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第二章数列课课练

数列（1）

一、知识要点

1.数列、数列的项：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项.

2.数列的通项公式：如果数列｛a n ｝的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.

3.数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图来表示一个数列，图象是一些孤立的点.

4.根据数列的项数可以把数列分为有穷数列和无穷数列.

5.数列与函数的关系：数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集｛1，2，…，n ｝)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 二、典型例题

［例1］根据所给数列的前六项，试写出数列的一个通项公式

(1)1，3，5，7，9，11，……； (2)1，－2，3，－4，5，－6，……； (3)9，99，999，9999，99999，999999，……；

［例2］在数列{a n }中a 1=3,a 10=21,通项公式是项数的一次函数.

(1)求数列{a n }的通项公式，并求a 2003.(2)若b n =a 2n 求数列{b n }的通项公式.

［例3］已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－9n +20

(1)试问2是否是数列{a n }中的项？(2)若a n ≤0，求n .

三、●基础练习

1.数列1，0，1，0，1，……的一个通项公式是

A.a n =2)1(11+--n

B.a n =2)1(11+-+n

C.a n =2

1)1(--n

D.a n =2

)1(1n

---

2.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的

A.第六项

B.第七项

C.第八项

D.第九项 3.已知a n =n 2+n ,那么

A.0是数列中的一项

B.21是数列中的一项

C.702是数列中的一项

D.30不是数列中的一项 4.函数f (n )=2

)1()

1(+-n n 当自变量依次取正整数1，2，3，…，n ,…时对应的函数值，以数列形式表示为

A.－1,1,－1,1

B.－1,－1,1,1,－1,－1

C.－1,－1,1,1,－1,－1,…，2

)1()1(+-n n D.－1,－1,1,1,－1,－1,…，2

)1()

1(+-n n ，…

5.已知数列｛a n ｝的通项公式a n ＝

)

2(1

+n n (n ∈N*)，那么1201是这个数列的第______项.

6.已知数列{a n }的通项公式为a n =9n (3

2)n

，则此数列的前4项分别为______.

●强化训练

1.数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是

A.a n =2n －1

B.a n =2n －

1 C.a n =2n D.a n =2n +1

2.数列1，1，2，2，3，3，4，4，……，的一个通项公式是( )

A.a n =2

2)1(11+-++

n n

B.a n =?????为偶数为奇数n n n n 2

C.a n =???????-+为偶数为奇数n n n n 2

1 2

D.a n =???????-为偶数为奇数n n n n 2

3.数列1

4,433,322,21，……的一个通项公式是 A.a n =12

+n n

B.a n =122++n n n

C.a n =1

12+++n n n

D.a n =

22++n n

4.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－8n +15,则3

A.不是数列{a n }中的项

B.只是数列{a n }中的第2项

C.只是数列{a n }中的第6项

D.是数列{a n }中的第2项或第6项 5.数列,17

,73,115,21,

53……的一个通项公式是______. 6.数列0，1，0，2，0，3，……的一个通项公式是______. 7.根据数列的前n 项写出数列的一个通项公式. (1)2，2，4，4，6，6，……

(2)161

8,816,414,2

12，……

(3)1，7

,59,34--，……

(4)a ,b ,a ,b ,a ,b ,……

8.已知数列{a n }的通项公式是a n =2+

30200n n

-，问1和32是不是数列{a n }中的项.如果是,那么是第几项？

9.在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项. .

. 数列（2）

一、知识要点

1.如果已知数列｛a n ｝的第一项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

2.若a n +1＞a n 对任意的正整数n 都成立，则数列｛a n ｝可称为递增数列；若a n +1＜a n 对任意的正整数n 都成立，则数列｛a n ｝可称为递减数列；若a n +1=a n 对任意的正整数n 都成立，则数列｛a n ｝可称为常数列. 二、典型例题

［例1］已知数列{a n }满足a n +1=2a n +1，n ∈N *

(1)若a 1=－1，写出此数列的前4项,并推测数列的通项公式. (2)若a 1=1,写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式.

［例2］已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=αa n +β，且a 2=3，a 4=15，求常数α,β的值.

［例3］已知数列{a n }的通项公式为a n =)

1(1

+n n (1)求证{a n }为递减数列，(2)若S n =a 1+a 2+…+a n ，

求数列{a n }的前n 项和S n .

三●随堂训练 1.在数列{a n }中，a 1=3

,a n =(－1)n ·2a n －1(n ≥2)，则a 5等于 A.－

16 B. 3

C.－38

D. 38

2.在数列{a n }中，a 1=2,a 2=5,且a n +1=a n +2+a n ，则a 6的值为

A.－3

B.－11

C.－5

D.19 3.已知

3n n a

a +=+，则数列{a n }是

A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列 4.已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n +1=2

a n ,则数列{a n }是 A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

5.已知f (1)=2,f (n +1)=

()1

f n + (n ∈N *)，则f (4)=______. 6.设凸n 边形的对角线条数为f (n ),则f (3)=______;f (n +1)=______(用f (n )表示).

强化训练

1.已知数列{a n }的首项，a 1=1,且a n =2a n －1+1(n ≥2),则a 5为

A.7

B.15

C.30

D.31

2.数列｛－2n 2+29n +3｝中最大项的值是

A.107

B.108

C.108

1 D.109

3.数列1，3，6，10，15，……的递推公式是 A.??

?∈+==+*`,111N n n a a a n n B.???≥∈+==-2

*,,1

11n N n n a a a n n

C.???≥∈++==+2*,),1(1

11n N n n a a a n n D.???∈-+==-*),1(111N n n a a a n n

4.若数列{a n }满足a 1=

21,a n =1－1

-n a ,n ≥2，n ∈N *,则a 2003等于 A.

B.－1

C.2

D.1

5.已知数列{a n }的递推公式为??

??+==+1

2111n n n a a a a n ∈N *,那么数列{a n }的通项公式为______.

6.已知数列{a n }中a 1=1,a n +1=n a n n

+.(1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式.

7.已知数列{a n }中，a 1=a 2=1，且a n =a n －1+a n －2(n ≥3,n ∈N *)设b n =

+n n

a a . (1) 求证：

b n +1=

b +11

,n ∈N * (2)求数列{b n }的前5项.

8.已知数列｛a n ｝的递推公式是a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，a 2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛a n ｝的通项公式.

9.数列｛a n ｝满足：a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，求a 2003.

等差数列（1）

一、知识要点

1.等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，用式子可表示为a n －a n －1＝d (n ≥2，d 是与n 无关的常数)，则数列｛a n ｝叫做等差数列.

2.等差数列的单调性：等差数列的公差d ＞0时，数列为递增数列；d ＜0时，数列为递减数列；d ＝0时，数列为常数列.等差数列不会是摆动数列.

3.等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d

4.如果a ,A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.

二、典型例题

［例1］已知数列｛a n ｝为等差数列，且a 5＝11，a 8＝5，求a n .

［例2］已知数列｛a n ｝为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p ，且p ≠q ，求a p ＋q .

［例3］数列｛a n ｝各项的倒数组成一个等差数列，若a 3=

31，a 5=7

，求数列{a n }的通项公式.

三●随堂训练

1.数列｛a n ｝的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为n 的等差数列

2.a ,b ,c 都是实数，那么“2b =a +c ”是“a ，b ，c 成等差数列”的

A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件

3.在等差数列{a n }中，a 2=－5,d =3，则a 1为

A.－9

B.－8

C.－7

D.－4

4.已知等差数列{a n }的前3项依次为a －1,a +1,2a +3，则此数列的通项a n 为 A.2n －5 B.2n －3 C.2n －1 D.2n +1

5.在等差数列{a n }中，若a 3=50,a 5=30，则a 7=______.

6.在－1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则a =______,b =______.

●强化训练

1.已知m 、p 为常数，设命题甲：a 、b 、c 成等差数列；命题乙：ma +p ,mb +p ,mc +p 成等差数列，那么甲是乙的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 2.已知数列{a n }中a 3=2,a 7=1，又数列{

+n a }为等差数列，则a 11等于 A.0 B.

7 D.－1

3.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是

A.d ＞

8 B.d ＜3 C.

≤d ＜3 D.

＜d ≤3 4.在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8等于 A.45 B.75 C.180 D.300

5.如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第______项.

6.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为______.

7.判断下列数列是否是等差数列.(1)a n ＝4n －3 (2)a n ＝n 2＋n

8.已知数列{a n }满足a n +12=a n 2+4，且a 1=1,a n ＞0，求a n .

9.若x ≠y ，两个数列：x ，a 1，a 2，a 3，y 和x ，b 1，b 2，b 3，b 4，y 都是等差数列，求

2b b a a --的值.

10.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=

2+n n

a a (1)求数列的前4项.(2)推测数列的通项公式并证明.

等差数列（2）

一、知识要点 1.如果a n +1=

++n n a a 对任意的正整数n 都成立，则数列｛a n ｝是等差数列. 2.(1)若｛a n ｝是等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k 、l 、m 、n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (2)若｛a n ｝是等差数列，公差为d ，则｛a 2n ｝也是等差数列，公差为2d .

(3)若｛a n ｝是等差数列且公差为d ，则｛a 2n －1＋a 2n ｝也是等差数列，公差为4d . (4)若｛a n ｝、｛b n ｝都是等差数列，则｛pa n ＋q b n ｝也是等差数列. 二●典例剖析

［例1］在等差数列｛a n ｝中，(1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求公差d .

［例2］若

a a c c

b +++1,1,1成等差数列，则a 2，b 2，

c 2成等差数列.

［例3］已知四个数构成等差数列，前三个数的和为6，第一个数和第四个数的乘积为4，求这四个数.

三●随堂训练

1.a n +2+a n =2a n +1(n ∈N *)是数列{a n }构成等差数列的

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 2.设数列｛a n ｝、｛b n ｝都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于

A.0

B.37

C.100

D.－37

3.lg x 、lg y 、lg z 成等差数列是y 2

=xz 成立的

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 4.已知｛a n ｝为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝___________.

5.在等差数列｛a n ｝中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，则a m ＝___________.

●强化训练

1.△ABC 三内角A 、B 、C 成等差数列是∠B =

成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若等差数列的各项依次递减，且a 2a 4a 6=45,a 2+a 4+a 6=15，则数列{a n }的通项公式为

A.2n －3

B.－2n +3

C.－2n +13

D.2n +9

3.已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9等于

A.30

B.27

C.24

D.21 4.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =

211

+--n n a a ，则下列结论中不成立的是

A.{

a 1

}成等差数列 B.a n =12+n C.{a n }成等差数列 D.{a n }不成等差数列

5.数列{a n }为等差数列，a 2与a 6的等差中项为5,a 3与a 7的等差中项为7，则数列的通项a n 等于______.

6.等差数列{a n }中，若a 3+a 5=a 7－a 3=24,则a 2=______.

7.已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四数.

8.已知c a b 111与是

的等差中项，求证c

b a a

c b b c a +++与是的等差中项.

9.已知数列{a n }是等差数列，b n =a n +12－a n 2，求证{b n }也是等差数列. .

10.已知数列{a n }满足a 1=4,a n =4－

4-n a (n ≥2)，令b n =

-n a ,

(1)求证数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.

等差数列的前n 项和（1）

一、知识要点

1.等差数列｛a n ｝的前n 项和S n =

)(1n a a n +=na 1+

d n n 2)

1(- 2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，则数列｛a n ｝为等差数列.

二●典例剖析

［例1］在等差数列｛a n ｝中，a 4=0.8,a 11=2.2,求a 51+a 52+…+a 80.

［例2］根据数列｛a n ｝的前n 项和公式，判断下列数列是否是等差数列. (1)S n ＝2n 2－n (2)S n ＝2n 2－n ＋1

［例3］已知等差数列｛a n ｝满足：S p ＝q ，S q ＝p ，求S p ＋q (其中p ≠q ).

三●随堂训练

1.在等差数列｛a n ｝中，S 10=120,那么a 1+a 10的值是

A.12

B.24

C.36

D.48 2.在等差数列｛a n ｝中，若S 12=8S 4,则

a 1

等于 A.

9 B.

910

C.2

3.在等差数列｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1=25,b 1=75,a 100+b 100=100,则数列｛a n +b n ｝的前100项的和为

A.0

B.100

C.1000

D.10000 4.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么

A.它的首项是－2，公差是3

B.它的首项是2，公差是－3

C.它的首项是－3，公差是2

D.它的首项是3，公差是－2 5.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +5,则a 6+a 7+a 8=______. 6.在等差数列｛a n ｝中，已知a 11=10,则S 21=______.

●强化训练

1.数列{a n }是等差数列的一个充要条件是

A.S n =an 2+bn +c

B.S n =an 2+bn

C.S n =an 2+bn +c (a ≠0)

D.S n =an 2+bn (a ≠0) 2.等差数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+n ，那么它的通项公式是 A.a n =2n －1 B.a n =2n +1 C.a n =4n －1 D.a n =4n +1 3.已知数列{a n }的前n 项和为S n =4n 2－n +2,则该数列的通项公式为

A.a n =8n +5(n ∈N *)

B.a n =?

??∈≥-=*).,2( 58),1(

5N n n n n .

C.a n =8n +5(n ≥2)

D.a n =8n －5(n ≥1). 4.数列1，

,41,41,41,31,31,31,21,21，…的前100项的和为 A.13149 B.131411 C.14141 D.1414

5.在等差数列{a n }中，a 2+a 5=19，S 5=40，则a 10=______.

6.在等差数列｛a n ｝中，a 1：a 3=1∶3，且S 5＝45，则a 4＝______.

7.一个有n 项的等差数列，前四项和为26，末四项和为110，所有项之和为187，求项数n ..

8.已知数列{a n }满足a 1=0，a n +1+S n =n 2+2n (n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和，求此数列的通项公式.

9.已知等差数列{a n }中，d =21,a n =23,S n =－2

，求a 1及n .

10.已知两个等差数列｛a n ｝、｛b n ｝，它们的前n 项和分别是S n 、S n ′，若1

-+=

n n S S n

n ,求99b a .

等差数列的前n 项和（2）

一、知识要点

1. 等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，那么数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ……(k ∈N *)成等差数列，

公差为k 2d .

2. 在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值.若a 1＜0,d ＞0，则S n 存在最小值. 二●典例剖析

［例1］在等差数列{a n }中，共有3m 项，前2m 项的和为100，后2m 项的和为200，求中间m 项的和.

［例2］一个等差数列的前10项之和100，前100项之和为10，求前110项之和.

［例3］数列｛a n ｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负. (1)求数列的公差.(2)求前n 项和S n 的最大值.(3)当S n ＞0时，求n 的最大值.

三●随堂训练

1.在等差数列{a n }中，已知S 15=90,那么a 8等于

A.3

B.4

C.6

D.12 2.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项的和为

A.130

B.170

C.210

D.260 3.在等差数列｛a n ｝中，公差d =

,S 100＝145，则a 1+a 3＋a 5＋…+a 99的值为 A.57 B.58 C.59 D.60 4.若｛a n ｝、｛b n ｝都是等差数列，且a 1＝5，b 1＝15，a 100＋b 100＝100，则数列｛a n ＋b n ｝的前100项和为

A.6000

B.600

C.5050

D.60000 5.在等差数列｛a n ｝中，已知a 14＋a 15＋a 17＋a 18＝82，则S 31＝_________.

6.在等差数列{a n }中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a 17+a 18+a 19+a 20等于______.

●强化训练

1.已知在等差数列｛a n ｝中，a 1＜0，S 25＝S 45，若S n 最小，则n 为

A.25

B.35

C.36

D.45

2.在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于

A.9

B.10

C.11

D.12 3.等差数列{a n }的通项公式是a n =2n +1,由b n =

a a a n

+???++21 (n ∈N *)确定的数列{b n }的前n 项和是

n (n +5) B.

21n (n +4) C. 2

n (2n +7)

D.n (n +2)

4.在以下四个公式中，不是等差数列前n 项和公式的是

A.S n =2002n 2+2001n +2000

B.S n =2002n 2+2001n

C.S n =2002n 2

D.S n =2002n 5.在小于100的正整数中，能被3除余2的这些数的和是______. 6.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d 等于______. 7.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知331S 与41S 4的比例中项为51S 5,31 S 3与4

S 4的等差中项为1，求

等差数列{a n }的通项a n .

8.在等差数列{a n }中，a n =

n －221,当n 为何值时，前n 项和S n 取得最小值？

9.已知数列｛a n ｝的前n 项和是S n =32n －n 2,求数列｛｜a n ｜｝的前n 项和S n ′.

等比数列（1）

一、知识要点

1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.用式子可表示为若

n a a 1

+=q (n ≥1,n ∈N*,q 是与n 无关的常数)，数列｛a n ｝叫做等比数列. 2.等比数列的通项公式：a n =a 1q n －

1.它是用不完全归纳法得出来的.

3.等比中项的定义：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.

二、典型例题

［例1］已知数列｛a n ｝为等比数列，(1)若a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5. (2)a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .

［例2］已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列.

［例3］若｛a n ｝既为等差数列，又为等比数列，求证a n ＝a 1，n ∈N*.

三●随堂训练

1.ac =b 2是a 、b 、c 成等比数列的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 2.数列m ,m ,m ,…m ,

A. 一定是等比数列

B.既是等差数列又是等比数列

C.一定是等差数列不一定是等比数列

D.既不是等差数列，又不是等比数列 3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{1

+n n

a a }{na n }这四个数列中，是等比数列的有 A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于

A.48

B.72

C.144

D.192

6.已知等比数列{a n }的公比q =－31

,则8

6427531a a a a a a a a ++++++=______. ●强化训练

1.“b =ac ”是“a 、b 、c 成等比”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.等比数列{a n }中，a 1＞0且q ＞1是{a n }为递增数列的

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 3.在等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9，那么a 3等于

A.4

3 C.

16 D.2

4.等比数列{a n }的公比为2，则

122a a a a ++的值为

1 B.

1 D.1

5.在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n +2=a n +a n +1，则该数列的公比q =______.

6.若等比数列的首项为4，公比为2，则在数列中第3项与第5项的等比中项为______.

7.已知等比数列｛a n ｝的各项都大于零，且公比q ≠1，试比较a 1＋a 8与a 4＋a 5的大小.

8.在

和n +1之间插入n 个正数，使这n +2个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积.

9.已知数列满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *)(1)求证数列{a n +1}是等比数列(2)求{a n }的通项公式.

等比数列（2）

一、知识要点

1.如果a n ≠0，且a n +12=a n a n +2对任意的n ∈N *都成立，则数列{a n }是等比数列.

2.(1)若{a n } 为等比数列，且k +l =m +n (k 、l 、m 、n ∈N *)则a k a l =a m a n . (2)若{a n }为等比数列，公比为q ，则{a 2n }也是等比数列，公比为q 2.

(3)若{a n }为等比数列，公比为q (q ≠－1),则{a 2n －1+a 2n }也是等比数列，公比为q 2. (4)若{a n }、{b n }是等比数列，则{a n b n }也是等比数列.

二、典型例题

［例1］在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10.

［例2］若a 、b 、c 成等比数列，试证：a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2也成等比数列.

［例3］已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.

三●随堂训练

1.在等比数列{a n }中，a 1=

,q =2,则a 4与a 8的等比中项是 A.±4

B.4

C.±4

1 2.在等比数列{a n }中，已知a 5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于 A.51

2 B.－512 C.256 D.－256 3.2，x ,y ,z ,162是成等比数列的五个正整数，则z 的值等于

A.54

B.27

C.9

D.3 4.已知｛a n ｝是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值等于

A.5

B.10

C.15

D.20 5.已知等比数列中a 3=－4,a 6=54,则a 9=______.

6.将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是_________

●强化训练

1.在等比数列｛a n ｝中，若a 2·a 8=36,a 3＋a 7＝15，则公比q 值的可能个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

2.在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1+log 3a 2+log 3a 3+…+log 3a 10等于

A.8

B.10

C.12

D.2＋log 35 3.一个直角三角形三边的长成等比数列，则 A.三边边长之比为3∶4∶5

B.三边边长之比为1∶3∶3

C.较小锐角的正弦为

5- D.较大锐角的正弦为

5- 4.公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为

A.1

B.2

C.3

D.4

5.已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0,且a 1，a 3，a 9成等比数列，则

429

31a a a a a a ++++的值为______.

6.在等比数列{a n }中各项都是正数，a 6a 10+a 3a 5=41，a 4a 8=4,则a 4+a 8=______.

7.已知数列｛a n ｝是等比数列，m 、n 、p ∈N*，且n 是m 与p 的等差中项，求证：a n 是a m 与a p 的等比中项.

8.已知四个正数成等比数列，其积为16，中间两数之和为5，求这四个数及公比.

9.已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5+a 3a 7=36，a 2a 4+2a 2a 6+a 4a 6=100，求数列的通项公式.

10.已知数列满足a 1=87,且a n +1=21a n +31,n ∈N *(1)求证{a n －3

}是等比数列.(2)求数列{a n }的通项公式.

等比数列的前n 项和（1）

一、知识要点

1.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n =q

a a q q a n n --=

--11)1(11.当q =1时，S n =na 1. 2.若数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝p (1－q n )，且p ≠0，q ≠1，则数列｛a n ｝是等比数列.

二、典型例题

［例1］在等比数列｛a n ｝中，a 1+a n =66,a 2·a n －1=128,且前n 项和S n =126,求n 及公比q .

［例2］在等比数列｛a n ｝中，S 3＝

，S 6＝263，求a n .

［例3］已知数列｛a n ｝中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋2n ，求a n .

三●随堂训练

1.等比数列｛a n ｝的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是

A.179

B.211

C.243

D.275 2.若等比数列｛a n ｝的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于

A.3

B.1

C.0

D.－1 3.已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于

A.15

B.17

C.19

D.21 4.等比数列｛a n ｝的首项为1，公比为q ,前n 项和为S ，则数列｛

a 1

｝的前n 项之和为 A.

B.S

-n q

n 1

5.在等比数列｛a n ｝中，已知a 1=

25,前三项的和S 3=2

,则公比q 的值为______. 6.在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6=______.

●强化训练

1.在等比数列｛a n ｝中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2＋1，a 4=2S 3+1,则公比q 等于

A.3

B.－3

C.－1

D.1 2.等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 则公比q 的值为

A.1

B.－

1 C.1或－

1 D.－1或

1 3.在公比为整数的等比数列｛a n ｝中，已知a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么a 5＋a 6＋a 7＋a 8等于

A.480

B.493

C.495

D.498 4.在14与

之间插入n 个数，使这n +2个数组成等比数列，若各项的和为877,则此数列的项数为

A.4

B.5

C.6

D.7

5.在等比数列｛a n ｝中，公比q =2,log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 10=25,则a 1+a 2+…+a 10=______.

6.在等比数列｛a n ｝中，a 1+a 3=10,a 4＋a 6＝

，则a 4=______,S 5=______. 7.已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求此数列的公比q 和项数n .

8.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.

9.在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N*，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2.

等比数列的前n 项和（2）

一、知识要点

1.数列｛a n ｝是等比数列，S n 是其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，满足(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n ).

2.在等比数列中，若项数为2n (n ∈N*)，S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则奇

偶S S =q .

二、典型例题

［例1］在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .

［例2］一个等比数列前n 项之和为S ，积为p ，各项倒数之和为T ，求证：p 2=(

S )n .

［例3］求和 S n ＝1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －

1(x ≠0)

三●随堂训练

1.设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S n ＝A ，S 2n －S n ＝B ，S 3n －S 2n ＝C ，则下列各式一定成立的是

A.A +B =C

B.A +C =2B

C.AB =C

D.AC =B 2 2.已知等比数列｛a n ｝中，前n 项和S n =54,S 2n =60,则S 3n 等于

A.64

B.66

C.60

2 D.66

2 3.数列9,99,999,9999,……,的前n 项和等于

A.10n －1

910 (10n －1)－n C. 910 (10n －1) D. 9

10 (10n －1)+n 4.已知｛a n 是公比为

的等比数列｝，若a 1+a 4+a 7+…+a 97=100,则a 3+a 6+a 9+…+a 99的值是 A.25 B.50 C.75 D.125

5.等比数列｛a n ｝共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q =______.

6.若等比数列｛a n ｝中，S 4＝2，S 8＝6，则a 17＋a 18＋a 19+a 20的值等于______.

●强化训练

1.数列1，1+2,1+2+22，…，(1+2+22+…+2n －

1)，…，前n 项和等于

A.2n +1－n

B.2n +1－n －2

C.2n －n

D.2n

2.设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q 为

A.2

B.－2

C. 2

D.－

3.数列12,1212,121212,12121212,……的通项公式是

A.a n =

(10n －1)

B.a n =

334 (102n －1) C.a n =33

4 (10n －1)

D.a n =

(102n －1) 4.一个等比数列共有3m 项，若前2m 项和为15，后2m 项之和为60，则中间m 项的和为

A.12

B.16

C.20

D.32 5.在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20＝______. 6.求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n +1n .

7.等比数列｛a n ｝的首项为a ，公比为q ,S n 为其前n 项和，求S 1+S 2+…+S n .

8.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝4，a n ＝3a n －1－2，求a n .

人教新课标版数学高二-2015版人教数学必修5第二章《数列》习题课(2)

习题课(2) 课时目标 1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式； 2．掌握数列求和的几种基本方法． 1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2d . 2．等比数列前n 项和公式： (1)当q ＝1时，S n ＝na 1； (2)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q . 3．数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝? ???? S 1 n ＝1 S n －S n －1 n ≥2. 4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式： (1)1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－1 2n ＋1)； (3) 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . 一、选择题 1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1)，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D.1 30 答案 B 解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1， ∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－1 6) ＝1－16＝5 6 .

2．数列{a n }的通项公式a n ＝ 1n ＋n ＋1 ，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝ 1n ＋ n ＋1 ＝ n ＋1－n ， ∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120. 3．数列112，214，318，41 16，…的前n 项和为( ) A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－1 2n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A 解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋1 2n ) ＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－1 2 ＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12 n . 4．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.1 2n (n ＋7) 答案 C 解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(2n ＋4)＝n 2＋2n . ∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5) 2 . 5．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n － 1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 答案 B

必修五第二章数列基础测试(含答案)

绝密★启用前 2012-2013学年度???学校3月月考卷试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释） 1．已知数列{ n a }满足)(l o g l o g 1133++∈=+N n a a n n ，且2469a a a ++=，则） A ． -5 D ． 5 2．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则 cos B =（） A B C D 3．在等差数列{}n a 中，若12343,5a a a a +=+=，则78a a +的和等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 4．在等比数列{n a }中，若357911243a a a a a ＝，则 A ．9 B ．1 C ．2 D ．3 5．等差数列{n a }中，3a ＝2，5a ＝7，则7a ＝ A ．10 B ．20 C ．16 D ．12 6．设数列{}n a 是等差数列，且15432=++a a a ，则这个数列的前5项和5S =（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7．在等差数列{}n a 中，已知1a +4a +7a =39，2a +5a +8a =33，则3a +6a +9a =（） A ． 30 B ． 27 C ． 24 D ．21

8 ．各项为正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且值是（） A ．．．． 9．设4321,,,a a a a 成等比数列，其公比为2 （） A C D ．1 1010 ） A ．d ＞ B ．d ＞3 C ≤d ＜3 D 3 11．已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=()n N *∈ ，则此数列的通项n a 等于（） A ．21n + B ．1n + C ．1n - D ．3n - 12．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项（） A ．380 B ． 39 C ． 35 D ． 23

2019-2020年高中数学第二章数列 §2.4等比数列第三课时教案新人教A版必修5

2019-2020年高中数学第二章数列 §2.4等比数列第三课时教案新人教A 版必修5 授课类型：新授课（第２课时） ●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点等比中项的理解与应用 ●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ， )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛｝成等比数列=q （,q ≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±（a ,b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=?=?=2，反之，若G =ab ,则，即a ,G ,b 成等比数列。∴a ,G ,b 成等比数列G =ab （a ·b ≠0） [范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---??????.) ()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以是一个以q 1q 2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？

高中数学：第二章数列 2.1数列

2.1数列(第一课时) ——授课人：杭十四中袁礼峰教学目标： (一)知识目标：理解数列的基本概念；了解数列与函数之间的关系；理解数列的通项公式，并掌握用数列的通项公式求出数列的各项；掌握根据数列前几项写出它的一个通项公式. (二)能力目标：培养学生获取有效信息及归纳能力；培养学生应用知识的能力. (三)情感目标：利用问题的设计激发学生学习数学的兴趣，通过对数学问题的观察、探究和归纳，培养学生的探索和进取精神. 教学重点：数列的通项公式. 教学难点：求数列的通项公式. 教学方法：发现式教学法. 教学主线：通过大家感兴趣的问题引入数列概念，介绍数列基本概念深入理解数列，让数列和函数挂钩引出数列的图象表示，通过典型例题及练习诠释重点内容数列的通项公式的求取以及突破求通项公式的难点，每组例题及时小结，最后布置回家作业. 教学过程：课前板书2.1数列 1 2 3 4，课前分发纸张 1.数列引入：实例讲慢一点，注意抑扬顿挫，板书4个数列实例一，请大家一起看我手上这支粉笔，假设它的长度是1，我现在把它当中折断，看我左手的粉笔，长度是多少？再把它当中折断，看我左手的粉笔，长度又是多少？再折，长度呢？再折，长度？依此类推，每次折断剩下的粉笔长度依次构成一列数：1111 (1),,,,. 24816 L 接下来实例二，请大家和我一起玩一个折纸游戏，请拿起手上的纸，对折一下，看手上纸的折痕是几条？再对折，共是几条折痕？再对折呢？依此类推，又得到一列数：(2)1,3,7,15,. L 师：再问大家一句，折8下呢？…折是折不下去的，这就是我们今天要研究的其中一个问题，相信大家课后就会有★答案★了. 好了，请大家看屏幕，图片上的运动员是谁？刘翔，大家都比较关心体育，不知大家对以下一组数据是否了解？实例三，从1984年至今，我国体育健儿共参加了六届奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：(3)15,5,16,16,28,32. 再看运动会上一幕实例四，在前不久结束的杭十四中校运会上，体育老师为了保证40个班级广播操比赛各班之间能等距离站队，之前做了一个准备工作——在第一行导牌队员站立的横线上用粘胶纸标注站立点，从起点开始，每隔2米标注一个站立点，由近及远各标注点与起点的距离排成怎样的一列数(单位：m)：(4)0,2,4,6,,78. L 2，4换一下行不行？不行，由近及远，那是有次序的师：请大家仔细回味上述实例，想想看它们有什么共同特点？生：它们均是一列数；它们是有一定次序的. 师：很好！象这样按一定次序排成的一列数我们就把它叫做数列.想一想？我们平时会经常听到一些分期付款问题啊，银行存款的利息问题等等，这都是与数列有关的问题，学习数列是很有必要的.下面我们对照已知的数列一起来了解一下数列的基本概念.

201x-201X学年高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念和通项公式优化练习新人教

第1课时等差数列的概念和通项公式 [课时作业] [A 组基础巩固] 1．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是( ) A ．a n ＝a ＋(n －1)d B ．a n ＝a ＋(n －3)d C ．a n ＝a ＋2(n －2)d D ．a n ＝a ＋2nd 解析：数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －2)d . 答案：C 2．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是它的第几项( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 解析：由已知数列可知，此数列是以3为首项，6为公差的等差数列，∴a n ＝3＋(n －1)×6＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 答案：C 3．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( ) A ．－9 B ．－8 C ．－7 D ．－4 解析：法一：由题意，得??? a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8. 法二：由a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)，得d ＝a n －a m n －m ， ∴d ＝a 6－a 4 6－4＝66－4 ＝3. ∴a 1＝a 2－d ＝－8. 答案：B 4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，则a 2 017等于( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 018 D ．2 017 解析：由于a n ＋1－a n ＝1，则数列{a n }是等差数列，且公差d ＝1，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，故

北京四中数学必修五教案第二章数列综合之基础篇

数列综合编稿：审稿：【学习目标】 1．系统掌握数列的有关概念和公式； 2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ； 4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】【要点梳理】要点一、数列的通项公式数列的通项公式

一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。要点诠释： ①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，… 的通项公式可以写成(1)n n a =-，也可以写成cos n a n π=； ③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。通项n a 与前n 项和n S 的关系：任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =++ +； 1 1 (1)(2) n n n S n a S S n -=??=? -≥?? 要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行：（1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法：1n n a a d +-=（常数）?{}n a 是等差数列；

高中数学第二章数列2222等差数列的性质学业分层测评苏教版

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章数列 2.2.2.2 等差数列的性质学业分层测评苏教版必修5 (建议用时：45分钟) 学业达标] 一、填空题 1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于________．【解析】∵A ，B ，C 成等差数列，∴B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴3B ＝180°，从而B ＝60°. 【答案】 60° 2．已知a ＝ 1 3＋2，b ＝1 3－2 ，则a ，b 的等差中项是________．【解析】因为a ＝ 1 3＋2＝3－2， b ＝ 13－2 ＝3＋2，所以 a ＋b 2 ＝ 3. 【答案】 3 3．在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 3＋a 10＋a 11＝36，则a 5＋a 8＝________. 【解析】由等差数列的性质，可得a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝a 2＋a 11， ∴36＝2(a 5＋a 8)，故a 5＋a 8＝18. 【答案】 18 4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________. 【导学号：91730029】【解析】∵{a n }，{b n }都是等差数列，∴{a n ＋b n }也是等差数列，其公差为21－72＝14 2＝7， ∴a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35. 【答案】 35 5．(2016·泰州高二检测)若等差数列的前三项依次是1x ＋1，56x ，1 x ，那么这个数列的第101项是________．【解析】由已知得2×56x ＝1x ＋1＋1 x ，解得x ＝2，

高中数学第二章 2.3等差数列的前n项和(一)课时作业新人教A版必修5

§2.3等差数列的前n项和(一) 课时目标1．掌握等差数列前n项和公式及其性质． 2．掌握等差数列的五个量a1，d，n，a n，S n之间的关系．

1．把a 1＋a 2＋…＋a n 叫数列{a n }的前n 项和，记做S n .例如a 1＋a 2＋…＋a 16可以记作S 16；a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝S n －1 (n ≥2)． 2．若{a n }是等差数列，则S n 可以用首项a 1和末项a n 表示为S n ＝n a 1＋a n 2 ；若首项为 a 1，公差为d ，则S n 可以表示为S n ＝na 1＋1 2 n (n －1)d . 3．等差数列前n 项和的性质 (1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列???? ?? S n n 也是等差数列，且公差为d 2. (2)S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列． (3)设两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，则a n b n ＝ S 2n －1 T 2n －1 . 一、选择题 1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C

解析 S 7＝ 7 a 1＋a 7 2 ＝ 7a 2＋a 6 2 ＝49. 2．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( ) A.1 2 B ．2 C.1 4 D ．4 答案 A 解析由题意得： 10a 1＋12×10×9d ＝4(5a 1＋1 2×5×4d )， ∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝1 2 . 3．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2 8＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15 答案 D 解析由a 23＋a 2 8＋2a 3a 8＝9得 (a 3＋a 8)2 ＝9，∵a n <0， ∴a 3＋a 8＝－3， ∴S 10＝10a 1＋a 10 2 ＝10a 3＋a 82＝10×－32 ＝－15. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案 B 解析数列{a n }为等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9 －S 6)， ∵S 3＝9，S 6－S 3＝27，则S 9－S 6＝45. ∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45. 5．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A ．765 B ．665 C ．763 D ．663 答案 B 解析 ∵a 1＝2，d ＝7,2＋(n －1)×7<100，∴n <15， ∴n ＝14，S 14＝14×2＋1 2 ×14×13×7＝665. 6．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1 －a 2n ＝33，则该数列的公差是( ) A ．3 B ．－3 C ．－2 D ．－1 答案 B 解析由??? ?? a 1 ＋a 3 ＋…＋a 2n －1 ＝na 1＋ n n －1 2×2d ＝90，a 2 ＋a 4 ＋…＋a 2n ＝na 2＋ n n －1 2 × 2d ＝72，得nd ＝－18. 又a 1－a 2n ＝－(2n －1)d ＝33，所以d ＝－3. 二、填空题

必修5第二章《数列》全章教案

课题: §2.1数列的概念与简单表示法授课类型：新授课（第1课时） ●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 5 14 13 12 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1= 来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公

人教版高一数学必修5--第二章数列总结

人教版高一数学必修５第二章数列总结 1、数列的基本概念（１)定义:按照一定的次序排列的一列数叫做数列. (2）通项公式：如果数列{ａｎ}的第n 项ａn 与ｎ之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. (3)递推公式:如果已知数列{ａｎ}的第一项(或前几项),且任何一项ａn 与它前一项a n -1(或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．２、主要公式 (１)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n =错误!. （２)等差数列 a n =a 1+（ｎ－1）d ＝a m +(n －m )d . S n ＝＼f(１,2)n (ａ１+ａn )，S n ＝na １+1 2ｎ(n －1)d . A ＝错误!(等差中项)． (3)等比数列 a n =a 1ｑｎ－ 1，ａn ＝ａm ·q n -m . S n =错误!. G ＝±错误!（等比中项). 3．主要性质 (1)若ｍ+n ＝p ＋q (ｍ、n 、p 、q ∈Ｎ*), 在等差数列{ａｎ｝中有：ａm ＋a ｎ=ａｐ＋a ｑ; 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a ｐ·a q . (２)等差(比）数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一数列的通项公式的求法 1．观察法根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式． (1)１,1,错误!,错误!，错误!,…； 2．定义法等差数列{a n }是递增数列,前n 项和为S n ,且a 1，a 3，a 9成等比数列，S ５＝ａ错误!.求数列{a ｎ}的通项公式. 3．前ｎ项和法 (1）已知数列｛a n }的前n 项和S n =n 2+3n ＋1，求通项a n ; (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2,求通项a n ． 4．累加法已知｛a ｎ}中,a １=1，且a n ＋１-a ｎ=３ｎ（ｎ∈Ｎ*),求通项a n . 5.累乘法已知数列｛a n },a 1＝错误!,前ｎ项和S n 与ａn 的关系是Ｓn ＝n (2n -1）a n ,求通项ａn ． 6.辅助数列法已知数列{a n }满足a 1=1，ａn ＋１＝3a ｎ+2（n ∈Ｎ＊ ).求数列{a ｎ}的通项公式.

第二章 2.4 第2课时等比数列的性质(优秀经典课时作业练习题及答案详解).

[A组学业达标] 1．在等比数列{a n}中，若a4a5a6＝27，则a1a9＝() A．3B．6 C．27 D．9 解析：在等比数列{a n}中，由a4a5a6＝27，得a35＝27，得a5＝3，所以a1a9＝a25＝9，故选D. 答案：D 2．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a n a n＋1＝22n＋1，则a5＝() A．4 B．8 C．16 D．32 解析：由题意可得，a4a5＝29，a5a6＝211，则a4a25a6＝220，结合等比数列的性质得，a45＝220，数列的各项均为正数，则a5＝25＝32. 答案：D 3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于() A．16 B．32 C．64 D．256 解析：由已知，得a1a19＝16. ∵a1·a19＝a8·a12＝a210， ∴a8·a12＝a210＝16. a n＞0，∴a10＝4， ∴a8·a10·a12＝a310＝64. 答案：C 4．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么() A．{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列

B ．{a n ＋b n }一定是等比数列，但{a n ·b n }不一定是等比数列 C ．{a n ＋b n }不一定是等比数列，但{a n ·b n }一定是等比数列 D ．{a n ＋b n }，{a n ·b n }都不一定是等比数列解析：{a n ＋b n }不一定是等比数列，如a n ＝1，b n ＝－1，因为a n ＋b n ＝0，所以{a n ＋b n }不是等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p ，q ，则a n ＋1b n ＋1a n b n ＝a n ＋1a n ·b n ＋1b n ＝ pq ≠0，所以{a n ·b n }一定是等比数列．故选C. 答案：C 5．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11等于( ) A ．10 B ．25 C ．50 D ．75 解析：利用等比数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ，可得a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5，∴a 8·a 9·a 10·a 11＝25. 答案：B 6．设数列{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5 a 4 ＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋3 2)×32＝18. 答案：18 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 解析：由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4， ∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8， ∴a 2＝－6. 答案：－6 8．等比数列{a n }是递增数列，若a 5－a 1＝60，a 4－a 2＝24，则公比q 为________．

高中数学第二章数列2.1数列的概念与简单表示法第二课时数列的性质与递推公式课时作业新人教A版必修5

第二课时数列的性质与递推公式课时作业 * KE5HI ZUOYE * ［选题明细表］ 1. 已知数列｛a n｝满足a i>o,且a n+i=a n,则数列｛a n｝是(B ) (A)递增数列(B)递减数列 (C)常数列(D)摆动数列解析:由a i>0,且a n+i=a n, 得a n>0,又=<1, 所以a n+1

(A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21 解析：由已知得a2=a i+a i=2a i=-6, 所以a i=-3. 所以a io=2a5=2(a 2+a3) =2a2+2(a i+a2) =4a2+2a i =4X (-6)+2 X (-3) =-30. 故选C. 5. (20i9 ?广东深圳五校联考)已知数列｛a n｝满足a i=3,a n+i=,则a2 oi9等于(B ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)-1 解析：由于a i=3,a n+1 = , 所以a2==1, a3==2, a4==3, 所以数列｛a n｝是周期为3的周期数列，所以a2 0i9=a673x 3=a3=2.故选 B. 6. 已知数列｛a n｝,a n=-2n2+入n,若该数列是递减数列，则实数入的取值范围是(A ) (A)(- R ,6) (B)(- R ,4] (C)(- R,5) (D)(- R ,3] 解析：数列｛a n｝的通项公式是关于n(n € N)的二次函数，若数列是递减数列，则-<,即入<6.故选 A. 7. (2019 ?无锡高二检测)数列｛a n｝的通项公式是a n= n2-7n+50,则数列中的最小项是________ . 2 2 解析:a n=n -7n+50=(n-) +. 因为n € N,所以n=3,4 时,a 3=a4=38. 答案:38 8. 已知数列｛a n｝的通项公式为a n=,写出它的前5项，并判断该数列的单调性.