数学建模国赛国家二等奖优秀论文
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车道被占用对城市道路通行能力的研究
摘要
本文就交通事故对通行能力的影响进行分析研究，主要对实际通行能力的变化、排队长度、事故持续时间、交通流量等问题建立相应的数学模型，并运用、等软件工具对模型求解。
SPSS MATLAB
针对问题一，首先对视频一进行数据采集和提取，利用插值法对缺失数据进行补充。然后以基本通行能力、可能通行能力为基础，综合考虑外界动态因素，构建出“合流难度系数”模型，进而得出实际通行能力的函数式，由此详细地描述出事故横断面处实际通行能力的变化过程。
针对问题二，首先应用配对样本t检验法得出所占车道不同对通行能力的确存在显著性差异的结论。然后构建出视频二中的实际通行能力函数，与问题一的函数进行对比分析。再结合综合分析模型，从不同车道的车流量、拥堵车道的车流容量以及拥堵时间比例等角度进行对比，分析出差异产生原因在于：各车道车流辆不同导致合流密度不同，合流密度越大，换道难度越大，通行能力下降越多。
针对问题三，首先构建理想条件下的“到达—离开模型”，构建出车辆排队长度与实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的关系；其次，引入交通波理论，构建出“车流波动理论模型”；最后结合交通信号灯对交通流有周期性影响的实际情况，建立“基于二流理论的动态排队模型”，得到在一个周期内对长的相对增量，再通过累加得出车队长的表达式。
针对问题四，考虑小区进出车辆的影响，以及在更高车流量下合流系数的改变，对上述模型参数做出修正，估算出排队时间大约为7.3分钟。接着应用“基于元胞自动机的交通模型”进行仿真模拟，得出误差在接受的范围之内，证明了模型的合理性。
最后，针对模型的优缺点进行评价，并提出了进一步改进的优化方向及在其它方面的推广应用。
关键词：实际通行能力、到达—离开模型、交通波、二流理论动态排队模型
对于问题二，在问题一函数的基础上，再结合视频二中的有用信息，写出实际通行能力的表达式2212()C C f t =?。然后利用SPSS 软件对两组实际通行能力值进行配对样本t 检验，得出两者间确实存在显著性差异。接下来为体现两者间的明显差异，把两个函数图象画到同一坐标系中进行比较。最后，根据统计得到的数据分析此差异形成的原因。
对于问题三，以问题一、二为基础，首先说明车辆排队长度与实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量确实存在某种关系。然后先构建理想化的模型体现四个量之间的关系；其次，把模型的影响因素考虑进去，对模型进逐渐修正，得到更为精确的模型。
对于问题四，观察附件五，当排队距离变为140米时，交通事故正好发生在小区门口，所以此时应考虑小区进出车辆的影响。接着对问题三中的模型参数做微型修正。再结合已知的排队长度、上游车流量估算出相应时间。
三、模型假设
1. 在研究路段内，路边停车现象对通行能力的影响忽略不计。
2. 假定具有良好的气候条件和路面条件下的通行能力。
3. 该段时间内分析的道路及道路上的基础设施不发生变化。
4. 假设司机反应时间相同且遵守交通规则。
5. 假设上游汽车当量服从离散型随机分布。
四、符号说明
C -- 通行能力；
a Q --规定时间周期内驶出交通事故横断面的车辆数；
b Q --规定时间周期内驶入标准路段长度内的车辆总数；
i K --各汽车代表车型与车辆折算系数，(1,2)i =；
()f t θ--交通事故中车辆改道对通行能力的合流难度系数；
()g LN -- 不同车道编号机器组合；
0t --平均车头时距。
五、数据处理
5.1数据量化
对从视频中的提取的车流数据，均要进行标准当量化处理[1]，折算系数如下表1：
表1 车型及折算系数
经过处理得到标准当量车流量，这样就把不同车型的车辆数转化为可同一比较的当量车流 ，方便后面函数计算。
5.2数据无量纲化处理
在利用SPSS 统计软件对数据进行聚类分析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即
i
i X X X
=
标准化以后各变量的平均值都为1，标准差为原始变量的变异系数。该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。
六、模型分析、建立与求解
6.1 问题一分析与建模
6.1.1 模型准备
因为视频一中采集到的数据中间有缺失，所以先采用插值法，用MATLAB 编程，预测出中间缺失的数据值，如表2所示。
表2 数据插值
基本通行能力0()C ：是指道路和交通都处于理想条件下，由技术性能相同的一种标准车，以最小的车头间距连续行驶的理想交通流，在单位时间内通过道路断面的最大车辆数。
可能通行能力1()C ：是在实际道路、交通条件下，单位时间内通过道路上某一均匀段或者某一横断面上的最大车辆数，用折减系数乘以理论通行能力。
实际通行能力2(())C t ：在发生特殊情况下（比如：交通事故、道路施工等），单位时间内通过某一放行横断面上的最大车辆数。 （1） 基本通行能力[2]
由于此题中的交通事故发生地距离交通信号灯处有240m 的距离，因此可以认为此处的基本通行能力为：
00
3600
36003.6v
C l t ο
=
=
（1） 其中：l ο--车头最小间距；
（2） 可能通行能力：
3
3
1001
1
n n n C C f C f f f f ===?=∑∑∏n 车道n 非n 交n 条 （2）
n f --各影响因素对实际通行能力的折减系数，即滞留系数；
f --条在多车道情况下，同向行驶车辆对其他车道通行能力的影响 ，其中中间车道考虑为1，两边车道考虑为0.8-0.89，此处取0.85；
f --车道当车道的宽度小于标准宽度 3.5m 时，必定要影响到车辆的前进速
度，因此用车道折减系数来描述，此处取0.94；
f--
非
该值与非机动车道与机动车道之间有无分隔带有关，由于这条道路上有大量的非机动车驶入，影响了正常车流的通行，此处取0.8；
f--
交
交叉路口及小区汇入车辆对通行能力的影响，汇入车道的两条小区道
路会影响到车流的正常行驶，此处取0.9。经计算得：
11110/
pcu h
C=，可知，单个车道每小时能通过1100pcu。
6.1.2 模型建立
实际通行能力：随着交通事故的发生，使得道路被占用，由三条车道变为单车道，原有的车流只能由此车道通过。因此，其它两个车道的车流要经过换道进入到正常车道，从而影响了其它车辆的正常流出。借鉴上文中通行能力的修正过
程，在这里引入了“合流难度”系数
()
f t
θ，它是反映车道被占用而影响正常交
通流程度大小的系数。
把视频一中发生交通事故的实体图转换成以下形式，方便直观分析：
图1 交通事故模拟图
由于此“合流难度”系数是由换道产生的，所以它的大小由实际交通状况决定。从实际交通状况出发，通过计算事故地点横断面的驶出车流量和上游120m 处的流入交通的比值，得出系数变化状况。未发生交通事故时，两个截面在相同时间内的流入、流出车流量大小是相等的，而改道后会引起交通堵塞，形成排队现象。可见，流入、流出交通流差异越大，车流被滞留的现象越明显。于是就可
以利用改道引起的交通流量差异来恒定合流难度系数，从而得到实际通行能力的表达式：
211()()C t C f t θ=? （3）
2
01
1
2
021()i i i i i
i P K P f t P K P θ==+=
+∑∑ （4）
()f t θ--交通事故中车辆改道对通行能力的合流难度系数； 0P --小型车数量；
1P --中型车数量（如中型货车）； 2P --大型车数量（如公交车）；
i K --各种型号车辆对应的折算当量。 6.1.3 模型求解
基于对附录中表一的数据进行分析，拟合出实际通行能力21()C t 随时间的变化曲线如下图2所示：
图2 实际交通能力变化曲线 说明：可以把从交通事故发生至撤离期间分为三段：
（1）事故前期：根据图2折线的变化趋势并且与没有发生事故时对比，得出事故刚发生时，由于事情发生比较突然，通行能力急剧下降；
（2）事故中期：当事故持续一段时间后，通行能力下降并趋于稳定水平，因为当下次绿灯放行的时候，前面的车辆并没有完全驶出，从而不断出现累积效应，严重影响通行能力。
（3）事故后期：在事故发生后期，由于警方的协助及对事故的妥当处理，对通行能力的提升稍微有帮助作用。但随着车流的不断涌入，实际通行能力还会在较低水平，慢慢趋于正常水平。
6.2 问题二分析与建模 6.2.1 显著性差异比较
由于视频一中交通事故发生的位置坐标、所占的车道数与视频二中的不同，并且每一车道上的车流量又是不同的，所以不能用一般的检验法来评估有无显著性差异。基于这种成对数据的检验，对有无显著性差异分析进行配对样本t 检验更具有说服力。
配对样本t 检验，假设01:0;0H u H =≠.即原假设整体均值有发生显著变化。再构建出统计量：
t -
=
由原假设和样本数据计算出t 统计量的p 值。由原假设，0u =，故可略去。然后利用SPSS 软件对视频一与视频二的数据进行分析，得到下表3：
表3给出了两组配对样本t t 检验结果，包括差值的95%置信度下的区间估计以及最为重要的t 统计量和p 值。结果显示无论是对视频一还是视频二中的数据检测估计，其10.0190.05p =<，20.0140.05p =<。所以，这就说明两组数据有显著性差异，进一步说明同一横断面交通事故所占车道不同对横断面实际通行能力有显著性差异。
6.2.2 模型建立
首先从视频二中采集与问题一中相类似的数据信息，结合模型一中建立的“合流难度系数”，构建视频二中的实际通行能力模型，模型如下：
2212()()C t C f t =? （5）
2
1
22
1()a n n i b n n
i Q K P f t Q K P ==+=
+∑∑ （6）
首先，结合上述函数画出在“交通事故发生到事故撤离期间内”交通事故横断面上实际通行能力变化曲线，图形如下图4
所示：
图4 视频二通行能力变化曲线
其次，再根据 21()(2,3)C g LN g ==与22()(1,2)C g LN g ==，将两个视频中“合流难度”系数的变化趋势画在一起进行比较，并分析两者之间的显著性差异，如下图5所示：
图5 合流难度系数变化比较
之所以存在显著性差异，是因为每一车道车的数量不同，导致在车辆换道时的难易程度不同，下图为在交通事故期间不同车道的平均流量图6：
图6 不同车道平均流量图
说明：由上图6可以看出，中间车道和右车道的车辆总数相对于左车道多，且公交车的数量右车道相对较多。所以当中间车道和右车道被堵时，两车道上原来行驶的车辆需要换道。考虑到公交车的长度对换到有很大影响，所以此时车道
23Q Q 、对车道1Q 的合流密度会增大，使得通行能力下降比较明显；而12Q Q 、相
对于3Q 需要换道的车辆及公交车数比较少，所以对应的合流密度比较小，对实际通行能力的抑制作用比较小。
从而，造成了比较明显的差异。
6.3问题三分析与建模
根据问题一、二中的视频数据及函数分析，车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量确实存在着某种函数关系，于是建立以下模型进行求解。 6.3.1累计到达——离开模型
累计到达一离去模型[3]是在排队论的基础上演化而来，应用车辆到达和离去之间的关系，主要通过累计到达的车辆数和累计离去车辆数之间的差值来估算排队长度。
在某一时间段内，从上游到达的车流量为b dt Q ?，而在同一时间段内流向下游的当量为a Q dt ?，由于上下游车流量的不同，从而在时间段0~t 内就会有车辆积累。随着时间的积累形成车辆排队现象。在理想状态下，车流会依次等距排队，因此可以建立以下车辆排队长度与其它量的函数关系：
3()
a b t h Q dt Q dt Q L Q l l ?
??-=??
=+???? （7）
Q ?--在标准时间的滞留车辆； t l --车的平均长度； l --h 车与车间的距离； L --车辆排队长度。
图7 到达、离开车辆与时间函数
由于此模型是在上述比较比较理想情况下得出的，假设一条车道上所有的车辆走完之后相邻车道上的车紧跟其后；车在车道上是均匀分布的，且认为向下游的车流流量就是交通事故横断面的实际通行能力。该模型与实际问题相差甚大，接着修正模型模型使得相对误差较小。 6.3.2车流波动理论模型
当车流在交通事故界面处发生拥挤时，后面来的车辆要依次减速行驶或者停车，这种影响会逐渐向后传播，直到最后一辆车明显减速或停车，就像水面上的一个水波不停地向周围传播，因此可以将水波的传播类比到堵塞车辆的依次停车现象中，最终建立车流波动理论来研究车辆排队长度问题。
车流波动理论[4]：当行驶车辆到达事故地点时速度陆续减慢甚至停车而集结成密度较高的队列；事故消除后，由于路段通行能力的恢复，排队车辆又陆续加速而疏散成一列具有适度密度的车队，车流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传播的现象。波速公式：
()/()x y x y u Q Q K K =-- （8）
u -- 集散波的波速；x y Q Q --、前后两种车流状态的流量，辆/时；
x y K K --、前后两种车流状态的密度，辆/Km .
根据交通流模型可知，交通量Q 、行车速度v 、车流密度K 三着之间的关系为：
Q v K =? （9）
速度-密度线性关系模型：
(1/)f j v v K K =- （10）
由上面（8）（9）（10）推导出波速与密度的函数关系式，即波速与上游车流量、横断面实际通行能力的关系式：
(1)x
y
f j
K K u v K +=-
（11）
其中x y K K 、与x y Q Q 、有关，x K 就是上游车流量，而y K 就是下游的车流量。当集散波向后传播时，车道就可以认为处于最大流量状态，即等于事故横断面处的实际通行能力；从而得出：
0(1)x y f
j t
K K u v K L udt
+?
??
??
=-=??
? （12）
6.3.3 基于二流理论的动态排队模型
在波动理论中，车流波的传播会受到很多情况的影响而发生停止传播现象。而且实际道路中，每次交通信号灯周期性的变化，都会导致每次流入车流的不均衡现象，因此为了能够更好地描述每个周期内车辆排队长度，结合二流理论的思想，提出了动态排队模型。
图8 实际情况下的变化曲线
根据二流理论思想[5]，将运动车辆形成的交通流称为行驶交通流，停止车辆形成的交通流称为阻塞交通流。这样，交通流实际运行状态中过渡状态的不均匀
交通流相当于阻塞交通流和行驶交通流的某种加权和，即任意交通流的实际运行状态可以用二流运行状态来描述。
图9 周期与t ?的关系
以上面图9为依据，根据流量守恒原理可知：
0()()()U D N N t N t N t +=+? （13）
0N --初始时刻（即事故即将发生时）上游、事故横断面间的车辆数； ()()U D N t N t --、t 时刻通过上游、横断面的车辆累计数；
()N t ?--t 时刻上游与横断面间的车辆数。
结合二流理论：
(t)=k ()[()]j D m D N L t k L L t ?+- （14）
联立（13）（14）得到单车道路段当量排队长：
0()[()()]/()D U D m j m L t N N t N t k L k k =+--- （15）
以此为基础，得到多车道路段平均当量排队长度模型;
01
1
(,)(,)()()
M
M
m U D i i D j m N N i t N i t k LM
L t M k k -
==--
+--=
-∑∑ （16）
()D L t --多车道路段时刻t 上游、横断面间的平均当量排队长度；
(,)(,)U D N i t N i t --、第i 条车道时刻t 上游、横断面的车辆累计数；
M --车道数。
令时间0t t =得到此刻平均当量排队长度0()D L t ，
()()()0001
0,,M
m U D i D j m N N i N i k LM
L M k k t t t -
-
=--
??+--??=
??
- ???
∑ （17）
同理，当0t t t =+?时，平均当量排队长度为
0i 1
(0){[(,0)(,0)}\[()]
M
D U j m D m L t t N N i t t N i t t k LM M k k -
=-
-
-
+?=++?-
+?-∑ （18）
在0t 时刻，时间增量t ?引起的平均排队长度增量为：
i 1
(0)[(,0)(,0)(,0)(,0)]\[()]
M
D U U j m D D L t N i t t N i t N i t t N i t M k k =--
?=+?--
+?+-∑ （19）
同理，t ?时间内上游、横断面车辆累计数的增量为：
11
1
1[(,0)(,0)](,)[(,0)(,0)](,)M
M
U U U i i M M
D D D i i N i t t N i t Q i t N i t t N i t Q i t ====?+?-=?????+?-=???∑∑∑∑ （20） (,)(,)U D Q i t Q i t ??--、第i 条车道t ?时间内通过上游、事故横断面的车辆数。
将上述(20)式带入（19）式得到：
1
1(,)(,)
(0)()
M M
a
b
i i D j m Q i t Q i t L t M k k -
==-
-
?-??=
-∑∑ （21）
11
1(,)(,)()
M M
t n a b T
i i n j m Q i t Q i t L M k k ===--
=??
?-?????=??-????
∑∑∑ （22） 在这里由于下游车道数只有一个，上游车道数为三个，则最终可以得出
()()()()()()
31
11(,)(1,)t
t
n n a T
T b i a b n n j m
j m Q i t t t t L M M Q Q Q k k k k =====???-??????-?????==????--??????
∑∑∑ （23） n --周期的个数，其中60T s =，与红绿灯的周期相等。
6.4问题四分析与建模
（1）针对问题三中的排队时间问题，此时的上游车流视作是稳定的，所以可以根据模型对排队时间进行估算。首先根据排队长度函数关系 ：
3()
a b t h Q dt Q dt Q L Q l l ?
??-=??
=+???? （24） 把
1500/a
pcu h Q
=代入到式中，得到模型一的估算时间17.27min t =。
（2）基于已经建立的车流波动理论模型，首先要得到出上下游车流密度，由于在排队过程中，下游车流一直处于在最大通行能力范围内，并且路段下游方向需求不变，就可以利用视频一中的下游实际通行能力进行估算，上游通行能力将保持为25/min pcu 。于是根据车流波动理论模型：
0(1)x y f
j t
K K u v K L udt
+???
??
=-=??
? （25） 估算得出车辆排队时间2 6.29min t =。
（3）在基于二流理论的动态排队模型中，队长的变化是由每一个周期队长的增量累加得到的。在实际交通中的每个周期内，上下游截面的车流状况是不断变化的，而在本问题中已知上游车流量是固定的，于是就要对本问题的数据进行转化。首先，还以60s 为一个周期，认为每个周期的上游车流量为
25/min a pcu Q =，下游横断面的车流量与问题一中实际通行能力相等，再根据
动态排队模型，得到了排队时间的函数表达式：
0(1)x y f j t
K K u v K L udt
+?
=-??
??=??
? （26）
经过计算，得到了估算时间37min t =。将三个模型的时间估算结果如下表4：
表4 各模型对应的时间
从表4中可以看出，三个模型对时间的估算是不一样的，主要是由模型算法前提条件不同而造成的。接着利用“基于元胞自动机的交通模型”进行模拟模拟，得出的误差在接受的范围之内，说明了模型的合理性。
七模型评价
7.1 模型优点
（1）对于问题一，利用题目信息构建的实际通行能力变化函数模型充分考虑了外界因素的作用并合流难度系数，使得相对误差相对较小，能很好的反应通行能力的变化过程；其次，利用插值法补全视频一中缺失的数据，更具有准确性。
（2）对于问题二，用配对成份t检验法有效的验证了两组通行能力之间的显著性差异，算法简便。其次，对两个函数变化进行对比时形象直观，能直接反映出占道不同对通行能力的抑制性不同。
（3）对于问题三，累计到达-离去模型可以用流量来计算，而实际道路网流量相对比较容易获取；而且模型比较灵活，方便根据城市道路特性进行改进。基于二流理论动态排队长度模型综合考虑了多个动态因素的共同作用，使得结果的可靠性提高。
7.2 模型缺点
（1）在构建实际通行能力函数模型时，有的阻滞系数都采用定值或平均值，对预测结果会产生影响。
（2）在到达一离去理想化模型的运用中，进行了很多假设，将多个外界因素影响排除在外，使得与实际函数之间存在些许误差。
八、模型推广
（1）到达—离开模型在实际中还可以用于处理动态的行人流、社会流、服务流等，特别是在候车室、候机楼客流的预测中具有实际的意义。
（2）综合分析是一个最广泛应用的统计方法，在数据处理过程中能发挥有效的作用，并为实际问题的分析提供了有说服力的手段和依据。
（3）二流理论可应用于评价宏观道路网络交通流特点，为路网的合理设计和交通相位的最优分配提供重要的理论基础。在合理利用资源方面二流理论也有潜在的研究价值。
九、参考文献
[1] 韩中庚，数学建模竞赛——获奖论文精选与点评，北京：科学出版社，2007
[2] 贾晓敏，城市道路通行能力影响因素研究，公路，2009.
[3] 孔惠惠，秦超等，交通事故引起的排队长度及消散时间的估算，铁道运输与
经济，第27卷第5期：65-67，2005.
[4] 姚荣涵，王殿海，拥挤交通流当量排队长度变化率模型，交通运输过程学报，
第9卷第2期：93-96,2009.
[5] 王彦杰，徐建闽等，城市交叉口交通拥挤最大排队长度估算模型，行业管理，
86-87,2009.
十、附录
1.MATLAB程序
X=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
Y=[19 16.5 20 18 18 20 16.5 17.5 15.5 16.5];
my=mean(Y) %Y的平均值
sy=std(Y) %Y的均方差(标准差)
M=[1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5];
N=interp1(X,Y,M,'cubic')
P=polyfit(X,Y,8)
polyval(P,[10 11])
plot(X,Y,'r*',M,N,'g+',X,polyval(P,X),'m-');
legend('原始点','插值点','拟合曲线')
2. 为了找到这条道路上的当量车长和平均车距和的大小，经过对视频一中达到最大排队长度时的排队长和当量车流数的数据采集得到了下表1：
表1
3.