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第十四章第二节乘法公式

基本乘法公式及其应用

一、平方差公式:22()()a b a b a b +-=-

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式叫做(乘法的)平方差公式。则:(把符号没变的放前面,变了的放后面)

222233()()()()()()()()a b a b a b a b a b a b b a b a +-=

+-=-+--=

---=

【题型一】利用平方差公式计算

1. 位置变化:(1)()()x x 2525+-+

(2)()()ab x x ab -+

符号变化:(3)()()11--+-x x (4)??? ?

?--???

??-m n n m 321.01.032 系数变化:(5)()()n m n m 3232-+

(6)??? ??+-??? ??-

-b a b a 213213

指数变化:(7)()()222233x y y

x ++- (8)()()22225252b a b

a --+-

【练习】

(1)()()n m n m 3232-+

(2)()()b b 4141--+-

(3)()()x y y x ---55

(4)()()

22224545y x y

x ---

2.增项变化

(1)()()z y x z y x ++-+-

(2)()()z y x z y x -+++-

(3)()()1212+--+y x y x

【练习】

(1) ()()33-+++b a b a

(2)()()939322+++-x x x x

(3)()()c b a c b a ---+-33

3.增因式变化

(1)()()()1112+-+x x x

(2)??

? ??+??? ??+??? ??

-2141212x x x

【题型二】运用平方差公式进行一些数的简便运算

4.用平方差公式计算.

(1)397403?

(2)4

1304329? (3)1000110199??

【练习】

(1)498502?

(2)99.001.1?

(3)2008200620072?-

【题型四】利用平方差公式进行化简求值与解方程

5.化简求值:())32)(32()23(32a b a b b a a b +---+,其中2,1=-=b a .

6.解方程:()()2313154322365=???

??+-??? ??---+-++x x x x x

【练习】

(1)化简求值()()()()()()222222a a b a b a a b b

??-+- -++---??????,其中21

,1=-=b a

(2)已知2,2,14x y y z x z -=-=+= ,求22x z - 的值。

(3)解方程:()()()x x x x x 4393232-=+---.

【题型五】逆用平方差公式

7.已知02,622=-+=-y x y x ,求5--y x 的值.

【练习】

已知3,2722=-=-y x y x ,求:(1)x y +; (2)y x

【题型六】巧用平方差公式计算

8.24816(21)(21)(21)(21)(21)1++++++

9.211111(1)(1)(1)(1)(1)24162562

n +++

++

10. 2222

1111(1)(1)(1)(1)23410-

---

【练习】

(1)A=248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++

(2)化简计算:

248162481611111(3)(3)(3)(3)(3)33333

+++++

(3)22222222

100999897969521-+-+-++-

二、完全平方公式:

(1)完全平方公式:222()+2a b a ab b +=+ (1)222()2a b a ab b -=-+ (2)

公式特征:左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意:

222)()]([)(b a b a b a +=+-=--222)()]([)(b a b a b a -=--=+-

完全平方公式的口诀:首平方,尾平方,加上首尾乘积的2倍。

(2)公式变形 (1)+(2)得:22

22

()()2a b a b a b ++-+= (12)-)(得:22

()()4

a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+,ab b a b a 4)()(22-+=-

(3)三项式的完全平方公式:bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++

【题型一】完全平方公示的应用

(1)2(3)x y +

(2)23

(2)4

x -

【练习】

(1)()2

32y x +

(2)2

(23)x y --

(3)2(13)2(13)a a ---

(4)(2)(2)(1)a a a a +--+

【题型二】配完全平方式

(1)若k x x ++22是完全平方式,则k =

(2)若x 2-7xy +M 是一个完全平方式,那么M 是

(3)如果4a 2-N ·ab +81b 2是一个完全平方式,则N =

(4)如果224925y kxy x +-是一个完全平方式,那么k =

【题型三】利用完全平方公式进行数的简便运算

(1)2

2001

(2)221.234+0.766 2.4680.766+?

(3)用简便的办法求2

222009200820092007+200920092

-的值

【练习】

(1)2

999

(2)222

2004200312004200220042004++

【题型四】配方思想

1、若022222=++-+b a b a ,则=+20052004b a _____.

2、已知222450x y x y +--+=,求21

(1)2x xy --=_______.

3、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c

满足等式22223()()a b c a b c ++=++,请说明该三角形是什么三角形?

【练习】

1、已知0136422=+-++y x y x ,求y x =_______.

2、已知x 、y 满足x 2十y 2十45=2x 十y ,求代数式y x xy

+=_______.

3.已知014642222=+-+-++z y x z y x ,则z y x ++=.

【题型五】完全平方公式的变形技巧

1、已知 2

()16,4,a b ab +==求22

3a b +与2()a b -的值。

2、已知2a -b =5,ab =2

3,求4a 2+b 2-1的值.

3、31=+

x

x ,求(1)221x x + (2)441x x +

【练习】

*(1)已知实数a ,b 满足2()1a b += ,2()25a b -= ,求22a b ab ++ 的值。

(2)已知2

(1)()2x x x y ---=- ,求22

2x y xy +- 的值。

乘法公式课后习题

1.计算

(1)(43)(43)x x +-

(2)()()434322---x x

(3)()()y x y x 3264-+

(4)22(5)(5)x x +--

2.在下列多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是( )

A .()()x y x y --+

B .3333()()a b a b -+

C . 2222()()c d d c -+

D .()()m n m n ---

3.下列计算正确的是( )

A .()()()()2222425252525y x y x y x y x -=-=-+

B .22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-

C .()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=---

D .()()8242-=-+x x x

4.若2429)3(x y y x M -=-,那么代数式M 应是( )

A .()23y x +-

B .x y 32+-

C .23y x +

D .23y x -

5.()()()()111142+-++-x x x x 的值是()

A 、0

B 、-2

C 、2

D 、1

6.先化简,再求值

2(23)(2)(2)x y x y x y +-+- ,其中11,32

x y ==-

7.解方程(21)(21)3(2)(2)(1)(2)12x x x x x x -+-+-=+-+

8. 若(221)(221)63a b a b +++-= ,求a+b 的值。

9、已知x +

x 1=2,求x 2+21x ,x 4+41x

的值.

10.计算:(1)201199?

(2)2500049995001-?

11.若2244,11x y x y -=-=则x+y=

12.试求: ()()()()()131313131316842+++++

13、已知22()8,()2m n m n -=+=,求22

m n +的值

14、已知22()8x a x x b +=-+,求,a b 的值

15、求222242012P a b a b =++++的最小值