标为(4,2),(2,﹣2).【解析】
【分析】
(1)利用非负数的性质解决问题即可.
(2)①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.
②分两种情形:如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.分别利用全等三角形的性质解决问题即可.【详解】
(1)∵a2+4a+4+b2﹣8b+16=0
∴(a+2)2+(b﹣4)2=0
∴a=﹣2,b=4.
(2)①如图1中,
∵∠APB=45°,∠POB=90°,
∴OP=OB=4,
∴P(4,0).
故答案为(4,0).
②∵a=﹣2,b=4
∴OA=2OB=4
又∵△ABP为直角三角形,∠APB=45°
∴只有两种情况,∠ABP=90°或∠BAP=90°
①如图2中,若∠ABP=90°,过点P作PC⊥OB,垂足为C.
∴∠PCB=∠BOA=90°,
又∵∠APB=45°,
∴∠BAP=∠APB=45°,
∴BA=BP,
又∵∠ABO+∠OBP=∠OBP+∠BPC=90°,
∴∠ABO=∠BPC,
∴△ABO≌△BPC(AAS),
∴PC=OB=4,BC=OA=2,
∴OC=OB﹣BC=4﹣2=2,
∴P(4,2).
②如图3中,若∠BAP=90°,过点P作PD⊥OA,垂足为D.
∴∠PDA=∠AOB=90°,
又∵∠APB=45°,
∴∠ABP=∠APB=45°,
∴AP=AB,
又∵∠BAD+∠DAP=90°,
∠DPA+∠DAP=90°,
∴∠BAD=∠DPA,
∴△BAO≌△APP(AAS),
∴PD=OA=2,AD=OB=4,
∴OD=AD﹣0A=4﹣2=2,
∴P(2,﹣2).
综上述,P点坐标为(4,2),(2,﹣2).
【点睛】
本题属于三角形综合题,考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
2.如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.
(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);
(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
【答案】(1)线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE;(2)(1)中的结论仍然成立.理由见解析;(3)(1)中的结论仍然成立.理由见解析
【解析】
【分析】
(1)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°,因此△EFC是等腰直角三角形,2EF;
(2)思路同(1)也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解.连接CF,延长EF交CB 于点G,先证△EFC是等腰三角形,可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论,那么就要证明EF=FG,就需要证明△DEF和△FGB全等.这两个三角形中,已知的条件有一组对顶角,DF=FB,只要再得出一组对应角相等即可,我们发现DE∥BC,因此∠EDB=∠CBD,由此构成了两三角形全等的条件.EF=FG,那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了,下面证明△CFE是个直角三角形.由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此
CE=CG,∠CEF=45°,在等腰△CFE中,∠CEF=45°,那么这个三角形就是个等腰直角三角形,因此就能得出(1)中的结论了;
(3)思路同(2)通过证明△CFE来得出结论,通过全等三角形来证得CF=FE,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF.那么关键就是证明△MEF和
△CFN全等,利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线,我们不难得出
EM=PN=1
2
AD,EC=MF=
1
2
AB,我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结
论.我们知道PN是△ABD的中位线,那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形,那么对角就相等,于是90°+∠CNF=90°+∠MEF,因此∠CNF=∠MEF,那么两三角形就全等了.证明∠CFE是直角的过程与(1)完全相同.那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形,于是得出的结论与(1)也相同.
【详解】
(1)如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE;
解法1:
∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径,
∵点F是BD的中点,
∴点F是圆心,
∴EF=CF=FD=FB,
∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,
由圆周角定理得:∠DCE=∠DBE,
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°=∠CEF,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴CE.
解法2:
易证∠BED=∠ACB=90°,
∵点F是BD的中点,
∴CF=EF=FB=FD,
∵∠DFE=∠ABD+∠BEF,∠ABD=∠BEF,
∴∠DFE=2∠ABD,
同理∠CFD=2∠CBD,
∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°,
即∠CFE=90°,
∴CE.
(2)(1)中的结论仍然成立.
解法1:如图2﹣1,连接CF,延长EF交CB于点G,∵∠ACB=∠AED=90°,
∴DE∥BC,
∴∠EDF=∠GBF,
又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,
∴△EDF≌△GBF,
∴EF=GF,BG=DE=AE,
∵AC=BC,
∴CE=CG,
∴∠EFC=90°,CF=EF,
∴△CEF为等腰直角三角形,
∴∠CEF=45°,
∴CE2;
解法2:如图2﹣2,连结CF、AF,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°,
又点F是BD的中点,
∴FA=FB=FD,
而AC=BC,CF=CF,
∴△ACF≌△BCF,
∴∠ACF=∠BCF=1
2
∠ACB=45°,
∵FA=FB,CA=CB,
∴CF所在的直线垂直平分线段AB,
同理,EF所在的直线垂直平分线段AD,又DA⊥BA,
∴EF⊥CF,
∴△CEF为等腰直角三角形,
∴CE2.
(3)(1)中的结论仍然成立.
解法1:如图3﹣1,取AD 的中点M ,连接EM ,MF ,取AB 的中点N ,连接FN 、CN 、CF , ∵DF =BF , ∴FM ∥AB ,且FM =
1
2
AB , ∵AE =DE ,∠AED =90°, ∴AM =EM ,∠AME =90°, ∵CA =CB ,∠ACB =90°
∴CN=AN=
1
2
AB ,∠ANC =90°, ∴MF ∥AN ,FM =AN =CN , ∴四边形MFNA 为平行四边形,
∴FN =AM =EM ,∠AMF =∠FNA , ∴∠EMF =∠FNC , ∴△EMF ≌△FNC , ∴FE =CF ,∠EFM =∠FCN ,
由MF ∥AN ,∠ANC =90°,可得∠CPF =90°, ∴∠FCN+∠PFC =90°, ∴∠EFM+∠PFC =90°, ∴∠EFC =90°,
∴△CEF 为等腰直角三角形, ∴∠CEF =45°, ∴CE 2. 【点睛】
本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等,如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建.
3.如图1所示,已知点D 在AC 上,ADE ?和ABC ?都是等腰直角三角形,点M 为EC 的中点.
(1)求证:BMD ?为等腰直角三角形;
(2)将ADE ?绕点A 逆时针旋转45?,如图2所示,(1)中的“BMD ?为等腰直角三角形”是否仍然成立?请说明理由;
(3)将ADE ?绕点A 逆时针旋转一定的角度,如图3所示,(1)中的“BMD ?为等腰直角三角形”成立吗?请说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2)是,证明详见解析;(3)成立,证明详见解析. 【解析】 【分析】
()1根据等腰直角三角形的性质得出45ACB BAC ∠∠==,
90ADE EBC EDC ∠∠∠===,推出BM DM =,BM CM =,DM CM =,推出BCM MBC ∠∠=,ACM MDC ∠∠=,求出
22290BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠=+==即可.
()2延长ED 交AC 于F ,求出12
DM FC =,//DM FC ,DEM NCM ∠=,根据ASA
推出EDM ≌CNM ,推出DM BM =即可.
()3过点C 作//CF ED ,与DM 的延长线交于点F ,连接BF ,推出
MDE ≌MFC ,求
出DM FM =,DE FC =,作AN EC ⊥于点N ,证BCF ≌BAD ,推出
BF BD =,DBA CBF ∠∠=,求出90DBF ∠=,即可得出答案.
【详解】
()1证明:
ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,
45ACB BAC ∠∠∴==,90ADE EBC EDC ∠∠∠===
点M 为EC 的中点,
12BM EC ∴=
,1
2
DM EC =, BM DM ∴=,BM CM =,DM CM =,
BCM MBC ∠∠∴=,DCM MDC ∠∠=,
2BME BCM MBC BCE ∠∠∠∠∴=+=, 同理2DME ACM ∠∠=,
22224590BMD BCM ACM BCA ∠∠∠∠∴=+==?=
BMD ∴是等腰直角三角形.
()2解:如图2,BDM是等腰直角三角形,
理由是:延长ED交AC 于F,
ADE和ABC
△是等腰直角三角形,
45
BAC EAD
∠∠
∴==,
AD ED
⊥,
ED DF
∴=,
M为EC中点,
EM MC
∴=,
1
2
DM FC
∴=,//
DM FC,
45
BDN BND BAC
∠∠∠
∴===,
ED AB
⊥,BC AB
⊥,
//
ED BC
∴,
DEM NCM
∠
∴=,
在EDM和CNM中
DEM NCM
EM CM
EMD CMN
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
EDM
∴≌()
CNM ASA,
DM MN
∴=,
BM DN
∴⊥,
BMD
∴是等腰直角三角形.
()3BDM是等腰直角三角形,
理由是:过点C作//
CF ED,与DM的延长线交于点F,连接BF,可证得MDE≌MFC,
DM FM
∴=,DE FC
=,
AD ED FC
∴==,
作AN EC ⊥于点N ,
由已知90ADE ∠=,90ABC ∠=, 可证得DEN DAN ∠∠=,NAB BCM ∠∠=,
//CF ED ,
DEN FCM ∠∠∴=,
BCF BCM FCM NAB DEN NAB DAN BAD ∠∠∠∠∠∠∠∠∴=+=+=+=, BCF ∴≌BAD ,
BF BD ∴=,DBA CBF ∠∠=,
90DBF DBA ABF CBF ABF ABC ∠∠∠∠∠∠∴=+=+==,
DBF ∴是等腰直角三角形, 点M 是DF 的中点,
则BMD 是等腰直角三角形, 【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质的应用,在本题中需要作辅助线来证明,难度较大.
4.如图1,等腰△ABC 中,AC =BC =42, ∠ACB=45?,AO 是BC 边上的高,D 为线段AO 上一动点,以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45?,连结BE . (1) 求证:△ACD ≌△BCE ;
(2) 如图2,在图1的基础上,延长BE 至Q , P 为BQ 上一点,连结CP 、CQ,若CP =CQ =5,求PQ 的长.
(3) 连接OE ,直接写出线段OE 的最小值.
【答案】(1)证明见解析;(2)PQ=6;(3)OE=422-【解析】
试题分析:()1根据SAS 即可证得ACD BCE ≌;
()2首先过点C 作CH BQ ⊥于H ,由等腰三角形的性质,即可求得45DAC ∠=?, 则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ 的长.
()3OE BQ
⊥时,OE取得最小值.
试题解析:()1证明:∵△ABC与△DCE是等腰三角形,
∴AC=BC,DC=EC,45
ACB DCE
∠=∠=,
45
ACD DCB ECB DCB
∴∠+∠=∠+∠=,
∴∠ACD=∠BCE;
在△ACD和△BCE中,
,
AC BC
ACD BCE
DC EC
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
(SAS)
ACD BCE
∴≌;
()2首先过点C作CH BQ
⊥于H,
(2)过点C作CH⊥BQ于H,
∵△ABC是等腰三角形,∠ACB=45?,AO是BC边上的高,
45
DAC
∴∠=,
ACD BCE
≌,
45
PBC DAC
∴∠=∠=,
∴在Rt BHC中,
22
424
22
CH BC
=?==,
54
PC CQ CH
===
,,
3
PH QH
∴==,
6.
PQ
∴=
()3OE BQ
⊥时,OE取得最小值.
最小值为:42 2.
OE=-
5.如图,在△ABC中,∠ABC为锐角,点D为直线BC上一动点,以AD为直角边且在AD
的右侧作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°,AD=AE.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.①当点D在线段BC上时,如图1,线段CE、BD的位置关系为___________,数量关系为___________
②当点D在线段BC的延长线上时,如图2,①中的结论是否仍然成立,请说明理由.(2)如图3,如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.探究:当∠ACB多少度时,CE⊥BC?请说明理由.
【答案】(1)①垂直,相等.②都成立,理由见解析;(2)45°,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE、BD之间的关系;
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE,再根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立;
(2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G,画出符合要求的图形,再结合图形判定
△GAD≌△CAE,得出对应角相等,即可得出结论.
【详解】
(1):(1)CE与BD位置关系是CE⊥BD,数量关系是CE=BD.
理由:如图1,∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE.
又 BA=CA,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE (SAS)
∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD.
∵∠ACB=∠B=45°,
∴∠ECB=45°+45°=90°,即 CE⊥BD.
故答案为垂直,相等;
②都成立,理由如下:
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△DAB与△EAC中,
AD AE
BAD CAE
AB AC
?
?
∠∠
?
?
?
=
=
=
∴△DAB≌△EAC,
∴CE=BD,∠B=∠ACE,
∴∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD;
(2)当∠ACB=45°时,CE⊥BD(如图).
理由:过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,
∵∠ACB=45°,∠AGC=90°﹣∠ACB,
∴∠AGC=90°﹣45°=45°,
∴∠ACB=∠AGC=45°,
∴AC=AG,
在△GAD与△CAE中,
AC AG
DAG EAC
AD AE
?
?
∠∠
?
?
?
=
=
=
∴△GAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠AGC=45°,
∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°,即CE⊥B C.
6.如图1,在ABC
?中,ACB
∠是直角,60
B
∠=?,AD、CE分别是BAC
∠、BCA
∠
的平分线,AD、CE相交于点F.
(1)求出AFC
∠的度数;
(2)判断FE与FD之间的数量关系并说明理由.(提示:在AC上截取CG CD
=,连接FG.)
(3)如图2,在△ABC
?中,如果ACB
∠不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.
【答案】(1)∠AFC=120°;(2)FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.理由见解析;(3)AC=AE+CD.理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC,∠ACF即可解决问题;
(2)根据在图2的 AC上截取CG=CD,证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF;再根据ASA 证明△AFG≌△AFE,得EF=FG,故得出EF=FD;
(3)根据(2) 的证明方法,在图3的AC上截取AG=AE,证得△EAF≌△GAF (SAS)得出
∠EFA=∠GFA;再根据ASA证明△FDC≌△FGC,得CD=CG即可解决问题.
【详解】
(1)解:∵∠ACB=90°,∠B=60°,
∴∠BAC=90°﹣60°=30°,
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
∴∠FAC=15°,∠FCA=45°,
∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠ACF)=120°
(2)解:FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.
理由:如图2,在AC上截取CG=CD,
∵CE是∠BCA的平分线,
∴∠DCF=∠GCF,
在△CFG和△CFD中,
CG CD
DCF GCF
CF CF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△CFG≌△CFD(SAS),
∴DF=GF.∠CFD=∠CFG
由(1)∠AFC=120°得,
∴∠CFD=∠CFG=∠AFE=60°,
∴∠AFG=60°,
又∵∠AFE=∠CFD=60°,
∴∠AFE=∠AFG,
在△AFG和△AFE中,
AFE AFG
AF AF
EAF GAF
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
,
∴△AFG≌△AFE(ASA),
∴EF=GF,
∴DF=EF;
(3)结论:AC=AE+CD.
理由:如图3,在AC上截取AG=AE,
同(2)可得,△EAF≌△GAF(SAS),
∴∠EFA=∠GFA,AG=AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°-
1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°,
∴∠EFA=∠GFA=180°﹣120°=60°=∠DFC,
∴∠CFG=∠CFD=60°,
同(2)可得,△FDC≌△FGC(ASA),
∴CD=CG,
∴AC =AG+CG=AE+CD.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用,全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造全等三角形.
7.如图(1),在ABC中,90
A
∠=?,AB AC
=,点D是斜边BC的中点,点E,F分别在线段AB,AC上,且90
EDF
∠=?.
(1)求证:DEF为等腰直角三角形;
(2)若ABC的面积为7,求四边形AEDF的面积;
(3)如图(2),如果点E运动到AB的延长线上时,点F在射线CA上且保持90
EDF
∠=?,DEF还是等腰直角三角形吗.请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)3.5;(3)是,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意连接AD,并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA),进而分析证得DEF为等腰直角三角形;
(2)由题意分析可得S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF,以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可;
(3)根据题意连接AD,运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA),进而分析证得DEF为等腰直角三角形.
【详解】
解:(1)证明:如图①,连接AD.
∵∠BAC=90?,AB=AC,点D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD,
∴∠1=∠B=45°,
∵∠EDF=90°,∠2+∠3=90°,
又∵∠3+∠4=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE 和△ADF中,∠1=∠B,AD=BD,∠2=∠4,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴ΔDEF为等腰直角三角形.
(2)由(1)可知DE=DF,∠C=∠6=45°,
又∵∠2+∠3=90°,∠2+∠5=90°,
∴∠3=∠5,
∴△ADE≌△CDF,
∴S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF,
∴ S?ABC=2 S四边形AEDF,
∴S四边形AEDF=3.5 .
(3)是.如图②,连接AD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴AD⊥BC,AD=BD ,
∴∠1=45°,
∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°,∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°,
∴∠DAF=∠DBE,
∵∠EDF=90°,
∴∠3+∠4=90°,
又∵∠2+∠3=90°,
∴∠2=∠4,
在△BDE和△ADF中,∠DAF=∠DBE,AD=BD,∠2=∠4,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,
又∵∠EDF=90°,
∴△DEF为等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
8.如图(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm,点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动,他们的运动时间为
t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,请说明理由
(2)判断此时线段PC和线段PQ的关系,并说明理由。
(3)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变,设点Q的运动速度为x cm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?若存
在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)△ACP≌△BPQ,理由见解析;
(2)PC=PQ且PC⊥PQ,理由见解析;
(3)存在;
1
1
t
x
=
?
?
=
?
或
2
3
2
t
x
=
?
?
?
=
??
.
【解析】
【分析】
(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ;
(2)由(1)得出PC=PQ,∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;
(3)分两种情况:①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.【详解】
解:(1)如图(1),△ACP≌△BPQ,理由如下:
当t=1时,AP=BQ=1,
∴BP=AC=3,
又∵∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
AP BQ
A B
AC BP
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
(2)PC=PQ且PC⊥PQ,理由如下:
由(1)可知△ACP≌△BPQ
∴PC=PQ,∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,
∴PC⊥PQ.
(3)如图(2),分两种情况讨论:
当AC=BP ,AP=BQ 时,△ACP ≌△BPQ ,则
34t
t xt =-??
=?
, 解得11t x =??=?
,
当AC=BQ ,AP=BP 时,△ACP ≌△BQP ,则,
34xt t t =??
=-?
解得232t x =???=??
综上所述,存在11t x =??=?或2
32t x =??
?=
??
使得△ACP 与△BPQ 全等.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用,能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键.
9.如图1,Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D 是BC 边的中点连接AD ,则易证AD =BD =CD ,即AD =
1
2
BC ;如图2,若将题中AB =AC 这个条件删去,此时AD 仍然等于1
2
BC . 理由如下:延长AD 到H ,使得AH =2AD ,连接CH ,先证得△ABD ≌△CHD ,此时若能证得△ABC ≌△CHA ,
即可证得AH =BC ,此时AD =1
2
BC ,由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法.
(1)请你先证明△ABC ≌△CHA ,并用一句话总结题中的结论;
(2)现将图1中△ABC 折叠(如图3),点A 与点D 重合,折痕为EF ,此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形.BE =DE ,CF =DF .由勾股定理可知DE 2+DF 2=EF 2,因
此BE2+CF2=EF2,若图2中△ABC也进行这样的折叠(如图4),此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗?若有,请证明;若没有,请举反例.
(3)在(2)的条件下,将图3中的△DEF绕着点D旋转(如图5),射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F,此时(2)中结论还成立吗?请说明理由.图4中的△DEF也这样旋转(如图6),直接写出上面的关系式是否成立.
【答案】(1)详见解析;(2)有这样分关系式;(3)EF2=BE2+CF2.
【解析】
【分析】
(1)想办法证明AB∥CH,推出∠BAC=∠ACH,再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可.(2)有这样分关系式.如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.证明△EDB≌△HD (SAS),推出∠B=∠HCD,BE=CH,∠FCH=90°,利用勾股定理,线段的垂直平分线的性质即可解决问题.
(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.
【详解】
(1)证明:如图2中,
∵BD=DC,∠ADB=∠HDC,AD=HD,
∴△ADB≌△HDC(SAS),
∴∠B=∠HCD,AB=CH,
∴AB∥CH,
∴∠BAC+∠ACH=180°,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACH=∠BAC=90°,
∵AC=CA,
∴△BAC≌△HCA(SAS),∴AH=BC,
∴AD=DH=BD=DC,
∴AD=1
2 BC.
结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(2)解:有这样分关系式.
理由:如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.
∵ED=DH,∠EDB=∠HDC,DB=DC,
∴△EDB≌△HDC(SAS),
∴∠B=∠HCD,BE=CH,
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠HCD=90°,
∴∠FCH=90°,
∴FH2=CF2+CH2,
∵DF⊥EH,ED=DH,
∴EF=FH,
∴EF2=BE2+CF2.
(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.结论:EF2=BE2+CF2.
证明方法类似(2).
【点睛】
本题属于几何变换综合题,考查了旋转变换,翻折变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
10.如图,在边长为 4 的等边△ABC 中,点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动,速度为 1 个单位/秒,点F 同时从 C 出发,以相同的速度沿射线 BC 方向运动,过点D 作 DE⊥AC,连结DF 交射线 AC 于点 G
(1)当 DF⊥AB 时,求 t 的值;